【WORD格式论文底稿】矩阵的实特征值为正的条件与判断

【WORD格式 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 底稿】矩阵的实特征值为正的条件与判断 免费查阅论文，豆丁 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 与论文网:www.docin.com/week114 矩阵的实特征值为正的条件与判断 熊方方，金升平 武汉理工大学统计系 ，武汉(430063) E-mail: xiongfangfang186@126.com 摘 要:本文对实矩阵的实特征值必为正数的条件进行了研究，得到了一些充要条件和充分条件，并对一些特殊的矩阵，给出了判断方法，对一般的实矩阵，给出了利用 Sturm 定理判断负的相异 实特征值的个数的方法。 关键词:特征值;正稳定矩阵;M-矩阵;Sturm 定理 中图分类号:O15 文献标识码:A 特殊矩阵 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 与应用已引起广泛的研究兴趣[黄 07]，特别地对正稳定矩阵[Horn85]、M-矩阵 [Horn91]等已有大量的研究结果。比这两类矩阵稍一般的矩阵，我们研究一个矩阵的特征值如果 是实数，则一定是正实数的这一特殊类型，称之为实特征值为正的矩阵。在 M-矩阵的研究中，以 及矩阵求平方根等问题中，实特征值为正的矩阵的研究具有极其重要的意义。例如，在矩阵的实 特征值为正的条件下，矩阵的平方根在某种意义下是唯一的[Higham97]。然而，关于矩阵实特征 值为正的条件及简单的判断方法尚未见诸于文献，本文试就这一问题展开相关的研究。 以下如无特别声明，所涉及的矩阵均为实矩阵。 1 实特征值为正的条件 n×n n T 对于 A ? R，若任意非零向量 x ? R, x ? 0 ，都有x Ax > 0 ，则称 A 为正定矩阵。注意 这里的正定矩阵不要求是对称的，如果一个矩阵既是对称的，又是正定的，则称为对称正定矩阵。 显然，正定矩阵是可逆矩阵。 引理 1 正定矩阵的实特征值均为正值。 n×n n T T 证明 设 λ 为 A ? R的一个实特征值， x ? R为 λ 对应的一个特征向量，则 Ax = λ x ， 于是 λ xx = xAx > 0 ，所以 λ > 0 。证毕。 如何判断一个矩阵为正定矩阵呢,有如下的简单的方法。 n×n T 引理 2 矩阵 A ? R正定的充要条件是 A + A是对称正定矩阵。 T 1 T T T T T T 证明 由于 xAx = Ax x = xAx ，所以 xAx = x( A + A) x ，由此可得到引理 2( ) 2 的结论成立。证毕。 关于对称正定矩阵已有大量的判断方法，由引理 2，都可用来判断一般矩阵的正定性。 现研究引理 1 的反问题，如果 A 不是正定矩阵，其实特征值的符号如何呢,例如， ?3 11 ? ? ??T ，则有 。故 A 不是正定矩阵，但 1 是其正的实特征值。即A = = xAx = ?1 < 0 , x ?? ? ? 10 1 ? ? ?? 引理 1 的逆不成立。 下面给出实特征值为正的充要条件和充分条件的结果。 n×n 非奇 异并 且 定理 1 矩阵 A ? R的 实 特征值 为正 的充要 条件 是: A + I ?1 ?1 G = A + I ( A ? I ) 或 G = ( A ? I ) A + I 的实特征值在开区间(-1,1)内。( )( ) 证明 首先证必要性:由于 A 的实特征值都为正数，所以-1 不是其特征值，因而 A + I 非奇 - - 1 免费查阅论文，豆丁标准与论文网:www.docin.com/week114 异。又 2 A ? I A + I = A?I = A + I A ? I ( ) ( ) ( ) ( ) ?1 ?1A + I A ? I = A ? I A + I ( )( ) ( ) ( ) 故只需讨论 ?1 (1) G = A + I ( A ? I )( ) 下面把 A 用 G 表示出来，从A + I G = ( A ? I ) 变形，得( ) (2) I + G = A( I ?G ) 又 ?1 ?1 ?1I ?G = I ? A + I ( A ? I ) = A + I ( A + I ) ?( A ? I )= 2 A + I ( )( )[] ( ) 故 I ?G 非奇异，且由(2)得 ?1(3) A = (I + G)(I ?G ) n 设 λ 为 A 的一个实特征值， λ > 0 ， 为 λ 对应的一个特征向量，由(1)易证x ? R λ ? 1 (4) x Gx = λ + 1 λ ? 1 故是G 的一个实特征值。 λ + 1 1 + μ 同理，设 μ 为G 的一个实特征值，由(3)知为 A 的一个实特征值。所以G 的任一个1 ? μ 实特征值 可表示为μ λ ? 1 μ = ，其中 λ 为 A 的一个实特征值， λ > 0 λ + 1 因而 μ ? ?1,1。( ) ?1 其次来证明充分性:由 A + I 非奇异并且 G = A + I ( A ? I ) 的实特征值在开区间(-1,1)内( ) 知(1)和(3)仍成立，故同必要性的证明， A 的任一个实特征值 λ 可表示为 μ 1 + λ = ，其中 为 G 的一个实特征值， μ ? ?1,1。μ ( ) 1 ?μ 由上式即得 λ > 0 。定理 1 证毕. 定理 2 若存在正定矩阵W ，使 AW 为正定矩阵，则 A 的实特征值为正。 n×n n n 证明 设 λ 为 A ? R的一个实特征值， x ? R为 λ 对应的一个特征向量，则 Ax = x 。 λ又W 是正定矩阵，所以它是可逆矩阵，故存在 y ? R使 Wy = x, y ? 0 ， 所以 T T T T yAWy = yAx = λ yx = λ yWy ( ) 由W 和 AW 为正定矩阵知 T T yAWy > 0, yWy > 0 - - 2 免费查阅论文，豆丁标准与论文网:www.docin.com/week114 故 λ > 0 。