高等数学竞赛题库[1].不定积分与定积分

高等数学竞赛 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 库[1].不定积分与定积分 高等数学竞赛 不定积分 不定积分的概念与性质 22,1、设，求 f(x)f(sinx),cos2x，tanx(0,x,1) ,2、设，求 f(lnx),1，xf(x) ,,3、已知，试求函数 f(,x),x[f(x),1]f(x)利用基本积分法求不定积分 一、利用凑微分法求不定积分 1、 求下列不定分; cos2xdx1sinx,cosx(1)dx(2)(3)(4) dxdx222,,,5,1，sinxcosxx，2x，5sinx，2cosx(cosx，sinx) 2、求下列不定积分 32x2x2(1) (2) (x，x)e(x，3x，1)edx(xlnx)(lnx，1)dx,, 1arctan2lnx，2cosx,sinxx(3) (4) (5) dxdxdx2sinx2,,,1，xlnx(1，xlnx)cosx(1，cosxe)x 二、利用第二换元积分法求不定积分 1、三角代换求下列积分 32xdxdxxdxx,9(1) (2) (3) (4) dx32,,,,222x(x，1)1,x1，1,x22(1，x) 1x,2、倒代换(即令)求下列积分 t dxdx(1) (2) (a,0)7,,22x(x，2)x2a，x 1dtxdx,,3、指数代换(令则) a,t,lnat xdx2dx(1) (2) xxxx,,x，，1243621，e，e，e4、利用分部积分法求不定积分 22x3(x，1)edx(x，2x，5)cos2xdx(1) (2) ,, 232xarccosxdxx(lnx)dx(3) (4) ,, xecosxdx(5) , 1 5、建立下列不定积分的递推公式 1n(1) (2) I,dxI,tanxdxnn,22n,(x，a) 有理函数的积分 1、求下列不定积分 dxx，2dx) (2) (3) (1dx2,22,,x，4x，3x(x,1)(1，2x)(1，x) 2、求下列不定积分 x11dx 3n2,1dx2x，1x(1) (2) (3) (4) dxdx,n10,100,,x8，3x，1x(2，x)x(x,1)简单无理函数积分 (，1)xx11、dx 2、 dx,,3，，，1xxxx三角有理式积分 sinx11、1，sinxdx 2、 3、dx dx,3,,1，sinxsinx x，sinx56dx4、 5、sin4xcos2xcos3xdx 6、sinxcosxdx ,,,1，cosx 含有反三角函数的不定积分 2xarccosxdxarctanxdx1、 2、 2,,231，x(1,x)抽象函数的不定积分 2,,,,,fxfxfx()()()fx(ln),dx1、 2、 dx,,3,,,,fx()[f(x)]xfx(ln),, 分段函数的不定积分 1,x,0;, ,f(x)dx例如:设 求. f(x),x，1,0,x,1;,,,2x,x,1, 2 高等数学竞赛 定积分 比较定积分大小 2221、 比较定积分和的大小 lnxdx(lnx)dx,,11 11arctanx2、 比较定积分和dx的大小 ln(1，x)dx,,001，x 利用积分估值定理解题 一、估值问题 5,241、试估计定积分的值 (1，sinx)dx,,4 32、试估计定积分的值 xarctanxdx3,3 二、不等式证明 12x1、证明不等式: 1,edx,e,0 18421xdx2、证明不等式: ,，,,,13 三、求极限 1nxn1xxe2limdxlim1、 2、 dx2x,,00,,,,,,nn1，x1，e关于积分上限函数及牛顿-莱布尼兹公式问题 1、求下列导数: 3xdtF(x),(1); 2,4x1，t 2yx2sintdytedt，dt,1(2)由方程确定的隐函数的导数 y,f(x),,00dxt 2x(1，x)2、设在上连续且满足，求 f(x)[0,，,)f(2)f(t)dt,x,0 1618x1xx2()()3、设为关于的连续函数，且满足方程，求f(x)ftdt,tftdt，，，Cx,,x089 及常数. f(x)C 4、求下列极限: 2xx2ttetdtsin(1,cost)dt,,00(1) (2) limlim56x，,,x00,,xxe2x 3 15、设是连续函数，且，求. f(x)f(x)f(x),x，2f(t)dt,0 82,6、已知且，求及 f(0),0f(x)f(x)f(x)dx,8f(x)dx,,00定积分的计算 一、分段函数的定积分 l,kx,0,x,x,21、设求 ,(x),f(t)dtf(x),;,,0l,c,,x,l,2, 222、求定积分 max(x,x)dx,,2 二、被积函数带有绝对值符号的积分 1、求下列定积分: e1(1) (2) lnxdxtt,xdt1,,0e ,322、求定积分的值 cosx,cosxdx,,,2 三、对称区间上的积分 31sinx2，1、设在上连续，计算 f(x)[,a,a]x(x)dx,,1，1cosx2、设在上连续，且对任何有，计算f(x)(,,,，,)f(x，y),f(x)，f(y)x,y12 (x，1)f(x)dx,,1 ,2sinx43、计算积分, Idx,,x,,1，e4 4、设在区间上连续，为偶函数，且满足条件f(x),g(x)[,a,a](a,0)g(x)f(x) (A为常数). f(x)，f(,x),A aa(1)证明: f(x)g(x)dx,Ag(x)dx,,,0a ,x2(2) 利用(1)的结论计算定积分 sinxarctanedx,,,2 四、换元积分法 1、求下列定积分: 4 