函数零点问题的求解策略
浅析函数零点问题的求解方法
y,f(x) 函数的零点是高中新课标中新增内容，在教材中给出了具体的定义:“对于函数,
f(x),0f(x),0y,f(x)我们把使的实数x叫做函数的零点，这样函数的零点就是方程f(x),0y,f(x)f(x),0的实数根，也就是函数的图象与X轴交点的横坐标，所以方程有实
y,f(x)y,f(x)根函数的图象与X轴有交点函数有零点” ,,
对于函数零点问题，我们除了可应用根的存在性定理直接求解外，还可利用“方程f(x),0y,f(x)y,f(x)有实根函数的图象与X轴有交点函数有零点” ，进而把问,,
题进行适当转换，从不同的角度进行理解和解答。
y,f(x)一 、函数零点的存在性定理指出:“如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断
f(a)f(b),,0y,f(x)c,(a,b)的一条曲线，并且，那么，函数在区间(a,b)内有零点，即存在,
f(c),0f(x),0使得,这个c也是方程的根”。根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点(或方程在某个区间上是否有根)时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件:如
2f(x),ln(x，1),[例1] 函数的零点所在的大致区间是( ) x
(A)(0，1); (B)(1，2); (C) (2，e); (D)(3，4)。
2f(2),0f(1),0f(x),ln(x，1),分析:显然函数在区间[1,2]上是连续函数，且,，所x
2f(x),ln(x，1),以由根的存在性定理可知，函数的零点所在的大致区间是(1，2)，选B x
2[例2] 函数在下列区间是否存在零点,( ) f(x),x
(A)(-3，-1); (B)(-1，2); (C) (2，3); (D)(3，4)。
2分析:利用函数零点的存在性定理分析，函数在所给出的四个区间中都不满足f(x),x
2f(a)f(b),0y,f(x)条件，但由函数的图象可知它一定有零点x,0。仅当函数在f(x),x
区间[a,b]上是单调函数时，函数零点的存在性定理才是函数存在零点的充要条件。
二 、求解有关函数零点的个数(或方程根的个数)问题。
函数零点的存在性定理，仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如:
1(对于求一个陌生函数的零点个数，若能把已知函数分解成两个熟悉的函数，那么可利
1
用构造函数法化归为求两个熟悉函数图象的交点个数求解,如:
2x[例3] 求零点的个数。 f(x),x,2
2x分析:本题直接求解，无法下手，由函数的零点也是方程 f(x),x,2
y x y,22x2xx,2的根，即方程的解，但这个方程 f(x),x,2,0
2 y,x不是熟悉的常规方程，由方程的解与两函数图象交点的
2x关系，可构造函数、,在同一坐标系中作出 y,xy,221
2xX 它们的图象，可得出它们有三个交点，所以f(x),x,2O 零点的个数有三个。
2(对于一元高次函数，可利用导数法研究函数图象的特征，作出函数的图象，确定图象
与X轴交点的情况求解。如:
32例4] 函数零点的个数为 [f(x),x,6x，9x,10
32/2分析:， f(x),x,6x，9x,10f(x),3x,12x，9,3(x,1)(x,3)？？
/f(x),0令,得列出x,y,y的对应值
表
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如下: x,1,x,312
(,,,1)(3,，,) x 1 (1,3) 3
/ y+ 0 - 0 +
y,,6 y,,10 y 增函数 减函数 增函数 极大值极小值
32f(x)作出函数的草图可知，函数的图 f(x),x,6x，9x,10Y
f(x)象与X轴仅有一个交点，则仅有一个零点。 1 3 O X
f(x)注意:本类型题的特点是找出函数的图象与X轴交点，
-10 y,f(x)y,0y,0实质上仍是求函数与函数交点的情况。若把 换成y,a，相当在原题中引入参数a，得出一般情况下的解法，如:
32a,R[例5] 试讨论函数()零点的个数。 f(x),x,6x，9x,10,a
分析:方法1:用导数的方法求解如下:
2
(,,,1)(3,，,) x 1 (1,3) 3
/ y+ 0 - 0 +
y,,6,ay,,10,a y 增函数 减函数 增函数 极大值极小值
f(x)再结合函数的图象与X轴的关系，确定分类讨论的标准，由极大值、极小值与零的
关系，讨论图象与X轴交点情况，得出如下结论:
y,,10,a,0y,,10,a,0当即时有一个交点;当即时有两个a,,10a,,10极小值极小值
y,,10,a,0交点;当且即时有三个交点;当y,,6,a,0,10,a,,6极小值极大值
即时有两个交点;当即时有一个交点. y,,6,a,0a,,6y,,6,a,0a,,6极大值极大值
32g(x),a方法2:通过构造函数与转化求解，利用例4的方法可f(x),x,6x，9x,10
Y y,f(x) y,f(x)得到函数的图象，讨论两个函数图象的位置关系，
O 1 3 X a,(,,,,10)可得出结论:当仅有一个零点;
a,(,10,,6)当a,,10有二个零点;当有三个零点;
-10
a,(,6,，,)当a,,6时有二个零点;当仅有一个零点。
32[例6] 已知，函数在区间(0，3)内零点的个数为 。 a,5f(x),x,ax，1
y,f(x)分析:本题利用导数法可得出在区间(0，3)上是单调递减函数，且
f(0),1,0,，由函数的图象可知仅有一个零点。 f(3),28,9a,0(a,5)
三(求函数的具体零点或求方程的根。对于某些特殊类型的函数，可通过研究式子的特
征，构造新函数,转化求解。如:
55[例7] 求函数的零点。 f(x),(5x，3)，x，6x，3
55分析:考察的特点，直接求解难以入手，可转化为求f(x),(5x，3)，x，6x，3,0
555g(x)的解，根据式子特点构造函数，显然为奇函数，(5x，3)，(5x，3),,(x，x)g(x),x，x
55g(5x，3),,g(x),g(,x)且在R上单调递增，由可化为，故利(5x，3)，(5x，3),,(x，x)
11g(x)f(x)x,,x,,用函数的性质可得，则，所以函数的零点为 5x，3,,x22综上所述，对于函数的零点问题，我们除了要掌握利用函数的零点存在性定理判断外，
3
还要更好地懂得利用函数与方程思想，构造函数，数形结合，优化解题的策略，提高学生分
析问题、解决问题的能力。
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