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第一章 三角形的证明
1.等腰三角形（一）
一、教学目标如：
1．知识目标：理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理；熟悉证明的基本步骤和书写格式。
2．能力目标：经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；
3．情感与价值目标：启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系；
二．教学重、难点
重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法；
难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。
三、教学过程分析
第一环节：回顾旧知 导出公理
请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实。其中证明三角形全等的有以下三条：
两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；
两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；
三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；
在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：1.（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理进行证明；
2.回忆全等三角形的性质。
已知：如图，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），
又∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），
∴∠C=180°-(∠A+∠B)，
∠F=180°-(∠D+∠E)，
∴∠C=∠F（等量代换）。
又BC=EF（已知），∴△ABC≌△DEF（ASA）。
第二环节：折纸活动 探索新知
提问：“等腰三角形有哪些性质？如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？并根据折纸过程，得到这些性质的证明吗？”
第三环节：明晰结论和证明过程
让学生明晰证明过程。
（1）等腰三角形的两个底角相等；
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合
第四环节：随堂练习 巩固新知
第五环节：课堂小结
第六环节：布置作业
四、教学反思
1. 等腰三角形（二）
一、教学目标：
1．知识目标：探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；
2．能力目标：①经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；
②在命
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习能力和思维能力，提高学生学习的主体性；
③在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：对称性，发展学生的几何直觉；
3．情感与价值观要求①鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲．
②体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性．
二．教学重、难点
重点：经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论．
三、教学过程分析
第一环节：提出问题，引入新课
在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗?你能证明你的结论吗?
例1证明：等腰三角形两底角的平分线相等
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线．
求证：BD=CE．
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．
∵∠1= EQ \F(1,2) ∠ABC，∠2= EQ \F(1,2) ∠ABC，
∴∠1=∠2．
在△BDC和△CEB中，
∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．
∴△BDC≌△CEB(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
第三环节：经典例题 变式练习
活动内容：提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线段相等？并在学生思考的基础上，研究课本“议一议”：
在课本图1—4的等腰三角形ABC中，
(1)如果∠ABD= EQ
EQ \F(1,3) ∠ABC，∠ACE= EQ \F(1,4) ∠ACB呢?由此，你能得到一个什么结论?
(2)如果AD= EQ \F(1,2) AC，AE= EQ \F(1,2) AB，那么BD=CE吗?如果AD= EQ
EQ \F(1,3) AC，AE= EQ
EQ \F(1,3) AB呢?由此你得到什么结论?
第四环节：拓展延伸，探索等边三角形性质
活动内容：提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上，思考等边三角形的特殊性质：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
已知：ΔABC中，AB=BC=AC．
求证：∠A=∠B=∠C=60°.
证明：在ΔABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角)．
同理：∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代换）．
又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理），∴∠A=∠B=∠C＝60°．
第五环节： 随堂练习 及时巩固
第六环节：探讨收获 课时小结
课外作业
四、教学反思
1. 等腰三角形（三）
一．教学目标：
1．探索等腰三角形判定定理．
2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．
3.了解反证法的基本证明思路，并能简单应用，培养学生的逆向思维能力。
2． 教学过程分析
第一环节：复习引入
活动过程：通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流。
问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？
问题2.我们是如何证明上述定理的？
问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？
第二环节：逆向思考，定理证明
教师：上面，我们改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研究问题的一种常用方法，除此之外，我们还可以“反过来”思考问题，这也是获得数学结论的一条途径．例如“等边对等角”，反过来成立吗?在△ABC中，∠B=∠C，要想证明AB=AC，只要构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了．你是怎样构造的？
第三环节：巩固练习
例2已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．
求证：AB=AC．
证明：
第四环节：适时提问 导出反证法
我们类比归纳获得一个数学结论，“反过来”思考问题也获得了一个数学结论．如果否定命题的条件，是否也可获得一个数学结论吗?我们一起来“想一想”：
小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?
我们来看一位同学的想法：
如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与Ac要么相等，要么不相等．
假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC
你能理解他的推理过程吗?
再例如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法，假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但△AB∠A+∠B+∠C=180°, “∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC中不可能有两个直角．
引导学生思考：上一道面的证法有什么共同的特点呢?引出反证法。
都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法．
第五环节：拓展延伸
现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数?
第六环节：课堂小结
课外作业
教学反思：
1. 等腰三角形（四）
一、教学目标：
1．知识目标：理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30º角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。
2．能力目标：①经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程
②经历实际操作，探索含有30º角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；
3．情感与价值观要求：①积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
二．教学重难点
重点：①等边三角形判定定理的发现与证明. ②含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.
难点：含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.
三、教学过程
第一环节：提问问题，引入新课
回顾等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等腰三角形呢？从而引入新课。
第二环节：自主探索
活动内容：学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结出下表：
性质
判定的条件
等腰三角形（含等边三角形）
等边对等角
等角对等边
“三线合一”即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高互相重合
有一角是60°
等边三角形三个角都相等，且每个角都是60°
三个角都相等的三角形是等边三角形
第三环节：实际操作 提出问题
提出问题： 用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由．
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．
求证：BC= EQ \F(1,2) AB．
证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°∠B=60°.
延长BC至D，使CD=BC，连接AD(如图所示)．
∵∠ACB=90°∴∠ACB=90°
∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)．
∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)．
∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．
∴BC= EQ \F(1,2) BD= EQ \F(1,2) AB．
第四环节：变式训练 巩固新知
[例题]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高CD的长.
解：∵∠ABC=∠ACB=15°
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°
∴CD= EQ \F(1,2) AC= EQ \F(1,2) ×2a= a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)．
第五环节：畅谈收获 课时小结
第六环节：布置作业
四、教学反思
2．直角三角形（一）
一、教学目标
1．知识目标：
（1）掌握直角三角形的性质定理及判定定理的证明方法。
（2）会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．
2．能力目标：
（1）进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．（2）进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力．
3．教学重点、难点
重点①了解勾股定理及其逆定理的证明方法．②了解逆命题的概念，识别两个互逆命题．
难点：勾股定理及其逆定理的证明方法．
二、教学过程
1：创设情境，引入新课
请同学们打开课本P18，阅读“读一读”，了解一下利用教科书给出的公理和推导出的定理，证明勾股定理的方法．
2：讲述新课
阅读完毕后，针对“读一读”中使用的两种证明方法，着重讨论第一种，第二种方法请有兴趣的同学课后阅读．
（1）．勾股定理及其逆定理的证明．
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗?
已知：如图：在△ABC中，AB2+AC2＝BC2
求证：△ABC是直角三角形．
证明：作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90°，A′B′＝AB，A′C′、AC(如图)，
则A′B′2＋A′C′2.(勾股定理)．
∵AB2＋AC2＝BC2，A′B′＝AB，A′C′
∴BC2＝B′C′2
∴BC＝B′C′
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）
∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等)．
因此，△ABC是直角三角形．
勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
（2）．互逆命题和互逆定理．
观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?通过观察，学生会发现：
上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件．
3：议一议：观察下面三组命题：：
如果两个角是对顶角，那么它们相等．如果两个角相等，那么它们是对顶角．
如果小明患了肺炎，那么他一定发烧．如果小明发烧，那么他一定患了肺炎．
三角形中相等的边所对的角相等．三角形中相等的角所对的边相等．
不难发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结论，第二个命题的结论是第一个命题的条件．
在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题．
请同学们判断每组原命题的真假．逆命题呢?
在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．在第三组中，原命题和逆命题都是真命题．
由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题．
4：想一想
请学生写出“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗?它们都是真命题吗？
5：随堂练习
说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假;
(1)四边形是多边形；(2)两直线平行，内旁内角互补；
6：课时小结
7：课后作业
四、教学反思
2．直角三角形（二）
一、教学目标：
1．知识目标：①能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性
②利用“HL’’定理解决实际问题
2．能力目标：①进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力
二、教学过程
1：复习提问
1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？
2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形。想一想，怎么画？同学们相互交流。
3、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结论。
2：引入新课
（1）．“HL”定理．由师生共析完成
已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′．
求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′
证明：在Rt△ABC中，AC=AB2一BC2(勾股定理)．
又∵在Rt△ A' B' C'中，A' C' =A'C'=A'B'2一B'C'2 (勾股定理)．
AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'．
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (SSS)．
定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．
3： 例题学习
如图，在△ABC≌△A'B'C'中，CD，C'D'分别分别是高，并且AC＝A'C'，CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．
求证：△ABC≌△A'B'C'．
证明：∵CD、C'D'分别是△ABC△A'B'C'的高(已知)，
∴∠ADC=∠A'D'C'=90°．
在Rt△ADC和Rt△A'D'C'中，
AC=A'C'(已知)，
CD=C'D' (已知)，
∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C' (HL)．
∠A=∠A'，(全等三角形的对应角相等)．
在△ABC和△A'B'C'中，
∠A=∠A' (已证)，
AC=A'C' (已知)，
∠ACB=∠A'C'B' (已知)，
∴△ABC≌△A'B'C' (ASA)．
6：课时小结
7：课后作业
四、教学反思
3．线段的垂直平分线(一)
一、教学目标：
1.证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理．
2．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．丰富对几何图形的认识。
3.通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果
二．教学重点、难点
重点是运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。难点是垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用。
三、教学过程
第一环节：性质探索与证明
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．
求证：PA=PB．
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC，PC=PC,
∴△PCA≌△PCB(SAS)． ；
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．
第三环节：逆向思维，探索判定
你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?
定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
证明：过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB，PC=PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．
∴AC=BC，
即P点在AB的垂直平分线上．
第四环节：巩固应用
例1已知：如图 1-18，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段BC。．
证明：∵ AB = AC，
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.
第五环节：随堂练习课本P23；习题1.7：第1、2题
第六环节：课堂小结：通过这节课的学习你有哪些新的收获？还有哪些困惑？
第七环节：课后作业
四、教学反思
3．线段的垂直平分线(二)
一、教学目标：
1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点
2.经历猜想、探索，能够作出符合条件的三角形．
3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识．
4.学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．
二． 教学重点、难点
重点：①能够证明与线段垂直平分线相关的结论．
②已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形．
难点：证明三线共点。
三、教学过程分析
1：求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP．
求证：P点在AC的垂直平分线上．
证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．
同理PB=PC．
∴PA=PC．
∴P点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上)．
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P．
2.引申拓展
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?
(2)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?
3例题学习
已知底边及底边上的高，求作等腰三角形．
已知：线段a、h
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h
作法：1．作BC=a；
2．作线段Bc的垂直平分线MN交BC于D点；
3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；
4．连接AB、AC
∴△ABC就是所求作的三角形(如图所示)．
3.动手操作
（1）：已知直线 l 和 l 上一点 P，用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P.
学生先独立思考完成，然后交流：说出做法并解释作图的理由。
（2）拓展：如果点 P 是直线 l 外一点，那么怎样用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P 呢？说说你的作法，并与同伴交流.
5.随堂练习:：习题1.8第1、2题。
6.课时小结
本节课通过推理证明了“到三角形三个顶点距离的点是三角形三条边的垂直平分线的交点，及三角形三条边的垂直平分线交于一点”的结论，并能根据此结论“已知等腰三角形的底和底边的高，求作等腰三角形”．
7.课后作业
四、教学反思
４．角平分线（一）
一、教学目标：
1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理．
2．进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力．
3.经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。
二.教学难点：
正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。
三、教学过程
1：情境引入
提问：还记得角平分线上的点的性质吗？你是怎样得到的？
即角平分线上的点到角两边的距离相等．
你能证明它吗?
2：探究新知
（1）定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
求证：PD=PE．
证明：∵∠1=∠2，OP=OP，
∠PDO=∠PEO=90°，
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．
（2）你能写出这个定理的逆命题吗?
在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．
它是真命题吗? 你能证明它吗?
已知：在么AOB内部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，
求证：点P在么AOB的角平分线上．
证明：PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠ PEO=90°．
在Rt△ODP和Rt△OEP中
OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL定理)．
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。
（3）用直尺和圆规画已知角的平方线及作图的依据讨论。
3.巩固练习
例题：在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.
4：随堂练习 课本第29页1、2题。
5：课堂小结
这节课证明了角平分线的性质定理和判定定理，在有角的平分线（或证明是角的平分线）时，过角平分线上的点向两边作垂线段，利用角平分线的判定或性质则使问题迅速得到解决。
6：课后作业
四、教学反思
４．角平分线（二）
一、教学目标：
1．知识目标：（1）证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论．
（2）角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用．
2．能力目标：（1）进一步发展学生的推理证明意识和能力．
（2）培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力．
（3）提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力．
3．情感与价值观要求：①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
二．教学重点、难点
重点：①三角形三个内角的平分线的性质．
②综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题．
难点：角平分线的性质定理和判定定理的综合应用．
三、教学过程
第一环节：设置情境问题，搭建探究平台
问题l 习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?能证明自己发现的结论一定正确吗？
于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点” ．
当然学生可能会提到折纸证明、软件演示等方式证明，但最终，教师要引导学生进行逻辑上的证明。
第二环节：展示思维过程，构建探究平台
定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，
求证：P点在∠BAC的角平分线上．
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．
同理：PE=PF．
∴PD=PF．
∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
三边垂直平分线
三条角平分线
三角形
锐角三角形
交于三角形内一点
交于三角形内一点
钝角三角形
交于三角形外一点
直角三角形
交于斜边的中点
交点性质
到三角形三个顶点的距离相等
到三角形三边的距离相等
第三环节：例题讲解
[例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD=4 cm，求AC的长；
(2)求证：AB=AC+CD．
证明： (1)解：∵AD是△ABC的角平分线，
∠C=90°，DE⊥AB．
∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)．
∵∠AC=∠BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角)．
∵∠C=90°，
∴∠B= EQ \F(1,2) ×90°=45°．
∴∠BDE=90°—45°＝45°．
∴BE=DE(等角对等边)．
在等腰直角三角形BDE中
BD=2DE2.=4 2 cm(勾股定理)，
∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm．
(2)证明：由(1)的求解过程可知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理)
∴AC=AE．
∵BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD．
第四环节：课时小结
本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题．
第五环节：课后作业
四、教学反思
第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组
1．不等关系
教学目标：
1、知识与技能目标
①理解不等式的意义。②能根据条件列出不等式。③能用实际生活背景和数学背景解释简单不等式的意义。
2、过程与方法目标 经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感与数学化的能力。
3、情感与态度目标 感受生活中存在着的大量不等关系，通过用不等式解决实际问题，使学生进一步认识数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的信心和兴趣。
教学重点：①通过探寻实际问题中的不等式关系，认识不等式。
②根据实际问题建立合理的不等关系。
教学难点：对不等式意义的理解及根据实际问题建立合理的不等关系。
教学过程
１、创设情景，引入新课
寻找相等的量和不等的量
师：我们学过等式，等式的定义是什么？
生：表示相等关系的式子叫等式。
师：我们知道相等关系的量可以利用等式来描述。同时，我们也知道现实生活中还存在许多反映不等关系的量。
师：比如，研究表明同学们每天睡觉的时间要不少于9小时；体育考试中合格的分数要不低于60分。请同学们也举一些不等关系的例子。
生1：每天我都比他早起5分钟。
生2：我的年龄不小于13岁。
生3：我的体重不低于30公斤
2、讲述新课
师：如何用式子来表示不等关系呢？
师：展示投影片A
（1）某厂今年的产值是a元，预计明年年产值增长率高于20%，如果明年的产值是b元，那么b和a满足的关系式是 。
（2）如果某等腰三角形的底边用a cm表示，这边上的高为4 cm，如果这个三角形的面积不大于8 cm²，那么a应该满足的关系式为 。（注意：不大于的含义）
（3）铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高三边之和不得超过160cm。设行李的长、宽、高分别为 a cm、b cm、c cm， 请你列出行李的长、宽、高满足的关系式 。
3、议一议
某中学准备在学校饭厅新添一个通风口，四周用长为xm(x≤5)的装潢条镶嵌（不计接缝），现有两种设计
方案
气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载
。如下图：
师：下面请大家讨论，按题意进行解答。（学生讨论、解答后，教师根据情况进行点评）
（1）问 题：
（2）探 究：
通过测量一棵树围（树干的周长）可以计算出它的树龄。通常规定以树干离地面1.5米的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增加约为3㎝，这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4m？（只列关系式）
师：请大家互相讨论后列出关系式
生：设这棵树至少生长x年其树围才能超过2.4m，得3x+5＞240
4、归纳定义 观察由上述问题得到的关系式，比如：
≤1，
＞1.5，
＞
， 3x+5＞240， 它们的共同特点：都是用 连接的式子。
生：不等号
师：一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。（特别的，不等号还包含“≠”）
5、课堂练习 1、用适当的符号表示下列关系：
（1）a 是非负数；
（2）直角三角形斜边 c 比它的两直角边 a、b 都长；
（3）x 与 17 的和比它的5倍小；
（4）两数的平方和不小于这两数积的2倍。
2、表达式①x2≥0；②2a+4b≠3；③5m+2n；④x+y<0；⑤3x+2=9中的不等式有 （填序号）。
3、801班班长拿了56元钱去给班内20名优秀学生买奖品，奖品有两种：钢笔和笔记本。已知钢笔每支5元，笔记本每本3元，如果买x支钢笔，则列出关于x的不等式是 。
4、某厂今年的产值为100万元，预计明后两年平均每年增长率为x%，如果按此速度发展，后年该厂产值将超过a万元，请用不等式表示a与x的关系式
6、课时小结 师生相互交流，总结本节重难点。
本课我主要学会了 。
7、课后作业
教学反思：
2．不等式的基本性质
教学目标：
（1）知识与技能目标：
①经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。
②掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质将比较简单的不等式转化为“x＞a”或“x＜a”的形式。
（2）过程与方法目标：①能说出不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式，发展其代数变形能力，养成步步有据、准确表达的良好学习习惯。
②通过研究等式的基本性质过程类比研究不等式的基本性质过程，体会类比的数学方法。
③进一步发展学生的符号表达能力，以及提出问题、分析问题、解决问题的能力。
（3）情感与态度目标：①通过学生自我探索，发现不等式的基本性质，提高学生学习数学的兴趣和学好数学的自信心。
②尊重学生的个体差异，关注学生对问题的实质性认识与理解。
教学重点：不等式的基本性质。
教学难点: 不等式的基本性质的实际运用。
教学过程：
１、创设情景，引入新课
利用班上同学站在不同的位置上比高矮。请最高的同学和最矮的同学“同时站在地面上”，“矮的同学站在桌子上”，“高的同学站到楼下一楼”三种不同的情况下比较高矮。问题1：怎样比才公平？
2、讲述新课
参照教材与多媒体课件提出问题：还记得等式的基本性质吗？请用字母表示它。不等式有类似的性质吗？先猜一猜。
（1） 用等号或不等号完成下面的填空。如果2 < 3；那么
2 × 5 3 × 5； 2 × 3 × ； 2 × (－1) 3 × (－ 1)；
2 × (－ 5) 3 × (－ 5)； 2 × (－) 3 × (－).
