球面中具有平行单位平均曲率向量的完备子流形

球面中具有平行单位平均曲率向量的完备子流形 球面中具有平行单位平均曲率向量的完备 子流形 西北师范大学(自然科学版) JournalofNorthwestNormalUniversity(NaturalScience) 第48卷2012年第1期 Vo1.482012No.1 球面中具有平行单位平均曲率向量的完备子流形 刘建成,张晶晶 (西北师范大学数学与信息科学学院,甘肃兰州780070) 摘要:考虑球面中具有平行单位平均曲率向量的完备子流形M,利用广义极大值原 理证明了若M的第二基本形 模长平方S满足适当的上界条件,则M是全脐子流形. 关键词:球面;完备子流形;平行单位平均曲率向量;全脐;广义极大值原理 中图分类号:O186.12文献标识码:A文章编号:1001—988X(2012)01—0006—05 Completesubmanifoldswithparallelnormalizedmean curvaturevectorinspheres LIUJian—cheng,ZHANGJing—jing (CollegeofMathematicsandInformationScience,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou 730070,Gansu,China) Abstract:Completesubmanifoldswithparallelnormalizedmeancurvaturevectorinspheres arestudied. Byusingthegeneralizedmaximalprinciple,thesufficientconditionforsubmanifoldsbeinga totally umbilicalonesiSobtained. Keywords:sphere;completesubmanifold;parallelnormalizedmeancurvaturevector;totall yumbilical; generalizedmaximalprinciple 0引言 围绕球面S(c)中的子流形的刚性问题或拼 挤问题,针对平均曲率的各种条件,迄今为止进行 过许多方面的研究.继经典的Simons不等式_1之 后,Chern[2],Lawson[3_及Shenl4对球面中紧致 子流形进行了系统深入研究,得到了漂亮的刚性分 类结果.之后,Li等?对极小超曲面的第二基本 形式模长平方的拼挤常数进行改进,得到了最优拼 挤常数.作为极小子流形的推广,丘成桐.], Alencar等和Okumuralg分别对球面中具有常 平均曲率或平行平均曲率向量的子流形及超曲面进 行系统研究,得到了刚性分类定理.随后的进展参 见Xu坨(考虑紧致子流形的情形)和Xu_l3_(考虑 完备子流形的情形).而对平行平均曲率向量的条 件进一步弱化,即考虑平行单位平均曲率向量的子 流形(由于具有平行平均曲率向量的子流形一定有 常平均曲率,而具有平行单位平均向量的条件不再 暗含平均曲率为常数),莫小欢[1在这种弱化条件 下考虑球面中紧致子流形的拼挤问题,得到了余维 数的约化性结果.文献[15]采用新的估计方法,得 到了比文献[14]更为精细的结果. 本文就完备的情形,利用Yau的广义极大值 原理,继续讨论球面中具有平行单位平均曲率向量 的子流形,得到了如下拼挤定理: 定理1设是球面s(c)中具有常标准数 量曲率R(?c)的维完备子流形.假设具有平 行单位平均曲率向量场,且第二基本形模长平方s 收稿日期:201卜O3—18;修改稿收到日期:201l一1卜14 基金项目:同家自然科学基金资助项目(10871138) 作者简介:刘建成(1968…),男,甘肃镇原人,教授,博士.主要研究方向为整体微分几 何与几何分析 E—mail:liujc@nwnu.edu.cn 2012年第1期 2O12NO.1 刘建成等:球面中具有平行单位平均曲率向量的完备子流形 Completesubmanifoldswithparallelnormalizedmeancurvaturevectorinspheres s< {薰 1预备知识 设』?是SP(c)中的维完备子流形,选取 SP(c)的局部规范正交标架场{e,…,e+},使得 限制在Mn上时,{e,…,}是M"的切标架场, 对应的对偶标架场记为{09,…,?}.