标准偏差与相对标准偏差公式

.标准偏差出自MBA智库百科(http://wiki.mbalib.com/(​http:​/​​/​wiki.mbalib.com​/​​))　　数学 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式：　　S-标准偏差（%）n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个i-物料中某成分的各次测量值，1～n；标准偏差的使用方法　六个计算标准偏差的 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 [1](​http:​/​​/​wiki.mbalib.com​/​wiki​/​%E5%9D%87%E6%96%B9%E6%A0%B9%E5%B7%AE"\l"_note-.E5.91.A8.E5.AF.8C.E8.87.A3#_note-.E5.91.A8.E5.AF.8C.E8.87.A3"\o"​)标准偏差的理论计算公式　　设对真值为X的某量进行一组等精度测量,其测得值为l1、l2、……ln。令测得值l与该量真值X之差为真差占σ,则有　　　　σ1=li−X　　σ2=l2−X　　……　　σn=ln−X　　我们定义标准偏差(也称标准差(​http:​/​​/​wiki.mbalib.com​/​wiki​/​%E6%A0%87%E5%87%86%E5%B7%AE"\o"标准差​))σ为　　　　（1）　　由于真值X都是不可知的,因此真差σ占也就无法求得,故式只有理论意义而无实用价值。标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式　　由于真值是不可知的,在实际应用中,我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。理论上也 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ,随着测量次数的增多,算术平均值最接近真值,当时,算术平均值就是真值。　　于是我们用测得值li与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）Vi来代替真差σ,即　　　　设一组等精度测量值为l1、l2、……ln　　则　　　　　　　　　……　　　　　　通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为　　　　将上式代入式(1)有　　　　　　　(2)　　式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。　　它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当时，,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。　　应该指出,在n有限时,用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。它不是总体标准偏差σ。因此,我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。为了强调这一点,我们将σ的估计值用“S”表示。于是,将式(2)改写为　　　　(2')　　在求S时,为免去求算术平均值的麻烦,经数学推导(过程从略)有　　　　于是,式(2')可写为　　　　(2")　　按式(2")求S时,只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺,即可。标准偏差σ的无偏估计　　数理统计(​http:​/​​/​wiki.mbalib.com​/​wiki​/​%E6%95%B0%E7%90%86%E7%BB%9F%E8%AE%A1"\o"数理统计​)中定义S2为样本方差(​http:​/​​/​wiki.mbalib.com​/​w​/​index.php?title=%E6%A0%B7%E6%9C%AC%E6%96%B9%E5%B7%AE&action=edit"\o"样本方差​)　　　　数学上已经证明S2是总体方差(​http:​/​​/​wiki.mbalib.com​/​w​/​index.php?title=%E6%80%BB%E4%BD%93%E6%96%B9%E5%B7%AE&action=edit"\o"总体方差​)σ2的无偏估计。即在大量重复试验中,S2围绕σ2散布,它们之间没有系统误差(​http:​/​​/​wiki.mbalib.com​/​wiki​/​%E7%B3%BB%E7%BB%9F%E8%AF%AF%E5%B7%AE"\o"系统误差​)。而式(2')在n有限时,S并不是总体标准偏差σ的无偏估计,也就是说S和σ之间存在系统误差。概率统计告诉我们,对于服从正态分布的正态总体,总体标准偏差σ的无偏估计值为　　　　(3)　　令　　则　　即S1和S仅相差一个系数Kσ,Kσ是与样本个数测量次数有关的一个系数,Kσ值见表。　　计算Kσ时用到　　Γ(n+1)=nΓ(n)　　　　Γ(1)=1　　由表1知,当n>30时,。因此,当n>30时,式(3')和式(2')之间的差异可略而不计。在n=30～50时,最宜用贝塞尔公式求标准偏差。当n<10时,由于Kσ值的影响已不可忽略,宜用式(3'),求标准偏差。这时再用贝塞尔公式显然是不妥的。标准偏差的最大似然估计　　将σ的定义式(1)中的真值X用算术平均值代替且当n有限时就得到　　　　　　(4)　　式(4)适用于n>50时的情况,当n>50时,n和(n-1)对计算结果的影响就很小了。　　2.5标准偏差σ的极差(​http:​/​​/​wiki.mbalib.com​/​wiki​/​%E6%9E%81%E5%B7%AE"\o"极差​)估计由于以上几个标准偏差的计算公式计算量较大,不宜现场采用,而极差估计的方法则有运算简便,计算量小宜于现场采用的特点。　　极差用"R"表示。所谓极差就是从正态总体中随机抽取的n个样本测得值中的最大值与最小值之差。　　若对某量作次等精度测量测得l1、，且它们服从正态分布,则　　R=lmax−lmin　　概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差的计算公式为　　　　(5)　　S3称为标准偏差σ的无偏极差估计,d2为与样本个数n(测得值个数)有关的无偏极差系数,其值见表2　　　　由表2知,当n≤15时,,因此,标准偏差σ更粗略的估计值为　　　　(5')　　还可以看出,当200≤n≤1000时，因而又有　　　　(5")　　显然,不需查表利用式(5')和(5")了即可对标准偏差值作出快速估计,用以对用贝塞尔公式及其他公式的计算结果进行校核。　　应指出,式(5)的准确度(​http:​/​​/​wiki.mbalib.com​/​wiki​/​%E5%87%86%E7%A1%AE%E5%BA%A6"\o"准确度​)比用其他公式的准确度要低,但当5≤n≤15时,式(5)不仅大大提高了计算速度,而且还颇为准确。当n>10时,由于舍去数据信息较多,因此误差较大,为了提高准确度,这时应将测得值分成四个或五个一组,先求出各组的极差R1、,再由各组极差求出极差平均值。　　　　极差平均值和总体标准偏差的关系为　　　　需指出,此时d2大小要用每组的数据个数n而不是用数据总数N(=nK)去查表2。再则,分组时一定要按测得值的先后顺序排列,不能打乱或颠倒。标准偏差σ的平均误差估计　　平均误差的定义为　　　　　　误差理论给出　　　　(A)　　可以证明与的关系为　　(证明从略)　　　　于是　　　　(B)　　由式(A)和式(B)得　　　　从而有　　　　　　　　式(6)就是佩特斯(C.A.F.Peters.1856)公式。用该公式估计δ值,由于\right|V\right|不需平方,故计算较为简便。但该式的准确度不如贝塞尔公式。该式使用条件与贝塞尔公式相似。标准偏差的应用实例[1](​http:​/​​/​wiki.mbalib.com​/​wiki​/​%E5%9D%87%E6%96%B9%E6%A0%B9%E5%B7%AE"\l"_note-.E5.91.A8.E5.AF.8C.E8.87.A3#_note-.E5.91.A8.E5.AF.8C.E8.87.A3"\o"​)　　对标称值Ra=0.160