（2） 验证你的结论，用字母表示你所发现的结论。
（3） 与同伴交流你的结论，并展示。
生1：等式的基本性质1用字母可以表示为：
，
类似地得到，如果在不等式的两边都加上或都减去同一个整式，结果不等号方向不变。
字母表示为：∵a＞b，∴a±c＞b±c；或∵a＞b，∴a±c＜b±c。
生2：对于等式的基本性质2，用字母可以表示为：
，其中
。经过前面的探索，可类似地得到：如果不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；如果不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要发生改变。字母表示如下：
3、练习巩固：
1、在上一节课中，我们猜想，无论绳长
取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即
。你相信这个结论吗？你能利用不等式的基本性质解释这一结论吗？
2、将下列不等式化成“
”或“
”的形式：
（1）
（2）
3、将下列不等式化成“
”或“
”的形式：
（1）
（2）
（3）
4、已知
，下列不等式一定成立吗？
（1）
（2）
（3）
（4）
5、小明做这样一题：已知2x>3x,求x的范围。结果小明两边同时除以x，得到2>3。你知道他错在哪?
4、课堂小结 活动内容：学生自己总结今天这节课有什么收获，思考后对全班说出，与全班同学讨论交流。
5、布置作业
教学反思
3．不等式的解集
教学目标：
（1）知识与技能目标：
①能根据具体情境理解不等式的解与解集的意义。②能在数轴上表示不等式的解集。
（2）过程与方法目标:
①培养学生从现实情况中探索、发现并提出简单的数学问题的能力。
②经历求不等式的解集的过程，通过尝试把不等式的解集在数轴上表示出来，引导学生体验用数轴表示不等式解集具有直观的优越性，增强学生数形结合的意识。
（3）情感态度与价值观目标：
通过从实际问题中抽象出数学模型、探索求不等式的解集的过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系，体验数学活动充满了探究性和创造性。
教学重点：（1）理解不等式的解与解集的概念。（2）探索不等式的解集并能在数轴上表示出来。
教学难点：不等式解集的数轴表示。
教学过程
１、创设情景，引入新课
师：我们已学习了不等式的基本性质，不等式的基本性质有哪些？它与等式的性质有何异同点？
生：答（略）。（多媒体呈现）
师：我们已学习了不等式的基本概念和性质。这节课我们来研究不等式的解的相关知识。
师：方程的解的定义是什么？
生：使得方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。
师：换句话说，方程的解是使得方程成立的未知数的值。
师：类似地，你认为什么是不等式的解？
生：能够使不等式成立的未知数的值就是不等式的解。
师：确实，“能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。”
2、讲述新课
燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度为0.02 m/s，燃放者离开的速度为4 m/s，那么导火线的长度应为多少厘米？
引导分析：设导火线长度为x cm，燃放者转移到安全区域需要的时间最少为
（s），导火线燃烧的时间为
s ，要使燃放者转移到安全地带，必须有：
＞
。
解：设导火线的长度为x㎝，则
＞
， 根据不等式的基本性质，可得x＞5
3、想一想：
（1）x=－2、1、5、6、8是不等式x＞5的解么？
（2）你还能说出几个不等式x＞5的解吗？你认为不等式x＞5的解有几个？它们有什么特点？
（3）不等式x2≤0的解有哪些？不等式x2≤－2呢？
生1：x=6、8是不等式x＞5的解。x=－2、1、5不是不等式x＞5的解。
生2：x=12、6.3、20是不等式x＞5的解。不等式x＞5的解有无数个。它们都比5大。
生3：不等式x2≤0的解是x=0；不等式x2≤－2无解。
通过对以上问题情境的探究，引导学生认识到：不等式的解一般有无数个，但有时只有有限个，有时无解。在此基础上，给出不等式的解集和解不等式的定义：
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。
4、做一做：
(1) 不等式 x + 1 > 5 的解集是 ；(2) 不等式 x2 > 0 的解集是 ．
5、议一议：
既然不等式的解集在通常情形下有很多个符合条件的解，那么我们能否用一种直观的方法把不等式的解集表示出来呢？请同学们相互交流，发表自己的见解。
请同学们用自己的方式将不等式x＞5的解集和不等式x－5≤－1的解集x≤4分别表示在数轴上，并与同伴进行交流。
在小组展示、交流质疑的基础上，引导学生掌握在数轴上表示不等式的解集的正确方法，并提醒学生注意：
1)指示线的方向,“>”向右,“<”向左. 2)有“=”用实心点,没有“=”用空心圈.
以上两个解集正确的表示方法为：
6、例题讲解
根据不等式的基本性质求不等式的解集，并把解集表示在数轴上。
（1）x－2≥－4 （2）2x≤8 （3）－2x－2＞－10
解：（1）x≥－2
（2）x≤4
（3）x＜4
随堂练习
1、判断正误：
（1）不等式x－1﹥0有无数个解
（2）不等式2x－3≤0的解集为x≥
2、将下列不等式的解集分别表示在数轴上：
（1）x＞4 （2）x≤－1 （3）x≥－2 （4）x≤6
3、填空：
1)方程2x=4的解有( )个,不等式2x<4的解有( )个
2)不等式5x≥－10的解集是( )
3)不等式x≥－3的负整数解是( )
4)不等式x－1<2的正整数解是( )
7、课时小结
师：本课你主要学会了 。
生：1、学会了什么是不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念
2、会探索简单不等式的解集,并把解集表示在数轴上。
3、用数轴表示解集时的注意事项。
8、作业
教学反思
4．一元一次不等式（一）
教学目标：
（1） 知识与技能：会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集。
（2） 过程与方法：让学生经历一元一次不等式的形成过程，通过类比理解一元一次不等式的解法。
（3） 情感与态度：通过一元一次不等式的学习，提高学生的自主学习能力，激发学生的探究兴趣。
教学重点：掌握简单的一元一次不等式的解法，并能将解集在数轴上表示出来。
教学难点：一元一次不等式的解法。
教学过程
1、 创设情境，引入新课
(1) 不等式的三条基本性质是什么?
(2) 运用不等式基本性质把下列不等式化成x>a或x
x－5 ③
④
(3) 什么叫一元一次方程?解一元一次方程的步骤是什么?
观察下列不等式：
(1)6+3x>30 (2)x+17<5x (3)x>5 (4)
这些不等式有哪些共同点？
注意事项：学生自行归纳总结，发言讨论，教师在总结学生发言的基础上板书一元一次不等式的定义:“左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式，叫做一元一次不等式(linear inequality with unknown)”。并向学生强调一元一次不等式的主要特征。
巩固概念 想一想：在前面几节课中，你列出了哪些一元一次不等式？试举两例，并与同伴交流。
2、讲述新课
例1.解不等式3－x<2x+6，并把它的解集表示在数轴上。
提出问题：
1、 你能利用不等式的基本性质解决吗？试一试。
2、 在解不等式的过程中是否有与解一元一次方程类似的步骤？能否归纳解一元一次不等式的基本步骤？
3、 在解一元一次不等式的步骤中，应注意什么？
例2.解不等式
≥
，并把它的解集表示在数轴上。
解：去分母，得 3(x－2) ≥2(7－x)
去括号，得 3x－6≥14－2x
移项、合并同类项，得 5x≥20
两边都除以5，得 x≥4
这个不等式的解集在数轴上表示如下
3、练习提高
1． 解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上；
（1）5x＜200 (2)
＜3
(3) x－4≥2(x+2) (4)
＜
2.求不等式4（4x+1）≤24的正整数解。
4、课堂小结
（1） 通过本节课的学习，你学到了那些知识？（什么是一元一次不等式以及一元一次不等式的解法。）
（2） 你学会了哪些数学方法？（类比的数学方法。）
（3） 你觉得在一元一次不等式的解题步骤中，应该注意些什么问题？（如果乘数或除数是负数，不等号的方向要改变。）
5、 作业
教学反思
4．一元一次不等式（二）
教学目标：
（1）知识与技能目标：
①进一步熟练掌握解一元一次不等式的解法；②利用一元一次不等式解决简单的实际问题。
（2）过程与方法目标：
通过分析实际问题中的不等关系，建立不等式模型，通过对不等式的求解对实际问题的解决，训练学生的分析和建立数学模型的能力。
（3）情感与态度目标：
通过利用一元一次不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系，以激发学生学习数学的兴趣与信心。
教学重点：一元一次不等式的应用。
教学难点：将实际问题抽象成数学问题的思维过程。
教学过程 1、创设情境，引入新课
解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上。
（1）
（2）
2、讲述新课
利用一元一次不等式解决简单的实际问题
某种商品进价为200元，标价300元出售，商场规定可以打折销售，但其利润不能少于5﹪.请你帮助售货员计算一下，此种商品可以按几折销售？
先独立思考，再小组交流解决方法。
3、 例题解析，方法归纳
活动内容1：
［例3］一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少答对了几道题？
解：设小明答对了x道题，则得4x分，另有（25－x）道要扣分，而小明评为优秀，即小明的得分应大于或等于85分，则
4x－(25－x) ≥85
解得： x≥22
所以，小明至少答对了22道题，他可能答对22，23，24或25道题。
解一元一次不等式应用题的步骤：
（1）审题，找不等关系；
（2）设未知数；
（3）列不等关系；
（4）解不等式；
（5）根据实际情况，写出全部答案
4、练习提高
1. 某种商品进价为400元，出售时标价500元，商场准备打折销售，但要保持利润不低于10﹪.则至多可打几折？
2.小明准备用26元钱买火腿肠和方便面，已知一根火腿肠2元钱，一盒方便面3元钱，他买了5盒方便面，他还可能买多少根火腿肠？
5、课堂小结 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
（1）解一元一次不等式的一般步骤及注意事项；
（2）利用一元一次不等式可以解决一些实际问题。
6、 作业
教学反思
5．一元一次不等式与一次函数（一）
教学目标：
1、理解一次函数图象与一元一次不等式的关系。
2、能够用图像法解一元一次不等式。
3、理解两种方法的关系，会选择适当的方法解一元一次不等式
教学重点：理解一次函数图象与一元一次不等式的关系，能够用图像法解一元一次不等式。
教学难点：理解两种方法的关系，会选择适当的方法解一元一次不等式。
教学过程
1、创设情境，引入新课
上节课我们类比一元一次方程的解法，根据不等式的基本性质，学习了一元一次不等式的解法，本节课我们来学习一元一次不等式其它解法。
2、讲述新课
首先，我们来利用一次函数的图象求出相应的一元一次方程的解、一元一次不等式的解集。
1.导探激励
作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题。
（1）x取哪些值时，2x－5=0? （3）x取哪些值时，2x－5＞0?
（2）x取哪些值时，2x－5＜0? （4）x取哪些值时，2x－5＞3?
（1）当y=0时，2x－5=0。
∴x=
, ∴当x=
时，2x－5=0。
（2）要找2x－5＞0的x的值，也就是函数值y大于0时所对应的x的值，从图象上可知，y＞0时，图象在x轴上方，图象上任一点所对应的x值都满足条件，当y=0时，则有2x－5=0，解得x=
.当x＞
时，由y=2x－5可知 y＞0。因此当x＞
时，2x－5＞0；
（3）同理可知，当x＜
时，有2x－5＜0；
（4）要使2x－5＞3，也就是y=2x－5中的y大于3，那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x轴，这条直线与y=2x－5相交于一点B（4，3），则当x＞4时，有2x－5＞3。
3、想一想 如果y=－2x－5，那么当x取何值时，y＞0?
首先要画出函数y=－2x－5的图象，如图：
从图象上可知，图象在x轴上方时，图象上每一点所对应的y的值都大于0，而每一个的值所对应的x的值都在A点的左侧，即为小于－2.5的数，由－2x－5=0，得x=－2.5，所以当x取小于－2.5的值时，y＞0。
也可：因为y=－2x－5，y＞0也就是－2x－5＞0，解不等式即得：x＜－2.5
4、达测深化
兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9 m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3 m，哥哥每秒跑4 m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：
（1）何时哥哥分追上弟弟？
（2）何时弟弟跑在哥哥前面？
（3）何时哥哥跑在弟弟前面？
（4）谁先跑过20 m？谁先跑过100 m？
［解］设兄弟俩赛跑的时间为x秒.哥哥跑过的路程为y1，弟弟跑过的路程为y2，根据题意，得
y1=4x y2=3x+9
函数图象如图：
从图象上来看：
（1）9s时哥哥追上弟弟
（2）当0＜x＜9时，弟弟跑在哥哥前面；
（3）当x＞9时，哥哥跑在弟弟前面；
（4）弟弟先跑过20m，哥哥先跑过100m;
从图象上直接可以观察出（1）、（2）小题，在回答第（3）题时，过y 轴上20这一点作x轴的平行线，它与y1=4x,y2=3x+9分别有两个交点，每一交点都对应一个x值，哪个x的值小，说明用的时间就短.同理可知谁先跑过100 m.
5、运用巩固、练习提高
1. 已知y1=－x+3，y2=3x－4,当x取何值时，y1＞y2？你是怎样做的？与同伴交流.
解：如图所示：
当x取小于
的值时，有y1＞y2.
6、课时小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？
7、作业
教学反思
5．一元一次不等式与一次函数（二）
教学目标：
1、掌握一元一次不等式与一次函数的关系，会运用不等式解决函数有关问题。
2、通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系。
3、感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系，并渗透“数形结合”思想。
教学重点：掌握一元一次不等式与一次函数的关系，会运用不等式解决函数有关问题。
教学难点：通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系。
教学过程 1、创设情境，引入新课
上节课我们初步感知了一元一次不等式、一次函数和一元一次方程的关系，并用其解决了一些简单的实际问题，今天我们继续用它们的关系来解决较为复杂的实际问题。首先请同学们完成下列问题：
1、若y1=－2x－2，y2=3x+3，试确定当x取何值时，y1x+1 2. x+8<4x－1 3. 2x+3≥x+11 4.
