初等数论期末考试模拟试卷（含答案）班别_________姓名___________成绩_____________要求：1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为1.5小时。2、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。3、考生只允许在密封线以外答题，答在密封线以内的将不予评分。4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制
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等除外）。5、考生禁止携带手机、耳麦等通讯器材。否则，视为为作弊。6、不可以使用普通计算器等计算工具。一、单项选择题(每题3分，共18分)1、如果，，则().ABCD2、如果，，则15（）.A整除B不整除C等于D不一定3、在整数中正素数的个数（）.A有1个B有限多C无限多D不一定4、如果,是任意整数,则ABCD5、如果(),则不定方程有解.ABCD6、整数5874192能被()整除.A3B3与9C9D3或9二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的
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是（）.2、同余式有解的充分必要条件是().3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为().4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者().5、的公倍数是它们最小公倍数的().6、如果是两个正整数,则存在()整数,使,.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程.3、解同余式.求,其中563是素数.四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数,数是整数.2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和.试卷答案一、单项选择题(每题3分，共18分)1、D.2、A3、C4、A5、A6、B二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式有解的充分必要条件是().3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为().4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者(与互素).5、的公倍数是它们最小公倍数的(倍数).6、如果是两个正整数,则存在(唯一)整数,使,.三、计算题(每题8分，共32分)求[136,221,391]=?（8分）解[136,221,391]=[[136,221],391]=[]=[1768,391]------------(4分)==104391=40664.------------（4分）2、求解不定方程.（8分）解：因为（9，21）=3，，所以有解；----------------------------（2分）化简得；-------------------（1分）考虑，有，-------------------（2分）所以原方程的特解为，-------------------（1分）因此，所求的解是。-------------------（2分）3、解同余式.（8分）解因为(12,45)=3¦5,所以同余式有解,而且解的个数为3.--------（1分）又同余式等价于,即.------------（1分）我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),----------（2分）即定理4.1中的.------（1分）因此同余式的3个解为,---------（1分）,-----------------（1分）.---------（1分）4、求,其中563是素数.（8分）解把看成Jacobi符号,我们有---------------（3分）----------------------（2分）,-----------------（2分）即429是563的平方剩余.---------------（1分）四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数,数是整数.(10分)证明因为==,------（3分）而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数,-（2分）并且(2,3)=1,-----（1分）所以从和有,-----（3分）即是整数.-----（1分）2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.（11分）证明因为,-------------（3分）所以只需证明.而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,所以这只需将n=0,±1,±2代入分别得值1，7，1，19，7.对于模5,的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余,所以---------（7分）所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。--------（1分）3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和.（11分）证明设是正数,并且,-----（3分）如果,---------（1分）则因为对于模4,只与0,1,2,-1等同余,所以只能与0,1同余,所以,---------（4分）而这与的假设不符,-------（2分）即定理的结论成立.---（1分）
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