《利用导数研究函数的零点问题》教学设计

《利用导数研究函数的零点问题》教学 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 授课班级:某高二(文)班 1(教学背景 1.1 学生特征分析 我所试讲班级是长沟中学高二文班，学生的平均年龄在16-17岁，多数学生对于所识记的 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 ，在再认和回忆时，没有歪曲、遗漏、增补和臆测，初步具备在知觉某一事物时，能根据自己已有的知识、经验对事物加以解释和判断;具有一定的比较与分类思维，但是抽象概括及分析综合思维欠缺。 学生已经系统的复习了函数、导数的相关知识，学生了解函数零点的定义，会利用导数求函数的单调区间和极值。对导数有了一定的理解，学习积极性比较高，利用导数这一工具对函数的性质研究比较好。但是理性思维比较欠缺，对于处理含参问题的能力还有待提高，把新问题转化问已解决问题的能力有待提高，缺乏选择解决问题策略的能力。由于是借班作课，师生接触少，师生之间的默契程度有待提高。 1.2教师特点分析 自己教学中的优势:注重学生自主学习、善于与信息技术的整合、善于鼓励学生，能对学生进行有效指导。 不足:由于是借班作课，与学生有效沟通较少。 1.3 学习内容分析 1、内容分析:导数是微积分的核心概念之一。它是研究函数的单调性、最大(小)值等问题的最一般、最有效的工具,对我们描绘函数图象带来极大方便，高考对导数的考查重在导数的应用，如求函数的单调区间、极值最值、解决实际问题及与不等式的结合。而利用导数对函数性质的研究有利于我们解决函数的零点问题。近几年高考也出现了一些函数零点问题或可转化为函数零点问题的题目，今年北京文科就出现了这样的题目，所以本节课从三次函数出发探究函数零点问题，以简单的含参数函数零点问题为载体，引导学生利用导数讨论函数的单调性、极值、最值解决问题，突出数形结合思想、转化思想的应用。 2、例题分析: 32热身练习:求函数的单调区间和极值，并试求此函数的零点。题目比较fxxxx(),，, 简单，学生可以独立完成，目的是让学生熟悉利用导数研究函数性质的基本过程; 32思考题:函数的图像与轴有几个交点。让学生认识到有些三次fxxxx()1,，,，x 函数在现有水平上，无法求解，体会利用导数研究函数零点问题的必要性和一般性。 32mR,例1、已知函数()，?取何值时，函数有一个零点，fxxxxm(),，,，m ?取何值时，函数有两个零点;?取何值时，函数有三个零点,是热身练习的变式题，mm 学生可以在练习的基础上对本题分析，发现函数图象与交点个数与极值之间关系，引发解x 题策略的思考。 1 2yb,练习:若曲线与直线有两个不同的交点，求的取值bfxxxxx()sincos,，， 范围。请说明思路。思路比较简单，可以用来检查学生对于利用导数研究函数零点问题的掌握情况及转化思想的应用。 32例2:讨论函数有几个零点。比较复杂，对学生来说比较难，教fxxax()231,,， 师要对学生出现的困难进行指导。 2(教学目标 1、掌握函数零点的等价形式，能利用导数工具解决零点问题。 2、学生经历利用导数对例1、例2函数的单调性、极值和最值的分析，结合函数图象解决零点问题的过程，学生体会函数性质与零点间的关系。 3、通过例1、例2的不同解决，学生体会数形结合、化归与转化数学思想的应用，提高学生利用数学思想分析问题解决问题的能力。 【教学重点】利用导数分析函数性质，解决函数零点问题及其转化问题 【教学难点】理解函数零点问题与两个函数交点问题的转化，解决问题策略的优化选择 【教学方式】启发式、探究式 【辅助工具】多媒体 课件 超市陈列培训课件免费下载搭石ppt课件免费下载公安保密教育课件下载病媒生物防治课件 可下载高中数学必修四课件打包下载 ，几何画板。 3(教学过程 教学 教学过程 师生活动 设计意图 教学策略 环节 1、函数零点的概念; 学生回答 一、2、函数零点问题的等价问题。 教师展示课件 知识3、如何求函数的零点。 