－1<2－x
2、讲述新课 对比方程组的概念，你能将上述你解的不等式进行组合吗？你能将它们的的解集表示在同一条数轴上吗？你能给你所组成的形如“方程组”的式子取个名字吗？试试看。
交流一：解不等式组：
你能求出这个一元一次不等式组的解集吗？如果把每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，你可以看出它们的公共部分了吗？你能写出这个一元一次不等式组的解集了吗？
交流二：解不等式组：
2x+3≥x+11 ①
－1<2－x ②
你能求出这个一元一次不等式组的解集吗？如果把每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，你可以看出它们的公共部分了吗？你能写出这个一元一次不等式组的解集了吗？
（1）一元一次不等式组的概念：一般地,关于同一未知数的几个一元一次
不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组。
（2）一元一次不等式组的解集的概念：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
（3）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
3、运用巩固、练习提高
1.某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月，如果每月比计划多烧5吨煤，那么取暖用煤总量将超过100吨；如果每月比计划少烧5吨煤，那么取暖用煤总量不足68吨。该校计划每月烧煤多少吨？
问题：你能列出一个不等式组吗？你能尝试找出符合上面一元一次不等式组的未知数的值吗？
2.解不等式组：
3.书上随堂练习部分。
4、课堂小结 学生小结本节内容。
5、作业
6．一元一次不等式组（二）
教学目标：
（一）知识认知
1.会解由两个或两个以上一元一次不等式组成的不等式组并能用数轴求得解集；
2.总结解一元一次不等式组的步骤及情形。
（二）能力训练
通过总结解一元一次不等式组的步骤，培养学生的类比推理能力和不完全归纳能力。
（三）情感与价值观
1.培养学生独立思考的习惯，加强运算的熟练性与准确性.
2.培养学生的合作交流意识与创新意识，为学生在今后生活和学习中更好运用数学作准备。
教学重点：进一步理解一元一次不等式组及其解的意义，加强运算的熟练性和准确性。
教学难点：会解由两个或两个以上一元一次不等式组成的不等式组并能用数轴求得解集。
教学过程
1、创设情境，引入新课
问题：现有两根木条a和b，a长7cm，b长3cm，如果要再找一根木条x，用这三根木条钉成一个三角形木框，请动手试一试：
1.当x是14cm时，能与a和b钉成三角形木框吗？2.当x是9cm时，能与a和b钉成三角形木框吗？
3.当x是4cm时，能与a和b钉成三角形木框吗？
4.在什么条件下，长度为3cm，7cm，xcm的三条线段可以围成三角形？
2、讲述新课
解下列不等式组：
1.
EMBED Equation.3 2.
EMBED Equation.3 3.
4.
请大家认真观察一下这四组解，你发现了什么？
通过学生之间的交流和讨论，对照各组解的情况如下：
⑴由
⑵由
得x≥4;⑶由
得，无解；⑷ 由
得－4
小学
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已经接触过因数分解的经验，但对于因式分解的概念还完全陌生，因此，本课时在让学生重点理解因式分解概念的基础上，应有意识地培养学生知识迁移的数学能力，如：类比思想，逆向运算能力等。因此，本课时的教学目标是：
知识与技能：
（1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念．
（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法．
数学能力：
（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观察能力，进一步发展学生的类比思想．
（2）由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力．
（3）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．
情感与态度：
让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度．
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：看谁算得快——看谁想得快——看谁算得准——学生讨论——反馈练习——学生反思．
第一环节 看谁算得快
活动内容：用简便方法计算：
（1）
=
（2）-2.67×132+25×2.67+7×2.67=
（3）992–1= ．
活动目的：如果说学生对因式分解还相当陌生的话，相信学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉．引入这一步的目的旨在让学生通过回顾用简便方法计算——因数分解这一特殊算法，使学生通过类比很自然地过渡到正确理解因式分解的概念上，从而为因式分解的掌握扫清障碍，本环节设计的计算992–1的值是为了降低下一环节的难度，为下一环节的理解搭一个台阶．
注意事项：学生对于（1）（2）两小题逆向利用乘法的分配律进行运算的方法是很熟悉，对于第（3）小题的逆向利用平方差公式的运算则有一定的困难，因此，有必要引导学生复习七年级所学过的整式的乘法运算中的平方差公式，帮助他们顺利地逆向运用平方差公式．
第二环节 看谁想得快
活动内容：993–99能被哪些数整除？你是怎么得出来的？
学生思考：从以上问题的解决中，你知道解决这些问题的关键是什么？
活动目的：引导学生把这个式子分解成几个数的积的形式，继续强化学生对因数分解的理解，为学生类比因式分解提供必要的精神准备．
注意事项：由于有了第一环节的铺垫，学生对于本环节问题的理解则显得比较轻松，学生能回答出993–99能被100、99、98整除，有的同学还回答出能被33、50、200等整除，此时，教师应有意识地引导，使学生逐渐明白解决这些问题的关键是——把一个多项式化为积的形式．
第三环节 看谁算得准
活动内容：
计算下列式子：
（1）3x(x-1)= ； （2）m(a+b+c)= ；
（3）（m+4）(m-4)= ； （4）（y-3）2= ；
（5）a(a+1)(a-1)= ．
根据上面的算式填空：
（1）ma+mb+mc= ； （2）3x2-3x= ；
（3）m2-16= ； （4）a3-a= ；
（5）y2-6y+9= ．
活动目的：在第一组的整式乘法的计算上，学生通过对第一组式子的观察得出第二组式子的结果，然后通过对这两组式子的结果的比较，使学生对因式分解有一个初步的意识，由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力．
注意事项：由于整式的乘法运算是学生在七年级已经学习过的内容，因此，学生能很快得出第一组式子的结果，并能很快发现第一组式子与第二组式子之间的联系，从而得出第二组式子的结果．
第四环节 学生讨论
活动内容：
比较以下两种运算的联系与区别：
a(a+1)(a-1)= a3-a a3-a= a(a+1)(a-1)
在第三环节的运算中还有其它类似的例子吗？除此之外，你还能找到类似的例子吗？
结论：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
辨一辨：下列变形是因式分解吗？为什么？
（1）a+b=b+a （2）4x2y–8xy2+1=4xy(x–y)+1
（3）a(a–b)=a2–ab （4）a2–2ab+b2=(a–b)2
活动目的：通过学生的讨论，使学生更清楚以下事实：
（1）分解因式与整式的乘法是一种互逆关系；
（2）分解因式的结果要以积的形式表示；
（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数；
（4）必须分解到每个多项式不能再分解为止．
注意事项：学生通过讨论，能找出分解因式与整式的乘法的联系与区别，基本清楚了“分解因式与整式的乘法是一种互逆关系”以及“分解因式的结果要以积的形式表示”这两种事实，后两种事实是在老师的引导与启发下才能完成．
第五环节 反馈练习
活动内容：
3、 看谁连得准
x2-y2 . (x+1)2
9-25 x 2 y(x -y)
x 2+2x+1 (3-5 x)(3+5 x)
xy-y2 (x+y)(x-y)
4、 下列哪些变形是因式分解，为什么？
（1）（a+3）(a -3)= a 2-9
（2）a 2-4=( a +2)( a -2)
（3）a 2-b2+1=( a +b)( a -b)+1
（4）2πR+2πr=2π（R+r）
活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对因式分解意义的理解是否到位，以便教师能及时地进行查缺补漏．
注意事项：从学生的反馈情况来看，学生对因式分解意义的理解基本到位．
第六环节 学生反思
活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？明白了哪些道理？
活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对因式分解意义的理解，进一步清楚地了解分解因式与整式的乘法的互逆关系，加深对类比的数学思想的理解，对矛盾对立统一的观点有一个初步认识．
巩固练习：课本第93页习题4.1第1，2，3题
思考题：课本第94页习题4.1第4题（给学有余力的同学做）
第四章 因式分解
2．提公因式法（一）
教学目标
（一 ） 教学知识点 让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式
（二 ） 能力训练要求 通过找公因式，培养学生的观察能力
（三 ） 情感与价值观要求
在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成独立思考的习惯
教学重点 能观察出多项式的公因式，并根据分配率把公因式提出来
教学难点 让学生识别多项式的公因式
教学过程
本节课设计了七个教学环节：算一算——想一想——议一议——试一试——做一做——反馈练习——学生反思．
第一环节 算一算
活动内容：计算：（1）
学生回答：你是用什么方法计算的？这个式子的各项有相同的因数吗？
活动目的：引入这一步的目的旨在让学生通过乘法分配律的逆运算（因数分解）这一特殊算法，使学生通过类比的思想方法很自然地过渡到正确理解提公因式法的概念上，从而为提公因式法的掌握扫清障碍．
教学效果：学生对于利用乘法的分配律进行逆运算的方法很熟悉，能很快找到这个式子各项有的相同因数
，在提出公因数
后，很快得出这一题的计算结果是7．
第二环节 想一想
活动内容：多项式 ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式 x2+4x呢？多项式mb2+nb–b呢？
结论：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．
活动目的：在学生能顺利地寻找数的简便运算中的公因数之后，再深一步引导学生采用类比的方法由寻找相同的因数过渡到在多项式中寻找相同的因式．
教学效果：由于有了第一环节的铺垫，再从数过渡到式，学生能很快用类比的方法找到这些式子中相同的因式．
第三环节 议一议
活动内容：
多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式是什么？
结论：（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；
（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；
（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．
活动目的：
由于第二环节提供的几个多项式比较简单，不能反映公因式的全部特征，而通过本环节中寻找多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式，则可很顺利的归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力
教学效果：
每一个多项式都由两部分组成：系数部分与字母部分，因此，有必要将系数部分与字母部分分开讨论．在教师的引导下，学生能分别找出公因式的系数部分与字母部分，最后找到这个多项式的公因式．在学生具备初步的判断能力之后，应该将学生的能力进一步升华，引导他们归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力．
第四环节 试一试
活动内容：
将以下多项式写成几个因式的乘积的形式：
（1）ab+ac （2）x2+4x （3）mb2+nb–b
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
活动目的：
让学生尝试着使用因式分解的意义以及提公因式法的定义进行几个简单的多项式的分解，为过渡到较为复杂的多项式的分解提供必要的准备．
教学效果：
由于有了因数分解的基础以及对提公因式法的正确理解和运用，学生能较快地从数的分解过渡到字母的因式分解．
第五环节 做一做
活动内容：将下列多项式进行分解因式：
（1）3x+x3 （2）7x2–21x
（3）8a3b2–12ab3c+ab （4）–24x3–12x2+28x
学生归纳：提取公因式的步骤：
（1）找公因式； （2）提公因式．
易出现的问题：（1）第（3）题中的最后一项提出ab后，漏掉了“+1”；
（2）第（4）题提出“–”时，后面的因式不是每一项都变号．
矫正对策：（1）因式分解后括号内的多项式的项数与原多项式的项数是否相同；
（2）如果多项式的第一项带“–”，则先提取“–”号，然后提取其它公因式；
（3）将分解因式后的式子再进行单项式与多项式相乘，其积是否与原式相等．
活动目的：根据用提公因式法进行因式分解时出现的问题，在教师的启发与指导下，学生自己归纳出提公因式的步骤及怎样预防提取公因式时出现类似问题，为提取公因式积累经验．
教学效果：第（1）（2）两小题是简单题，对学生的要求不高，学生能很快完成这两小题，但当多项式的项数多了，或首项出现负号时，部分同学会产生思维上的困难，此时，教师有必要引导学生分步进行分解：如，先将负号提出，然后再提取其它的公因式，并提醒学生在完成分解后，应再用整式的乘法进行逆向检查，查出错误予以纠正．
第六环节 反馈练习
活动内容： 1、找出下列各多项式的公因式：
（1）4x+8y （2）am+an （3）48mn–24m2n3 （4）a2b–2ab2+ab
2、将下列多项式进行分解因式：
（1）8x–72 （2）a2b–5ab （3）4m3–8m2
（4）a2b–2ab2+ab （5）–48mn–24m2n3 （6）–2x2y+4xy2–2xy
活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对公因式概念的理解是否到位，提取公因式的方法与步骤是否掌握，以便教师能及时地进行查缺补漏．
教学效果：从学生的反馈情况来看，学生对公因式概念的理解基本到位，提取公因式的方法与步骤基本掌握，但依然有部分同学出现第五环节中的问题，如对首项出现负号时不能正确处理，此时，需要老师进一步引导．
第七环节 学生反思
活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？你认为提公因式法与单项式乘多项式有什么关系？
活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对确定公因式的方法及提公因式法的步骤的理解，进一步清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，加深对类比的数学思想的理解，对矛盾对立统一的哲学观点有一个初步认识．
巩固练习：
课外作业：
3.公式法（二）
教学目标：
知识与技能：
（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；
（2）会用完全平方公式进行因式分解；
（3）使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．
数学能力：
（1）发展学生的观察能力和逆向思维能力；
（2）培养学生对完全平方公式的运用能力．
情感与态度：
通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生感受事物间的因果联系．
教学过程:
本节课设计了六个教学环节：做一做——辨一辨——试一试——想一想——反馈练习——学生反思．
第一环节 做一做
活动内容：填空：
（1）（a+b）（a-b） = ；（2）（a+b）2= ；
（3）（a–b）2= ；
根据上面式子填空：
（1）a2–b2= ；（2）a2–2ab+b2= ；
（3）a2+2ab+b2= ；
结 论：形如a2+2ab+b2 与a2–2ab+b2的式子称为完全平方式．
活动目的：学生通过观察，把整式乘法中的完全平方公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力，第（1）组a2–b2是起提示作用．
注意事项：学生通过观察能找到第一组式子与第二组式子之间的对应关系．
第二环节 辨一辨
活动内容：观察下列哪些式子是完全平方式？如果是，请将它们进行因式分解．
（1）x2–4y2 （2）x2+4xy–4y2 （3）4m2–6mn+9n2 （4）m2+6mn+9n2
结论：找完全平方式可以紧扣下列口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；
完全平方式可以进行因式分解，
a2–2ab+b2=（a–b）2 a2+2ab+b2=（a+b）2
活动目的：加深学生对完全平方式特征的理解，并由此得出因式分解的完全平方公式．
注意事项：由于有了七年级的整式乘法的学习基础，同时对照口诀，大多数学生能顺利识别完全平方式，但少部分同学由于对完全平方公式的特征的理解模糊，不能很好地掌握完全平方公式，这需要老师更加耐心地引导和启发．
第三环节 试一试
活动内容：把下列各式因式分解：
（1）x2–4x+4 （2）9a2+6ab+b2
（3）m2–
（4）
活动目的：（1）培养学生对平方差公式的应用能力；
（2）让学生理解在完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．
注意事项：学生对第（3）小题含有分数的完全平方公式应用起来有一定的困难，有的学生由于受解方程的影响，习惯首先去分母，再因式分解，这是很多学生经常犯的一个错误．
第四环节 想一想
活动内容：
将下列各式因式分解：
（1）3ax2+6axy+3ay2 （2）–x2–4y2+4xy
活动目的：使学生清楚地了解提公因式法（包括提取负号）是分解因式首先考虑的方法，再考虑用完全平方公式分解因式．
注意事项：在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成：（1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法进行因式分解.
第五环节 反馈练习
活动内容：
1、判断正误：
（1）x2+y2=（x+y）2 ( ) （2）x2–y2= (x–y)2 ( )
（3）x2–2xy–y2= (x–y)2 ( ) （4）–x2–2xy–y2=–（x+y）2 ( )
2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：
（1）x2–x+
（2）9a2b2–3ab+1
（3）
（4）
3、把下列各式因式分解：
（1）m2–12mn+36n2 （2）16a4+24a2b2+9b4
（3）–2xy–x2–y2 （4）4–12（x–y）+9（x–y)2
活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对完全平方公式的特征是否清楚，对完全平方公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．
注意事项：当完全平方公式中的a与b 表示两个或两个以上字母时，学生运用起来有一定的困难，此时，教师应结合完全平方公式的特征给学生以有效的学法指导．
第六环节 学生反思
活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？你认为分解因式中的平方差公式以及完全平方公式与乘法公式有什么关系？
注意事项：学生认识到了以下事实：
（1）有公因式则先提取公因式；
（2）整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式是互逆关系；
（3）完全平方公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；
课后练习：课本第103页习题4.5第1、2、3题；
思考题：习题4.5第4题（给学有余力的同学做）
课外作业：
第四章 因式分解
●教学目标
（一）教学知识点
1.复习因式分解的概念，以及提公因式法，运用公式法分解因式的方法，使学生进一步理解有关概念，能灵活运用上述方法分解因式.
