理论力学—力系的平衡

第3章力系的平衡※结论与讨论※空间力系的平衡方程※平面汇交力系的平衡※平面力偶系的平衡※平面任意力系的平衡条件与平衡方程1.平衡的几何条件001===niiRFF即结论：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的力多边形自行封闭。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。F2F3FRF1AF4F2F3F5F1AF4§3.1平面汇交力系的平衡例题1已知：P，a求：A、B处约束反力。2aPaABCD解：（1）取刚架为研究对象（2）画受力图（3）按比例作图求解FBFAPFBFAPPFB5.0tan==PFPFBA2522=+=由图中的几何关系得2.平面汇交力系解析法==00iiYX平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个坐标轴上投影的代数和等于零。平衡的必要和充分条件是：该力系的合力FR等于零。2222)Y()X(FFFRyRxR+=+=若FR=0,则有(*)(*)式称为平面汇交力系的平衡方程例题2已知：P，a求：A、B处约束反力。2aPaABCD解：（1）取刚架为研究对象（2）画受力图FBxy00=−=cosFP,XA（3）建立坐标系，列方程求解FAPFA25=00=−=sinFF,YABPFB21=BMFAC简易压榨机如图所示，已知：推杆上作用力F，A、B、C三处均为光滑铰链，角度已知。杆重不计。例题3求：托板给物体M的压力。FBCFBAFB解：（1）取销钉B为研究对象00=+−=sin)(,BCBAFFFX00=−=coscos,BABCFFYCFCBFMFNC（2）取挡板C为研究对象0cos,0=−=CBMFFYsin2FFFBABC==解得cot2cosFFFCBM==解得BCFCBF§3.2平面力偶系的平衡若物体在平面力偶系作用下处于平衡，则合力偶矩等于零0=iM反之，若合力偶矩为零，则该力偶系必然处于平衡。由此得到平面力偶系平衡的必要与充分条件是：各力偶矩的代数和等于零。0=iM称为平面力偶系的平衡方程？MaaABCa例题4求：A、C处约束反力。如图所示刚架，上面作用主动力偶M，a已知。自重不计。解：（1）取AB为研究对象（2）取BC为研究对象BCABMFBFCFABF0a2FM,0MA=−=Ma22FFBA==Ma22FFFBBC===请思考可否将此力偶移至BC构件上，再求A、C处约束反力。在此种情况下，A、B、C处的约束反力有无变化。AMCFAFC解：对于整体而言，力偶是平衡的，即A,B两处的力必为一对平衡力，如图。两个尺寸相同的矩形，自重不计。求：A,B处的反力。AMMBCabFAFBFC,FA之间的距离2bad−=然后取矩形AC为研究对象力偶平衡的方程式为00AMFdM=−=g即baMFFBA−==2baMdMFA−==2例题5§3.3平面任意力系的平衡条件与平衡方程FR=0Mo=0′｝()===000OFMYX平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。●几点说明：（1）三个方程只能求解三个未知量；（2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可；（3）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直；（4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。平衡方程1.平面任意力系的平衡方程例题6已知：M=Pa求：A、B处约束反力。2aPaMABCDFAxFAyFBxy解法1:=−−=020PaMaF,)(MBAFPFB=(2)画受力图(3)建立坐标系,列方程求解(1)取刚架为研究对象00=+=PF,XAxPFAx−=00=+=BAyFF,YPFAy−==++==−−==+=02002000MPaaF,)(MPaMaF,)(MPF,XAyBBAAxFF2aPaMABCDFAxFAyFB解法2PFPFPFBAyAx=−=−=解上述方程，得解法3PF,PF,PFBAyAx=−=−=解上述方程，得020020020=−+==++==−−=MaFaF,)(MMPaaF,)(MPaMaF,)(MBAxCAyBBAFFF===0)(,0)(,0)(FFFCBAMMM（A、B、C三点不得共线）（x轴不得垂直于A、B两点的连线）===0)(,0,0FAMYX===0)(,0)(,0FFBAMMX平面任意力系平衡方程的三种形式基本形式二力矩式三力矩式FRBAx是否存在三投影式？