三角形的“五心”典型50题（含解析）印刷版

1三角形的“五心”典型50题知识点总结：1．三角形的五心外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等；重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；旁心：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心；三角形有三个旁心．2．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 ：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．2 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 训练：一．选择题（共12小题）1．已知AD，BE，CF为△ABC的三条高，H为△ABC的垂心，则H为△DEF的（）A．垂心B．重心C．外心D．内心2．三个等圆O1，O2，O3有公共点H，点A、B、C是其他交点，则H是三角形ABC的（）A．外心B．内心C．垂心D．重心3．以Rt△ABC的两条直角边AB、BC为边，在三角形ABC的外部作等边三角形ABE和等边三角形BCF，EA和FC的延长线相交于点M，则点B一定是三角形EMF的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心4．如图，已知直线MN∥AB，把△ABC剪成三部分，点C在直线AB上，点O在直线MN上，则点O是△ABC的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心5．课本第5页有这样一个定义“三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心”．现在我们继续定义：①三角形三边上的高线的交点叫做三角形的垂心；②三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心；③三角形三边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心．在三角形的这四“心”中，到三角形三边距离相等的是（）A．重心B．垂心C．内心D．外心6．如图，已知△ABC的三个顶点分别在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，那么△ABC的（）也一定在该函数图象上．A．重心B．内心C．外心D．垂心37．如图，锐角△ABC的垂心为H，三条高的垂足分为D、E、F，则H是△DEF的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心8．在△ABC中，两中线AD与CF相交于点G，若∠AFC＝45°，∠AGC＝60°，则∠ACF的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°9．在△ABC中，∠A是钝角，H是垂心，AH＝BC，则∠BHC＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°10．如图，已知锐角三角形ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆半径，则∠BAC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°11．如图，已知H是△ABC的垂心，△ABC的外接圆半径为R，△BHC的外接圆半径为r，则R与r的大小关系是（）A．R＝rB．R＞rC．R＜rD．无法确定12．在△ABC中，∠A＝45°，BC＝a，高BE、CF交于点H，则AH＝（）A．B．C．aD．二．填空题（共18小题）13．在△ABC中，已知AB＝5，CA＝7，BC＝6，H为垂心，则AH＝．14．在△ABC中，若AB＝5，BC＝6，CA＝7，H为垂心，则AH＝．15．若△ABC的外接圆半径为2，H是△ABC垂心，则△HAB的外接圆半径长是416．O是△ABC的内切圆圆心，∠C＝90°，∠BOC＝105°，BC＝20cm，则AC长为cm．17．O是锐角△ABC的外心，AO，BO，CO分别交对边于L，M，N，则++＝．18．锐角△ABC的顶点A到垂心H的距离等于外接圆半径，则∠A的度数为．19．一个锐角△ABC，∠BAC＝60°，三点H、O、I分别是△ABC的垂心、外心和内心，若BH＝OI，则∠ACB＝．20．在△ABC中，AB＝10，AD是BC边上的高，已知AD＝BD，点H、O分别是△ABC的垂心和外心，则HO的最小长度为．21．设凸四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，△OAB，△OBC，△OCD，△ODA的重心分别为E，F，G，H，则SEFGH：SABCD＝．22．在半径为1的⊙O中内接有锐角△ABC，H是△ABC的垂心，角平分线AL垂直于OH，则BC＝．