2.熟悉本章的知识结构图.
（二）能力训练要求
通过知识结构图的教学,培养学生归纳总结能力,在例题的教学过程中培养学生分析问题和解决问题的能力.
（三）情感与价值观要求
通过因式分解综合练习,提高学生观察、分析能力；通过应用因式分解方法进行简便运算，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识.
●教学重点
复习综合应用提公因式法,运用公式法分解因式.
●教学难点
利用分解因式进行计算及讨论.
●教学方法
引导学生自觉进行归纳总结.
●教具准备
投影片三张
第一张（记作§4.6 A）
第二张（记作§4.6 B）
第三张（记作§4.6 C）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
［师］前面我们已学习了因式分解概念,提公因式法分解因式,运用公式法分解因式的方法,并做了一些练习.今天,我们来综合总结一下.
Ⅱ.新课讲解
（一）讨论推导本章知识结构图
［师］请大家先回忆一下我们这一章所学的内容有哪些?
［生］（1）有因式分解的意义,提公因式法和运用公式法的概念.
（2）分解因式与整式乘法的关系.
（3）分解因式的方法.
［师］很好.请大家互相讨论,能否把本章的知识结构图绘出来呢?（若学生有困难,教师可给予帮助）
［生］
（二）重点知识讲解
［师］下面请大家把重点知识回顾一下.
1.举例说明什么是分解因式.
［生］如15x3y2+5x2y－20x2y3=5x2y（3xy+1－4y2）
把多项式15x3y2+5x2y－20x2y3分解成为因式5x2y与3xy+1－4y2的乘积的形式,就是把多项式15x3y2+5x2y－20x2y3分解因式.
［师］学习因式分解的概念应注意以下几点:
（1）因式分解是一种恒等变形,即变形前后的两式恒等.
（2）把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止.
2.分解因式与整式乘法有什么关系?
［生］分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形.
如:ma+mb+mc=m（a+b+c）
从左到右是因式分解,从右到左是整式乘法.
3.分解因式常用的方法有哪些?
［生］提公因式法和运用公式法.可以分别用式子表示为:
ma+mb+mc=m（a+b+c）
a2－b2=（a+b）（a－b）
a2±2ab+b2=（a±b）2
4.例题讲解
投影片（§4.6 A）
［例1］下列各式的变形中,哪些是因式分解?哪些不是?说明理由.
（1）x2+3x+4=（x+2）（x+1）+2
（2）6x2y3=3xy·2xy2
（3）（3x－2）（2x+1）=6x2－x－2
（4）4ab+2ac=2a（2b+c）
［师］分析：解答本题的依据是因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式是因式分解，否则不是.
［生］解:（1）不是因式分解,因为右边的运算中还有加法.
（2）不是因式分解,因为6x2y3不是多项式而是单项式,其本身就是积的形式,所以不需要再因式分解.
（3）不是因式分解,而是整式乘法.
（4）是因式分解.
投影片（§4.6 B）
［例2］将下列各式分解因式.
（1）8a4b3－4a3b4+2a2b5;（2）－9ab+18a2b2－27a3b3;
（3）
－
x2; （4）9（x+y）2－4（x－y）2;
（5）x4－25x2y2; （6）4x2－20xy+25y2;
（7）（a+b）2+10c（a+b）+25c2.
投影片（§4.6 C）
［例3］把下列各式分解因式:
（1）x7y3－x3y3; （2）16x4－72x2y2+81y4;
［师］从上面的例题中,大家能否总结一下分解因式的步骤呢?
［生］可以.
分解因式的一般步骤为:
（1）若多项式各项有公因式,则先提取公因式.
（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.
（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.
Ⅲ.课堂练习
1.把下列各式分解因式
（1）16a2－9b2; （2）（x2+4）2－（x+3）2; （3）－4a2－9b2+12ab;
（4）（x+y）2+25－10（x+y）
2.利用因式分解进行计算
（1）9x2+12xy+4y2,其中x=
,y=－
;（2）（
）2－（
）2,其中a=－
,b=2.
Ⅳ.课时小结
1.师生共同回顾,总结因式分解的意义,因式分解的方法及一般步骤,其中要特别指出:必须使每一个因式都不能再进行因式分解.
2.利用因式分解简化某些计算.
Ⅴ.课后作业
§4.6回顾与思考
一、1.讨论推导本章知识结构图
2.重点知识讲解
（1）举例说明什么是因式分解.
（2）分解因式与整式乘法有什么关系?
（3）分解因式常用的方法有哪些?
（4）例题讲解
例1、例2、例3
（5）分解因式的一般步骤
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业
第五章 分式与分式方程
1. 认识分式（一）
●教学目标
（一）教学知识点
1.在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感.
2.了解分式产生的背景和分式的概念，了解分式与整式概念的区别与联系.
3.掌握分式有意义的条件，认识事物间的联系与制约关系.
（二）能力训练要求
1.能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，经历对具体问题的探索过程，进一步培养符号感.
2.培养学生认识特殊与一般的辩证关系.
（三）情感与价值观要求
通过丰富的现实情境，使学生在已有数学经验的基础上，了解数学的价值，发展“用数学”的信心.
●教学重点
1.了解分式的形式
（A、B是整式），并理解分式概念中的一个特点：分母中含有字母；一个要求：字母的取值限制于使分母的值不得为零.
2.掌握分式基本性质的内容，并有意识地运用它化简分式.
●教学难点
1.分式的一个特点：分母含有字母；一个要求：字母的取值限制于使分母的值不能为零.
2.分子分母进行约分.
●教学方法讲练相结合
●教具准备：投影片：
第一张：固沙造林，绿化家园，（记作§5.1.1 A）；第二张：做一做，（记作§5.1.1 B）；
第三张：议一议，（记作§5.1.1 C）；第四张：例1，（记作§5.1.1 D）；
第五张：练一练，（记作§5.1.1 E）.
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］我们先试着解答下面的问题：
出示投影片（§5.1.1 A）
面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成任务.原计划每月固沙造林多少公顷？
这一问题中有哪些等量关系？
如果原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要____________个月，实际完成一期工程用了____________个月.
根据题意，可得方程____________.
师生互动：
像
这样的代数式同整式有很大的不同，而且它是以分数的形式出现的，它们是不同于整式的一个很大的家族，我们把它们叫做分式.
从现在开始我们就来研究分式，相信同学们只要去认真了解分式家族中每个成员的特性，不久的将来，一定会很迅速准确解出上面两个方程.
Ⅱ．讲授新课
1.通过实例理解分式的意义及分式与整式的区别.
［师］下面我们再来看几个问题：出示投影片§5.1.1 B
做一做
（1）2010年上海世博会吸引了成千上万的参观者，某一时段内的统计结果显示，前a天日均参观人数35万人，后b天日均参观人数45万人，这（a+b）天日均参观人数为多少万人？
（2）一箱苹果售价a元，箱子与苹果的总质量为m kg，箱子的质量为n kg，则每千克苹果的售价是多少元？
（3）有两块棉田，有一块x公顷，收棉花m千克，第二块y公顷，收棉花n千克，这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少？
（4）文林书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册a元，现降价x元销售，当这种图书的库存全部售出时，其销售额为b元.降价销售开始时，文林书店这种图书的库存量是多少？
我们再来看投影片（§3.1.1 C）
议一议
上面问题中出现了代数式
，它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？
（分组讨论后回答）
上面的几个代数式的共同特征：
（1）它们都是由分子、分母与分数线构成；（2）分母中都含有字母.
［生］它们与整式的不同点就在于它们的分母中都含有字母，而整式的分母中不含有字母.例如：
它们都含有分母，但分母中不含字母，所以它们是整式.
［师］同学们能够结合前后知识理解上述代数式，很好！下面我们给出这种代数式即分式的概念：
整式A除以整式B，可以表示成
的形式.如果除式B中含有字母，那么称
为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母.
分式中，字母可以取任意实数吗？
［生］不可以.因为分式中分母含有字母，而分母是除式，不能为零.字母的取值就受到制约即字母的取值不能使分母为零，否则，分式就会无意义.
2.例题讲解
［师］下面我们接着来看投影片（§5.1.1 D）
想一想
（1）下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
5x－7,3x2－1,
,
,－5,
,
,
.
（2）①当a=1，2时，分别求分式
的值.
②当a为何值时，分式
有意义？
③当a为何值时，分式
的值为零？
Ⅲ.随堂练习
巩固分式的概念，讨论分式有意义的条件限制.
出示投影片（§5.1.1 E）
1.当x取什么值时，下列分式有意义？
（1）
；（2）
;（3）
分析：当分母的值为零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义.
解：（1）由分母x－1=0，得x=1.
所以，当x取除1以外的任何实数时，分式
都有意义.
（2）由分母x2－9=0，得x=±3.
所以，当x取除3和－3以外的任何实数时，分式
都有意义.
（3）由分母x2+1可知，x取任何实数时，x2是一个非负数，所以x2+1不管x取何实数时，x2+1都不会为零.即x取任何实数，
都有意义.
2.把甲、乙两种饮料按质量比x∶y混合在一起，可以调制成一种混合饮料，调制1 kg这种混合饮料需多少甲种饮料？
解：根据题意，调制1 kg这种混合饮料需
kg甲种饮料.
Ⅳ.课时小结
通过今天的学习，同学们有何收获？（鼓励学生积极回答）
Ⅴ.课后作业
第五章 分式与分式方程
1．认识分式（二）
一、学生知识状况分析
学生的技能基础：学生在上节课了解了分式的概念，在小学学过分数的基本性质，所以可类比分数的基本性质来学习分式的基本性质，在上节课已初步掌握了类比的学习方法，在前几章中还学习了分解因式，这些都为本节课的学习奠定基础．
学生活动经验基础：在相关的学习中学生初步具备了观察、归纳、类比、猜想的能力以及自主探索、合作交流的能力．
二、教学任务分析
本节课的学习任务是让学生掌握分式的基本性质和分式的约分，这也是本节课的重点。在学习分式的的基本性质时，可类比分数的基本性质来学习，要引导学生用类比的方法，通过对分式的基本性质的归纳，培养学生观察，类比，推理的能力。本节课的教学目标为：
1.理解分式的基本性质并能利用性质进行分式的约分；
2.通过对分式的基本性质的归纳，培养学生观察，类比，推理的能力；
3.让学生在讨论活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力．
三、教学过程分析
本节课设计了六个环节：知识准备——情景引入——例题讲解——课堂反馈——课堂小结。
第一环节 知识准备
活动内容：
复习分数的基本性质．
问题：
的依据是什么？
活动目的：
通过分数的约分复习分数的基本性质，通过类比来学习分式的基本性质．
注意事项：
学生对于分数的基本性质掌握较好，基本能说出分数的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数，分数的值不变。
第二环节 情景引入
活动内容：
通过对上题的回答，来回答本题，寻求两者之间的联系．与同伴讨论交流，从而归纳出分式的基本性质．
问题：你认为分式
与
相等吗？
与
呢？
活动目的：
让学生通过观察，类比，推理出分式的基本性质，并让学生明白类比的理由是字母可以表示任何数．
注意事项：
通过对分数的基本性质的理解，可类比得出分式的基本性质，但学生只想到分式的分子分母同时乘以或除以一个数，不容易想到整式，另外这个整式不能为零，老师要引导学生想到这一点．
第三环节 例题讲解
活动内容：
例1、下列等式的右边是怎样从左边得到的?
（1）
（2）
例2、化简下列分式：
（1）
（2）
活动目的：
通过例1加深学生对分式的基本性质的理解和应用．例2让学生了解把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式．引导学生找出他们的公因式，并学会利用分式的基本性质进行约分，使结果为最简分式或整式．
注意事项：
有的学生在应用分式的基本性质时往往分式的分子与分母没有同时乘以或除以同一个公因式．有些学生不能正确找到分子、分母的公因式，导致约分的错误和不彻底．
实际教学例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的?
（1）
（2）
第四环节 课堂反馈
活动内容
做一做
1．填空
（1）
（2）
2．化简
（1）
（2）
议一议
在
时，米仓和阿呆出现了分歧，米仓认为
=
，而阿呆认为
=
，你对他们的做法有何看法?与同伴交流．
活动目的：
通过做一做，和议一议，检查学生对分式的约分的掌握情况，对于错误及时指出并纠正．
注意事项：
在教学中让学生将约分的步骤分为这样几步，首先将找出分子和分母公因式并提取，再将分式的分子和分母同时除以公因式．最后看看结果是否为最简分式或整式．
第五环节 课堂小结
活动内容和目的：
通过问题的形式让学生自己总结出这节课的主要内容，谈谈在学习过程中有哪些困难和新发现．
1、 这节课你有哪些收获？
课后作业
第五章 分式与分式方程
5.2 分式的乘除法
一、学生知识状况分析
知识技能基础：学生在小学已经学过分数的乘除法，掌握了分数的乘除法法则，在学习分式的乘除法法则时可通过与分数的乘除法法则进行类比学习。在前面学习了整式乘法和因式分解，为分式的运算和结果的化简奠定基础。
能力基础：在过去的数学学习过程中，学生已初步具备观察、分析、归纳的能力和类比的学习方法。
二、教学任务分析
具体学习任务分析 ：本节课的重点是分式乘除法的法则及应用，难点是分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算。分式的乘除法与分数的乘除法类似，所以可通过类比，探索分式的乘除运算法则的过程，会进行简单的分式的乘除法运算，分式运算的结果要化成最简分式和整式，也就是分式的约分，要求学生能解决一些与分式有关的简单的实际问题。因此，本课时的教学目标是：
知识和技能： 1、分式的乘除运算法则
2、会进行简单的分式的乘除法运算
能力训练要求： 1、类比分数的乘除运算法则，探索分式的乘除运算法则。
2、能解决一些与分式有关的简单的实际问题。
情感态度价值观：1、通过师生讨论、交流，培养学生合作探究的意识和能力。
2、培养学生的创新意识和应用意识。
三、教学过程分析
第一环节 复习旧知识
复习小学学过的分数的乘除法运算。
活动内容
1、计算，并说出分数的乘除法的法则：
（1）
（2）
；
分数乘以分数，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分数除以分数，把除数的分子分母颠倒位置，与被除数相乘.
活动目的：
复习小学学过的分数的乘除法运算，为学习分式乘除法的法则做准备。
教学效果：
学生能准确的说出分数的乘除法运算法则。
第二环节 引入新课
活动内容
猜一猜：
；
你能总结分式乘除法的法则吗？与同伴交流。
，
分式的乘除法的法则:
两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;
两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
活动目的：
让学生观察运算，通过小组讨论交流，并与分数的乘除法的法则类比，让学生自己总结出分式的乘除法的法则。
教学效果：
通过类比分数的乘除法的法则，学生明白字母代表数，这样很顺利的得出分式的乘除法的法则。
第三环节 知识运用
活动内容
例题1:（1）
（2）
例题2： （1）
（2）
活动目的：
需要给学生强调的是分式运算的结果通常要化成最简分式或整式，对于这一点，很多学生在开始学习分式计算时往往没有注意到结果要化简。
教学效果：
一般先分解因式，并在运算过程中约分，可以是运算简化。
活动内容：
例题3
通常购买同一品种的西瓜时,西瓜的质量越大,花费的钱越多,因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形,并把西瓜瓤的密度看成是均匀的,西瓜的皮厚都是d,已知球的体积公式为
(其中R为球的半径),那么，(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少?
(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少?
(3)你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算?与同伴交流
活动目的：
能解决一些与分式有关的简单的实际问题。
教学效果：
通过以上例题帮助学生总结出分式乘除法的运算步骤：
当分式的分子与分母都是单项式时：
(1)乘法运算步骤是，①用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；②把分式积中的分子与分母分别写成分子与分母的分因式与另一个因式的乘积形式，如果分子(或分母)的符号是负号，应把负号提到分式的前面；③约分
(2)除法的运算步骤是，把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，其它与乘法运算步骤相同。
当分式的分子、分母中有多项式，①先分解因式；②如果分子与分母有公因式，先约分再计算.