提出问题:求函数 问答 准备 复习巩固旧知yfxgx,,()()的 识，为本节课在 零点问题等价问题是知识、方法上做 什么, 铺垫。 二、 通过本题的 321、求函数的fxxxx(),，, 热 练习，学生复习 单调区间和极值，并试求此函数身 利用导数研究 的零点。 练 函数的基本过 解:易求函数的单调增区fx()习 程，学生求出函 数零点的个数 1(,1),,,间为和 (,)，,3学生独立完成，并展与导数确定零学生独立 1示结果。教师针对学点个数的一致学习并展示 单调减区间为，所以(1,),3生出现的问题，及时性，初步体会导 2 指导，引导学生做出数解决函数零f(1)1,,的极大值为，fx() 草图 点问题的作用。 的极小值为fx() 2的设置目的 是让学生认识15.由函数的f(),,fx()327 到有些三次函草图可得函数有三个零点。 问题2学生先思考， 数在现有水平 32令即fxxxx()0,,，,教师引导学生结合函上，无法求解，,可2数的性质利用图象判体会利用导数,，,,xxx(1)0 断零点个数。 研究函数零点解得函数的三个零点。 问题的必要性322、函数fxxxx()1,，,，和一般性。 的图像与轴有几个交点。 x 例1、已知函数 先请学生观察 三、 热身练习和例1 32fxxxxm(),，,， 合 教师引导学生观察热两题的相同点 ()，?取何值时，函mR,m作 身练习与例1的不同。 和不同点。 数有一个零点，?取何值时，m探 函数有两个零点;?取何值m究 时，函数有三个零点, 学生发现单调性没有通过本环节 解:法一:在上一题的基础上，变化，极值发生变化，的活动，学生参 容易得到: 通过讨论研究函数的与利用导数研 的极大值为fx()零点问题。 究函数性质解小组合作学 决函数零点问习 fm(1)1,,，，的极小值fx() 题，体会导数的 15学生展示成果 工具作用。 为.由函数fm(),,327 学生注意到 的草图可得: fx() 本题与热身练 5 习的区别与联 m,,1(1)当或时， m,27 系，将问题转化 有一个零点; fx() 为研究函数极 值(含参数， m5m,,1(2)当或时， m,27 再讨论随着互相讨论 m 变化，函数图象 有两个零点; fx() 与轴的交点， x5(3)当时，,,,1mfx() 27 3 有三个零点( 教师利用几何画板展另一种方法 法二 示 是两个函数图 象的交点，即定 32若fxxxxm()0,，,，, 函数图象与动 32则xxxm，,,, 直线的交点)为 32()或m,,,，xxx 后面做铺垫。通 32 过图像展示，学 设g(xxxx),，, 32结合复习的函数零点生体会函数零 ())或g(xxxx,,,， 问题等价转化形式，引点的变化情况。 小组合作讨 本题转化为讨论函数图象gx()导学生利用参数与变学生明白两个论 量分离的方法解决。 函数图象的交 与直线交点ymym,,,(或) 点问题与一个 的问题。 函数零点问题 (1) 练习:若曲线 是等价问题 2与fxxxxx()sincos,，，学生结合图象独立完检查学生对 成 于利用导数研 yb,直线有两个不同的交点， 究函数零点问 求的取值范围。请说明思路 b 题的掌握情况 及对函数零点 等价问题的理 解。 学生说明自己的思路 合作交流 例2:讨论函数 当参数的位置 学生尝试独立完成， 变化时，解决问 32有几个fxxax()231,,， (选 题的策略如何 零点。 讲) 选择，进行研 解:思路一:直接讨论三次 教师巡视，及时指导。 究，多角度启发 的单调性、极值即可。 fx() 学生，激发学生方法一学生 的潜能。 小组合作学思路二:参数与变量分离 学生展示自己的成果 本题的难习 11 转化为两个ax,，(2)23x 点在于参数与 4 函数交点问题。 教师借助几何画板演变量分离后，对 示函数零点变化情函数性质的分 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 :时，有一个a,1fx() 况。 析，函数图像特方法二采取 零点; 点的剖析，教师替代式教学 时，有二个零点; a,1fx() 要适时引导，学 生能利用图像 时，有三个零点。 