23．如图，I是△ABC的内心，且CA+AI＝BC．若∠BAC＝80°，则∠ABC的大小为，∠AIB的大小为．24．如图，O，H分别为△ABC的外心和垂心，O到BC边的距离为2，H到BC边的距离为HE＝3，则BC边上的高为．25．如图，在△ABC中M为垂心，O为外心，∠BAC＝60°，且△ABC外接圆直径为10，则AM＝．26．如图，ADCFBE是某工厂车间的一种剩余残料，且∠ACB＝90°，现需要利用这块残料在△ABC的外部制作3个等边△ADC、△CBF、△ABE的内切圆⊙O1、⊙O2、⊙O3，若其中最大圆⊙O3的半径为0.5米，可使生产成本节约3元（节约成本与圆面积成正比），照此计算，则10块这样的残料可使生产成本5节约元．27．如图，I是Rt△ABC（∠C＝90°）的内心，过I作直线EF∥AB，分别交CA、CB于E、F．已知EI＝m，IF＝n，则用m、n 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示S△ABC＝．28．如图，锐角三角形ABC内接于半径为R的⊙O，H是三角形ABC的垂心，AO的延长线与BC交于点M，若OH⊥AO，BC＝10，OA＝6，则OM的长＝．29．如图，已知锐角△ABC的外接圆半径等于2，∠BAC＝60°，O、H分别为△ABC的外心和垂心，连接OH与BC的延长线交于点P，则OH•OP＝．30．已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1、B1、C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点，若点B在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC等于．三．解答题（共20小题）631．若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形．32．AB，AC切⊙O于B，C，过OA与BC的交点M任作⊙O的弦EF．求证：（1）△AEF与△ABC有公共的内心；（2）△AEF与△ABC有一个旁心重合．33．已知△ABC的三边分别为7，24，25．（1）求这个三角形外心与重心之间的距离；（2）以这个三角形的最大角的顶点为圆心作一圆与最长边相切，求这个圆的直径之长．34．△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，若O是△ABC的外心，G是重心，I是内心．求OI+OG+IG的值．35．设△ABC的垂心为H，BC、AH中点为M、N，以AH为直径的圆交MN于点P，求证：AP平分∠BAC．736．在△ABC中，外接圆圆心为O，重心为G，垂心为H，求证：三点O，G，H共线且OG＝GH．37．如图，在锐角△ABC中，AB＞AC，∠BAC＝60°，O、H分别是△ABC的外心、垂心，直线OH分别与AB、AC交于点P、Q，证明：PO＝HQ．38．如图，在△ABC中，AB＞AC，O，I分别是△ABC的外心和内心，且满足AB﹣AC＝2OI．求证：OI∥BC．39．如图所示，I为△ABC的内心，M为BC的中点，四边形IQDM为平行四边形，求证：∠QMD＝90°．840．如图所示，已知锐角△ABC的外接圆半径R＝1，∠BAC＝60°，△ABC的垂心和外心分别为H、O，连接OH、BC交于点P（1）求凹四边形ABHC的面积；（2）求PO•OH的值．41．如图，△ABC的三边满足关系BC＝（AB+AC），O、I分别为△ABC的外心、内心，∠BAC的外角平分线交⊙O于E，AI的延长线交⊙O于D，DE交BC于H，求证：（1）AI＝BD；（2）OI＝AE．42．如图，H是锐角△ABC的垂心，O为△ABC的外心，过O作OD⊥BC，垂足为D．（1）求证：AH＝2OD；（2）若AO＝AH，求∠BAC的度数．943．已知△ABC中，H为垂心，O为外心，OM⊥BC，求证：AH＝2OM．44．如图，AD为锐角△ABC的高线（AC＞AB），H为线段AD上一点，连结BH，CH并延长分别交三角形的边于点E，F，且∠ABE＝∠ACF，求证：H为△ABC的垂心．45．已知△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，O、I、H分别是△ABC的外心、内心和垂心，求证：（1）OI＝IH＝HC；（2）AO＝AH．46．如图，已知P为△ABC内一点，且∠PAB＝∠PCB，∠PBC＝∠PAC，求证：P为△ABC的垂心．1047．如图，四边形ABCD内接于圆，对角线AC、BD交于点G，I1、I2、I3分别为△ADC、△BDC、△ABG的内心．证明：I3G⊥I1I2．48．如图，⊙O1与⊙O2交于P、Q两点，且⊙O2经过点O1，A是⊙O1的优弧上任一点，AP、AQ的延长线与⊙O2分别交于点B、C．证明：O1为△ABC的垂心．49．设D是△ABC的边BC上一点，但不是中点，设O1和O2分别是△ABD和△ADC的外心，求证：△ABC的中线AK的垂直平分线过线段O1O2中点．50．如图，直线l分别交△ABC的边AB、AC于点p、Q，若+＝1．