③如果分式的分子(或分母)的符号是负号时，应把负号提到分式的前面.
最后的计算结果必须是最简分式.
第四环节 课堂反馈
活动内容：
化简：（1）
（2）
（3）
对本节知识进行巩固练习
教学效果：
在总结出分式乘除法的运算步骤后，大部分学生能很好的掌握，但是还有些学生忘记运算结果要化成最简形式，老师要及时提醒学生。 式的知识没掌握好，将会影响到分式的运算，所以有的学生有必要复习和巩固一下分解因式的知识。
第五环节 课堂小结
活动内容：
1．分式的乘除法的法则
2．分式运算的结果通常要化成最简分式或整式.
3. 学会类比的数学方法
布置作业:课本P77习题3.3第1、2题
活动目的：本课的回顾与小节。
课后作业：
第五章 分式与分式方程
3．分式的加减法（一）
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在小学时已经学习过同分母分数的加减，异分母分数的加减运算法则，在初一学习了整式的加减，在上一章学习了因式分解，本章又学习了分式及其乘除，都为这一节课的学习做好了铺垫。由分数加减运算类比分式的加减是这节内容的要害。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生经历过许多类比和猜测的活动，如实数的加减运算类比整式的合并同类项；由
在
时的值的情况去猜测
时的情况，由正整数相乘去发现规律猜测与负整数的乘法等，这些活动经验都为本节学习有很好的启迪。
二、教学任务分析
1、类比同分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则。
2、理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算。
3、通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想。
三、教学过程设计
本节课设计了6个教学环节：情景引入——同分母加减——练习巩固——拓展提高——课堂小结——布置作业
第一环节 情景引入
活动内容
做一做：
猜一猜
活动目的：通过做一做的几道同分母分数加减的题，引导学生用类比的思想，猜一猜同分母分式的加减运算，并试图让学生认识其合理性。从而抛出同分母分式加减法的运算法则，点明本节课的主要内容。
活动的注意事项：通过人人都可以入手的做一做，让学生回答，可以使学生很快进入状态又不觉得困难。而后两个运算后要约分，学生极有可能报出没有约分的答案。因此，类比时注意引导学生，正确猜想，约分是分数的必要步骤哦，使法则的提出顺理成章，也为后面的学习做好铺垫。
运算法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
用式子表示为：
第二环节 同分母加减
活动内容
学习了同分母分式加减法的法则，是否会用还得先讲再练：
例1（1）
； （2）
；
（3）
； （4）
.
活动目的：教学生如何运用法则进行运算，通过这4道例题，让学生学会加减法运算并注意运算时可能出现的问题。
活动的注意事项：在进行运算时若分子是多项式的，分子要先带括号，再去括号后合并同类项；运算结果也类比分数加减法的结果，要化成最简形式，即约去分子与分母的所有公因式——化简。
第三环节 练习巩固
活动内容
练一练
(1)
; (2)
; (3)
;
活动目的:通过3道题的演练巩固，让学生对同分母分式的加减法有更好的认识与掌握。
活动的注意事项：通过学生的解答情况，对法则做进一步的讲解，力图让学生理解并掌握同分母分式的加减法法则。
第四环节 拓展提高
活动内容
例2 计算
（1）
； （2）
.
练一练
（1）
； （2）
（3）
活动目的：这是一组分母互为相反式的分式加减的题目，实则是简单的异分母分式的加减法，有了例题的讲解，又有练一练的巩固，应该能够掌握，第三小题有意增加难度，在于学生能力的提高。解答时只要将后一分母前的运算符号变为相反，即可按同分母分式的加减法法则进行运算。旨在初现异分母分式加减的运算，实则化成同分母的分式，这要求学生能够熟练掌握，。为下节课一般的异分母加减做好准备。
活动的注意事项：通过例题来理解分母互为相反式的分式加减运算，改变运算符号实质等同于乘以-1，也就是后面要讲的通分，学生刚接触肯定是略有难度，应精心讲解，耐心指导学生完成练一练。
第五环节 课堂小结
活动内容：
1、同分母分式加减法则是：同分母的分式相加减。分母不变，把分子相加减。
2、学会用转化的思想将分母互为相反式的分式加减运算转化成同分母分式的加减法。
3、分子是多项式时，一定记得添括号后再进行加减运算。
4、类比方法很多时候是对的哦，学会用这种方法去分析和解决问题。
活动目的：结合本节课的学习，同学生一起总结主要内容喝关键点，从而使学生对所学内容能更好的理解并掌握，激发学生学好数学的积极性。
活动的注意事项：留有时间小结，同时学生自发老师补充，对3要特别提出，它对运算的正确性至关重要。
第六环节 布置作业
1、P118-119 随堂练习和习题5.4
2、提升训练（选做）（1）
（2）
第五章 分式与分式方程
3．分式的加减法（二）
一、学生起点分析
学生知识技能基础：学生在上节课已经学习过同分母的分式相加减及分母互为相反式分式的加减运算。在第四章又学习了因式分解，在本章的前面几节课中，回忆了分数的基本性质，学习了分式的基本性质、分式的约分及分式的乘除等。对这节课异分母分式相加减内容的学习都有了充分的铺垫。
二、教学任务分析
会找最简公分母，能进行分式的通分；
理解并掌握异分母分式加减法的法则；
经历异分母分式的加减运算和通分的探讨过程，训练学生的分式运算能力。
培养学生在学习中转化未知问题为已知问题的能力和意识；进一步通过实例发展学生的符号感和用数学的意识。
三、教学过程设计
本节课设计了7个教学环节：问题引入——学习新知——运用新知——小试牛刀——分式加减应用——拓展提高——课堂小结。
第一环节 问题引入
活动内容
问题1：同分母分式是怎样进行加减运算的？
问题2：异分母分数又是如何进行加减？
问题3：那么
?你是怎么做的？
活动目的：通过回忆同分母分式的加减法法则、异分母分数的加减法运算，来引出本节课的内容，同时又对问题3点明了类比的思想方法，使进入新知识的学习顺理成章。
活动的注意事项：学生回答时应帮助辅正，对问题2 的回答要注意引导其为问题3服务，从而转入到异分母分式的加减法学习，学生在回答问题3时，应耐心听学生的想法，便于后面的教学有的放矢，不盲目不一味的个人表演。
第二环节 学习新知
活动内容
（1）议一议
小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母的分式的加减问题就变成了同分母的分式的加减问题。小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同：
小明：
小亮：
你对这两种做法有何评论？与同伴交流。
（2）异分母分式加减法的法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算．
用式子表示为：
.
活动目的：在很自然转到异分母分式的加减问题时。化异分母分式为同分母分式就成为关键所在，通过议一议让学生理解最简公分母对通分好处。在讨论之后明确异分母分式加减法的法则，直截了当让学生再次体会到类比分数的效果，进一步领悟这种思想方法。用式子表达法则定理是数学语言的特色，应当让学生学会。
活动的注意事项：这里的小明，小亮两人的做法很有代表性，也是学生在化异分母为同分母的过程经常出现的，这就很自然提到通分的概念，引导学生类比最小公倍数确定最简公分母。当然，从最后结果来说，都是对的，这就要求我们耐心引导。
第三环节 运用新知
活动内容
例3（1）
； （2）
； （3）
.
活动目的：通过例3讲解异分母分式加减法法则的应用，让学生在学习之后开始掌握运用知识，通过不同梯度的三道例题，呈现异分母分式加减的三种形式，让学生体会法则的运用要因题而变，而万变不离其宗——异分母分式加减法法则。
活动的注意事项：在化成同分母分式的过程中，学生可能会出现一些麻烦，这要求我们根据具体情况加以引导，关键还是一个类比思想起主导，最简公分母类比最小公倍数。同时还要疏导学生在（3）题中出现小明的问题，开始渗透分母是多项式的且可以进行因式分解时，应分解因式后再通分。同样，对于通分后的分子是多项式的也要先添括号后再进行运算。
第四环节 小试牛刀
活动内容
1、 将下列各组分式通分：
；
；
.
2、 计算：
；
；
活动目的：第1题让学生练习通分，既是检查学生掌握找最简公分母的情况，又用来发现学生在化成同分母中的困难，帮助老师正确引导，及时纠正。第2题就是考查学生运用法则进行运算的能力，从1到2及每一小题都设置梯度上升就是为了让学生循序渐进的掌握知识，不突兀的给学生设置障碍，以免打击学生的学习信心和兴趣。
活动的注意事项：学生在完成分母是多项式的分式通分时可能会遇到困难，这时候应该及时指导，积极鼓励，应该让学生明确通分的依据就是分数的基本性质，分母边了分钟也要跟着变，防止学生产生畏难情绪就此放弃。在通分后分子是多项式的应提醒学生添括号，再进行加减运算，最后结果也要约分。
第五环节 分式加减的应用
活动内容
例4 小刚家和小丽家到学校的路程都是3km，其中小丽走的是平路，骑车速度2v km/h．小刚需要走1km 的上坡路、2km 的下坡路，在上坡路上的骑车速度为vkm/h，在下坡路上的骑车速度为3vkm/h．那么
（1）小刚从家到学校需要多长时间？
（2）小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间？
活动目的：通过这个实例，提高学生运用分式表达数量之间的关系，并运用分式的加减运算解决实际问题的能力，和增强学生用数学解决问题的意识。讲解这个题目时，可以采取学生演板，大家讨论、交流的形式，给老师发现学生在用知识时真正的“症结”所在，有助于教学的针对性。
活动的注意事项：此题难度不大，关键是看学生是否会用分式表示量并解决量之间关系的问题。同时应该关注学生的书写规范，及时指导。
第六环节 拓展提高
活动内容
用两种方法计算：
.
活动目的：由同分母分式加减法到异分母分式加减法，认识过程顺理成章，而解决的主要思想就是类比，那么学习了乘除和加减，学生也可能会好奇的问到混合运算，此题就有此意，正常运算顺序给学生一个知识的线性联系和运用，而两种方法的提出，则是附带了乘法分配律的拓宽运用，有时候使得计算变得更加简单，应该让学生了解。另外，此题也可进一步考查学生的分式运算能力。
活动的注意事项：分式运算应该问题不是很大，运算顺序学生也应该知道，但是乘法的分配律在这里能不能用学生可能存在疑惑，所以应根据具体情况老师给予及时指导或明确告知，让学生比较两种方法，遇到具体问题时会进行选择，为后面分式的化简求值做好铺垫。
第七环节 课堂小结
活动内容：
1、 异分母分式相加减的法则。
2、 通分的关键就是找最简公分母，对于分母是多项式且能够进行分解因式的要先分解后再类比最小公倍数找最简公分母。
3、 通分前是单项式的分子通分后就可能是多项式了，运算时记得添括号。
4、 运算结果要约分，有一些运算律仍然适用。
活动目的：小结本节课的主要内容，让学生对所学习知识有一个整体把握，同时帮助梳理知识，再次点明关键点。
活动的注意事项：可以选择让学生自己小结的方式，效果可能更好。
布置作业：
4．分式方程（一）
教学目标
知识与技能：
（1）通过对实际问题的分析，感受分式方程刻画现实世界的有效模型的意义。
（2）通过观察，归纳分式方程的概念。
（3）体会到分式方程作为实际问题的模型，能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义。
过程与方法：
采用的是尝试——归纳相结合的方法，根据开始提出的多个实际问题。教师鼓励学生进行尝试，利用具体情境中的等量关系列出分式方程，归纳出分式方程的定义。
情感与态度：
在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力。
教学重点：
探索分式方程的概念，分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验根的合理性
教学难点：
列方程解应用题
教学过程
本节课设计了6教学环节：小麦实验田问题——高速公路问题——电脑网络培、训问题——捐款问题——管理问题——课时小节。
1． 板书课题，揭示目标
2． 自学指导
请同学们认真考虑下列问题：
第一环节 小麦实验田问题
甲、乙两地相距1400 km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9 h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍。
（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
（2）如果设特快列车的平均行驶速度为x km/h，那么x 满足怎样的方程？
（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需y h，那么y 满足怎样的方程？
活动目的
为了让学生经历从实际问题抽象、概括分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程在解决实际生活问题中作用，关键是引导学生努力寻找问题中的所有等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力。
第二环节 高速公路问题
从甲地到乙地有两条长路：一条是全长600
的普通公路，另一条是全长480
的高速公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45
，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间。
这一问题中有哪些等量关系？
如果设客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为
，那么它由普通公路从甲地到乙地所需的时间为 _________________
。
根据题意，可得方程_______________________________________________-
活动目的
让学生经历从实际问题抽象、概括分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型作用，关键是引导学生寻找问题中的等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力。
教师点拨：
找出的等量关系有（1）600km=客车在普通公路上行驶的平均速度
客车由普通公路从甲地到乙地的时间。
（2）480 km=客车在高速公路上行驶的平均速度
客车由高速公路从甲地到乙地的时间。
（3）客车在高速公路上行驶的平均速度减去客车在普通公路上行驶的平均速度=45km/h
（4）由高速公路从甲地到乙地的时间=
×由普通公路从甲地到乙地的时间。
同样注意引导学生每一步的实际意义。
第三环节 电脑网络培训问题
王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元。后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，原定的人数是多少？
这一问题中有哪些等量关系？
如果设原定是
人，那么每人平均分摊______________元。
人数增加到原定人数的2倍后，每人平均分摊_________________元。
根据题意，可得方程_______________________________________________-.
活动目的
由浅入深，出了一道比上题难度大一点的问题。还是为了训练学生找出问题中的所有等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力。
教师点拨：
找出如下的等量关系
（1） 实际参加活动的人数=原定人数×2。
（2） 原计划每个同学平均分摊的费用=实际每个同学平均分摊的费用+4元。
根据题意：
第四环节 捐款问题
为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园。某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款恰好相等。如果设第一次捐款人数为
人，那么
满足怎样的方程
活动目的:这次让学生独立思考，不再借助别人的力量。根据前面几题的练习，看同学们对找等量关系到底掌握了多少。特别关注那些后进生。以便及时调整教学进度。
第五环节 管理问题
某商场有管理人员40人，销售人员80人，为了提高服务水平和销售量，商场决定从管理人员中抽调一部分人充实销售部分，使管理人员与销售人员的人数比为1：4，那么应抽调的管理人员数
满足怎样的方程？
活动目的
这个例题还是采取独立思考的原则，主要是针对刚才教师发现上一题做慢，做错的同学。努力引导他们找到问题中的等量关系。
第六环节 课时小节
本节你有哪些收获，有什么感想？
1. 对于一个现实问题
找到它的等量关系
建立分式方程
2．分母中含有未知数的方程叫做分式方程
布置作业：
第五章 分式
4．分式方程（二）
总体说明
本节是分式的第4小节，这是第二课时，本课时主要研究分式方程的解法，只要求会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）．解分式方程的关键是把分式方程转化为整式方程，在引导学生探索分式方程的解法时，要注意体现这种转化的思想．
一、学生知识状况分析
学生的技能基础：在上一节课的基础上，学生基本了解分式方程的概念，熟悉等式的性质并能利用等式的性质解一元一次方程中，了解一般一元一次方程的解法,去分母,去括号,移项,合并同类项,化系数为1,并理解每一步的根据是什么,从而能通过观察类比的方法，探索分式方程的解法并能理解解题步骤的根据.