本文约定求 和指标的取值范围:1?i,J,…?,+1?a,,… ?4-P.沿用文献[13]的记号,的曲率张量和 法曲率张量以及Ricci曲率分别为 Rf—c(,f一)4- (矗—h~hj5),(1) R卿===?(huh~一l一螈0),(2)Z Rjk—c("一1)8,k4- ?(?hTih~一?;).(3) 对每个a,记H一(^),则的平均曲率 H一(?(trH.)).,第二基本形式模长平方 S一?(矗;).若以R表示M的标准数量曲率,…iJ 则有 "(一1)(R,c)一".H.一S.(4) 第二基本形式分量^的Laplace定义为?一 ?孙,由Ricci恒等式,熟知 ?^一?敏+?R+ ?R+?hk—iR.(5)女.m 一 选取适当的标架场,使得平均曲率向量H— He,则H一?,?:一0,a?4-2.令 S=?(一).,S=??(;),显见i,Jn>"+1i,J S—nH4-S4-S,且当R为常数时, ?(.H)===AS一?(trH1)4-AS2.(6) 以H表示H的二阶共变导数,由(1),(2)和 (5)式经过计算可以得到 ?(trH)一?(,2)4-?^?矗i.J.i,J ?(碟)4-?(nil)—i,J,ki,J C//H.4-耵?(^矿).一(?(矗矿))+i.J,f,, H?矗矿一i,J,k ?{?(一)^e}+口>+1Ii,JJ ?{?[一(^]()},(7)口>,f+1\i?J,k/ AS一??(;)4-??;?一一 a>"+1i,J,女a>"17? ??()4-??(^;).4-口>升1i,Jtka->}1,J nH?tr(H,)一 ?[tr(HHp)].一?N(HH口一 a,fl>"+1口,fl~n+l H口H)一?Etr(H什H.)]+ ?tr(HH.)一?tr(HH:).(8) 对(7),(8)式中各部分进行代数估计,结果代人 (6)式就可以得到如下关键性引理1,其证明将留 在第二节中给出. 引理1设M"是球面S(c)中具有常标准数 量曲率R(?c)的维完备子流形,且具有平行单 位平均曲率向量场,则 AS??(蛾).4-?(nil)4-一 i,J,ki,J (s一){,s},p一1;(9) AS??(^:)z+?(nH)+",.i,j (s一槲){,s},一2.(10) AS??().4-?(nil)4- (S一),s},?3.(11) 主要定理的证明还需要如下广义极大值原理. 引理2l】"设M是Ricci曲率有下界的完备 黎曼流形,F是M上C.类有界的函数,则对 Ve>0,都存在一点?M,使得 8 西北师范大学(自然科学版) JournalofNorthwestNormalUniversity(NaturalScience) 第48卷 Vo1.48 supF—e<F(),llgradF(x)』I<e, ?F(z)<,.(12) 2主要结果的证明 定理1的证明根据文献[18]中 Yau给出的算子口的定义,有 Cheng和 口(H):一?(nil8一)(nil)— AS—IIgrad(,2H)llz一 ?(nil).(13) 由假设R是常数,且R?C,那么从(4)式易见 HV(nil)一?驰乱.应用Schwarz不等式得 棚rad(II(;? H.?(). 代入(13)式并结合(9),(11)式便有 口(H)?(S--nH){一鲁三于s), P?2.(14) 口cH,~(S--nH2){一s}. P?3.(15) 另一方面, (nil8一^矿)(nil)? D(nH)一? 『(lHl一C)A(nH)l,(16) 其中IHl是平均曲率H的最大值,C是M的 主曲率{}的最小值. 定义上的函数F一一(尸+a)一言,其中 a>0是实数,-厂是M"上的非负c函数,直接计 算可得 FAF一3fIgradF[f一—F?-厂..(17) 由假设,5有上界且R为常数,于是F有上界. 进而,由Gauss方程显见M的Ricci曲率有下界. 应用引理2,对Ve>0,存在z?M"使得F满足 性质(12).结合(12)和(17)式,可得 F?厂()===3IIgradFIl(z)一 F(z)?F(z)<3e.一,F(1z).(18) 对任意序列{,},e>O且e一O(一..),都 存在M上的一点列{},使得(12)式成立.因此 ,(3e,F(x))一O(优一..).由引理2知F(z) ~supF--e.因为F有上界,F(z)是一个有界 数列,因此可令F(x)一F0(一..),并且(12)式 成立.由上确界的定义以及(12)式,有F.一supF. 