则直线1必过△ABC的（）并给予证明．（A）内心；（B）外心；（C）重心；（D）垂心．11三角形的“五心”典型50题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．已知AD，BE，CF为△ABC的三条高，H为△ABC的垂心，则H为△DEF的（）A．垂心B．重心C．外心D．内心【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】先画出示意图，然后根据三条高的已知条件可以推出A、F、D、C四点共圆，A、F、H、E四点共圆，C、D、H、E四点共圆，于是∠FEH＝∠FHA＝∠DCH＝∠DEH，说明EH是∠DEF的角平分线，同理可证DH、FH均为角平分线，说明点H是△DEF三条角平分线的交点，也就是内心．【解答】解：如图，∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠AFC＝∠ADC＝90°，∠AFH＝∠AEH＝90°，∠CDH＝∠CEH＝90°，∴A、F、D、C四点共圆，A、F、H、E四点共圆，C、D、H、E四点共圆，∴∠FEH＝∠FAH＝∠FCD＝∠DEH，即EH平分∠FED，同理DH平分∠FDE，FH平分∠EFD，∴H为△DEF的内心．故选：D．2．三个等圆O1，O2，O3有公共点H，点A、B、C是其他交点，则H是三角形ABC的（）A．外心B．内心C．垂心D．重心【分析】延长AE交BC于E点，延长CH交AB于F点，根据两等圆相交所得的对应弧相等得到∠1所对的弧BH与∠4所对的弧BH为等弧；∠2所对的弧CH与∠5所对的弧CH为等弧；∠3所对的弧AH与∠6所对的弧AH为等弧，根据圆周角定理得∠1＝∠4，∠2＝∠5，∠3＝∠6，再利用三角形内角和定理得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝180°，则∠2+∠3+∠4＝90°，∠1+∠3+∠2＝90°，于是AE12⊥BC，CF⊥AB，然后根据垂心的定义进行判断．【解答】解：延长AH交BC于E点，延长CH交AB于F点，如图，∵三个等圆O1，O2，O3有公共点H，∴∠1所对的弧BH与∠4所对的弧BH为等弧；∠2所对的弧CH与∠5所对的弧CH为同弧；∠3所对的弧AH与∠6所对的弧AH为同弧，∴∠1＝∠4，∠2＝∠5，∠3＝∠6，∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝180°，∴2∠2+2∠3+2∠4＝180°，2∠1+2∠3+2∠2＝180°，∴∠2+∠3+∠4＝90°，∠1+∠3+∠2＝90°，∴AE⊥BC，CF⊥AB，∴点H为△ABC的垂心．故选：C．3．以Rt△ABC的两条直角边AB、BC为边，在三角形ABC的外部作等边三角形ABE和等边三角形BCF，EA和FC的延长线相交于点M，则点B一定是三角形EMF的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心【分析】先利用直角三角形和等边三角形的性质得出∠CBE＝∠FBE＝150°，从而得出△CBE≌△FBE，再用全等三角形的性质得出CE＝FE，∠FEB＝∠CEB，进而得出BE⊥CF于G，即：EG是△MEF的边FM上的高，同理得出FH是△MEF的边EM上的高，即可．【解答】解：如图，13连接CE，AF，延长EB交MF于G，延长FB交ME于H，∵以Rt△ABC的两条直角边AB，BC为边作等边△ABE和等边△BCF，∴∠CBE＝90°+60°＝150°，∠FBE＝360°﹣90°﹣60°﹣60°＝150°，在△CBE与△FBE中，，∴△CBE≌△FBE（SAS）；∴CE＝FE，∠FEB＝∠CEB，∴BE⊥CF于G，∴EG是△MEF的边FM上的高，同理：FH是△MEF的边EM上的高，∴点B是△MEF的三边的高，即：点B是△MEF的垂心．故选：A．4．如图，已知直线MN∥AB，把△ABC剪成三部分，点C在直线AB上，点O在直线MN上，则点O是△ABC的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心【分析】先在图1中，利用平行线间的距离处处相等，判断出OD＝OE＝OF，再由裁剪判断出OD＝OD'，OE＝OE'，OF＝OF'，即可得出OD'＝OE'＝OF'即可．【解答】解：如图1，14过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F∵MN∥AB，OD＝OE＝OF（夹在平行线间的距离处处相等）如图2，过点O作OD'⊥BC于D'，作OE'⊥AC于E'，作OF'⊥AB于F'，由裁剪知，OD＝OD'，OE＝OE'，OF＝OF'，∴OD'＝OE'＝OF'，∴图2中的点O是三角形三个内角的平分线的交点，∴点O是△ABC的内心，故选：C．5．课本第5页有这样一个定义“三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心”．