===000321XXX分布荷载的合力及其作用线位置q(x)荷载集度PdPdP=q(x)dx==ldxxqdPP0)(==lxdxxqxdPPh0)(q(x)AB合力大小：由合力之矩定理：=lldxxqxdxxqh00)()(合力作用线位置：hxdxlx☆两个特例(a)均布荷载Ph(b)三角形分布荷载Phlq0ql==lqldxxqP0)(2)()(00ldxxqxdxxqhll==xlqxq0)(=xxlqxdxlqdxxqPll000021)(===32)()(00ldxxqxdxxqhll==解：取AB梁为研究对象=−−=020cosFllqlM,)(MAAFcosFqlFAy+=例题7悬臂梁如图所示，上面作用均部荷载q和集中荷载F。求固定端的反力。PP00=+=sinFF,XAxsinFFAx−=00=−−=cosFqlF,YAy221qlcosPlMA+=AlBFqAlBFqFAxFAyMA0230=−=MFa,)(MCAFaMFC332=解：取三角形板ABC为研究对象FDECBAaaaMPFAFBFCPACaaaMB02230=−−=aPMFa,)(MABF02230=+−=aPMFa,)(MBCF3332PaMFB−=3332PaMFA+=一等边三角平板重为P，上面作用已知力偶M。用三根无重杆通过铰链连接，如图所示。求：三杆对三角平板ABC的约束反力。例题8yxo==0)(0FoMY（A、B两点的连线不得与各力平行）==0)(0)(FFBAMMF3F2F1Fn0X二个方程只能求解二个未知量二力矩式2.平面平行力系的平衡方程===0)(,0,0FAMYX平面任意力系的基本形式假设所有的力都平行于y轴，则有解：取梁ABCD为研究对象01210=−−=FFP,(F)MNABN3750=NBF图示外伸梁，受到三角形荷载q=1kN/m，以及集中荷载F=2kN，求：A、B支座反力。例题9kN.qlP5121==其中N250−=NAF00=−−+=PFFF,YNBNAD1m2m1mABCFqPFNBFNAAFBFAB2m2m6m12mG1G2G3塔式起重机如图所示。机架重G1=700kN，作用线通过塔架的中心。最大起重量G2=200kN，最大悬臂长为12m，轨道AB的间距为4m。平衡荷重G3到机身中心线距离为6m。试问：(1)保证起重机在满载和空载时都不翻倒，求平衡荷重G3应为多少?(2)当平衡荷重G3=180kN时，求满载时轨道A，B给起重机轮子的约束力？例题10解：取塔式起重机为研究对象，受力分析如图所示。满载时不绕B点翻倒，临界情况下FA=0，可得()0=FBM()()0m2m12m2m2m6213=−−++GGGminkN753=minG(1)起重机不翻到AFBFAB2m2m6m12mG1G2G3空载时，G2=0，不绕A点翻倒，临界情况下FB=0，可得()0=FAM则有75kN＜G3＜350kN()0m2m2m613=−−GGmaxkN3503=maxG()0=FAMkN210kN870==ABFF列平衡方程解方程得(2)取G3=180kN，求满载时轨道A，B给起重机轮子的约束力。()()0m4m2m12m2m2m6213=++−+−BFGGG00213=++−−−=BAyFFGGGFABqC2a4aGM如图所示水平梁AB，梁的跨度为4a，自重G作用在梁的中点C。梁AC段上作用均布荷载q，梁的BC段上作用力偶M=Ga。求A和B处的约束力。例题11FBFAxFAy解：以水平横梁AB为研究对象。00==AxFX,()0,42203142ABBMFFaGaqaaMFGqa=−−−==+0,20342AyBAyYFqaGFGFqa=−−+==+PADEBCrFBxFByFAPADEBCaara构架如图，已知：a=4m，r=1m，P=12kN求：A、B处的反力。