《电磁学》思考题和计算题 第四章
124
第四章 稳 恒 磁 场
§4.2 载流回路的磁场
习题：
3． 如图所示，一条无穷长载流直导线在一处折成直角，P 点在折线的延长线上，到折点的距
离为 a.
（１） 设所载电流为Ｉ，求Ｐ点的Ｂ；
（２） 当Ｉ＝２０Ａ，a＝2.0cm 时，Ｂ＝？
解： （１）
a
I
r
I
B
4
)cos(cos
4
0
21
0
21 ,
2
（２） 高斯4.0B
4．如图所示，一条无穷长直导线在一处弯成半径为 R 的半圆形，已知导线中的电流为 I，求
圆心处的磁感应强度 B。
解：圆心处的磁感强度为三部分的叠加，但长直导线
部分产生的磁感强度为零。因此只有半圆形载流导
线在圆心处产生磁场
R
I
R
I
B
422
1 00
5． 如图所示，一条无穷长直导线在一处弯折成 1/4 圆弧，圆弧
的半径为Ｒ，圆心在Ｏ，直线的延长线都通过圆心。已知
导线中的电流为Ｉ，求Ｏ点的磁感应强度。
解：与上题同理，只有１／４圆弧在Ｏ点产生磁场
R
I
R
I
B
824
1 00
9． 四条平行的载流无限长直导线，垂直地通过一边长为 a 的正方形顶点，每条导线中的电
流都是Ｉ，方向如图所示，
a) 求正方形中心的磁感应强度Ｂ；
b) 当 a=20cm,I=20A 时，Ｂ＝？
P a
I
Ｉ
Ｒ
Ｉ
Ｒ
I I
I I
⊙ ⊙
a a
⊙ ⊙
×
×
《电磁学》思考题和计算题 第四章
125
解： （１）Ｂ＝Ｂ１＋Ｂ２＋Ｂ３＋Ｂ４
a
I
a
I
BB
001
2
2
2
2/22
4c o s4
（２）Ｂ＝0.80 高斯
10． 如图所示，两条无限长直载流导线垂直而不相交，其间
最近距离为 d=2.0cm，电流分别为Ｉ１＝4.0A , Ｉ２=6.0A，Ｐ
点到两导线的距离都是 d, 求Ｐ点的磁感强度Ｂ。
解：
d
I
B
2
10
1 方向向里
d
I
B
2
20
2 方向向右
高斯72.022
2
1 BBB 方向为 B1和 B2的合矢量方向。
26． 一很长的螺线管，由外皮绝缘的细导线密绕而成，每厘米有 35 匝。当导线中通过的
电流为 2.0A 时，求这螺线管轴线上中心和端点的磁感应强度是多少高斯？
解：螺线管中心处 高斯88108.8 300
TnIB
螺线管端点处 高斯44104.42/ 30
TnIB
（不考虑边缘效应时，Ｂ端=B0/2）
其中：n=3500/m
３２、氢原子处在正常状态（基态）时，它的电子可看作是在半径为 a=0.53×10-8cm 的轨道
（叫做玻尔轨道）上作匀速圆周运动，速率为 v=2.0×108cm/s。求电子的这种运动在轨
道中心产生的磁感强度Ｂ的值。
解：电子的运动相当于半径为 R 的圆电流，在圆心处产生的磁感强度大小为
高斯5
2
0000 1025.15.12
42222
T
R
ev
R
ev
RT
e
RR
I
B
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
§4.3 磁场的高斯定理与安培环路定理
习题：
１、 一载有电流Ｉ的无穷长直空心圆筒，半径为Ｒ（筒壁厚度可以忽略），电流沿它的轴
线方向流动，并且是均匀地分布的。分别求离轴线为 r
R 处的磁场。
分析：无限长圆筒导体磁感应强度分布具有轴对称性，可由安培环路定理求得。
解：以轴线上一点为圆心，过场点做圆形环路 L。并取回路的绕行方向和电流方向满足
右手定则
当 r< R 时， 00
1
IldBL
得 B = 0
d
d
I1 d
I2 ⊙
P
《电磁学》思考题和计算题 第四章
126
当 r> R 时， IrBldB
L
02
2
得
r
I
B
2
0
2． 有一根长的载流导体直圆管，内半径为 a，外半径为 b，电流强度为Ｉ，电流沿轴线方向
流动，并且均匀地分布在管壁的横截面上。空间某一点到管轴的垂直距离为 r。求：
（１） rb 等各处的磁感强度。
解：根据对称性和安培环路定理
)(
2
)(
2
)(0
0
2
22
22
0
2
1
0
br
r
I
B
bra
ab
ar
r
I