现在我们继续定义：①三角形三边上的高线的交点叫做三角形的垂心；②三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心；③三角形三边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心．在三角形的这四“心”中，到三角形三边距离相等的是（）A．重心B．垂心C．内心D．外心【分析】根据重心，垂心，内心，外心的定义和性质直接判断，得出结论．【解答】解：内心是三角形的三条内角平分线的交点，而角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以在三角形的四“心”中，到三角形三边距离相等的是内心；到三个顶点的距离相等的是外心．故选：C．6．如图，已知△ABC的三个顶点分别在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，那么△ABC的（）也一定在该函数图象上．15A．重心B．内心C．外心D．垂心【分析】结论：△ABC的垂心也一定在该函数图象上；：因为A、B、C都在y＝上，所以可设A、B、C的坐标依次是：（a，）、（b，）、（c，）．令H的坐标为（x，y）．想办法证明xy＝k即可解决问题；【解答】解：结论：△ABC的垂心也一定在该函数图象上；理由：∵A、B、C都在y＝上，∴可设A、B、C的坐标依次是：（a，）、（b，）、（c，）．令H的坐标为（x，y）．容易得出：AB的斜率＝＝﹣，BC的斜率＝＝﹣，AH的斜率＝，CH的斜率＝，∵AH⊥BC，CH⊥AB，∴＝，＝，∴a•＝c•，∴（k﹣ay）（c﹣x）＝（k﹣cy）（a﹣x），∴ck﹣kx﹣acy+axy＝ak﹣kx﹣acy+cxy，∴（a﹣c）xy＝（a﹣c）k．16显然，a﹣c≠0，∴xy＝k，即：y＝．∴点H（x，y）在反比例函数y＝的图象上．故选：D．7．如图，锐角△ABC的垂心为H，三条高的垂足分为D、E、F，则H是△DEF的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心【分析】根据垂心的定义可得四点共圆：BE丄AC，CF丄AB，四点B、C、E、F共圆，HD丄BD，HF丄BF，则四点C、D、H、E共圆，进一步利用圆周角定理得出：∠EBF＝∠FCE，∠HBF＝∠FDH，∠HDE＝∠HCE，证得DA平分∠EDF即可．【解答】解：∵BE丄AC，CF丄AB，∴四点B、C、E、F共圆（以BC为直径），∴∠EBF＝∠FCE，∵HD丄BD，HF丄BF，∴四点B、D、H、F共圆（以BH为直径），∴∠HBF＝∠FDH，同理，四点C、D、H、E共圆，（以CH为直径），∠HDE＝∠HCE，∴∠HDE＝∠HDF，17∴DA平分∠EDF即可．同理可证EB平分∠DEF，FC平分∠EFD，∴H是△DEF的角平分线的交点，∴H是△DEF的内心．故选：C．8．在△ABC中，两中线AD与CF相交于点G，若∠AFC＝45°，∠AGC＝60°，则∠ACF的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】首先由重心的性质得＝2，作CE⊥AG于点E，连接EF，易得∠ECG＝30°，得GE＝GF，∠FGE＝120°，那么∠GFE＝∠FEG＝30°，EF＝EC，由∠EFA＝45°﹣30°＝15°，∠FAD＝∠AGC﹣∠AFC＝15°，得AE＝EC，由等腰直角三角形的性质得∠ACE＝45°，得∠ACF的度数．【解答】解：∵点G是△ABC的重心，∴＝2，作CE⊥AG于点E，连接EF，∴△CEG是直角三角形，∵∠EGC＝60°，∴∠ECG＝30°，那么EG＝CG＝GF，∴GE＝GF，∠FGE＝120°，∴∠GFE＝∠FEG＝30°，而∠ECG＝30°，∴EF＝EC，∵∠EFA＝45°﹣30°＝15°，∠FAD＝∠AGC﹣∠AFC＝15°，∴∠FAD＝∠EFA，∴EF＝AE，∴AE＝EC，∵△AEC是等腰直角三角形，∴∠ACE＝45°，∴∠ACF＝∠ACE+∠ECF＝30°+45°＝75°，18故选：D．9．在△ABC中，∠A是钝角，H是垂心，AH＝BC，则∠BHC＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】先画出几何图形，易得∠AEH＝90°，∠ADB＝90°，根据等角的余角相等得到∠1＝∠2，根据“AAS”可判断△HAE≌△BCE，则HE＝BE，于是得到△HEB为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到∠BHC＝45°．【解答】解：如图，AD、CE、BF为△ABC的高，H点为三条高线的交点，即H是垂心，∵AD、CE为△ABC的高，∴∠AEH＝90°，∠ADB＝90°，∴∠1＝∠2，∵在△HAE和△BCE中，∴△HAE≌△BCE（AAS），∴HE＝BE，∴△HEB为等腰直角三角形，∴∠BHC＝45°．故选：B．1910．如图，已知锐角三角形ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆半径，则∠BAC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】利用直径所对的圆周角的性质和垂心的性质判断出AH∥CD，CH∥AD，进而判断出CD＝R，再判断出△COD是等边三角形，即可得出结论．