工程数学50pdf第五讲

第五讲 原函数与不定积分 Cauchy积分公式 §3.4 原函数与不定积分  1. 原函数与不定积分的概念  2. 积分计算公式 1. 原函数与不定积分的概念 由§2基本定理的推论知：设f (z)在单连通 区域B内解析，则对B中任意曲线C, 积分C f(z)dz 与路径无关，只与起点和终点有关。 当起点固定在z0, 终点z在B内变动, C f(z)dz 在B内就定义了一个变上限的单值函数，记作 z F (z)  z f ( )d (1) 定理 设f (z)在单连通区域B内解析，则F(z)在 B内解析，且 F ' ( z )  f ( z ) 定义1 若函数 (z) 在区域B内的导数等于f (z) ，即  '(z)  f (z),称 (z)为f (z)在B内的原函数. 上面定理 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明 原函数。 z F ( z )  z f ( )d 是f (z)的一个 设H (z)与G(z)是f (z)的任何两个原函数， [G( z)  H (z)]'  G '(z)  H '(z)  f (z)  f (z)  0 G(z)  H (z)  c, (c为任意常数) (见第二章§2例3) 这表明：f (z)的任何两个原函数相差一个常数。 定义2 设F(z)是f (z)的一个原函数，称F(z)+c(c为 任意常数)为f (z)的不定积分，记作  f ( z)dz  F ( z )  c 2. 积分计算公式 定理 设f (z)在单连通区域B内解析， F(z)是f (z) 的一个原函数，则 z  f (z)dz  F (z1 )  F (z0 ) (z0 , z1  B) z0  公式类似于微积分学中的牛顿－莱布尼兹公式.  但要求函数是解析的,比以前的连续条件强 例1 计算下列积分：    f  (z)dz    f [z(t)]z '(t)dt  1) C 1 dz z 2  C   其中 C为半圆周：z  3, Re z  0, (令z  3ei ) 起点为 · 3i , 终点为 3i; 解1： 1 dz   3iei 1  2 d  2 i d  2i C z2  2 9e2i 3   i 2 解2)  1 在 Re z z2  0，z  0上解析, 故 C 1 dz  z2 1 2  1 z21 3i 2i 3i 3 2) ƒC 1dz z 其中 C为单连通区域 D：   arg z  内 起点为 1, 终点为 z的任意曲线 . 解  1 在D内解析,又 ln z是 1 的一个原函数 z z 故 C 1dz z  ln z · ln1  ln z (z  D). 例3 计算下列积分： z3 2i  i  i  z 2dz i   3 i 3 1 1 zn dz  i  n  1 zn1 i |  n  1  n1   n1   z sin zdz   z cos z  sin z |i 0  0 zd cos z   0  sin i · i cos i 小结 求积分的方法 n (1)  f ( z)dz  lim  f ( k )zk （定义） c n k 1 (2) c f ( z)dz   udx  · vdy  i  vdx  udy （复数一般形式） (3) c f ( z)dz  ƒ f [z(t)]z(t)dt （参方形式） (4) dz  dz  2i n=0（常见公式） C ( z z0 )n+1 z z 0  r ( z  z )n 1 0 n 0 (5)若f ( z)解析, B单连通,闭曲线C  B, 则c f ( z)dz  0 (6)复合闭路定理、闭路变形原理 （C  G定理） (7)若f ( z)在B内解析, B单连通, 则 z z （利用原函数）  f (z)dz  F(z) 1 , F' (z)  f (z) z0 z0 §3.5 Cauchy积分公式 内 容 简 介 利用Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上 的推广,即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解 析函数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析 函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数 的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭 路积分的方法. 