1,1010ln2arcsinxsin,cosxx,x222(1) (2) (3) dxdx1,edx1,,,004,sin,cosxxx(1,x)4 五、分部积分 ,sinx,1、设有一个原函数为，求 f(x)xf(x)dx,,x2 3x2、 arcsinxdx,01，x 1ln(1，x)3、 dx,20(2,x) 积分等式的证明 一、换元法(适用于被积函数或其主要部分仅给出连续条件) 1、若函数连续，证明: f(x) 2aa132(1) xf(x)dx,xf(x)dx,,002 b1(2) f(x)dx,(b,a)f[a，(b,a)x]dx,,a0 1111x,(3) dxdx,,22x11，1，xx 3,,,xsinx,dx2、设连续，求证，并计算 f(x)xf(sinx)dx,f(sinx)dx2,,,0001，cosx2 3、设连续，且关于对称，，z证明: f(x)x,Ta,T,b bb2T,b f(x)dx,2f(x)dx，f(x)dx,,,aTa (提示:关于T对称，即) f(x)f(T，x),f(T,x) ,二、分部积分法(适用于被积函数中含有或变上限积分的命题) f(x) x,,例:设连续，，证明: f(x)F(x),f(t)f(2a,t)dt,0 2 F(2a),2F(a),f(a),f(0)f(2a)三、构造辅助函数法(适用于证明在积分限中至少存在一点或使等式成立的命题) ,x0解题思路:(1)将或改成，移项使等式一端为零，则另一端即为所作的辅助函数F(x),xx0 ,或F(x)。 5 (2)验证满足介值定理或微分中值定理的条件。 F(x) (3)由介值定理或微分中值定理，即可证得命题。 1、设在上连续，证明:至少存在一点，使得: f(x),g(x)[a,b],,(a,b) b, f(,)g(x)dx,g(,)f(x)dx,,a, b1222、设在上连续，在内可导，.求证:在f(x)[a,b](a,b)f(a),a,f(x)dx,(b,a),a2 ,内至少存在一点使 f(,),f(,),,，1(a,b), 四、积分不等式的证明 常用的证明积分不等式的定理有:定积分的比较定理，估值定理，函数的单调性，积 分与微分中值定理。 1、设在上连续，且严格递增，证明: f(x)[a,b] bb (a，b)f(x)dx,2xf(x)dx,,aa 2、设在上连续且单调减少，，求证: f(x)[0,，,)0,a,b ba af(x)dx,bf(x)dx,,00 ,3、设在上可导，且.证明: f(x)[a,b]f(x),M,f(a),0 bM2 f(x)dx,(b,a),a2 广义积分 1、求下列广义积分 ，,，,2dxx,(1) (2) xedx2,,,,0x，4x，9 e21dx (3) (4) dx,,2120(1,x)1,(ln)xx ，,dx2、证明:无穷积分当时收敛，当时发散. 0,p,1(p,0)p,1p,1x 1dx3、当时，是以为瑕点的瑕积分，证明它在时收敛，在时p,00,p,1p,1x,0p,0x 发散. 6 高等数学竞赛 导数与微分练习 利用导数定义解题 1,2,(x,2)sin,x,2;1、 设函数 又在处可导，求复合函数g(x),f(t)t,0,x,2 ,0,x,2., 在处的导数。 y,f(g(x))x,2 22、 已知在处可导，求 f(x)xlimx[f(x，),f(x)]000x,,,x 2,3xx,,1,,,3、 设 求在点处的导数 fx(),f(x)f(1)x,1,32,xx,1,, 1f(a，)nn4、 设函数在处可导，且试求 f(x)f(a),0,lim[]x,a,,,nf(a) 2x212f(e)1f(1sinx)，,，，,5、 设求极限 limf(1),0,f(1),a,,,x0lncosx yx,6、 设在R上有定义，且又，求 f(x)f(0),1,f(x)f(x，y),f(x)e，f(y)e导数在几何上的应用 2x，y1、 设函数由方程确定，求曲线在处的法y,f(x)y,f(x)e,cos(xy),e,1(0,1) 线方程 2、 已知是周期为5的连续函数，它在的某个领域内有关系式 f(x)x,0 f(1，sinx),3f(1,sinx),8x，,(x), 其中是当时比高阶的无穷小，且在处可导，求曲线在,(x)f(x)y,f(x)xx,,0x,1点(6,f(6))处的切线方程. 利用导数公式及求导法则求导 xx,y,()1、已知，求 y1，x 12tx,ftt2、若，求f(t) (),lim(1，),,,xx 12x1dy,3,yf(),f(x)lnx,求3、若 ,,x1dx， 7 dy234、设函数由方程确定。求 y,y(x)ln(x，y),xy，sinxx,0dx ,arctanxt,dy5、设函数由所确定，求 y,y(x),2t2y,ty，e,5dx, 2dy6、设函数，其中具有二阶导数，且其一阶导数不等于1，求 y,f(x，y)f2dx 求高阶导数 常用 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 :(1)将函数变形。利用已知函数的阶导数公式; n (2)利用莱布尼兹公式求某些积的阶导数。 n 1(n)f(x),1、设函数，求 f(0)(1,2x)(1，x) 2(50)2、设函数，求 y,ln(x,3x，2)y (n)3、设函数求 f(x),arctanx,f(0) 22x(20)4、设函数，求 y,xey x5、设函数 y,esinx 可导、连续与极限存在的关系 ,x,g(x)e,,,x,0;1、 设f(x)其中具有二阶连续导数，且,g(x),x,0x,0., ,,,求并讨论在内的连续性。 g(0),1,g(0),,1.f(x),f(x),(,,,，,) 1,,,xsin,x,0;,,2、设其中讨论在什么条件下在处连续。 ,,0,f(x)f(x),x,0,x ,0x,0., 8