B
arB
IldB
3、 一很长的导体直圆管，管厚为 5.0mm，外直径为 50mm，载有 50A 的直流电，电流沿轴
向流动，并且均匀地分布在管的横截面上。求下列几处的磁感强度Ｂ的大小：
a) 管外靠近外壁；
b) 管内靠近内壁；
c) 内外壁之间的中点。
解： 根据对称性和安培环路定理可求得
（１） 高斯0.4
22
00
1
R
I
r
I
B Rr
（２） 02 B
（２）
2 2
0
3 ( )/22 2
2.1高斯
2 r a b
I r a
B
r b a
※4．电缆由一导体圆柱和一同轴的导体圆筒构成。使用时，电流Ｉ从一导体流去，从另一
导体流回，电流都是均匀地分布在横截面上。设圆柱的半径为 r1,圆筒的内外半径分别为 r2
和 r3。r 为到轴线的垂直距离，求磁感强度的分布。
解：⑴据安培环路定理，当 r＞r3时，有：
B·dl 0)(μ II
0rB2 π
∴ 0B
⑵当 r2＜r＜r3时，据安培环路定理有：
I
a
b
《电磁学》思考题和计算题 第四章
127
B·dl )(μ II
由于内圆柱与外圆筒电流流向相反，故：
)(
)(
rrπ
rrπ
I
I
)(μ2 I
rr
rr
IrπB
rπ
Iμ
B
2
)(
rr
rr
⑶当 r1＜r＜r2时，据：
B·dl I0
IrπB μ2
r)I)/(2(B πμ
⑷当 0＜r＜r1时：
)(/ rπIj
SjI
1
)/()( rπrπI
B·dl )/(μμ rIrI
取 L 的环绕方向与 Iˊ成右手螺旋关系
2
μ
rπ
Ir
B
即
)(0
)(
2
)(
2
)(
2
32
322
2
2
3
22
30
2
21
0
2
12
1
0
1
0
rrB
rrr
rr
rr
r
I
B
rrr
r
I
B
rr
r
I
B
IldB
5、 一对同轴无穷长直的空心导体圆筒，内、外半径分别为Ｒ１和Ｒ２（筒壁厚度可忽略）。电
流Ｉ沿内筒流去，沿外筒流回。
a) 计算两筒间的磁感强度Ｂ；
I
r1
r2
r3
《电磁学》思考题和计算题 第四章
128
b) 通过长度为Ｌ的一段截面的磁通量Φ。
解： （１）应用安培环路定理可求得
两筒之间
r
I
B
2
0
（２）通过长度为Ｌ的一段截面的磁通量
1
200 ln
22
2
1 R
RIL
r
LdrI
SdB
R
R
6、 矩形截面的螺绕环，尺寸如图所示。
a) 求环内磁感强度的分布；
b) 证明通过螺绕环截面的磁通量为
2
10 ln
2 D
DNIh
解： （１）应用安培环路定理可求得，
螺绕环内部
r
NI
B
2
0
（２）通过螺绕环截面的磁通量
2
100 ln
22
2
1 D
DNIh
r
hdrNI
SdB
R
R
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
§4.4 磁场对载流导线的作用
习题：
2、 载有 10A 电流的一段直导线，长 1.0m，在 B=1.5T 的均匀磁场中，电流与 B 成角。求这
段导线所受的力。
解：根据安培定律 BlIdFd
导线受力大小为 NIlBF 5.7sin
方向垂直纸面向外。
3、 如图所示，有一根长为 l 的直导线，质量为 m，用细绳子平挂在外磁场 B 中，导线中通
有电流 I，I 的方向与 B 垂直。
a) 求绳子张力为０时的电流Ｉ。当 l=50cm，m=10g,B=1.0T 时，Ｉ＝？
I
a b
Ｄ１
Ｄ２
h
Ｉ 300
Ｂ
1.0m
《电磁学》思考题和计算题 第四章
129
b) 在什么条件下导线会向上运动？
解：（１）绳子中张力为零时，导线所受重力与磁场力平衡
I l Bmg Ｉ＝0.2A
（２）
lB
mg
ImgIlB 时，导线会向上运动。
4、 横截面积 S＝2.0mm2的铜线弯成如图所示形式，其中ＯＡ和ＤＯˊ段固定在水平方向不
动，ＡＢＣＤ是边长为 a 的正方形的三边，可以绕ＯＯˊ转动；整个导线放在均匀磁场
Ｂ中，Ｂ的方向竖直向上。已知铜的密度ρ=8.9g/cm3,当这铜线中的Ｉ=10A 时，在平衡