分析 设D · 单连通, f ( z)在D内解析, z0  D, C是D内围绕z0的一条闭曲线,则 f ( z) 在z 不解析. f ( z) 一般 dz  0 z  z 0 C z  z 0 0 由复合闭路定理得 , 任意包含 z0 在内部的 D C 曲线 C1  C的内部 z0 f (z) dz f (z) C C z  z  C dz 1 z  z 0 1 0 特别取 C1  {z z  z0   (  0可充分小 )}  f ( z )的连续性 , 在 C上的函数值 f ( z ) 当   0时, f ( z )  f ( z0 ) C ∴猜想积分 D z0 f ( z) dz  f ( z)  0 dz C z  z0 C  z  z0 C1  f (z0 )C 1 dz z  z0  2 if (z0 ) 这个猜想是对的 , 这就是下面的定理 . 定理(Cauchy 积分公式) 特 例 1 d z  2  i 1)设f (z)在D内处处解析 ,  C z  z 0 2)C是D内任意一条正向简单闭 曲线, 它的内部完全含于 D, ( ) 1 f ( z ) 3) z0为C内任意一点  f z 0  2 i C dz z  z 0 证明 设K  {z z  z0  R}  C的内部.  f (z) dz  f ( z) dz与K的半径R无关, C z  z K z  z 0 0 只须证明: lim f (z) dz  2 if (z ). R0 K z  z 0 即要证:   0,   0 ,  z  z0  R   f (z)  dz  2if (z0 )   f (z) K z  z0 f (z) 1  k z  z0 dz  2if (z0 )  k z  z dz  f (z0 )k dz z  z0  f (z)  f (z0 ) dz  f (z)  f (z0 ) ds     2 k z  z K ds z  z0 R K  lim z  z0 f (z)  f (z0 )    0,   0  z  z0  R   f (z)  f (z0 )    lim  f ( z ) dz  2if ( z )  f (z )  1  f (z) dz R  0 K z  z0 0 0 2i C z  z0 (1)若定理条件改为 f ( z )在C所围区域 B 内解析, 及在 C  B  B上连续 , Cauchy (2) 积分公式仍成立. Cauchy 积分公式 表明函数在 C内部任一点的值可以用它在边界的 值来表示 . 即若 f(z)在区域边界上的值一经内部任一处的值也就确 确定, 定了. 则它在区域 (3)若C : z  z0  Rei 则 1 f (z0 )   f (z) dz 2 i C z  z0 i  1 2 f ( z0  Re ) Rie i d 2i 0 1 2  Re i i  2 0 f ( z0  Re )d 一个解析函数在圆心处的值等于它在 圆周上的平均值. 例1 求：1) 1 2i  z 4 sin z dz z 1 2) （  z 4 2 z  3 ）dz 解 1) 1 sin  z d z  sin z  0 2 i z  4 z z0 1 2)  (  2 )dz   dz   2 dz z 4 z  1 z  3 z 4 z  1 z 4 z  3 f (z)1及2  2i 12i 2  6i 例2 求  C 2 z  1 d z z 2  z C 为 包 含 z  1在 内 的 任 意 简 单 正 向 曲 线 . 2z 1 dz  2z  1 dz  2z  1 dz 解 C z2  z C1 z2  z C2 z2  z  2 z  1   2z  1  y       C1 z  1 z dz C z  dz z 1 C C1 C2 C  2z 1 2i 2z 1 x 由 积分公式 z 1 z0  z z1 2i o 1  4 i 例3 设C 表圆周x 2  y2  3, f (z)   3 2  7  1  , 求f '(1  i ). C   z 解 3z2  7z  1在全平面上处处解析， 3 2  7  1  0, z  3  f (z)  C   z d   2 i(3z2  7z  1),z  3 又 f '(z) 0   2 i(6z  7) z  3 z  3 故 f '(1  i)  2 i[6(1  i)  7]  2 (13i · 6) §6 解析函数的高阶导数 内 容 简 介 本节研究解析函数的无穷次可导性，并导 出高阶导数计算公式。研究表明：一个解析函 数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值 也可用函数在边界上的值通过积分来表示。这 一点与实变函数有本质区别。 