【解答】解：如图，设△ABC的外接圆的半径为R，连结BO并延长交圆O于点D，连结OC，AD，CD，CH，∵点O是△ABC的外心，∴BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∴CD⊥BC，∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，∴AH∥CD，同理：AD∥CH，∴四边形AHCD是平行四边形，∴CD＝AH＝R，∵点O是△ABC的外接圆的圆心，∴OC＝OD＝R，∴OC＝OD＝CD＝R，∴△OCD是等边三角形，∴∠BDC＝60°，20∴∠BAC＝∠BDC＝60°，故选：C．11．如图，已知H是△ABC的垂心，△ABC的外接圆半径为R，△BHC的外接圆半径为r，则R与r的大小关系是（）A．R＝rB．R＞rC．R＜rD．无法确定【分析】先判断出ABC的外接圆的半径等于△BGC的外接圆的半径，得出△BGC的外接圆半径为R，再判断出∠CBE＝∠CBG，同理：∠BCF＝∠BCG，进而得出△BCH≌△BCG（ASA），得出△BHC的外接圆的半径等于△BGC的外接圆的半径，即△BHC的外接圆半径为r，即可得出结论．【解答】解：如图，延长AD交△ABC的外接圆于G，连接BG，CG，∴△ABC的外接圆的半径等于△BGC的外接圆的半径，∵△ABC的外接圆半径为R，∴△BGC的外接圆半径为R，∵点H是△ABC的垂心，∴AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠CAD+∠ACB＝90°，∠CBE+∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠CBE，∵∠CBG＝∠CAD，∴∠CBE＝∠CBG，同理：∠BCF＝∠BCG，21在△BCH和△BCG中，，∴△BCH≌△BCG（ASA），∴△BHC的外接圆的半径等于△BGC的外接圆的半径，∵△BHC的外接圆半径为r，∴△BGC的外接圆的半径为r，∴R＝r，故选：A．12．在△ABC中，∠A＝45°，BC＝a，高BE、CF交于点H，则AH＝（）A．B．C．aD．【分析】根据∠BAC＝45°判断△FAC为等腰直角三角形，得出AF＝FC，利用互余关系证明∠FHA＝∠FBC，可证△FAH≌△FCB，从而得出AH＝BC．【解答】解：如图，在Rt△ACF中，∠FAC＝45°，则AF＝FC，又∠FHA+∠FAH＝∠ABG+∠FAH＝90°，故∠FHA＝∠FBC，可证△FAH≌△FCB，所以，AH＝BC＝a．故选C．二．填空题（共18小题）13．在△ABC中，已知AB＝5，CA＝7，BC＝6，H为垂心，则AH＝．【分析】设AE＝x，BD＝y，则EC＝7﹣x，DC＝6﹣y，在Rt△ABE和Rt△BCE中利用勾股定理建立等式解出x的值，在Rt△ABD和Rt△ADC中，利用勾股定理建立等式解出y的值，在Rt△ABD中求出AD的值，然后利用△AHE∽△ACD，得出＝，这样即可解出AH的长度．【解答】解：设AE＝x，BD＝y，则EC＝7﹣x，DC＝6﹣y，22在Rt△ABE和Rt△BCE中，AB2﹣AE2＝BC2﹣EC2，即25﹣x2＝36﹣（7﹣x）2，解得：x＝；在Rt△ABD和Rt△ADC中，AB2﹣BD2＝AC2﹣DC2，即25﹣y2＝49﹣（6﹣y）2，解得：y＝1；在Rt△ABD中，AB2﹣BD2＝AD2，∴AD＝2；又∵△AHE∽△ACD，∴＝，即＝，解得：AH＝．故答案为：．14．在△ABC中，若AB＝5，BC＝6，CA＝7，H为垂心，则AH＝．【分析】设AE＝x，BD＝y，则EC＝7﹣x，DC＝6﹣y，在Rt△ABE和Rt△BCE中利用勾股定理建立等式解出x的值，在Rt△ABD和Rt△ADC中，利用勾股定理建立等式解出y的值，在Rt△ABD中求出AD的值，然后利用△AHE∽△ACD，得出＝，这样即可解出AH的长度．【解答】解：设AE＝x，BD＝y，则EC＝7﹣x，DC＝6﹣y，在Rt△ABE和Rt△BCE中，AB2﹣AE2＝BC2﹣EC2，即25﹣x2＝36﹣（7﹣x）2，解得：x＝；在Rt△ABD和Rt△ADC中，AB2﹣BD2＝AC2﹣DC2，即25﹣y2＝49﹣（6﹣y）2，解得：y＝1；在Rt△ABD中，AB2﹣BD2＝AD2，∴AD＝2；又∵△AHE∽△ACD，23∴＝，即＝，解得：AH＝．故答案为：．15．若△ABC的外接圆半径为2，H是△ABC垂心，则△HAB的外接圆半径长是2【分析】先判断出ABC的外接圆的半径等于△ABM的外接圆的半径，得出△ABM的外接圆半径为2，再判断出∴∠ABE＝∠ABM，同理：∠BAH＝∠BAM，进而得出△AHB≌△AMB（ASA），得出△ABH的外接圆的半径等于△ABM的外接圆的半径，即△BHC的外接圆半径为2，即可得出结论．