情况下，ＡＢ段和ＣＤ段与竖直方向的夹角α=150,求磁感强度Ｂ的大小。
解： ＡＢ和ＣＤ两段导线所受安培力大小相等，方向相反，
且力的方向都与轴线平行，对偏转不起作用。
ＢＣ所受安培力为 IlBF
对转轴ＯＯˊ的力矩 coscos 2IBlFlM
作用在ＡＢＣＤ上的重力的力矩为
sin2sin2sin
2
2sin 2gSlmgl
l
mgmglM
（４）当Ｍ＝Ｍˊ时， T
I
gS
B 31094tan
2
5、 ※一段导线弯成如图所示的形状，它的质量为 m，上面水平一段长为 l，处在均匀磁场
中，磁感强度为Ｂ，Ｂ与导线垂直；导线下面两端分别插在两个浅水银槽里，两槽水银
与一带开关Ｋ的外电源联接。当Ｋ一接通，导线便从水银槽里跳出来。
a) 设跳起来的高度为 h，求通过导线的电量 q;
b) 当 m=10g ,l=20cm ,h=3.0m ,B=0.10T 时，求 q 的量值。
解：（１）导线所受安培力为 IlBF I l B d tm d v
对时间积分 lBqdqlBIdtlBdvm
qtv
000
0
ghv 20 gh
B
m
q 2
（２） Cq 8.3
6、 ※ 安培秤如图所示，它的一臂下面挂有一个矩形线圈，线圈共有九匝，它的下部悬在均
匀磁场Ｂ内。下边一段长为 l，它与Ｂ垂直。当线圈的导线中通有电流Ｉ时，调节砝码
使两臂达到平衡；然后使电流反向，这时需要在一臂上加质量为 m 的砝码，才能使两臂
再达到平衡。（设 g=9.80m/s2）
× × × × × ×
× × × × × ×
× × × × × ×
× × × × × ×
Ｏ Ａ Ｄ Ｏˊ
Ｂ Ｉ Ｃ
Ｂ
α
Ｂ
α
Ｄ
Ｆ Ｃ
mg
╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳
╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳
《电磁学》思考题和计算题 第四章
130
解：线圈水平部分所受安培力方向向下，大小为 nIlBF
电流反向后，安培力大小不变，方向向上。
当通有电流 I ,带线圈的盘中质量为 m1
质量为 m2, 天平的臂长为 l ,由平衡条件:
反向电流时的平衡:
所以， nIlBmg 2
T
nIl
mg
B 479.0
2
8、 载有电流Ｉ的闭合回路 abcd,ab 是一段导体，可以滑动，它在回路上的长为 l；一外磁场
Ｂ与回路平面垂直。求 ab 向右滑动距离 s 时，磁场所作的功。若向左滑动距离 s，磁场
所作的功是多少？
解：ab 所受安培力方向向右。
向右滑动时，磁场所作的功为 BIlsFsA
向左滑动时，磁场所作的功为 BIlsFsA
9、 长 l=10cm，电流Ｉ=10A 的直导线在均匀外磁场Ｂ中，Ｂ与电流垂直，Ｂ=30 高斯。
a) 求磁场作用在这段导线上的力Ｆ；
b) 当这段线以 v=25cm/s 的速率逆Ｆ的方向运动时，求Ｆ作功的功率Ｐ。
解： （１）磁场的作用力为 NIlBF 3100.3
（２）Ｆ作功的功率为 WFvvFP 4105.7
10、 一正方形线圈由外皮绝缘的细导线绕成，共绕有 200 匝，每边长为 150mm，放在Ｂ
=4.0Ｔ的外磁场中，当导线中通有Ｉ=8.0A 的电流时，求：
a) 线圈磁矩 m 的大小；
b) 作用在线圈上的力矩Ｌ＝m×B 的最大值。
× × × ×
× × × ×
Ｂ
Ｉ l
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
d a
c b
s
《电磁学》思考题和计算题 第四章
131
解： （１）线圈磁矩的大小为 )(36 2mANISm
（２）线圈上的力矩的最大值 )(144max mNNISBL
11、 一矩形线圈由２０匝互相绝缘的细导线绕成，矩形边长为 10.0cm 和 5.0cm,导线中
的电流为 0.10A，这线圈可以绕它的一边ＯＯ′转动。当加上Ｂ=0.50T 的均匀外磁场，
Ｂ与线圈平面成 300角时，求这线圈受到的力矩。
解：电流元所受的安培力为 BlIdFd