学生活动经验基础：本节课主要采用观察、类比的方法、讨论的形式，学生比较熟悉，能在二元一次方程转化为一元一次方程的基础上，再次体会数学转化思想．
二、教学任务分析
在上一节课中，学生通过对实际问题的分析，已经感受到分式方程是刻画现实世界的有效模型，本节课安排《分式方程》第二课时，旨在学会解分式方程，能从中体会数学转化思想的深刻含义，为此，本课时的教学目标是：
知识与技能：
（1） 体会分式方程到整式方程的转化思想．(2)掌握分式方程的解法．
数学能力：
（1） 培养学生的数学转化思想．(2)培养学生的观察、类比、探索的能力．
情感与态度：
鼓励学生独立思考，认真观察，大胆猜想，积极动手，提高分析问题与解决问题能力．
三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：回顾——想一想——试一试——议一议——练一练——学生小结——反馈练习．
活动目的：
回顾等式性质，解一元一次方程的解法，着重复习去分母的步骤，为学生过渡到分式方程去分母．
注意事项：
学生能很快回忆起根据等式性质，找出各分母的最小公分母,两边同时乘以相同的因式，达到去分母的目的，并能熟练解出方程．但是,部分学生容易出现去分母时漏乘某一项,特别是不含分母的项.另外,学生还容易出现的错误是:去分母后,如果分子是多项式,漏去括号,导致计算错误,这些错误在解分式方程时也容易出现,在复习一元一次方程时老师对这一点要重点强调.在复习解一元一次方程时,老师还应强调检验方程的根,培养学生严谨的作风,并为解分式方程的验根打下基础.
第二环节：想一想活动内容：
解下列分式方程：
活动目的：
引导学生仔细观察，采用类比的方法找出解分式方程的关键――去分母，把分式方程转化为整式方程即一元一次方程．
注意事项：
通过观察类比，学生容易发现只要方程两边同时乘以相同的因式 ，可以去分母，使方程变为学过的一元一次方程，从而解快了问题．另外,学生还能根据比例的性质:内项积等于外项积.解出这个方程,对于这部分学生应该鼓励,肯定数学一题多解.
第三环节：试一试活动内容：
解下列分式方程
活动目的：
使学生进一步体会并熟悉分式方程的解法，并强调检验方程的解．
注意事项：
通过前面的探索体验，学生都很有兴趣并能基本掌握分式方程的解法，并在老师的指导下，规范书写过程．在解题过程中,要提醒学生注意可先化简原方程,从而达到简便运算的目的.
第四环节：议一议
活动内容：
解分式方程
时，小明的解为
，他的答案正确吗？
活动目的：
让学生通过解这个方程，并思考问题，从而产生疑惑，展开讨论，了解分式方程会产生增根．
注意事项：
在解这个方程的过程中,学生容易忽视两个分母互为相反数,所以在去分母时会化简为繁.要提醒学生先将一个分母化为另一个分母的相反数.另外这个方程把学生易犯的错误集中在一起,例如-2这一项没乘公分母.通过仔细观察，积极讨论，学生都发现
使原方程无意义，了解增根的概念，及产生的原因，提高了对方程验根的重视程度,总结出验根的方法(其方法是代入最简公分母中或原方程中进行检验,使分母为零的是增根,否则不是)
第五环节：练一练
活动内容：解下列分程
（1）
（2）
活动目的：
让学生认真完成从审题到最后检验的完整过程，熟练掌握解题方法．
注意事项：
学生解第一小题时，从比例式的性质出发，利用外项积等于内项积的性质，交叉相乘，和利用等式性质去分母一样，都能把分式方程转化为整式方程．解第二题时，有的学生因为审题不仔细，把
和
当成两个不同的整式，给计算带来不必要的麻烦．反应出有些学生处理问题的能力的欠缺．
第六环节：学生小结
活动内容：在今天的学习活动中，你学会了哪些知识？掌握了哪些数学方法？
活动目的：鼓励学生独立思考，并用自己的语言描述，然后再与同伴讨论、交流自己的结果．通过学生的回顾小结，加深分式方程解法和数学转化思想的理解．
注意事项：学生在解方程过程中易犯的错误：1、解方程时忘记检验；2、去分母时忘记加括号；3、去分母时漏乘不含分母的项.
第七环节：反馈练习
活动内容：1. 方程
的解为（ ）
A．1 B. -1 C.
D. 0
2．方程
的解为___________．
3．解方程
4．若关于
的方程
有增根,则
的值为_______．
活动目的:
通过学生的反馈练习,使老师能全面了解学生对分式方程解法的掌握程度,以及对增根的理解,以便老师能及时进行查漏补缺.
注意事项：
从学生的反馈练习中来看,学生能熟练解出分式方程,但对增根的理解及灵活处理还不够,在今后的练习中还要巩固渗透，要让学生弄清增根产生的原因，因此要正确验根从而排除增根．
课后练习：请完成课后作业解下列方程
1．
2．
课后作业
第五章 分式与分式方程
4．分式方程（三）
总体说明
本节是分式方程的第4小节，共三个课时，这是第三课时，本节课主要让学生经历“实际问题——分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识．教学中设置丰富的实例，这些实例涉及工业、农业、环保等方面，关注学生从现实生活中发现并提出数学问题的能力，关注学生能否尝试用不同方法寻求问题中的数量关系，并用分式方程表示，能否表达自己解决问题的过程．
一、学生知识状况分析
学生的技能基础：在上一节课的基础上，学生已经熟练掌握了分式方程的解法，为本节课的深入学习提供了良好的基础．
学生活动经验基础：学生已经经历过用一元一次方程和二元一次方程组解决实际应用问题，会用数学模型表示简单的数学等量关系．
二、教学任务分析
学生在学习了分式方程以及分式方程的解法并能熟练地解方程之后，如何将这些技能应用于现实生活当中，也就是将生活中某些问题模型化，本节课安排了《分式方程》的第三课时，旨在培养学生的应用意识和解决实际问题的能力，为此，本节课的教学目标是：
知识与技能：
（1）能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用．
（2）经历“实际问题——分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程．
数学能力：
（1）学会举一反三，进一步提高分析问题与解决问题的能力．
（2）提高学生的阅读理解能力，从多角度思考问题，注意检验，解释所获得结果的合理性．
情感与态度：
初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识；初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性；体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心；．
三、教学过程分析
本节课设计了7个教学环节：回顾——练一练——想一想——试一试——做一做——学生小结—反馈练习
第一环节：回顾
活动内容：1.列一元一次方程解应用题的一般步骤有哪些？
2.列一元一次方程解下列应用题:
某工人原计划13小时生产一批零件，后因每小时多生产10件，用12小时不但完成了任务，而且还比原计划多生产了60件，问原计划生产多少零件?
活动目的：回顾列一元一次方程解应用题的一般步骤，引出新问题．
教学效果：
首先请一位学生分析题中的已知条件和未知条件,列出题中所反应的等量关系式,再让所有学生列出方程并解出方程.大部分学生依然记得列方程解应用题的基本方法，并能很快解出这一题．只有小部分学生有些困难，在老师和同学的帮助下也能完成．
第二环节:练一练
活动内容:
解下列分式方程:
活动目的:
复习上节课内容:解分式方程，为本节课提供基础.
教学效果：
经过上一节课的学习，学生都能熟练解分式方程.但是部分学生没有先化简,方程两边应先除以60,再解方程,对于这一点老师应强调,因为实际应用题中的数据有时很大,如果不化简,会给计算带来麻烦.
第三环节:想一想
活动内容:
你能用所学过的知识和方法为下列应用题列出方程吗?
(1).一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时.现在该从甲站到乙站所用其所的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是
千米/时，请根据题意列出方程.
(2)“华联”商厦进货员在苏州用80000元购进某品牌衬衫，后又在上海用176000元购进这种品牌衬衫，数量是从苏州购进的2倍，只是单价比苏州的贵4元，请问从苏州购进的衬衫每件多少元?
活动目的:
引导学生通过独立思考和小组讨论的形式，用所学过的列方程解应用题的一般方法去解决问题，鼓励学生大胆尝试. 形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．
教学效果：
完成 “ 设未知数——找等量关系——列代数式——列出方程 ” 这一过程，小部分有困难的同学在老师和小组的帮助下也能完成任务．
第四环节：试一试
活动内容：
某单位将沿街的一部分房屋出租．每间房屋的租金第二年比第一年多500元，
所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.
(1) 你能找出这一情境中的等量关系吗?
(2) 根据这一情境你能提出哪些问题?
(3) 你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗?
活动目的:
引导学生从不同角度寻求等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识．
教学效果：
学生都能找出所有房屋的总租金和每间房屋的租金以及房屋总数之间的关系式，并能提出解出房屋总数的问题，应用列方程的一般方法解决这个问题，并能多角度思考问题，提出很多不同问题．
第五环节：做一做
活动内容：某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨
，小丽家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元．已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5立方米，求该市今年居民用水的价格．
活动目的：
在老师的指导下，老师和学生一起完成“设未知数——分析等量关系——列代数式——列出方程——解方程到验证解的合理性”这一完整过程，并规范书写．
教学效果：
首先，老师询问学生家中的每月用水情况，要求学生能关心家庭生活，又得到了节约用水的教育．学生根据一个月的总水费等于每一吨水费乘以一个月的用水的总吨数，再根据“小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5立方米”这一条件，列出等量关系式，从而列出分式方程，有了前面的基础，学生能很快和老师一起完成上述过程．
第六环节：学生小结
活动内容：
你能用自己的语言总结这节课的主要内容，并谈谈你的感受．
活动目的：
初步学会从数学的角度提出问题、理解问题．
教学效果：
学生都能积极参与活动，感受到数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；
第七环节：反馈练习
活动内容：
独立完成下列问题：
1.小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书．科普书的价格比文学书高出一半，困此他们所买的科普书比所买的文学书少1本，这种科普书和这种文学书的价格各是多少？
2.某化肥厂计划在
天内生产化肥120吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划成本生产120吨的时间相等，那么适合
的方程是（ ）
A．
B.
C.
D.
3．全民健身活动中，组委会组织了长跑队和自行车进行宣传，全程共10千米，自行车队速度是长跑队的速度的2.5倍，自行车队出发半小时后，长跑队才出发，结果长跑队比自行车车队晚到了2小时候，如果设长跑队跑步的速度为
千米/时，那么根据题意可列方程为 （ ）
A.
B.
C.
D.
活动目的:使学生体会丰富的实例， 乐于接触社会环境中的数学信息，巩固用分式方程解决实际问题的技巧．
教学效果：
以上练习题密切联系学生生活实际，又关注社会热点问题，学生大部分能将实际问题转化为数学模型，并进行解答，解释解的合理性。
作业:课本
第五章 《分式与分式方程》
●教学目标
（一）教学知识点
1.用分式表示生活中的一些量.2.分式的基本性质及分式的有关运算法则.
3.分式方程的概念及其解法. 4.列分式方程，建立现实情境中的数学模型.
（二）能力训练要求
1.使学生有目的的梳理知识，形成这一章完整的知识体系.
2.进一步体验“类比”与“转化”在学习分式的基本性质、分式的运算法则及其分式方程解法过程中的重要作用.
3.提高学生的归纳和概括能力，形成反思自己学习过程的意识.
（三）情感与价值观要求
使学生在总结学习经验和活动经验的过程中，体验因学习方法的大力改进而带来的快乐，成为一个乐于学习的人.
●教学重点
1.分式的概念及其基本性质.2.分式的运算法则.3.分式方程的概念及其解法.
4.分式方程的应用.
●教学难点1.分式的运算及分式方程的解法.2.分式方程的应用.
●教学方法讨论——交流法 讨论交流本章学习过程中的经验和收获，在反思过程中建立知识体系.
●教具准备投影片两张，实物投影仪
第一张：问题串，（记作§5.5 A）第二张：例题分析，（记作§5.5 B）
●教学过程
Ⅰ.提出问题，回顾本章的知识.
出示投影片（§5.5 A）
问题串：
1.实际生活中的一些量可以用分式表示，一些问题可以通过列分式方程解决，请举一例.
2.分式的性质及有关运算法则与分数有什么异同？
3.如何解分式方程？它与解一元一次方程有何联系与区别？
［师］同学们可针对以上问题，以小组为单位讨论、交流，然后在全班进行交流.
（教师可参与于学生的讨论中，注意扫除他们学习中常犯的错误）
［生］实际生活中的一些量可以用分式表示，例如（用实物投影）
某人在外面晨练，有m分钟，他每分钟走a米；有n分钟，他每分钟跑b米.求此人晨练平均每分钟行多少米？
［生］我们组来回答此问题，此人晨练时平均每分钟行
米.
我们组也举出一个例子：长方形的面积为8 m2,长为p m,宽为____________ m.
某车间加工1200个零件后，采用了新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用10 h，采用新工艺前、后每时分别加工多少个零件？
解：设采用新工艺前、后每时分别加工x个，1.5x个，根据题意，得
=
+10
解，得x=40,1.5x=40×1.5=60.
经检验x=40是原方程的根，也符合题意.
答：采用新工艺前后每时分别加工40个、60个.
［师］下面我们来看第二个问题.
［生］分式的性质及其有关运算与分数的异同，我们组列表如下：
式子
分数
分式
A、B是两个整数，B≠0
A、B是两个整式，B含有字母，字母的取值应保证B≠0
=
M是不等于零的数，分数基本性质，分数通分
M是不等于零的整式，分式基本性质
=
M是不等于零的数，分数基本性质，分数约分
M是不等于零的整式，分式基本性质，分式约分
·
=
分数乘法法则
分式的乘法法则
÷
=
分数除法法则
分式除法法则
±
=
同分母分数加减法法则
同分母分式加减法法则
±
=
±
=
异分母分数加减法法则
异分母分式加减法法则
［师］用列
表格
关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载
的方式，使分数与分式的性质及其运算法则的异同清晰可见.你们的想法老师很欣赏.
［生］我们组来回答第三个问题吧.先看第一问.解分式方程分三步：第一步，去分母，把分式方程转化为整式方程；第二步，解这个整式方程；第三步，将整式方程的根代入最简公分母，如果使最简公分母为零，则此根为原方程的增根，若最简公分母不为零，则此根是原方程的解.
［生］我认为从解分式方程的步骤就可以看出分式方程是通过去分母转化为一元一次方程后完成的.但解分式方程必须检验，这就是和一元一次方程的区别.因为在把分式方程转化为整式方程时，方程两边同乘以含未知数的最简公分母，若解出的整式方程（这里通常是一元一次方程）的根使最简公分母为零，则原分式方程无意义，所以分式方程必须验根.
［师］同学们三个问题都回答得很好.下面我们来看一组例题（出示投影片§3.5 B）
［例1］当x为何值时，下列分式的值为零.
（1）
；（2）
.
［例2］约分
（1）
;（2）
.
解：
［例3］计算：
（1）
÷（
－
） （2）
－
［例4］下列解法对吗？若不对，请改正.
（1）解方程
=
－3
方程两边同乘以x－2,得1=－（1－x）－3
x=5
［错因分析与解题指导］在方程两边同乘（x－2）时，右边－3项漏乘了.去分母时，特别要当心原方程中原来“没有分母”（其实是分母为1）的项，不要漏乘.
正确解法：
方程两边同乘以（x－2），得1=－（1－x）－3（x－2）
解，得x=2
检验：将x=2代入x－2=0.
所以x=2是原方程的增根，原方程无解.
Ⅱ.建立知识结构图.
（在学生回忆、反思的过程中，建立知识结构图）
［师生共析］
Ⅲ.课时小结
这节课我们通过回顾与思考，更进一步体会到了分式和分式方程这样的数学模型如何去解决生活中的实际问题，并且提高了运算的能力和对算理的进一步理解.
Ⅳ.课后作业
Ⅴ.活动与探究
甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖.甲进货的策略是：每次买1000元钱的糖；乙进货的策略是每次买1000斤糖，最近他俩同去买进了两次价格不同的糖，问两人中谁的平均价格低一些？
B－A=
－
=
=
＞0
所以乙的平均价格高.按甲的进货策略进货更合理.
●板书设计
§5.5 回顾与思考
第六章 平行四边形
１. 平行四边形的性质（一）
知识与技能目标：
学生在小学已经学习过平行四边形，对平行四边形有直观的感知和认识。
过程与方法目标：
在掌握平行线和相交线有关几何事实的过程中，学生已经初步经历过观察、操作等活动过程，获得了一定的探索图形性质的活动经验；同时，在学习数学的过程中也经历了很多合作过程，具有了一定的学习经验，具备了一定的合作和交流能力。
情感态度与价值观目标：
1．经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，在活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯；
2．探索并掌握平行四边形的性质，并能简单应用；
教学重点：
平行四边形性质的探索。
教学难点：平行四边形性质的理解。
教学方法：探索归纳法
教学过程
第一环节：实践探索，直观感知
1．小组活动一
内容：
问题1：同学们拿出准备好的剪刀、彩纸或白纸一张。将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片，将它们相等的一边重合，得到一个四边形。
（1）你拼出了怎样的四边形？与同桌交流一下；
（2）给出小明拼出的四边形，它们的对边有怎样的位置关系？说说你的理由，请用简捷的语言刻画这个图形的特征。
目的：
通过学生动手实践，引出平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；
平行四边形的相邻的两个顶点连成的一段叫做它的对角线。
教师进一步强调：平行四边形定义中的两个条件：①四边形，②两边分别分别平行即AD // BC 且AB // BC；平行四边形的表示 “□ ”。
2．小组活动二
内容：生活中常见到平行四边形的实例有什么呢？你能举例说明吗？
目的：加强知识的直观体验，使学生感受数学来源于生活，数学图形和生活是紧密相联系的。
效果：通过动手实践、探索、感知，学生进一步探索了平行四边形的概念，明确了平行四边形的本质特征。
第二环节 探索归纳、合作交流
小组活动三：
内容：⑴平行四边形是中心对称图形吗？如果是,你能找出他的对称中心并验证你的结论吗? ⑵你还发现平行四边形的那些性质呢?