形式上， 对积分公式f 1 ( z0 )   f ( z) dz( z0  D ) 2 i C z  z0 两边在积分号下对z0求导得 ' ( ) 1 f ( z ) f z0  2 i C ( z  dz z ) 2 2! f (z) f "(z0 )  2i C (z  dz  z )3 f ( n) (z )  n! 2i ƒC (z f (z) · z0 ) n1 dz (n  1,2,) 以下将对这些公式的正确性加以证明。 定理 解析函数f ( z)的导数仍为解析函数, 它的n阶导数为 f ( n ) ( z )  n !  f ( z) dz (n  1, 2,) 0 2 i C ( z  n 1 z0 ) 其中C为在f ( z)的解析区域D内围绕z0的 任意正向简单闭曲线, 而且它的内部  D. 证明 用数学归纳法和导数定义。 先证 n  1的情形 . z0  D f '( z0 )  lim z  0 f (z0  z)  z f (z0 ) 1 f ( z ) 由柯西积分公式 f ( z0 )  2i C dz z  z0 ( ) 1 f (z) f z0  z  2i C z  z0 dz · z f (z0  z)  f (z0 ) 1    f (z) dz ·  f (z)  dz z 2iz  C z  z0 · z C z  z0   1 f ( z) dz 2 i C (z  z · z)(z  z ) 0 0 令为I  1 f (z) dz  1 zf ( z) dz 2 i C (z  z )2 2 i C ( z  z · z )( z  z )2 0 0 0 下证 lim I  0 z0 I  1 zf ( z ) dz 2 C ( z  z · z )( z  z )2  1  0 0 z f ( z) ds 2 C z  z · z z  z 0 0  f (z)在C上解析， f (z)在C上连续 则M,s.t. f (z)  M,(有界).设d  min z  z0 , 取 z  1 d, 则有 z  z0  d , 1 z  z0 1zC  d 注：(z 2  0)，z与z, z0无关 z  z · z  z  z · z  d , 1  2 0 0 2 z  z0 · z d  I  1 z  2 M ds  z M L ( L — C的 长 度 ） 2 C dd 2  d 3 显 然 ，lim I  z  0  0 , 从 而 有 f '(z )  lim f (z0  z)  f (z0 )  1 f (z) dz （*） 0 z0 z 2i C (z  z )2 再利用()式及推导()的方法可证n  2的情形. f ''( z0 )  lim z  0 f '( z0  z )  z f ' ( z0 ) 2! f ( z )  2i C ( z  dz z )3 依次类推，用数学归纳法可得 f ( n ) ( z ) n! f ( z) dz 0  2i C ( z  z )n1 定理表明 f ( z)在z平面上 D内解析  f ( z)在D内 具有各阶导数 ,即在 D内解析 · 无穷次可导 . 一个解析函数的导数仍为解析函数。 用途 : 可计算积分 f ( z ) dz  2i f ( n ) (z ) C ( z  z )n1 n! 0 例1 求下列积分值 C : z  r  1 cos z e z 1)C ( z  dz 1)5 2)C (1  dz z 2 )2 解 1)  cos z在全平面处处解析 cos z dz  2 i (cos z)( 4) C (z  1)5 （5  1）! z1  2 i ( 4 )    i 4! 12 2)  ( z2 ez  1)2 在z  i处不解析.取C1 : z  i  1 C2 : z  i  2 . C1, C2不相交且在C的内部   e 2 2  e e 2 2  2 2 C (1  z ) C1 (1  z ) C2 (1  z ) ez (z  i)2 ez (z  i)2  C (z  i)2 dz  C (z  dz i)2 2i  e z  2i  e z   (2  1)!  (z  i)2  z i  (2  1)!  (z · i)2  z  i   (1  i)   (1  i)iei 2 2   (1  2 i)(ei · iei )   (1  i)2 (cos1  sin1)   i 2 sin(1   ) 2 4 e z 3)求下列积分值 , C : z  r  1, C z n dz n  1, 原式  2i; n  1, 原式  2i 4)求下列积分值 , cos z (n  dz 1)! z  4 z 3 ( z · 1)2 (12 ·  )i 作业 · P100 7(3)(5)(7)(9) 8(1)(2) 9(3)(5) � 0 0 � 1 e 3 |  |    �   0 1 � � 1 1  0 0 0 z  1 �   2 d 0 0 0  2 0 0 0 0 5 z dz  z dz  z dz 1 2        