力对转轴的力矩为 )( BlIdrFdrLd
使线圈转动的力矩是与ＯＯ′平行的一边所受的力矩
mNNISBBnNISBL 30 103.460sin),sin(
这个力矩将使线圈转向 x 轴。
12、 一矩形线圈长 20mm，宽 10mm，由外皮绝缘的细导线密绕而成，共绕有 1000 匝，
放在Ｂ=1000 高斯的均匀外磁场中，当导线中通有 100mA 的电流时，求附图中两种情况
下线圈每边所受的力与整个线圈所受的力和力矩。
a) Ｂ与线圈平面的法线重合；
b) Ｂ与线圈平面的法线垂直。
解： （１） BIlFF cdab 1 BIlFF bdac 2
0F
0 BmL
（２） BIlFF cdab 1 BIlFF bdac 2
0F
mNBlN I lLBmL 321 100.2
方向向上
14、 一矩形线圈的大小为 8.0×6.0cm2，每 cm 长的质量为 0.10g，可以绕 ab 边自由转动，
外磁场Ｂ沿 y 轴方向。当线圈中载有电流Ｉ＝10A 时，线圈离开竖直位置，偏转 300。
a) 求磁感强度Ｂ的大小；
b) 如果Ｂ是沿 x 轴方向，线圈将如何？
x
y
z
0.10A
30
0
Ｂ
10cm
a b
c d
a b
c d
× × × ×
× × × ×
× × × ×
× × × ×
× × × ×
× × × ×
x
y(B)
z
30
0
《电磁学》思考题和计算题 第四章
132
解：（１）重力矩的大小为 sin)( 212 llglLg 方向是使θ减小；
安培力矩大小为
cos)
2
sin( 21 BlIlmBLM 方向是使θ增大；
平衡时 )(103.1tan
)( 2
1
21 T
Il
llg
BLL Mg
（２）Ｂ沿 x 轴方向时，两力矩方向相同，线圈只有在θ＝０时才能平衡。线圈不偏转。
15、 一半径为Ｒ=0.10m 的半圆形闭合线圈，载有电流Ｉ=10A，放在均匀外磁场中，磁
场的方向与线圈平面平行。磁感强度的大小 B=5.0×103高斯。
a) 求线圈所受力矩的大小和方向；
b) 在这力矩的作用下线圈转 900（即转到线圈平面与Ｂ垂直），求力矩所作的功。
解：（１）线圈所受力矩为 BnISBmL
方向向上
其大小为 mNISBL 2109.7
（２）转动过程中力矩所作的功为 JIBRISBLdA 22
0
2/
109.7
2
1
18、 一螺线管长 30cm,横截面的直径为 15mm，由
表
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面绝缘的细导线密绕而成，每厘米绕
有 100 匝.当导线中通有 2.0A 的电流后，把这螺线管放到Ｂ=4.0T 的均匀磁场中，求：
a) 螺线管的磁矩；
b) 螺线管所受的力矩的最大值。
解： （１）磁矩为 )(06.1 2mANISm
（２）所受力矩的最大值为 mNNISBL 2.4
19、 两条很长的平行输电线相距 20mm，都载有 100A 的电流，分别求电流方向相同和相
反时，其中两段一米长的输电线之间的相互作用力。
解： 由毕—萨定律可知，Ｉ１在Ｉ２处产生的磁感强度为
d
I
B
2
10
1
I2上的电流元受到的作用力为 2
210
12212
2
dl
d
II
BdlIdF
单位长度的 I2导线受力为 N
d
II
dl
dF
1.0
2
210
2
12
Ｉ１ Ｉ２
d
《电磁学》思考题和计算题 第四章
133
电流方向相同时，两电线相互吸引；电流方向相反时，两电线相互排斥。
20、 发电厂的汇流条是两条三米长的平行铜棒，相距 50cm；当向外输电时，每条棒中的
电流都是 10000A。作为近似，把两棒当作无穷长的细线，计算它们之间的相互作用力。
解：无限长直线电流在距离为 r 处产生的磁感强度Ｂ的大小为
r
I
B
2
0
两棒之间相互作用力大小为
Nl
r
II
F 2210 102.1
2
21、 长直导线与一正方形线圈在同一平面内，分别载有电流Ｉ１和Ｉ２，正方形的边长为
a，它的中心到直导线的垂直距离为 d.