活动目的：
这个探索活动与第一环节的探索活动有所不同，是从整体的角度研究平行四边形中心对称性的特征,明确了两条对角线的交点就是其对称中心，感知平行四边形的对边,对角的性质：平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等等。
活动注意事项：
引导学生动手操作、复制、旋转、观察、分析,在剪切平行四边形纸片时，要保证上下纸片的大小、形状完全相同。
第三环节 推理论证、感悟升华
1．实践探索内容
（1）通过剪纸，拼纸片，及旋转，可以观察到平行四边形的对应边、对应角分别相等。
（2）可以通过推理来证明这个结论。
例：如图6-2（1），四边形ABCD是平行四边形.
求证:AB=CD,BC=DA.
证明:如图6-2(2),连接AC.
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴AD // BC， AB // CD
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4
∴ △ABC和△CDA中
∠2=∠1
AC=CA
∠3=∠4
∴ △ABC≌△CDA（ASA）
∴ AB=DC， AD=CB
学生证明:平行四边形的对角相等.
2．活动目的：
学生通过说理，由直观感受上升到理性分析，在操作层面感知的基础上提升，并了解图形具有的数学本质。
3．活动效果：
“实践→认识→再实践→认识”是数学学习的重要方法，说理论证平行四边形的性质时学生能很好地接受，由此看出这一年龄段的学习完全可以由感性的认知上升到理性的证明。
第四环节 应用巩固 深化提高
1． 活动内容：
（1）练一练:已知:如图6-3，在ABCD中， E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF．
求证：BE=DF．
证明:∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AB = CD
AB // CD
∴ ∠BAE=∠DCF
又∵ AE=CF
∴ △BAE≌△DCF
∴ BE=DF
⑵ 议一议：如果已知平行四边形的一个内角度数，能确定其它三个内角的度数吗？
A（学生思考、议论）
B总结归纳：可以确定其它三个内角的度数。
由平行四边形对边分边平行得到邻角互补；又由于平行四边形对角相等，由此已知平行四边形的一个内角的度数，可以确定其它三个角度数。
2．活动目的：
通过练一练,议一议，学生进一步理解平行四边形的性质，并进行简单合情推理，体现性质的应用，同时从不同角度平移、旋转等再一次认识平行四边形的本质特征。
3．活动效果：
学生经过通过此环节的思、议、练进一步理解和应用掌握了平行四边形的性质特征，是对探索归纳：比较的综合提高。
第五环节 评价反思 概括总结
（1）经历了对平行四边形的特征探索，你有什么感受和收获？给自己一个评价。
（2）在与同伴合作交流中练表现，优秀方面有哪些？你看到同伴哪些优点？
（3）本节学习到了什么？（知识上、方法上）
布置作业
１. 平行四边形的性质（二）
知识与技能目标：
学生经历了对平行四边形性质探索的过程，掌握了平行四边形对边、对角的性质特征，并能简单应用。
过程与方法目标：
对平行四边形具有了一定的观察分析的能力和合情推理能力,具备了自行得出平行四边形对角线的性质的基础。
情感态度与价值观目标：
1．进一步掌握平行四边形对角线互相平分的性质,学会应用平行四边形的性质；
2．在应用中进一步发展学生合情推理能力，增强逻辑推理能力，掌握说理的基本方法。
3．通过解决问题，探究并归纳：“平行线间的距离处处相等”这一性质。
教学重点：平行四边形性质的应用
教学难点：发展合情推理及逻辑推理能力
教学过程
第一环节 回顾思考，引入新课
活动内容：
以问题串形式回顾平行四边形的概念和平行四这形的性质。温故知新。
1．平行四边形都有哪些性质？
2．回顾思考
选择题
（1）平行四边形ABCD中，∠A比∠B大20°，则∠C的度数为（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
（2）平行四边形ABCD的周长为40cm，三角形ABC的周长为25cm, 则对角线AC长为（ ）
A．5cm B．15cm C．6cm D．16cm
（3）平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于O，则全等三角形的对数有
参考答案：
1． C． 2． A． 3．4对．
活动目的：
1．通过（1）~（3）的问题串，反馈学生对平行四边形的对边、对角性质的理解和简单应用，同时总结结论：平行四边形对角线互相平分。
活动效果：
能真实客观反馈学生对上节“平行四边形性质”的情况，并有针对性的在本节补救强化。
第二环节 探索发现，灵活运用
活动内容：
1、 探索问题1
在上节课的做一做中,我们发现平行四边形除了边、角有特殊的关系以外，对角线还有怎样的特殊关系呢？
A．（学生思考、交流）得出：平行四边形的对角线互相平分。
B．请尝试证明这一结论
已知：如图6-4，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
求证:OA=OC,OB=OD.
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AB=CD AB//DC
∴ ∠BAO=∠DCO ∠ABO=∠CDO
∴ △AOB≌△COD
∴ OA=OC,OB=OD.
你还有其他的证明方法吗，与同伴交流。
活动目的：
通过对上节课做一做的回顾，得出平行四边形对角线互相平分的性质，再通过严格的说理证明，深化对知识的理解。
活动效果及注意：
因为有上节课的基础，学生对于定理的证明已具备一定的基础，但是在证明完定理后应该给学生强调：定理的证明只是让学生进一步理解定理，而在定理的运用时则没必要这么麻烦，直接由平行四边形可得出其对角线互相平分。
二、[练一练]
活动内容
探索问题2
例1.如图6-5，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O的直线分别与AD、BC交于点E、F.
求证:OE=OF.
A．议论交流
B．师生共析归纳
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AD=CB AD//BC OA=OC
∴ ∠DAC=∠ACB
又∵∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF
∴OE=OF
探索问题2
如图6-6, 平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, ∠ADB=900,OA=6,0B=3.求AD和AC的长度.
解: ∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC=6 OB=OD=3
∴AC=12
又∵∠ADB=900
∴在Rt△ADO中，根据勾股定理得
OA2=0D2+AD2
∴AD=3√3
活动目的：
通过练一练的两个问题的训练，进一步巩固平行四边形的性质，并学会应用。
第三环节 观察分析，理性升华
例2 已知，如图，在平行四边形ABCD中，平行于对角线AC的直线MN分别交DA，DC的延长线于M，N，交BA，BC于点P，点B，你能说明MQ=NP吗？
A．学生独立观察分析
B．交流探索
C．师生共析小结
解：
小结：利用平行四边形可以证明两线段相等
第四环节 巩固反馈，总结提高
活动内容：
一、通过练习，进一步应用平行四边形性质，达到掌握的程度。
1．在平行四边形ABCD中，∠A=150°，AB=8cm，BC=10cm，求平行四边形ABCD的面积。
A．学生议论B．师生共评
解：过A作AE⊥BC交BC于E，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC
∴∠BAD+∠B =180°
∵∠BAD =150°
∴∠B =30°
在Rt△ABE中，∠B =30°
∴AE =1/2AB=4
∴平行四边形ABCD的面积=4×10=40cm2
小结：平行四边形的问题，可以转化为三角形，问题解决。
活动目的：
由学生直观操作得出的结论与简单推理进行有机结合，是对探索活动的自然延续和必要发，本环节让学生应用的结论进行说理和推理实理理性升华，培养语言表达能力。
二、计算题
1．课本随堂练习
2．平行四边形ABCD的两条对角线相交于O，OA，OB，AB的长度分别为3cm、4cm、5cm，求其它各边以及两条对角线的长度。
解：
活动效果：
通过一组训练，达到了学生对平行四边形性质的掌握。
第五环节 评价反思，目标回顾
活动内容：
1．本节课你有哪些收获？你能将平行四边形的性质进行归纳吗？
2．本节通过实例，你如何理解“两条平行线间距离”？
3．利用平行四边形可以解决哪些问题？
4．你能给自己和同伴本节课一个评价吗？
5．布置作业
２. 平行四边形的判定（一）
知识技能目标
1．会证明平行四边形的2 种判定方法．
2．理解平行四边形的这两种判定方法，并学会简单运用．
过程与方法目标
1．经历平行四边行判别条件的探索过程，在有关活动中发展学生的合情推理意识．
2．在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力．
情感态度价值观目标
通过平行四边形判别条件的探索，培养学生面对挑战，勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，激发学生的学习热情．
教学重点：平行四边形判定方法的探究、运用．
教学难点：对平行四边形判定方法的探究以及平行四边形的性质和判定的综合运用．
教学方法：师生共同讨论法.
教学过程
第一环节 复习引入：
问题1（多媒体展示问题）
1．平行四边形的定义是什么？它有什么作用？
2．平行四边形还有哪些性质？
目的：
教师提出问题1，2，由学生独立思考，并口答得出定义正反两方面的作用，总结出平行四边形的其他几条性质．
在此活动中，教师应重点关注：
（1）学生参与思考问题的积极性；
（2）学生能否准确、全面地回答出平行四边形的全部性质；
（3）学生能否由平行四边形的性质，猜测出平行四边形的判断方法．
第二环节 定理探索
活动1：
工具:两对长度分别相等的笔.
动手:能否在平面内用这四根笔摆成一个平行四边形？
思考1.1：你能说明你所摆出的四边形是平行四边形吗？
已知：如图6-8（1），在四边形ABCD中，AB=CD,BC=AD
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明:如图6-8（2）连接BD.
在△ABD和△CDB中
∵AB=CD AD=CB BD=DB
∴△ABD≌△CDB
∴∠1=∠2 ∠3=∠4
∴AB∥CD AD∥CB
∴四边形ABCD是平行四边形
思考1.2：以上活动事实,能用文字语言表达吗？
得出：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
目的：
学生以小组为单位，利用课前准备好的学具动手操作、观察,完成探究活动1，共同得到：
（1）只有将两两相等的木条分别作为四边形的两组对边才能得到平行四边形．
（2）通过观察、实验、猜想到：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
通过学生的互相交流，口述其推理论证的过程．根据学生的认知水平，教师应估计到学生可能会在推理论证时遇到困难，所以应加以适当引导．
在此活动中，教师应重点关注：
（1）学生在拼四边形时，能否将相等两木条作为四边形的对边；
（2）转动四边形，改变它的形状的过程中，能否观察得到在此过程中它始终是一个平行四边形；
（3）学生能否通过独立思考、小组合作得出正确的证明思路．
活动2
工具:两根长度相等的笔,
两条平行线(可利用横格线）.
动手:请利用两根长度相等的笔能摆出以笔顶端为顶点的平行四边形吗?
利用两根长度相等的笔和两条平行线,能摆出以笔顶端为顶点的平行四边形吗?
思考2.1：你能说明你所摆出的四边形是平行四边形吗？
如图6-9（1），在四边形ABCD中，AB∥CD,
且AB=CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：如图6-9（2），连接AC.
∵ AB∥CD
∴ ∠BAC=∠ACD
又∵ AB=CD AC=CA
∴ △BAC≌△DCA
∴ BC=AD
∴ 四边形ABCD是平行四边形
思考2.2：以上活动事实,能用文字语言表达吗？
得出：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
目的：
得出平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
注意事项
在此活动中，教师应重点关注：
（1）学生实验操作的准确性；
（2）学生能否运用不同的方法从理论上证明他们的猜想、发现；
（3）学生使用几何语言的规范性和严谨性．
第三环节 巩固练习
（一）例1 如图6-10，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD和BC的 中点．
求证：四边形BFDE是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AD=CB AD//BC
又∵E、F分别是AD和BC的 中点
∴ED=1|2AD BF=1|2BC
∴DE=BF
又∵ED∥BF
∴四边形BFDE是平行四边形
(二)随堂练习1、2、3：
第四环节 回顾小结:
师生共同小结，主要围绕下列几个问题：
（1）判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种？这些方法是从什么角度去考虑的？
（2）我们是通过什么方法得出平行四边形的这几种判定方法的，这样的探索过程对你有什么启发？
（3）类比、观察、拼图、实验等都是学习数学、发现结论的常用方法．
目的: 鼓励学生畅所欲言，总结对本节课的收获和体会;自主建构知识体系，锻炼学生的口头表达能力,培养学生的自信心;进一步加深对所学知识的理解和记忆。
第五环节 布置作业:
２. 平行四边形的判定（二）
知识技能目标
1．会证明对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理．
2．理解对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理，并学会简单运用．
过程与方法目标
1．经历平行四边行判别条件的探索过程，在探究活动中发展学生的合情推理意识．
2．在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的几何表达能力．
情感态度价值观目标
通过平行四边形判别条件的探索，培养学生面对挑战，勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，激发学生的学习热情．
教学重点：平行四边形判定方法的探究、运用．
教学难点：对平行四边形判定方法的探究以及平行四边形的性质和判定的综合运用．
教学方法：师生共同讨论法.
教学过程
第一环节 复习引入：
问题1（多媒体展示问题）
1．平行四边形的定义是什么？它有什么作用？
2．判定四边形是平行四边形的方法有哪些？
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
目的：
1．教师提出问题1，2，由学生独立思考，并口答得出定义正反两方面的作用，总结出判定四边形是平行四边形的几个条件．
2．对比平行四边形的性质，猜测平行四边形判断的其他方法。
第二环节 探索活动
活动：
工具:两根不同长度的细木条.
动手:能否合理摆放这两根细木条,使得连接四个顶点后成为平行四边形？
思考2.1：你能说明你得到的四边形是平行四边形吗？
思考2.2：以上活动事实,能用文字语言表达吗？
(得出:对角线互相平分的四边形是平行四边形.)
已知:如图6-12,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,并且OA=OC,OB=OD.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明: ∵OA=OC,OB=OD
且∠AOB=∠COD
∴△AOB≌△COD
∴AB=CD
同理可得:BC=AD
∴四边形ABCD是平行四边形.
目的：
得出平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形
注意事项
在此活动中，教师应重点关注：
（1）学生实验操作的准确性；
（2）学生能否运用不同的方法从理论上证明他们的猜想、发现；
（3）学生使用几何语言的规范性和严谨性．
第三环节 巩固练习
例1 ．已知：如图6-13(1),在平行四边形ABCD 中，点E、F在对角线AC上，并且AE=CF．
求证:四边形BFDE是平行四边形吗？
变式练习:② 对于上述例题，若E，F继续移动至OA，OC的延长线上，仍使AE=CF（如图），则结论还成立吗？
随堂练习
1．判断下列说法是否正确
(1)一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 ( )
(2)两组对角都相等的四边形是平行四边形 ( )
(3)一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 ( )
(4)一组对边平行,一组邻角互补的四边形是平行四边形 ( ）
2．如图:AD是ΔABC的边BC边上的中线.
(1)画图:延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,CE;
(2)判断四边形ABEC的形状,并说明理由.
3．想一想：如图有一块平行四边形玻璃镜片,不小心打掉了一块,但是有两条边是完好的.同学们想想看，有没有办法把原来的平行四边形重新画出来？
（让学生思考讨论，再各自画图，画好后互相交流画法，教师巡回检查．对个别学生稍加点拨，最后请学生回答画图方法）
学生想到的画法有：
(1)分别过A，C作BC，BA的平行线，两平行线相交于D；
(2）分别以A，C为圆心，以BC， BA的长为半径画弧，两弧相交于D，连接AD，CD；
(3)这一种方法学生不易想到，即为平行四边形对角线的特性，引导学生得出连线AC，取AC的中点O，再连接BO，并延长BO到D，使BO=DO，连接AD，CD．
目的:通过练习进行强化和巩固,加深学生对定理的理解,从而达到灵活的运用.
