微积分论文积分第一中值定理的逆问题及其推广

积分第一中值定理的逆问题及其推广 蒋平 01211063 (徐州师范大学 数学系 徐州 221116) 摘 要 本文给出了推广的积分第一中值定理的逆问题并加以证明. 在此基础上，给出了二维积分中值定理逆问题的证明. 关键词 积分第一中值定理；逆问题；连续函数；可积 一． 问题的引出 文[1]讨论了积分第一中值定理的逆问题，受之启发，本文给出了推广的第一积分中值定理的逆问题的证明. 并在文[2]的基础上，本文也证明了该逆问题的二维推广形式. 为了叙述方便，下面把推广的积分第一中值定理及二重积分中值定理分别作为定理1与定理2引述如下. 定理 若函数 与 在闭区间 上连续且 在 上恒正（或恒负），则在 上至少存在一点 ，使得 . 注 若本定理中的条件“ 在 上连续”减弱为“ 在 可积”时，定理仍然是成立的. 定理2 若函数 在闭区域D上连续，函数 在D上可积且恒正（或恒负），则存在一点 EMBED Equation.3D，使得 . 定理1的逆问题为：若函数 与 在闭区间 上连续， 在 上恒正（或恒负）. 则对于 上任意一点 ，必存在[ ] EMBED Equation.3 ，使得 [ ]， 并且 . 一般情况下，上述命题是不一定成立的. 反例如下 设 EMBED Equation.3 ， ， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . 取 ，则容易推出 即 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . 于是 ，这便和 相矛盾. 同样的，二维积分中值定理的逆问题在一般情况下也是不能保证其是成立的. 下面给出定理1和定理2的逆定理. 二．问题的结果及证明 1.对推广的积分第一中值定理的逆问题的讨论 现把推广的积分第一中值定理的逆问题作为定理3叙述如下 定理3 若函数 在闭区间 上连续且严格单调， 在 上可积且恒正（或恒负），则对任意的 EMBED Equation.3 ，必存在 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，使得 EMBED Equation.3 ，且满足 . 证明： 函数 是严格单调的，不妨设它为严格单调递增且 EMBED Equation.3 (其他的情况证明类似). 对于 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，取 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，使得 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . 根据积分保号性可知 现设 EMBED Equation.3. （1） 若 , 则取 = 即可. （2） 若 ，现设 EMBED Equation.3， 其中 EMBED Equation.3 则 = EMBED Equation.3. 据定理1知, 存在 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，使得 于是 = EMBED Equation.3= EMBED Equation.3. 所以 . 由于函数 在 上也是连续的. 于是根据连续函数的介值性定理知，存在 EMBED Equation.3 , 使得 EMBED Equation.3 即 . 此时取 = EMBED Equation.3即可. （3） 若 ,现设 = ， 其中 EMBED Equation.3 则 = EMBED Equation.3. 据定理1知，存在 EMBED Equation.3[ , ]，使得 则 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3= EMBED Equation.3 . 于是 . 对于函数 ，据连续函数的介值性定理知，存在 EMBED Equation.3 , 使得 即 . 此时取 = EMBED Equation.3 即可. 注1 在该定理中，若令 ，便得到文[1]所研究的结论，即 推论 函数 在闭区间 上连续且严格单调，则对任意的 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，必存在 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，使得 EMBED Equation.3 ，并满足 . 注2 在该定理中的条件“ 严格单调”的条件是必不可少，否则便不能保证结论成立.对此前面已做出说明. 2.对二维积分中值定理逆问题的证明 现把二维积分中值定理的逆问题作为定理4叙述如下 定理4 若函数 在有界区域D上连续且关于 分别严格单调递增（或递减），函数 在D上连续且恒正（或恒负），则对于任意的 （其中 表示D的内部），存在区域 ，使得 ，且 . 证明： 在有界区域D上严格单调，不妨设为严格单调递增且 （ 在D上严格单调递减的情况类似可证）. 对任意的 ，存在 的一个邻域 ，暂将 固定 . 对于任意的 ，据定理3，存在 ，使得 EMBED Equation.3 其中 EMBED Equation.3. 这里的 在 上连续且严格单调递增，又因为 在D上连续且 >0，于是 在 上可积且恒正. 对于 与 ，再次运用定理3，对任意的 ，存在 ，使得 . 取 EMBED Equation.3，于是 = = = = = . 综上，定理获证. 参考文献 [1] 周友明. 第一积分中值定理的逆问题及其渐进性[J]. 大学数学，2004，20（2）：121-126. [2] 郝建丽，刘继全. 二重积分中值定理的逆命题[J]. 商丘师范学院学报，2001， 17（2）：109-111. [3] 华东师范大学数学系. 数学分析（上册）[M]. 北京：高等教育出版社，1991. 294-295. [4] 杨熙泉. 二重积分的第一中值定理[J]. 