a) 求这正方形载流线圈各边所受Ｉ１的磁场力以及整个线圈所受的合力；
b) 当Ｉ１=3.0A,Ｉ２=2.0A, a=4.0cm, b=4.0cm 时，求合力的值。
解：（１）无限长直线电流在距离为 r 处产生的磁感强度Ｂ的大小为
r
I
B
2
0
线圈的各边所受安培力分别为
ad
ad
r
II
dr
r
II
FF
ad
ad
CDAB
2
2
ln
22
210
2/
2/
210
)2/(2
10
2
ad
I
aIFBc
方向向右
)2/(2
10
2
ad
I
aIFDA
方向向左
线圈所受的磁场力的合力为
)4(
2
)2/(2)2/(2 22
2
210210210
ad
aII
ad
aII
ad
aII
FFF BCDA
方向向左
（２） )(106.1
)4(
2 6
22
2
210 N
ad
aII
F
27、 一电磁式电流计线圈长 a=2.0cm，宽 b=1.0cm，N=250 匝，磁极间隙内的磁感强度
B=2000 高斯。当通入电流 I=0.10mA 时，偏转角θ=300。求：
a) 作用在线圈上的磁偏转力矩Ｌ；
b) 游丝的扭转常数Ｄ。
d
a
Ｉ１
A Ｉ2 B
Ｄ Ｃ
ＣＣ
《电磁学》思考题和计算题 第四章
134
解： （１）磁偏转力矩 )(101 8 mNNIabBBmL
（２） )/(103.3// 3 度mNNIabBLK
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
§4.5 带电粒子在磁场中的运动
习题：
1、 一电子在Ｂ=70 高斯的匀强磁场中作圆周运动，圆的半径为 r=3.0cm。已知电子的电荷和
质量，Ｂ垂直纸面向外，电子的圆轨道在纸面内。设电子某时刻在Ａ点，它的速度Ｖ向
上。
（１） 画出电子运动的圆轨道；
（２） 求这电子速度的大小Ｖ；
（３） 求这电子的动能ＥＫ。
解： （１）电子运动轨道如图所示。
（２）电子的速率为 sm
m
erB
v /107.3 7
（３）电子的动能为 )(109.3)(102.6
2
1 3162 eVJmvEK
2、 带电粒子穿过过饱和蒸汽时，在它走过的路径上，过饱和蒸汽便凝结成小液滴，从而使
得它运动的轨迹（径迹）显示出来，这就是云室的原理。今在云室中有 B=10000 高斯的
均匀磁场，观测到一个质子的径迹是圆弧，半径 r=20cm，已知这粒子的电荷为 e ,质量
为 1.67×10-27kg，求它的动能。
解：带电粒子的运动方程为
r
v
mqvB
2
带电粒子的动能为
MeV
m
qrB
mvEK 92.1
2
1
2
1
2
2
4、 一电子的动能为 10eV，在垂直于匀强磁场的平面内作圆周运动。已知磁场为 B=1.0 高斯，
（1） 求电子的轨道半径Ｒ；（２）电子的回旋周期Ｔ；
（３）顺着Ｂ的方向看，电子是顺时针回旋吗？
解： （１） )(11.0
2
m
eB
mE
eB
mv
R
k
（２） 微秒36.0)(106.3
2 7 s
eB
m
T
（３）是顺时针回旋。
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
B
－Ａ
v
《电磁学》思考题和计算题 第四章
135
6、 一电子的初速度为０，经电压Ｕ加速后进入均匀磁场，已知磁场的磁感强度为Ｂ，电子
电荷为－e，质量为 m，电子进入磁场时速度与Ｂ垂直，如附图所示，
（1） 画出电子的轨道；
（2） 求轨道半径Ｒ；
（3） 电压Ｕ=3000V,B=100 高斯时，Ｒ＝？
解： （１）电子轨道如图所示。
（2） 轨道半径
e
mU
BeB
mv
R
21
（3） Ｒ＝1.85cm
12、已知α粒子的质量 m=6.7×10-27kg，电荷 q=3.2×10-19C。它在Ｂ=1.2T 的均匀磁场中沿半
径为 45cm 的圆周运动。
（1） 求它的速率 v，动能ＥＫ和回旋周期Ｔ；
