井冈山学院工学院理论力学试题(2)

井冈山学院工学院理论力学试题(2) 井冈山学院工学院《理论力学》试题 一. 一组合梁ABC的支承及载荷如图示。已知F,1KN，M,0.5KNm，求固定端A的约束 反力。 二. 杆AB长2m，设A端沿地面作匀速运动，，B端沿斜面运动，求当 v,1m/sA θ=30º时B点的速度与杆的角速度，B点的加速度和杆的角加速度。 B ,60ºAvAθ 三. 边长b =100mm的正方形均质板重400N，由三根绳拉住，如图所示。求:1、当FG绳 被剪断的瞬时，AD和BE两绳的张力;2、当AD和BE两绳运动到铅垂位置时，两绳 的张力。 DE 60ºAB FG 四(质圆轮的质量为m，半径为r，可在固定水平面上无滑动地滚动。匀质杆AB的质量也 为m，长度为3r，其A端与轮心用光滑铰链连接，如图所示。试建立系统的第二类拉 格朗日动力学方程。 r A φ B 五(质量为m长为r的匀质杆AB放在光滑的半径为r的圆弧槽内。试建立该杆带拉格3 朗日乘子的动力学方程。方程的模型为: O TaBˆ，，Zq，Φλ,F q A 井冈山学院工学院《理论力学》试题答案 一、一组合梁ABC的支承及载荷如图示。已知F,1KN，M,0.5KNm，求固定端A的 约束反力。 (解):组合梁及BC杆，受力分析如图所示。 DE、DF、DG 杆均为二力杆。 n, m(F),0 M，F,2,Sin,,0,BziDGi,1 5,FKN DG12 节点D为对象: 受力如图示 n, F,0F,Cos,,F,0 ,ixDGDFi,1 1,,FKN DF3 整体为对象: n,1F,0F,F,0 得,, FKNix,AxDFAx 3i,1 n, F,0F,F,0F,1KN 得 ,iyAyAyi,1 n, m(F),0F,4，M，F,3,m,0 ,AziDFAi,1 m,3.5KN,m得 A 二、杆AB长2m，设A端沿地面作匀速运动，，B端沿斜面运动，求当 v,1m/sAθ=30º时B点的速度与杆的角速度，B点的加速度和杆的角加速度。 (解) 参考基和杆AB的连体基如图 在惯性基上考察点: BB ,,点速度和加速度沿斜面 、; BvaBB,60ºAvAθ在杆AB的连体基上考察点: B 点为动基上给定点， B ,,,,,,,eeevvvaaaa,，， ,，BtB,B,,BtBBB ,,ev,v其中: tBA ,,vv ,B1B 在动参考基上投影 e,e,v,v,v,1m/sv,cos30,v,cos30 1B1tBABtB e,e,v,v,1m/sv,cos30,v,cos30 1,,BBBB e？v,,,AB ， ,,0.5rad/s1,1B1 ee22a,0a,,,AB,0.5m/s其中: ， ,1tB,B1eBatB,e,,1e,,ax,Baaa,,B ,B1B,a60ºABaAθ在动参考基上投影: ,e2a,0.58a,cos30,a m/s1,BBB ,e2,,0.145a,cos60,a,AB,, rad/s,B1B 三、边长b =100mm的正方形均质板重400N，由三根绳拉住，如图所示。求:1、当 FG绳被剪断的瞬时，AD和BE两绳的张力;2、当AD和BE两绳运动到铅垂位 置时，两绳的张力。 (解)(1)绳FG被剪断的瞬时 DE 受力分析如图 60ºAB 由于开始静止，板初线速度和初角速度均为零。 因此，板作瞬时平动，方向与绳AD和BE垂直。 FG,,* 设板的加速度为，惯性力为。 aFCC 由于初角速度均为零，惯性力矩也为零。 ,,TT 利用动静法: ADBE ,,*60º (1) F,0mgcos60,F,0AB,,C ,*,,F,aC (2) ,0，,sin60,0CFTTmg,nADBEC,, mg, ,0MC, (3) bbbb,,,,sin60，,cos60，,sin60，,cos60，,0TTTTBEBEADAD2222 g2由(1)式，可得: a,,4.9m/sC2 由(2)式，可得: ，代入(3) T,2003,TADBE 可得: T,73.2N,T,273.2NADBE ,, (2)当AD和BE两绳运动到铅垂位置时 ,TTaADBE 受力分析与运动分析如图， C此时由于该板仅受铅垂力，质心只有法向加速度。 AB 利用动能定理求此时的切向速度: ,v 由初始位置到板的最低位置，势能改变为 CC,*F,C mgl(1,sin60) mg12, 于是有: mv,mgl(1,sin60)C2 2可求得: v,gl(2,3)C 2v2C进一步可求得法向加速度为: (1) a,,g(2,3),2.63m/sCl , 利用动静法:F,0T，T,mg,ma,0 (2) ,yADBEC 将(1)代入(2)，由对称性，可得: T,T,253.6NADBE 四、均质圆轮的质量为m，半径为r，可在固定水平面上无滑动地滚动。匀质杆AB的 质量也为m，长度为3r，其A端与轮心用光滑铰链连接，如图所示。试建立系统 的第二类拉格朗日动力学方程。 ,,1(解)如图建立惯性基与均质杆AB的连体基。 ee 系统有两个自由度，取圆柱的质心在x轴上坐标x rA,T1和连体基的姿态角为广义坐标 q,(x,)e 系统动能为: φ ，11113x22222，,，，()[()T,mx，mr，mx，r22222rB 31122，，，2,cos,](3),，xr，mr2212 533m222，，，，,,cos,,mx，mr，rx 422 3V,,mgrcos, 2 系统的拉格朗日函数为: 533m3222，，，，L,T,V,mx，mr,，rx,cos,，mgrcos, 4222 533d,L2，，，，，(),cos,,sin,,mx，mr,mr ，222dt,x ,L ,0,x d,L332，，，，，(),3mr,，mrxcos,,mrxsin, ，dt22,, ,L3,,mgrsin, ,2, 代入拉氏方程得 2，，，，，5，3cos,,,3sin,,,0xrr (1) ，，，，，，cos,x，2r,,sin,x,，gsin,,0 (2) 五、质量为m长为r的匀质杆AB放在光滑的半径为r的圆弧槽内。试建立该杆带3 拉格朗日乘子的动力学方程。方程的模型为: O TaBˆ，，Zq，Φλ,F q ,A(解):在O点建立惯性基，在质心C建立杆的 e,b连体基。该杆关于质心C的转动惯量为: e 1122Jmlmr ,,C124 根据已知条件杆AB在运动过程中位形坐标之间有如下二个独立的约束方程: 1,,,,xr,sin,,y2,,,, ,,01,,xOy,，cos,,,b2,,yB,bx 约束方程的雅可比阵与加速度约束方程的右项分别为: θ ACrr,,,,，,,,10,cos,sin,,,,22,,,,,, ， ,,qrr ,,,,，01,sin,cos,,,,,,22,,,, T引入两个拉格朗日乘子，系统受到的主动力为重力，主动力阵，，,,,,12 :Ta，动力学方程为: ，，F,0,mg0 ,,,,，，00100,,mx,,,,,,,,,,,,,,,1,,，，,, 00，01,,mymg,,,,,,,,,,2,rr2,,mr,,,,，，,,,,0,,cos,sin,,00,,,,,,22,,4,,