【解答】解：如图，延长CF交△ABC的外接圆于M，连接BM，AM，∴△ABC的外接圆的半径等于△ABM的外接圆的半径是2，∵△ABC的外接圆半径为R，∴△ABM的外接圆半径为R，∵点H是△ABC的垂心，∴CF⊥AB，BE⊥AC，∴∠BFC＝∠BEC＝90°，∴∠CAB+∠ACF＝90°，∠ABE+∠CAB＝90°，∴∠ACF＝∠ABE，∵∠ACF＝∠ABM，∴∠ABE＝∠ABM，同理：∠BAH＝∠BAM，在△AHB和△AMB中，，∴△AHB≌△AMB（ASA），∴△AHB的外接圆的半径等于△AMB的外接圆的半径，24∵△ABM的外接圆半径为2，∴△ABH的外接圆的半径为2，故答案为2．16．O是△ABC的内切圆圆心，∠C＝90°，∠BOC＝105°，BC＝20cm，则AC长为cm．【分析】首先根据题意画出图形，由O是△ABC的内切圆圆心，可得OC与OB是△ABC的角平分线，则可求得∠A的度数，解直角三角形即可求得AC的值．【解答】解：如图：∵O是△ABC的内切圆圆心，∴∠1＝∠ACB，∠2＝∠ABC，∵∠1+∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣105°＝75°，∴∠ACB+∠ABC＝2（∠1+∠2）＝150°，∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝30°，∵∠C＝90°，BC＝20cm，∴AB＝40cm，AC＝20cm．故答案为：20．17．O是锐角△ABC的外心，AO，BO，CO分别交对边于L，M，N，则++＝2．【分析】作辅助线过O作OE⊥BC交BC于E，再过A作AF⊥BC交BC于F，可得△OEL∽△AFL，得出比例式OL：AL＝OE：AF，由△OBC与△ABC是同底不等高的三角形，得出AO：AL＝1﹣S△OBC：S△ABC，同理得出BO：BM＝1﹣S△OAC：S△BAC，CO：CN＝1﹣S△OAB：S△CAB，三式相加即可得++的值．25【解答】解：如图，过O作OE⊥BC交BC于E，再过A作AF⊥BC交BC于F．∵OE⊥BC，AF⊥BC，∴OE∥AF，∴△OEL∽△AFL，∴OL：AL＝OE：AF．∵△OBC与△ABC是同底不等高的三角形，∴OE：AF＝S△OBC：S△ABC，∴OL：AL＝S△OBC：S△ABC，∴1﹣OL：AL＝1﹣S△OBC：S△ABC，∴（AL﹣OL）：AL＝1﹣S△OBC：S△ABC，∴AO：AL＝1﹣S△OBC：S△ABC，…①同理，有：BO：BM＝1﹣S△OAC：S△BAC，…②CO：CN＝1﹣S△OAB：S△CAB…③①+②+③，得：++＝3﹣（S△OBC+S△OAC+S△OAB）：S△ABC＝3﹣1＝2．故答案为：2．18．锐角△ABC的顶点A到垂心H的距离等于外接圆半径，则∠A的度数为60°．【分析】作直径BF，连接AH、CH、CF、AF，可知证明四边形AHCF是平行四边形，再结合AH＝OC的已知条件可以推出△OCF是等边三角形，问题迎刃而解．【解答】解：如图，圆O为△ABC的外接圆，H为△ABC的垂心．26连接AH、HC，则AH⊥BC，CH⊥AB，连接BO并延长交圆O于F，连接CF、AF，则∠BAF＝∠BCF＝90°，∴AH∥CF，AF∥CH，∴四边形AHCF为平行四边形，∴AH＝CF，∵AH＝OC＝OF＝OB，∴OC＝OF＝CF，∴△OCF是等边三角形，∴∠OFC＝60°，∴∠BAC＝∠OFC＝60°．故答案为：60°．19．一个锐角△ABC，∠BAC＝60°，三点H、O、I分别是△ABC的垂心、外心和内心，若BH＝OI，则∠ACB＝40°．【分析】由垂心和外心的性质可以推出∠ECB＝∠OCA，∠OAC＝∠HAB，∠HBA＝∠OBC，然后可以证明BH＝HI＝IO，从而推出B、H、I、O、C五点共圆，得出∠BCH＝∠HCI＝∠ICO＝∠OCA，即∠ACB被四等分，同时注意到∠BOC＝2∠BAC＝120°，于是∠OCB＝30°，然后自然得出答案．【解答】解：如图，连接BO并延长交圆O于D，连接AD、CD，则∠BAD＝∠BCD＝90°，连接CH并延长交AB于E，连接AH、AO、HI、BI、AI、CI、BO．27∵H为△ABC的垂心，∴CE⊥AB，AH⊥BC，∴AH∥CD，CH∥AD，∴四边形AHCD是平行四边形，∴AH＝CD，∵∠BDC＝∠BAC＝60°，OC＝OB＝OA＝OD，∴△OCD是等边三角形，∴CD＝AO，∴AH＝AO，∵OA＝OC，∴∠OCA+∠AOC＝90°，∵∠ABC＝∠AOC，∠ECB+∠ABC＝∠BEC＝90°，∴∠ECB＝∠OCA，同理∠OAC＝∠HAB，∠HBA＝∠OBC，∵I为△ABC的内心，∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，∴∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI，∠ACI＝∠BCI，∴∠HAI＝∠OAI，∠OCI＝∠HCI，∠HBI＝∠OBI，∴△AHI≌△AOI（SAS），∴OI＝HI，∵BH＝OI，28∴BH＝HI＝IO，∴B、H、I、O四点共圆，C、H、I、O四点共圆，∴B、H、I、O、C五点共圆，∴∠BCH＝∠HCI＝∠ICO＝∠OCA，∵∠BOC＝2∠BAC＝120°，OB＝OC，∴∠OCB＝30°，∴∠BCH＝∠HCI＝∠ICO＝∠OCA＝10°，∴∠ACB＝4∠OCA＝40°．