（2） 若它原来是静止的，问需经过多大的电压加速，才能达到这个速率？
解：（１）速率为 )/(106.2 7 sm
m
reB
v
动能为 )(14)(103.22/ 122 MeVJmvEk
回旋周期为 )(101.1
2 7 s
eB
m
T
（２）加速电压 )(1.7)(101.7
2
6
2
MVV
e
mv
e
E
U k
13、已知氘核的质量比质子大一倍，电荷与质子相同；α粒子的质量是质子质量的四倍，电
荷是质子的二倍。
（3） 问静止的质子、氘核和α粒子经过相同的电压加速后，它们的动能之比是多少？
（4） 当它们经过这样加速后进入同一均匀磁场时，测得质子圆轨道的半径为 10cm，
问氘核和α粒子轨道的半径各有多大？
解：（１） qUEk 2:1:1::::: qqqEEE dpdp
（２）质子的轨道半径为 cm
Bq
Em
R
p
pp
p 10
2
氘核和α粒子轨道的半径分别为
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
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B
v
《电磁学》思考题和计算题 第四章
136
cmR
Bq
Em
R p
d
dd
d 142
2
cmR
Bq
Em
R p
p
pp
142
2
)2)(2(2
１４、一氘核在Ｂ=1.5T 的均匀磁场中运动，轨迹是半径为 40cm 的圆周。已知氘核的质量为
3.34×10
-27
kg, 电荷 q=1.6×10-19C。
（１）氘核的速度和走半圈所需要的时间；
（２）需要多高的电压才能把氘核从静止加速到这个速度？
解：（１）氘核的速度为 )/(109.2 7 sm
m
reB
v
走半圈所需要的时间为 )(104.4
2
8 s
eB
mT
t
（２）所需的加速电压为 )(6.8)(106.8
2
6
2
MVV
q
mv
U
１５、一质谱仪的构造如图所示，离子源Ｓ产生质量为Ｍ，电荷为 q 的离子，离子产生出来
时速度很小，可以看作是静止的；离子产生出来后经过电压Ｕ加速，进入磁感强度为
Ｂ的均匀磁场，沿着半圆周运动而达到
记录
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它的照相底片Ｐ上，测得它在Ｐ上的位置
到入口处的距离为 x。证明这离子的质量为 2
2
8
x
U
qB
M
解：离子走的是半圆周，x 是直径，由运动方程 qvB
r
v
m
2
和能量关系 qUmv 2
2
1
得
2
2
8
22222
2 x
U
qB
M
q
mU
Bm
qU
qB
m
qB
mv
rx
１８、一回旋加速器Ｄ形电极圆周的最大半径Ｒ=60cm，用它来加速质子，要把质子从静止
加速到 4.0MeV 的能量，
（１） 所需的磁感强度Ｂ；
（２） 设两Ｄ形电极间的距离为 1.0cm，电压为 2.0×10-4V,其间电场是均匀的，求加速
到上述能量所需的时间。
解： （１） )(48.0
2
T
Rq
mE
B
k
（２）带电粒子在回旋加速器中的运动分为两部分：一是经过Ｄ形电极间的匀加速直
线运动，二是在Ｄ形盒内的匀速圆周运动。加速时间应为 21 ttt
U
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·
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·
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·
Ｓ
x
q
P
《电磁学》思考题和计算题 第四章
137
从静止开始加速到动能为ＥＫ时，经过两极间加速的次数为 300/ qUEn k
在两极间走过的距离为 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