a,1fx() 正确确定零点 问题:通过例1和例2的学习， 情况。 你获得了什么经验, 学生根据自己的理 解，进行说明。 及时反思 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf ，形成方法 技能 学生独立完 成 1、哪些问题可以转化为函数零 通过小结使 四、点问题, 本节课的知识 总 2、利用导数研究函数零点问题学生自己说 系统化，使学生师生合作结 的策略 深刻理解数学完成 反 3、解决这类问题的关键是什教师做必要补充 思想方法在解思 么, 题中的地位和 应用，培养学生 养成对所学知 识及时总结提 炼的习惯，不断 提升自己。 五、1、(2013北京文) 反 已知函数学生课下独立完成 通过练习， 馈 检测学生对方 2。 fxxxxx()sincos,，， 练 法掌握情况。 学生课下独 yfx,()(?)若曲线在点习 立完成 (,())afayb,处与直线相 切，求与b的值。 a yfx,()(?)若曲线与直线 5 yb,有两个不同的交点，求b 的取值范围。 2、已知函数 332fxaxaxx()(2)63,,，，,2 (选做) (1)求函数的单调区间 yfx,()(2)试讨论曲线与x 轴公共点的个数。 关于《利用导数研究函数的零点问题》教学反思 教师是我从小的理想职业，现在我的职业理想是做一名研究性教师，工作总比较喜欢数学思考问题，一直认为数学学习不仅可以提高人的思考能力，而且可以提高人的素养。以“有志者，事竟成”为座右铭。 6月21日，我在长沟中学借班讲了一节《利用导数研究函数的零点问题》。课的大致过程是:首先回忆导数的应用和函数零点的概念及其等价转化问题。接下来从研究一个具体函 32fxxxx(),，,数出发利用导数研究了它的单调区间和极值，并尝试求此函数的零点; 32fxxxx()1,，,，之后学生通过思考函数的零点问题，意识到可以利用导数研究函数的 32fxxxxm(),，,，性质来确定函数零点问题。接下来又通过两种策略研究了函数 32fxxax()231,,，mR,()和的零点问题，最后总结方法和思想。 课后经过专家和各位教师的研究和讨论，我对这节课的反思主要有两个方面:一是课堂教学方面的;二是教师的个人专业发展方面。 第一方面:反思习题设计和教学设计 美国数学家哈尔莫斯(P.R.Halmos)认为，问题是数学的心脏。对于数学科学是如此，对于学校数学，问题也是它的心脏。波利亚强调指出:“中学数学教学首要的任务就是加强解题训练。”他有一句名言:“掌握数学就是意味着善于解题。”因此数学习题课作为解题教学是中学数学教学的重要组成部分，其主要目的是教会学生如何分析问题，如何应用所学知识寻找相应对策，解决未知问题，提高学生的解题能力。 习题的有效选择是学生能力得以成功的基础，教师的习题教学时，习题的选择要有针对性(针对教学目标、知识点和学生的学习现状)、应在学生的“最近发展区”内、要有典型性和研究性，目的在于提高学生分析问题的能力，在研究习题解决的过程中优化解题策略。 6 高二文科已进入高考总复习阶段，本学期复习的主要内容之一就是函数与导数，这部分内容也是是每年高考考查的重点内容，结合实际教学我发现其实这部分内容通过有效教学，学生可以学会如何解决的。函数与导数综合应用的常见考点:(1)利用导数研究曲线的切线;(2)利用导数研究函数的单调性;(3)利用导数研究函数的极值最值;(4)利用导数研究函数零点或方程实根;(5)利用导数研究实际问题。这些考点的问题解决不可能一蹴而就，因此，我们的教学要经历从感性到理性的过程，让学生逐渐领悟掌握。对于基础相对薄弱的学生来说，可采取先分后合，循序渐进、螺旋上升。在这些考点中，利用导数研究函数零点问题讲的不多，而且这个考点可以提高学生利用数形结合思想、化归与转化的思想数学思想解决问题的意识，同时也是导数知识与函数零点的整合，所以在本次教学时，我就选择了它。 