故答案为：40°．20．在△ABC中，AB＝10，AD是BC边上的高，已知AD＝BD，点H、O分别是△ABC的垂心和外心，则HO的最小长度为．【分析】注意到△ABD是等腰直角三角形，于是考虑建系法．以D为坐标原点，DA所以在直线为y轴，DB所在直线为x轴建立坐标系．设C（m，0），然后分别表示出O、H的坐标，利用距离公式可得出OH2的二次函数表达式， 配方 学校职工宿舍分配方案某公司股权分配方案中药治疗痤疮学校教师宿舍分配方案医生绩效二次分配方案 求出最值．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，如图，以D为坐标原点，DA所以在直线为y轴，DB所在直线为x轴建立坐标系．连接BH并延长交AC于点E，∵H为△ABC的垂心，29∴BE⊥AC，∴∠CAD+∠AHE＝∠HBD+∠BHD＝90°，∴∠CAD＝∠HBD，∵AD＝BD，∴△ADC≌△BDH（ASA），∴CD＝DH，设C（m，0），则H（0，m），连接OB、OC，作OG⊥BC于G，∵OB＝OC，∴G为BC中点，∵AB＝10，∴AD＝BD＝AB＝5，∴B（﹣5，0），A（0，5），G（，0），连接AO、DO，则OA＝OB，∴△BDO≌△ADO（SSS），∴∠BDO＝∠ADO＝∠ADB＝45°，∴OG＝DG，∴O（，），∴OH2＝+＝，所以当m＝2时，OH2取得最小值5，所以OH的最小值为．故答案为：．21．设凸四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，△OAB，△OBC，△OCD，△ODA的重心分别为E，F，G，H，则SEFGH：SABCD＝．【分析】四边形的两条对角线将四边形分成四个三角形，根据重心的性质可得这四个三角形的重心E，F，G，H连成的四边形是平行四边形，而这个平行四边形又被两条对角线AC和BD分成四块小平行四边形，每块小平行四边形的面积在被AC、BD分得的四个三角形中的比例是一样的，所以只需考查一个小平行四边形与一个三角形面积之比即可．【解答】解：如图：30∵E、F分别是△OAB与△OBC的重心，∴，∴EF∥AC，同理：FG∥BD，HG∥AC，HE∥BD，∴ERUQ，RUSF，USGT，THQU，EFGH是平行四边形，∵，∴，同理：，∴，∴，同理：，，．∴．22．在半径为1的⊙O中内接有锐角△ABC，H是△ABC的垂心，角平分线AL垂直于OH，则BC＝．【分析】设AL与⊙O交于点D，与OH交于点N，连接OD，交BC于点M，连接CO并延长交⊙O于点G，连接GA、GB、AO，易证四边形AGBH是平行四边形，则有BG＝AH．易证OD∥AE，结合OA＝OD可证到∠OAN＝∠HAN，从而可证到△ANO≌△ANH，则有AO＝AH，从而得到BG＝1，然后在Rt△GBC中运用勾股定理即可求出BC的值．【解答】解：设AL与⊙O交于点D，与OH交于点N，连接OD，交BC于点M，连接CO并延长交31⊙O于点G，连接GA、GB、AO，如图所示，∵CG是⊙O的直径，∴∠CBG＝∠CAG＝90°，∴BG⊥BC，AG⊥AC．∵H为△ABC的垂心，∴AE⊥BC，BF⊥AC，∴AE∥BG，AG∥BF，∴四边形AGBH是平行四边形，∴BG＝AH．∵AL平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，根据垂径定理的推论可得：OD⊥BC．∵AE⊥BC，∴OD∥AE，∴∠ODA＝∠EAD．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠EAD．∵AL垂直于OH，∴∠ANO＝∠ANH＝90°．在△ANO和△ANH中，，∴△ANO≌△ANH（ASA），∴AO＝AH，∴BG＝AH＝AO＝1．在Rt△GBC中，∵BG＝1，GC＝2，∴BC＝＝．故答案为：．3223．如图，I是△ABC的内心，且CA+AI＝BC．若∠BAC＝80°，则∠ABC的大小为40°，∠AIB的大小为120°．【分析】作ID⊥AC于D，IE⊥BC于E，IF⊥AB于F，由I是三角形内心，则AF+AI＝BE，在线段BF上取点O，使FO＝AF，△AFI≌△OFI，从而得出IO＝BO，∠FBI＝∠OIB＝∠IBE＝∠EAB，即可求得∠ABC和∠AIB的大小．【解答】解：作ID⊥AC于D，IE⊥BC于E，IF⊥AB于F，∵I是三角形内心，∴AD＝AF，CD＝CE，BE＝BF，AC+AI＝AD+CD+AI＝AF+CE+AI＝BC＝CE+BE，∴AF+AI＝BE，在线段BF上取点O，使FO＝AF，△AFI≌△OFI，∴∠IAF＝∠IOFAI＝IO，IO+AF＝IO+FO＝BF∴IO＝BO，∠EBI＝∠OIB＝∠IBF＝∠EBA，∠ACI＝∠IAF，∠IAF＝∠IOF，∵∠BAC＝80°，∴∠ABE＝40°，∴∠IBA＝20°，∵∠IAO＝40°，∴∠AIB＝120°．故答案为：40°；120°．3324．如图，O，H分别为△ABC的外心和垂心，O到BC边的距离为2，H到BC边的距离为HE＝3，则BC边上的高为7．