再由F的定义知f(x)一fo—sup-厂(一..). 取f一nH,当?2时,由(14),(16)和(18) 式可得 (s(一)(,斋s()? 寺F(z)口(nil)()? f("IHl一c)F()?(H)()}< 『(lHl一c)(3,一eF(z))J.(19) 在上式中令m一..,得到 sup(5,,zH){眦一ps}?o. 由定理1的假设条件supS<2=TC易知c一 ————===二二S2~/一1upS~0,因此S?H..而由S—nH+ S+S知s?nH.,故S—nH,即全脐. 当?3时,由(15),(16)和(18)式,类似于 (19)式的估计可得 1P()(s()一 nH2)【一sj< I(72lHl一c)(3e一eF())f. 令一cx3,得到 sup(S--nHz)一s『<o. 类似于?2的分析过程也可得到S—nH,即 全脐.】 本节将给出第一节中引理1的证明,为此需要 用到以下4个代数引理. 引理3.令{)是一组实数,满足? 一0,?一卢,其中?0.那么J?l? — 兰.,等号成立当且仅当至少有n--1个 ?(一1) 是相等的. 引理4E令A,B是n×阶对称矩阵,满足 AB—BA且trA—trB一0,那么 [trA.Bi?志以(trB??一l 2012年第1期 2012No.1 刘建成等:球面中具有平行单位平均曲率向量的完备子流形 Completesubmanifoldswithparallelnormalizedmeancurvaturevectorinspheres9 ,a,b(,一1,2,…,n)是 引理5..令a1,… 一 组实数,满足?n一0,?6一0,?6一b, iii,J b—bji,i,一1,2,…,,那么 一 (6).+?6n一?62?一?n26. 引理6令A,…,Ap是×阶对称矩阵 (?2),定义s一tr(AA)(A表示Ap的转 声 置),S一?s一N(A),那么一 1 p ?CAAp—A)+?s?号s.. a,口=1口?口一1 引理1的证明选取局部规范正交标架场{e, … ,e},使得?一令一一H,那么 ?=0,?2一?一nH一trH一H一iii S.由引理3得 nH?^矿^^一nH??i,,ki 3nHzS+zH一三HiS)3.(20) ~/"(1.1一1) 由引理5又得 一 ?{?(一H3)g}+口>计1,J ?{?[才一()](碣)}:口>n+1i,j, 一 ?{?(一H)醒}.+口>计l'i ?{?(一)(&)}? {,??()}一一ssz.(21),1i. 将(20),(21)式代入(7)式得到 ?(trill+)??(冀)+?h7(nil), H+w?一(?.12.)+3nil.S+ zH一H(S)3一sS::= ?(一1) ?(ha)+?,z矿(nil)+ sno4-nilH,/K}. (22) 令再一H+,由假设单位平均曲率向量在 T'LM中平行,所以对任意a有(U+一0.因 R+ljk=0,此时HH一H+lH.令B—H 一 HI,则trB一0.由于trH.一0,所以对任意的 >+1有HB===BH.由引理4,有 ItrH2Bl?rH:)(tr)专, ?—l a>n+1.(23) 注意到 tr(HB)一tr(H:H升1)一HtrH:, 口>4-1,(24) trB.一trH1一nH.一Sl,(25) 结合(23),(25)式得到 tr(H:)?H一)trH.2, a>n4-1.(26) 由引理6和S.的定义,当?3时有 一 ?N(H.H—H口H)一口,>计1 ?[tr(HH)]?一軎s;;(27)u,fl>1一 当P一2时有 一 ?N(HH口一H.)一 a.fl>n+l ?[tr(HH)]一一s(28)d,>井l 对固定的a:+2?a?n-FP,选取适当的正交标 架场{P,…,),使得h,3一A.因此,?一0, trH=:=?()..令B—H一HI=(),则 b一b?b一0,?6;一S..由于,酯(,—ii.J 1,2,…,n)满足引理5的条件,因此 一 ?[tr(H井H)]4-Etr(H计H.)一>,斗1口>计l ?tr(H)===a:>计1 ?{一Etr((H计.一HI)H)]+口>,r卜1 trl-(H.一HI))].一tr[-(H1一HI)H:]}一 ?{一[tr(BH)+tr(BH.).一tr()}一~:>n-F1 ?{一(?)'+ E6一?6(;)}?i,ii?i ?(一?(?).)Eba)一 一 s?trH=一sS.