山东工业大学报，1995，25（4）：398-400. PAGE 1 _1177774241.unknown _1177776140.unknown _1177911605.unknown _1177912302.unknown _1177998986.unknown _1178115123.unknown _1178692030.unknown _1177999084.unknown _1178115099.unknown _1177999139.unknown _1177999054.unknown _1177913319.unknown _1177913650.unknown _1177913833.unknown _1177913894.unknown _1177913716.unknown _1177913494.unknown _1177912585.unknown _1177912663.unknown _1177912757.unknown _1177912517.unknown _1177911852.unknown _1177912184.unknown _1177912240.unknown _1177912289.unknown _1177912113.unknown _1177911636.unknown _1177911659.unknown _1177911612.unknown _1177776455.unknown _1177776473.unknown _1177776504.unknown _1177776536.unknown _1177776615.unknown _1177776519.unknown _1177776494.unknown _1177776460.unknown _1177776272.unknown _1177776409.unknown _1177776201.unknown _1177776227.unknown _1177775238.unknown _1177775890.unknown _1177776059.unknown _1177776094.unknown _1177776014.unknown _1177775937.unknown _1177775990.unknown _1177775331.unknown _1177775562.unknown _1177775662.unknown _1177775768.unknown _1177775820.unknown _1177775735.unknown _1177775679.unknown _1177775618.unknown _1177775634.unknown _1177775596.unknown _1177775386.unknown _1177775448.unknown _1177775536.unknown _1177775341.unknown _1177775300.unknown _1177775319.unknown _1177775286.unknown _1177774930.unknown _1177775114.unknown _1177775188.unknown _1177775199.unknown _1177775152.unknown _1177774979.unknown _1177775024.unknown _1177774951.unknown _1177774504.unknown _1177774768.unknown _1177774797.unknown _1177774535.unknown _1177774697.unknown _1177774460.unknown _1177774475.unknown _1177774268.unknown _1177771135.unknown _1177771342.unknown _1177771395.unknown _1177771551.unknown _1177771704.unknown _1177772083.unknown _1177772134.unknown _1177771616.unknown _1177771439.unknown _1177771455.unknown _1177771380.unknown _1177771366.unknown _1177771204.unknown _1177771229.unknown _1177771172.unknown _1176362016.unknown _1177771044.unknown _1177771077.unknown _1177771118.unknown _1177771056.unknown _1177770944.unknown _1177770956.unknown _1176362360.unknown _1177770063.unknown _1177770913.unknown _1177770932.unknown _1177770596.unknown _1177770552.unknown _1177770573.unknown _1177770078.unknown _1177770532.unknown _1177600159.unknown _1177600425.unknown _1177600759.unknown _1177600830.unknown _1177600495.unknown _1177600186.unknown _1176387587.unknown _1176362248.unknown _1176362324.unknown _1176362065.unknown _1176359308.unknown _1176359339.unknown _1176359371.unknown _1176361101.unknown _1176361102.unknown _1176359381.unknown _1176359389.unknown _1176359372.unknown _1176359368.unknown _1176359369.unknown _1176359354.unknown _1176359325.unknown _1176359337.unknown _1176359338.unknown _1176359336.unknown _1176359318.unknown _1176359321.unknown _1176359309.unknown _1176359291.unknown _1176359295.unknown _1176359296.unknown _1176359294.unknown _1176359288.unknown _1176359290.unknown _1176359281.unknown _1176359286.unknown _1176359287.unknown _1176359285.unknown _1176359277.unknown