例题12解：取图示部分为研究对象()=0FMB043=−.FPA9AFkN==0X0=−BxAFFkNFFABx9===0Y0=−PFBykNPFBy12==PADEBCaar45°FTEPADBrFAxFAyFB45°构架如图，已知：a=4m，r=1m，P=12kN求：A、B处的反力。例题13解：取梁和滑轮D为研究对象()=0FMA()0452=+−+raPrFsinaFTEBokNFB26==0X045=−−ocosFFFBTEAxkNFAx18==0Y045=+−osinFPFBAykNFBy6=PAqaaaaBPAqBFAxFAyMAF1F2构架如图，已知：a=3m，q=4kN/m，P=12kN求：A处的反力。例题14解：取刚架AB为研究对象其中F1＝12kN，F2=6kN()=0FMA015121=+−+F.FPaMAm.kNMA24==0X021=++FFFAxkNFAx18−==0Y0=−PFAykNFAy12=xyPABCD60°30°30°FBAFBC求：BA、BC杆的内力。例题15已知：图示简易起重架，吊重P＝20kN，若不计杆重及滑轮B的尺寸，解：取滑轮B为研究对象B30°PFD30°=0Xoocos30cos300BADFFP−++=kNcosPFBA320302==o=0Y03030=−−oosinPFsinFBCD0=BCFyx90°45°30°60°F1F2ABCD90°45°F2BFBAFBC30°60°F1CFCBFCD求：F1、F2的关系。例题16已知：铰接连杆机构，在图示位置处于平衡状态，杆重不计。解：取销钉B为研究对象沿x轴投影，得0452=−ocosFFBC22BCFF=取销钉C为研究对象沿y轴投影，得0301=−CBFcosFo321BCFF=又因为，FBC=FCB1283FF=DBMFACFNCFBA解：取图示部分为研究对象()=0FMD02=−cosFasinaFMcotFFM21=假设BC＝aBFCEFM例题17简易压榨机如图所示，已知：推杆上作用力F，A、B、C三处均为光滑铰链，角度已知。杆重不计。求：托板给物体M的压力。另解例题3。MABDCaaaaMBCFBFCFDADCFA解：取弯杆BC为研究对象0=M0=−aFMCaMFC==0X045=−CAFcosFoaMFA2=取T形杆ADC为研究对象CF求：A处的反力。例题18图示组合构架，弯杆BC上作用一力偶M§3.4空间力系的平衡方程1.空间汇交力系的平衡方程空间汇交力系平衡的必要与充分条件为该力系的合力等于零0000XYZ=====RFF空间力偶系平衡的必要与充分条件为该力偶系所有力偶矩的矢量和等于零0000xyzMMM====M2.空间力偶系的平衡方程平衡条件：FR=0Mo=0′======0)(0)(0)(000FFFzyxMMMZYX平衡方程:空间平行力系===0)(0)(0FMFMZyx平面任意力系===0)(00FMYXz3.空间任意力系的平衡方程4.空间平行力系的平衡方程空间铰接结构形如正角锥，各棱边与底面都成倾角θ。B，C处是活动球铰链支座，D处是固定球铰链支座。顶点A的球铰链承受载荷F，不计各杆自重，试求各支座的约束反力和各杆的内力。例题19解：建立如图坐标系Bxyz，其中y轴平分∠CBD。由于ABCD是正角锥，所以AB与y轴的夹角为θ。cosABABFF=cosACACFF=cosADADFF=三杆内力在坐标面Bxy上投影1.取球铰链A为研究对象,受力分析如图。为求各力在轴x，y上的投影，可先向坐标面Bxy上投影，然后再向轴上投影。,30coscosACACxFF=30sincosACACyFF=,30coscosADADxFF−=30sincosADADyFF=力FAC和FAD在轴x，y上的投影：030coscos30coscos=−ADACFF0cos30sincos30sincos=−+ABADACFFF()0sin=−++−FFFFABADAC3.联立求解。sin3FFFFADACAB−===负号表示三杆都受压力。,0=X,0=Y=,0Z2.列平衡方程。联立求解得sin3FFFABBA−==030sin30sin=−BDBCFF,0=X0sin=+BBAFF0cos30cos30cos=++BABDBCFFF,0=Y=,0Z3FFB=cot93FFFBDBC==4.取球铰链B为研究对象,列平衡方程。3FFFDC==cot93FFCD=5.同理，再取球铰链C和D为研究对象，可求得：镗刀杆的刀头在镗削工件时受到切向力Fz，径向力Fy，轴向力Fx的作用。