(29)a:外1 所以,当P?3时,将(26),(27)和(29)式代人 西北师范大学(自然科学版) JournalofNorthwestNormalUniversity(NaturalScience) 第48卷 Vo1.48 (8)式可以得到 1__—— 2AS??? ,厂n二 ,将(26), 当===2时 以得到 (^)z+s.J+Hz,I 一 s一号s).(30) (28)和(29)式代入(8)式可 丢?S2?1k+S2+一a>"+f,t,\ 1一s一s).(31~/n("一)J 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 起来,当p===2时,结合(6),(22),(31)式可 以得到 AS??()+?(nil)十 (S--nH)』w+Hz一 H~/—S--—nil2一 ?(一1) (s—nH)};(32) 当p?3时,结合(6),(22),(30)式又可以得到 AS??(hTj)4-?^矿(nil)+ f (s—H).{+nH2一 三H,/—S--—nH2一 ~/(一1) - (S一72H)l;(33) 当一1时,由于S.一0,S一S—nH,因此 ?s一专?(trH)?(蒹)+ ?(nil)+(s一H){+72H一 篆一(S--nH1)}.(34)?(,z一) 考虑特征值为士——的二次型F(z,) 2?"一1 z一 .令 三xy— ?n一1 "=[(1+)+(1一~/)] ?2 一 [(~/一1)x+(~/+1)1- ,/2 则二次型F(x,)变形为 F(x,)一—= 2/n一1 取32一,一, =S,由此不难验证 则U+73一z+. 埘q-F(x,y)?一s? 这意味着 +nH.H,二 ,/72(一1) (s—nH)?一——s. 2?77一l 将上式代人(32),(33)及(34)式便完成引理1的证 明.】 参考文献 [1]SIMONSJ.MinimalvarietiesinRiemannian manifolds[J].AnnMath,1968,88:62105. 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(下转第21页) 2012年第1期 2O12No.1 甘小艇等:抛物和双曲方程的全离散间断有限体积元法 Thediscontinu0usfinitevolumeelementmethodforparabolicandhyperbolicequations21 2,…N)为问题(10)的解,如果?L(0,T; H(n)),?L(0,T;H(n)),?L(0,T; L(n)),则有如下估计式: l1一wI1+…u一"圳l,? CllIlu.一.lIIl,+…一甜….+ L hflI.II+II"I1+l(II"II.+II‰Il.)dt+ (』?llII;d))+z((』?I1lI;d).+ (d))].css 证明可以参考定理3,这里不再证明. 参考文献 [1] [2] [3] IIRong—hua,CHENZhong—ying,WUWei. GeneralizedDifferenceMethodsforDifferential Equations(NumericalAnalysiso_,'FiniteVolume Methods)I-M].NewYork:MarcelDekker,2000. BAUMANNCE,0DENJT.AdiscontinuousH finiteelementmethodforconvection-diffusionprob— lems[J].ComputerMethodsinAppliedMechanics andEngineering,1999,175:311-341. C0CKBUMB,SHUCW.Theloca1disc0ntinuous Galerkinfiniteelementmethodfortime—dependent convection—diffusionsystemsEJ.SlAMJNumer Ana1.1998,45(4):244O一2463. (上接第1O页) [1O]XUHong—wei.PinchingTheorems,Global PinchingTheorems,andEigenvaluesfor RiemannianSubmanifolds[D].Shanghai:Fudan University,1990.. 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