【分析】先判断出点A，H，E三点共线，再判断出四边形AHCF是平行四边形，得出AH＝CF，再判断出OD是△BCF的中位线，求出CF，即可得出结论．【解答】解：如图，连接BO并延长交⊙O于F，连接AF，CF，AH，∴∠BCF＝∠BAF＝90°，∵HE⊥BC，∵点H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，∴点A，H，E三点共线，连接CH并延长交AB于G，∵点H是△ABC的垂心，∴CG⊥AB，∴∠AGC＝90°＝∠BAF，∴AF∥GC，∵AH⊥BC，CF⊥BC，∴AH∥FC，∴四边形AHCF是平行四边形，∴AH＝CF，∵OD⊥BC，∴∠BDO＝90°＝∠BCF，∴OD∥FC，∵点O是BF的中点，OD是△BCF的中位线，34∴CF＝2OD＝4，∴AE＝AH+HE＝4+3＝7．故答案为：7．25．如图，在△ABC中M为垂心，O为外心，∠BAC＝60°，且△ABC外接圆直径为10，则AM＝5．【分析】延长AM交BC于D，延长CM交AB于E，作直径BF，连结AF，由BF为⊙的直径得到∠BAF＝90°，根据正弦的定义得到AB＝10•sinF＝10•sin∠ACB，再根据M为△ABC的垂心得∠ADB＝∠AEC＝90°，则可得到△AEM∽△ADB，所以＝，即AM＝，在Rt△AEC和Rt△ADC中，根据锐角三角函数得到AE＝AC，AD＝AC•sin∠ACD，然后把AE、AB、AD分别代入AM＝中进行计算即可．【解答】解：延长AM交BC于D，延长CM交AB于E，作直径BF，连结AF，如图，∵BF为⊙的直径，∴∠BAF＝90°，∴sinF＝＝，∴AB＝10•sinF＝10•sin∠ACB，又∵点M为△ABC的垂心，∴AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∴△AEM∽△ADB，∴＝，即AM＝，在Rt△AEC中，∠EAC＝60°，AC＝2AE，即AE＝AC，35在Rt△ADC中，sin∠ACD＝，即AD＝AC•sin∠ACD，∴AM＝＝5．故答案为5．26．如图，ADCFBE是某工厂车间的一种剩余残料，且∠ACB＝90°，现需要利用这块残料在△ABC的外部制作3个等边△ADC、△CBF、△ABE的内切圆⊙O1、⊙O2、⊙O3，若其中最大圆⊙O3的半径为0.5米，可使生产成本节约3元（节约成本与圆面积成正比），照此计算，则10块这样的残料可使生产成本节约60元．【分析】根据相似图形的性质可知，⊙O1的面积+⊙O2的面积＝⊙O3的面积，由于节约成本与圆面积成正比，则⊙O1和⊙O2可使生产成本节约3元，即1块这样的残料可使生产成本节约6元，乘10求解即可．【解答】解：由勾股定理和相似图形的性质可知，⊙O1的面积+⊙O2的面积＝⊙O3的面积，∵⊙O3可使生产成本节约3元，∴1块这样的残料可使生产成本节约6元．则10块这样的残料可使生产成本节约6×10＝60元．故答案为：60．27．如图，I是Rt△ABC（∠C＝90°）的内心，过I作直线EF∥AB，分别交CA、CB于E、F．已知EI＝m，IF＝n，则用m、n表示S△ABC＝．36【分析】过I分别作三边的垂线，垂足为D、F、G，由△ABC∽△EIG∽△IFH，得到相似比，表示三角形的两直角边a、b，由勾股定理求内切圆半径r，根据ab＝2S△ABC＝r（a+b+c），求斜边c，根据S△ABC＝ab求解．【解答】解：如图，过I分别作三边的垂线，垂足为D、F、G，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，ID＝IH＝IG＝r，由△ABC∽△EIG∽△IFH，得＝，＝，解得a＝，b＝，由勾股定理，得c2＝a2+b2，得1＝+，解得r＝，又ab＝2S△ABC＝r（a+b+c），∴＝r（++c），解得c＝m+n+＝m+n+，∴S△ABC＝ab＝＝（）2（m+n+）2＝．故答案为：．28．如图，锐角三角形ABC内接于半径为R的⊙O，H是三角形ABC的垂心，AO的延长线与BC交于点M，若OH⊥AO，BC＝10，OA＝6，则OM的长＝．37【分析】先判断出ON是△BCF的中位线，得出CF＝2ON，BN＝BC，进而用勾股定理求出ON＝，利用垂心和直径所对的圆周角是直角判断出四边形AHCF是平行四边形，得出AH＝CF，再判断出△AOH∽△ONM得出比例式，即可求出OM．【解答】解：如图，连接BO并延长交圆于F，连接CF，AH，连接AF，CH，过点O作ON⊥BC于N，∵BF是⊙O的直径，∴∠BCF＝∠BAF＝90°，∴ON∥FC，∵OB＝OF，∴ON是△BCF的中位线，∴CF＝2ON．∴BN＝CN＝BC＝5，在Rt△OBN中，OB＝OA＝6，BN＝5，∴ON＝＝，∴CF＝2ON＝2，∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，∵CF⊥BC，∴AH∥CF，同理可得：CH∥AF，∴四边形AHCF是平行四边形，∴AH＝CF＝2∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，∵ON⊥BC，∴AH∥ON，3