各力的大小Fz=5000N，Fy=1500N，Fx=750N，而刀尖B的坐标x=200mm，y=75mm，z=0。如果不计刀杆的重量，试求刀杆根部A的约束反力的各个分量。例题20xzyABFAxFxMAxFAyFAzMAyMAzFyFz刀杆根部是固定端，约束反力是任意分布的空间力系，通常用这个力系向根部的A点简化的结果表出。一般情况下可有作用在A点的三个正交分力和作用在不同平面内的三个正交力偶。解：1.取镗刀杆为研究对象,受力分析如图。,0=X0=−xAxFF,0=Y0=−yAyFF,0=Z0=−zAzFF0.075m0AxzMF−=,0=xM,0=yM0.2m0AyzMF+=,0=zM0.075m0.2m0AzxyMFF+−=3.联立求解。,N750=AxF,N5001=AyFN0005=AzF,mN375=AxM,mN0001−=AyMmN8.243=AzMxzyABFAxFxMAxFAyFAzMAyMAzFyFz2.列平衡方程。已知：Q=100kN，P=20kN，等边△ABC边长a=5m，HD＝l=3.5m，=30°,ED＝AD/3求：各轮的点面反力。又当=0°时，最大载重Pmax是多少。例题21解:取起重机为研究对象FAFCFB0=)F(MyFA=26.3kN0=)F(Mx00=−−++=QPFFF,ZCBAFC=43.4kN0cos30cos30sin30cos03AaFaQPl−+=oo030222=+++−−)sinsinla(PaQaFaFBAFB=50.3kNCABEHDyxPAB,CDQHz30°解:取起重机为研究对象CABEHDxyPAB,CDQHzFAFCFB0()0,cos30cos30sin30cos03()0,(sin30sin)02220,0yAxABABCaMFFaQPlaaaMFFFaQPlZFFFPQ=−+==−−+++==++−−=ooo解得:FA=19.3kN，FB=53.9kN，FC=46.8kN（2）当=0°，由上面第一个方程得：32cos30AQPlFa=−o为确保安全，必须：FA≥082.4kNP例题22如图所示匀质长方板由六根直杆支持于水平位置，直杆两端各用球铰链与板和地面连接。板重为G，在A处作用一水平力F，且F=2G。杆重不计，求各杆的内力。2.列平衡方程。6123,01.5,F222GFFFGG=−===−综上，有解：1.取板为研究对象，受力分析如图。()660,0,22ABaGMFaGF=−−==−F()30,0AEMF==F()40,0ACMF==F()611220,0,02EFaaMGFaFFab=−−−==+F()2230,0,22FGaGMFGFbFbF=−+−==−()o2330,cos45b0,222BCbMFGFbFFG=−−−==−结论与讨论1、平面汇交力系平衡的几何条件为力多边形自行封闭。平衡方程为2、平面力偶系的平衡方程为ΣM=0一个独立方程，可求解一个未知量。本章讨论了平面汇交力系、平面力偶系、平面平行力系、平面任意力系、空间汇交力系、空间力偶系、空间平行力系及空间任意力系的平衡。==0Y0X应用几何条件或平衡方程都可求解两个未知量。3、平面平行力系平衡方程为==0)(M0Y0F5、空间汇交力系的平衡方程是ΣX=0，ΣY=0，ΣZ=0。三个独立方程，可以解三个未知量。两个独立方程，可解两个未知量。4、平面任意力系的平衡方程为ΣX=0，ΣY=0，ΣM0(F)=0。三个独立的方程，可以解三个未知量。它还有二矩式、三矩式，须注意应用条件。8、空间任意力系的平衡方程是ΣX=0，ΣY=0，ΣZ=0，ΣMx(F)=0，ΣMy(F)=0，ΣMz(F)=0。六个平衡方程，可以解六个未知量。6、空间力偶系的平衡方程是ΣMix=0，ΣMiy=0，ΣMiz=0。三个独立方程，可以解三个未知量。7、空间平行力系的平衡方程是ΣZ=0，ΣMx(F)=0，ΣMy(F)=0。三个独立方程，可以解三个未知量。9、各种力系平衡方程一览表ΣX=0ΣY=0ΣM=0ΣY=0ΣM0(F)=0ΣX=0ΣY=0ΣM0(F)=0ΣX=0ΣY=0ΣZ=0ΣMix=0ΣMiy=0ΣMiz=0ΣZ=0ΣMx(F)=0ΣMy(F)=0ΣX=0ΣY=0ΣZ=0ΣMx(F)=0ΣMy(F)=0ΣMz(F)=0平衡方程汇交力偶平行任意汇交力偶平行任意平面空间力系