t
md
qU
t
m
qE
atnd
即 )(104.1
22 7
1 sd
qU
mE
d
qU
mn
t
k
由于粒子经过两极间 n 次，故它在Ｄ形盒内的半圈匀速运动便有（n-1）次，
)(104.1
)1(
2
)1( 52 s
qB
mnT
nt
)(104.1 521 sttt
（２）解法２：因为质子的回旋周期与速度无关，它在每个周期内被加速两次，故每个周期
所获得的能量为 )(100.42 4 eVUE
加速到４ＭeV 所需的周期为 Ｎ＝１００
因两极间的距离 d 比最大回旋半径 60cm 小得多，所以质子经过两极间的时间
可忽略不计，即所求时间为
)(104.1 5 sNTt
１９、一电子在Ｂ=20 高斯的磁场里沿着半径Ｒ=20cm 的螺旋线运动，螺距 h=5.0cm，如图
所示，已知电子的荷质比为 e/m=1.76×1011C/kg，求这电子的速度。
解：速度分解为 v⊥和 v//,
垂直于Ｂ的方向作匀速圆周运动， )/(1004.7 7 sm
m
eRB
v
平行于Ｂ的方向作匀速直线运动， )/(1080.2
2
6
// sm
m
ehB
v
电子速度的大小为 )/(100.7 72//
2 smvvv
２０、正电子的质量与电子相同，都是 9.11×10-34kg,所带电量也和电子相同，但带的是正电。
有一个正电子，动能为 2000eV，在 B=1000 高斯的均匀磁场中运动，它的速度 v 与 B
成 800角，所以它沿一条螺旋线运动。求这螺旋运动的（１）周期Ｔ；（２）半径 r 和
（３）螺距 h。
解：将正电子的速度分解为平行于Ｂ的分量 v//和垂直于Ｂ的分量 v⊥
电子作回旋运动的周期为 )(106.3
22 10 s
eB
m
v
R
T
半径为 )(105.12
89sin 3
0
mmE
eBeB
mv
R k
螺距为 )(107.189cos
2 40
// mT
m
E
Tvh k
《电磁学》思考题和计算题 第四章
138
２８、一铜片厚为 d=1.0mm，放在 B=1.5T 的磁场中，磁场的方向与铜片垂直。已知铜片里
每立方厘米有 8.4×1022个自由电子，当铜片中有Ｉ=200A 的电流时，
（１） 求铜片两侧的电位差Ｕaa′;
（２） 铜片宽度 b 对Ｕaa′有无影响？为什么？
解：（１）设铜片内构成电流的自由电子其平均定向速度为 u,则每
个参加导电的自由电子所受的洛伦兹力为
Buefm
方向为从 a′指向 a，电子向 a 偏转，a 边带负电，a′带负
电，结果在铜片内产生一个从 a′指向 a 边的电场 E。
当电子所受的电场力与洛伦兹力平衡时，电子不再偏转。
Ｅ＝uＢ
电流 neuldjSI
)(102.2 5 V
ned
IB
uBlElldEU
a
a
aa
（２）铜片宽度 b 对Ｕaa′无影响。
２９、一块半导体样品的体积为 a×b×c，如图所示，沿 x 方向有电流Ｉ，在 z 轴方向加有均
匀磁场Ｂ。这时实验得出的数据为 a=0.10cm，b=0.35cm，c=1.0cm，I=1.0mA，B=3000
高斯，铜片两侧的电位差ＵＡＡ′=6.55mV。
（１） 问这半导体是正电荷导电（p 型）还是负电荷导电（n 型）？
（２） 求载流子浓度（即单位体积内参加导电的带电粒子数）。
解：（１）ＵＡＢ＝6.55mV>0,可知样品是 n 型（负电荷）导电。
（２）样品中的为 nquabjabI
磁场使载流子偏转，从而在样品两侧积累正
负电荷，在样品中生成一个横向电场Ｅ，作用在载
流子上的力为 )( EBuqfff em
电场力与磁场力方向相反，当它们大小相等，达到平衡时，载流子不再偏转而达
到稳定的定向流动， dUE AA /
载流子的浓度为 )/(109.2 319 m
qaU
IB
quab
I
n
AB
个
a
b
c
I
aˊ
B
x
y
z
B b
c
I
a
A
A′
浙公网安备 33021202002483