根据新课标导数要求的多项式函数不超过三次，同时对于文科学生来说，题目设置不能太难，而且运算上不能给学生设置太多障碍，所以在选择题目时就选择一个简单的三次函 32fxxxx(),，,数，并以这个函数为基础进行了一些变式，思考函数 3232fxxxx()1,，,，fxxxxm(),，,，mR,的零点问题，研究了函数()和 32fxxax()231,,，的零点问题，在变式练习中学生体会函数零点随着函数图象与轴相x对位置的改变情况，希望在变式教学中，让学生尝到探究成功的喜悦，培养学生的观察、分析、归纳能力等能力的提高，也有利于知识难点的突破。另外在研究函数 32fxxxxm(),，,，mR,()零点过程中介绍参变分离的解题策略，目的是让学生认识到两个函数交点个数问题与函数的零点问题是相互转化的，学生可以据此解决有关两个函数交点个数问题。 然而好的设计必须与有效的课堂教学相结合，才能顺利实现设计的初衷。在具体教学过程中还是出现了一些问题，比如热身练习让学生展示可以为后面例题教学节省时间，同时还可以通过学生表达，加深对题目的理解;其次就是问题情境设计不到位，教师的主导作用发挥不合理，参变分离方法的得出有些强加给学生的感觉;再有就是没有把握好，结果函数 32fxxax()231,,，的零点问题没有让学生来的急思考，只能展示。 通过专家的点评，我真正发现问题的所在，即对于数学中的基本问题解决不到位，关键是方程的实根、函数的零点及函数与轴的交点这三者之间为什么是可以相互转化的，方程的实x 根是代数问题，而函数与轴的交点是几何问题，它们两者之间的转化原因，如果给学生讲x 清楚了，学生在解决含参数函数零点问题时就有了思考的方向，即思考通过方程观察分析零点问题可以转化为哪两个函数交点问题，同时两个函数交点问题可以通过联立方程组分析可以转化为哪个函数零点问题，这样函数零点问题与两个函数交点问题之间的转化就有了基 32fxxxxm(),，,，fx()0,础。如解决函数的的零点问题，可以令的方程 7 32,yxxx,，,3232xxxm，,，,0xxxm，,,,，即，从而等价于解方程组，这一方,ym,,, 32程组的几何意义就是函数的交点个数问题;反之亦然。经过yxxxym,，,,,与函数 2,yx,,40这样的思考，我又对教学设计进行了修改，先让学生研究(1)二元方程组;,yx,2+1=0, 22(2)抛物线交点个数问题;(3)求函数的零点;yx,4与直线y=2x-1fxxx()421,,，这三个简单问题之间的关系，学生在解决过程中发现，它们其实是方程、几何、函数三个角 32fxxxxm(),，,，度对同一问题的不同表征，学生明白了这一问题之后，再让学生对零点问题进行多角度转化就容易了，学生很快就能发现多种转化方向，而且遇到两个函数交点个数问题也可以通过上面过程向函数零点问题转化，即学生会分析问题了。教学中另一关键问题就是学生思考如何优化解题策略，有了上面的研究，教师只要让学生多种转化中选择解决问题的策略就可以了，学生很容易的去选择解决曲线与直线位置关系，教师只要有效利用几何画板展示图象，学生就会发现研究曲线与平行于轴或轴的交点问题是最简单的，经yx 过这样的再设计后，我在本班授课效果很好，教学目标达到了，学生在课堂中也进行了积极 32fxxax()231,,，思考，课堂的有效性也得以实现。在习题设计上可以把研究函数零点 2yb,问题及已知曲线与直线有两个不同的交点，求的取值范bfxxxxx()sincos,，， 围留作课后练习就可以检测学生的掌握情况。 二、教师专业发展的思考 通过这次作课，也引发了我对自己专业发展的思考。陶行知老先生说道:“做先生的，应该一面教一面学，并不是贩卖些知识来，就可以终身卖不尽的。”所以教师在教学的同时也要思考自己的发展方向。我的发展方向首先是做真正理解高中数学内容的高中教师。首先要做的就是认真研究课标的要求与理念，以及课本例题设计，在教学实际中利用好课本例题，挖掘知识的本质。其次要重视学生问题，研究学生听不懂不理解知识的真正原因，发现问题的本质。再有就是积极学习，对数学中的基本问题进行认真思考，深入钻研高层次的知识，从高角度去学，去分析基本知识和基本概念。最后就是对自己的教学进行及时反思，同时对教学中的突出问题、热点问题进行全面、深入、持续的研究，寻找教育规律，不断提高自己的教学艺术，形成自己的教学风格和特色。 8