第四环节 回顾小结：
（1）判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种？
（2）我们是通过什么方法得出平行四边形的这几种判定方法的，这样的探索过程对你有什么启发？
（3）平行四边形判定的应用
第五环节 布置作业：
２. 平行四边形的判定（三）
知识技能目标
1．运用类比的方法，通过学生的合作探究，得出平行四边形的判定方法．
2．理解对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理，并学会简单运用．
过程与方法目标
经历平行四边行判别条件的探索过程，在探究活动中发展学生的合情推理意识．
情感态度与价值观目标：
在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的几何表达能力．
教学重点：平行四边形判定方法的综合运用．
教学难点：平行四边形的性质和判定的综合运用．
教学过程
第一环节 复习引入：
问题1（多媒体展示问题）
1． 平行四边形的定义是什么？它有什么作用？
2． 平行四边形有那些性质?
3．判定四边形是平行四边形的方法有哪些？
目的：
教师提出问题,由学生独立思考，并口答得出定义正反两方面的作用.总结出平行四边形的性质和判定四边形是平行四边形的几个条件．
问题2 （多媒体展示问题）
在笔直的铁轨上,夹在铁轨之间的平行枕木是否一样长?
你能说明理由吗?与同伴交流.
目的:
从实际的生活出发,让学生感受数学来源于生活又服务于生活.
将生活中的问题抽象成数学问题:
已知，直线a//b，过直线a上任两点A，B分别向直线b作垂线，交直线b于点C，点D，如图，
（1）线段AC，BD所在直线有什么样的位置关系？
（2）比较线段AC，BD的长。
A．（学生思考、交流）
B．（师生归纳）
解（1）由AC⊥b，BD⊥b，得AC//BD。
（2）a//b，AC//BD，→四边形ACDB是平行四边形
→AC=BD
归纳：
若两条直线平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线间的距离。
即平行线间的距离相等。
[议一议]：
夹在平行线之间的平行线段一定相等吗？
结论:夹在平行线间的平行线段一定相等.
活动目的：
通过对平行四边形性质的简单应用，引入了平行线之间的距离的概念;再通过生活中的生活实例的应用，深化对知识的理解。
活动效果及注意：
1．在引入平行线之间的距离概念中，先引入点到直线的距离，再通过点到直线的距离来刻画平行线间的距离。
2．在应用平行四边形性质的同时深入知识、效果很好，学生易于接受。、
第二环节 探索活动
做一做:
如图6-15,以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形,并说明的画得方法和其中的道理.
目的：
通过网格中学生画平行四边形并说理,进一步让学生掌握平行四边形的判定定理.
第三环节 巩固练习
例1 ．如图6-16,在平行四边形ABCD中,点M、N 分别是AD、BC上的两点，点E、F在对角线BD上，且DM=BN，BE=DF.
求证：四边形MENF是平行四边形.
随堂练习：
如图：平行四边形ABCD中，∠ABC=700，∠ABC的平分线交AD于点E,过 D作BE的平行线交BC于点F ,
求∠CDF的度数.
(作法多种，可让学生板演，教师在学生中巡视，随时指出学生作业中的问题)
目的:进行强化和巩固,加深学生对平行四边形的性质定理和判定定理的理解,从而达到灵活的运用.
第四环节 回顾小结：
（1）平行四边形的性质有哪些，判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种？
（2）夹在平行线间的平行线段有何特点，你是怎样得到结论的？
（3）能综合运用平行线的性质和判定定理。
第五环节 布置作业：
3. 三角形的中位线
知识与技能目标：
（1） 知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同。
（2） 理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算。
（3） 通过对问题的探索及进一步变式，培养学生逆向思维及分解构造基本图形解决较复杂问题的能力．
过程与方法目标：引导学生通过观察、实验、联想来发现三角形中位线的性质，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观目标：
1、对学生进行事物之间相互转化的辩证的观点的教育。
情感目标
2、利用制作的课件，创设问题情景，激发学生的热情和兴趣，激活学生思维。
教学重点：三角形中位线定理
教学难点：证明三角形中位线性质定理时辅助线的添法和性质的录活应用．
教学过程
第一环节：创设情景，导入课题
１．怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？
操作：（1）剪一个三角形，记为△ABC
（2）分别取AB,AC中点D,E，连接DE
（3） 沿DE将△ABC剪成两部分，并将△ABC绕点E旋转180°，得四边形BCFD.
2、思考：四边形ABCD是平行四边形吗？
3、探索新结论：若四边形ABCD是平行四边形，那么ＤＥ与ＢＣ有什么位置和数量关系呢？
目的：通过一个有趣的动手操作问题入手入手，激发学生学习兴趣，然后设置一连串的递进问题，启发学生逆向类比猜想：ＤＥ∥ＢＣ，ＤＥ＝
ＢＣ．
由此引出课题．。
效果：激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究活动的兴趣。
第二环节：教师讲授，传授新知
内容： 引入三角形中位线的定义和性质
1．定义三角形的中位线，强调它与三角形的中线的区别．
2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
目的：通过学生前期的猜测，测量，初步感知三角形中位线的定理和性质。
第三环节：师生共析，证明定理
内容：已知：如图6-20（1），DE是△ABC的中位线.
求证:DE∥BC,DE=1／2BC
证明:如图6-20(2),延长DE到F,使
DE=EF,连接CF.
目的:通过严密的几何证明将三角形中位线定理进行证明,由感性到理性,使学生经历定理的探究过程,积累数学活动的经验.
第四环节：灵活运用，自我检测
内容:如图,顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形有什么特点？
学生容易发现：四边形ABCD是平行四边形
已知：在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，如图4-94．求证：四边形EFGH是平行四边形．
分析：
(1) 已知四条线段的中点，可设法应用三角形中位线定理，找到四边形EFGH的边之间的关系．而四边形ABCD的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连结AC或BD，构造“三角形的中位线”的基本图形．
练一练:
1. A、B两点被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小明通过下面的
方法估测出了A,B间 的距离：在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别 找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN = 20m，那么A、B两点的距离是多少？为什么 ？
2．已知:三角形的各边分别为6cm,8cm, 10cm，则连结各边中点所成三角形的周长为 cm,面积为 cm2,为原三角形面积的 。
3．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、
AC、BD的中点 。四边形EGFH是平行 四边形吗？
请证明你的结论。
目的:巩固三角形中位线定理,同时也兼顾平行四边形判定定理的熟练运用.
第五环节：回顾小结，共同提升
本节课学了哪些内容？
第六环节：分层作业，拓展延伸
4. 多边形的内角和与外角和（一）
知识与技能目标
掌握多边形内角和定理，进一步了解转化的数学思想
过程与方法目标
经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的合情推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会交流自己的思想和方法．
情感态度与价值观
让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满着探索和创造．
教学重点：多边形内角和定理的探索和应用
教学难点：多边形定义的理解；多边形内角和公式的推导；转化的数学思维方法的渗透．
教学方法：师生共同讨论法.
教学过程
第一环节 创设现实情境，提出问题，引入新课
1．三角形是如何定义的？
2．仿照三角形定义，你能学着给四边形、五边形……边形下定义吗？
3．结合图形认识多边形的顶点、边、内角及对角线。
目的：对概念分析和归纳，培养学生的口头表达能力和语言组织能力。同时渗透类比思想。
第二环节 实验探究
1．三角形的内角和是多少度？你是怎么得出的？
①用量角器度量：分别测量出三角形三个内角的度数，再求和。
②拼角：将三角形两个内角裁剪下来与第三个角拼在一起，可组成一个平角。
目的：学生分组，利用度量和拼角的方法验证三角形的内角和，为四边形内角和的探索奠定基础。
2．四边形的内角和是多少？你又是怎样得出的？
1度量 ； 2拼角； 3将四边形转化成三角形求内角和。
目的：学生先通过度量、拼角两种方法，猜想得出四边形的内角和是360°，然后引导学生利用分割的方法，将四边形分割成两个三角形来得到四边形的内角和，进一步渗透类比，转化的数学思想。
3．在四边形内角和的探索过程中，用到了几种方法，你认为哪种方法好？请讲述你的理由。
度量法：不精确；
拼角法：操作不方便；
当多边形边数较大时，度量法、拼角法都不可取。
第三种方法：精确、省事且有理论根据。
目的：通过几种方法的展示，比较几种方法的优劣，为五边形内角和的探索提供最简捷的方法。
4．根据四边形的内角和的求法，你能否求出五边形的内角和呢？
学生动手实践，小组讨论、交流，寻找解答方法，并共同进行归纳总结。
估计学生可能有以下几种方法：
方法1：如图1，连结AD、AC，五边形的内角和为：3×180°=540°。
方法2：如图2，连结AC，则五边形内角和为：360°+180°=540°。
方法3：如图3，在AB上任取一点F，连结FC、FD、FE，则五边形的内角和为：
4×180°-180°=540°。
方法4：如图4，在五边形内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则五边形内角和为：5×180°-360°=540°。
方法5：如图5，在AB上任取一点F，连结FD，则五边形的内角和为：
2×360°-180°=540°。
方法6：如图6，在五边开外任取一点O，连接OA、OB、OC、OD、OE，则五边形内角和为：4×180°-180°=540°。
小结：纵观以上各种证明思路，其共同点是通过图形分割，把五边形问题转化为熟悉的三角形、四边形问题来解决。
目的：由于四边形的内角和易求得，这里采用略讲，而着重研究求五边形的内角和。在课堂上应该留给学生充足的时间讨论、交流，寻求多种不同的分割方法来得出五边形的内角和。这既符合新课程教学理念，又符合学生的认知规律和年龄特征，同时渗透转化思想。
5．小组合作，完成下面的表格。
（课件出示讨论结果）
6．从表格中你发现了什么规律？
从边形的一个顶点可以引出条对角线，把边形分成个三角形。从而得出：边形的内角和是。
目的：在数学学习中，培养学生善于总结规律，构建知识体系是培养数学能力的一项重要内容，这样不仅使学生把本节课所学的知识形成一个完整的知识体系，而且进一步理解了多边形的内角和公式中的的来历，更有利于培养学生善于归纳、总结的数学习惯和能力。
第三环节 巩固训练
1．如图6-24，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，∠B与∠D有怎样的关系？
2．一个多边形的内角和为1440°，则它是几边形？
3．一个多边形的边数增加1，则它的内角和将如何变化？
结论：多边形每增加一条边，它的内角和增加180°
目的：通过本组练习题的训练，既巩固了新知，又训练了学生思维的灵活性与开阔性。同时在分组交流的过程中，学生又感受到了合作的重要性，体验到了成功的快乐，增强了学生的自信心。
第四环节 拓展延伸
1．想一想：观察图中的多边形，它们的边、角有什么特点？
正多边形定义：在平面内，每个内角都 、每条边也都 的多边形叫做正多边形。
目的：学生分组动手实践，通过度量和叠合，感知正多边形的特征（每个角都相等，每条边都相等），从而使得正多边形的定义的得出水到渠成。
2．议一议：
①一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？
②一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？
目的：通过辨析，进一步理解正多边形的定义。
3．练一练：
①正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？
②正边形的内角是多少度？
③一个正多边形的每个内角都是150°，求它的边数 ？
目的：本组练习的设计，不仅巩固了多边形内角和公式的应用，进一步理解了正多边形的定义，而且通过第③题的一题多解，培养学生的发散思维，引出下一课时“探索多边形的外角和”的学习，激发学生预习下一课时的兴趣，培养学生良好的学习习惯。
第五环节 思维升华
议一议: 剪掉一张长方形纸片的一个角后,纸片还剩几个角?这个多边形的内角和是多少度?与同伴交流.
目的：引导学生在探究实践的过程中，真正理解和掌握数学的知识、技能和数学思想方法，增强空间观念及数学思考能力的培养，并获得数学活动经验。
第六环节 知识小结
．过本节课的学习，你学到了哪些知识？有何体会？（多边形的有关概念、正多边形、多边形的内角和定理，并能利用公式进行计算）
第七环节 作业布置
4. 多边形的内角和与外角和（二）
知识与技能目标 经历探索多边形的外角和公式的过程;会应用公式解决问题；
过程与方法
培养学生把未知转化为已知进行探究的能力，在探究活动中，进一步发展学生的说理能力与简单的推理能力．
情感态度与价值观目标
让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满着探索和创造．
教学重点：多边形外角和定理的探索和应用．
教学难点：灵活运用公式解决简单的实际问题；转化的数学思维方法的渗透．
教学过程
第一环节 创设情境，引入新课
问题：（多媒体演示）清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步。
（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？
（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
（3）在上图中，你能求出∠1+∠2+ ∠3+ ∠4+∠5的结果吗？你是怎样得到的？
目的：利用生活情境，设计问题，激发学生的兴趣和积极性，同时给学生一定的思考空间。
第二环节 问题解决
对于上述的问题，如果学生能给出一些合理的解释和解答（例如利用内角和），可以按照学生的思路走下去。然后再给出“小亮的做法”或以“小亮做法”为提示，鼓励学生思考。如果学生对于这个问题无法突破，教师可以给出“小亮的做法”，或引导学生按“小亮的做法”这样的思路去思考，以便解决这个问题。
小亮是这样思考的：如图所示，过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA′，OB′，OC′，OD′，OE′，得到∠α，∠β，∠γ，∠δ，∠θ，其中，∠α=∠1，∠β=∠2，∠γ=∠3，∠δ=∠4，∠θ=∠5．
这样，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°
问题引申：
1．如果广场的形状是六边形那么还有类似的结论吗？
2．如果广场的形状是八边形呢？
目的：
通过问题的解决和延伸，引发学生自主思考，由特殊到一般，培养学生解决问题的逻辑思维能力，也为多边形外角和的得出做好铺垫。
第三环节 多边形的外角与外角和
1．多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。
2．在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。
探究多边形的外角和，提出一般性的问题：一个任意的凸n边形，它的外角和是多少？
鼓励学生用多种方法解决这个问题，可以参考第二环节解决特殊问题的方法去解决这个一般性的问题。
方法Ⅰ：类似探究多边形的内角和的方法，由三角形、四边形、五边形…的外角和开始探究；
方法Ⅱ：由n边形的内角和等于（n-2）·180°出发，探究问题。
结论：多边形的外角和等于360°
（1）还有什么方法可以推导出多边形外角和公式？
（2）利用多边形外角和的结论，能否推导出多边形内角和的结论？
第四环节 巩固练习
例1 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和为（n-2）﹒180°，外角和为360°。则根据题意，得（n-2）﹒180°=3×360°
解得n=8
所以这个多边形是八边形。
随堂练习
1．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是几边形?如果一个多边形的每个内角都相等，那么每个内角等于多少度？
2．右图是三个不完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边形？为什么？
挑战自我：
1．在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？
2．在n边形的n个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？
挑战自我的2个问题，对于新授课上的学生而言，难度是比较大的。因为之前不管是多边形的内角和还是外角和，基本上都是利用等式，从“正向”解决的。而这里要解决的问题，在解决的过程中，需要用到简单的不等式知识和“反证”的思想，对于初次接触这些的学生而言，难度是比较大的。教师要注意讲解的方式方法。
第五环节 课时小结
1、多边形的外角及外角和的定义；2、多边形的外角和等于360°；
3、在探求过程中我们使用了观察、归纳的数学方法，并且运用了类比、转化等数学思想.
第六环节 布置作业：
方案一
方案二
圆的面积不小于1.5m2
正方形面积不大于1m2
X满足的关系式
通风口规格
a
12
8
S正与S圆的关系
圆的面积/m2
正方形的面积/m2
x/m
�EMBED CorelDRAW.Graphic.9���
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x＞5
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
x≤4
-3 -2 -1 0 1
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
0
1
-1
-2
2
3
4
5
6
实际问题
写出两个函数表达式
不等式
解不等式
画出图象
分析图象
解决问题
概念
性质
解法
应用
一元一次不等式
一元一次不等式组
不等式的解集
不等式组的解集
解一元一次不等式
解一元一次不等式组
解集的数轴表示
审、列、解、验、答
4.6.1 探索多边形的内角和
多边形：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连所组成的封闭图形叫做多边形。
n边形的内角和=（n—2）·180°
正n边形的一个内角= �EMBED Equation.3��� =�EMBED Equation.3���
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