证毕。 ?1 T 定理 3 设 A + I 非奇异，G = A + I ( A ? I ) ，若存在正定矩阵W ，使W ?G WG 为正( ) 定矩阵，则 A 的实特征值为正。 n 证明 由定理 1，只要证明G 的任一个实特征值在开区间(-1，1)内。设 λ 为 G 的一个实特 征值， x ? R为 λ 对应的一个特征向量，则 Gx = x, x ? 0, λ ? Rλ 则有 T T T xW ?G WG x > 0, xWx > 0() 但是 T T T T T T 2 T 2 T xW ?G WG x = xWx ? xGWGx = xWx ?λ xWx = (1 ?λ ) xWx() 2 所以 (1 ?λ ) > 0 ，从而λ 在开区间(-1，1)内。定理 3 证毕。 2 特殊矩阵实特征值为正的判断 定理 1~3 用来判断实特征值是否为正存在困难，所以在实际中，需要一些简单易行的判断方 法，本节先研究特殊矩阵的判断方法。 众所周知，正稳定矩阵、M-矩阵，对称正定矩阵等的实特征值都是正数。根据 Gerschgorin 定理，易得如下的结果。 nn × n n × n 定理 4 设非奇异矩阵 A = aa? ? R 满足: a, i = 1, 2,", n 。则 A 的实特 ( )?ij ij ii j =1 j ?i 征值都是正数。 证明 设 λ 为 A 的一个实特征值，则 λ ? 0 ，且λ 位于某个 Gerschgorin 圆内，即存在某个i nn 满足 λ ? a? a，即有 λ ? a? a? 0 ，故有 λ > 0 。证毕。? ? iiijii ij j =1j =1 j ?i j ?i n × n 定理 5 [ 黄 07] 设矩阵 A = a? R 是拟对角占优矩阵(H 矩阵)且满足: )( ij n × n a> 0, i = 1, 2,", n 。则 A 的实特征值都是正数。ii 3 一般矩阵的实特征值为正的判断 n×n 引理 3 设 A ? R的所有 k 阶子式之和为正 (k = 1, 2," , n) ，则 A 的实特征值都是正数。 如想准确地判断其负实特征值的个数，可利用推广的 Sturm 定理[张 83]。 n×n / 定理 6 设 f (λ ) 为非奇异矩阵 A ? R的特征多项式，记 f(λ ) =f (λ ), f (λ ) =f (λ ) ，且0 1 有如下的辗转相除式子: f(λ ) = q(λ ) f(λ ) ? f(λ ) ，, f(λ ) = q(λ ) f(λ ) ? f(λ ) ，"1 1 1 2 m? 2 m?1 m?1 m f(λ ) i ??和 0 的变号个数的差是 A 的负的相异实特征值的个数。f(λ ) = q(λ ) f(λ ) 。现令 g(λ ) = f(λ ) , i = 0,1,", m 。则 g(λ ), g(λ ),", g(λ ) 在 m ?1 m m i m 0 1 m - - 3 免费查阅论文，豆丁标准与论文网:www.docin.com/week114 4 结论 工程中遇到的矩阵大多具有特殊结构，可利用正稳定矩阵，M-矩阵等直接得到矩阵的实特征 值为正数的结论。如果需要准确地判断其负实特征值的个数，可利用推广的 Sturm 定理，但其计 算量稍大，不过比起直接计算或估计特征多项式的根而言，求 Sturm 序列的计算过程是可取的途 径。 参考文献 [Higham97] N.J.Higham, Stable iterations for the matrix square root, Numerical Algorithms, 1997,V.15, 227~242. [Horn85]R. A. Horn and C. R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. [Horn91]R. A. Horn and C. R. Johnson, Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1991. [黄 07] 黄廷祝，杨传胜，特殊矩阵分析及应用。北京:科学出版社，2007 [Wilkinson]J.H.Wilkinson. The Algebraic Eigenvalue Problem,. Clarendon Press, Oxford University, 1965. [张 83] 张远达，浅谈高次方程。武汉:湖北教育出版社，1983 On the Conditions and Judge of Matrices Whose Real Eigenvalues are Positive Xiong Fangfang,Jin Shengping Department of Statistics, Wuhan University of Technology，Wuhan (430063) ABSTRACT It was studied in this paper that a real matrix has not non-positive real eigenvalues. Some sufficient and necessary conditions and sufficient conditions were obtained. Some methods were given to assert a special matrix which has not non-positive real eigenvalues. It was also pointed to count how many different real negative eigenvalues of a general matrix by using Sturm theorem. Key words: eigenvalue; positive stable matrix; M-matrix; Sturm theorem 作者简介: 熊方方，女，1986 年生，硕士研究生，主要研究方向系统控制与优化。 - - 4