椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式及推导过程

椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式及推导过程椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式及推导过程一、椭圆中的焦点三角形面积公式1、公式：SΔPF1F2=b2tan(2α)．2、推导过程：如图所示设椭圆的标准方程为：a2x2b2y2=1（a>b>0），F1,F2分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上异于长轴两端点的任意一点，PF1与PF2的夹角为α，则在ΔPF1F2中，依椭圆的定义及余弦定理，有{∣∣∣F1F2∣∣∣=2c,∣∣∣PF1∣∣∣∣∣∣PF2∣∣∣=2a,a2=b2c2∣∣∣F1F2∣∣∣2=∣∣∣...

椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式及推导过程一、椭圆中的焦点三角形面积公式1、公式：SΔPF1F2=b2tan(2α)．2、推导过程：如图所示设椭圆的标准方程为：a2x2b2y2=1（a>b>0），F1,F2分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上异于长轴两端点的任意一点，PF1与PF2的夹角为α，则在ΔPF1F2中，依椭圆的定义及余弦定理，有{∣∣∣F1F2∣∣∣=2c,∣∣∣PF1∣∣∣∣∣∣PF2∣∣∣=2a,a2=b2c2∣∣∣F1F2∣∣∣2=∣∣∣PF1∣∣∣2∣∣∣PF2∣∣∣2−2∣∣∣PF1∣∣∣∣∣∣PF2∣∣∣cosα⇒∣∣∣F1F2∣∣∣2=(∣∣∣PF1∣∣∣∣∣∣PF2∣∣∣)2−2∣∣∣PF1∣∣∣∣∣∣PF2∣∣∣(1cosα)即（2c）2=(2a)2−2∣∣∣PF1∣∣∣∣∣∣PF2∣∣∣(1cosα)⇒∣∣∣PF1∣∣∣∣∣∣PF2∣∣∣=1cosα2(a2−c）2=1cosα2b2SΔPF1F2=21∣∣∣PF1∣∣∣∣∣∣PF2∣∣∣sinα=21×1cosα2b2sinα=b21cosαsinα=b2×2cos2(2α)2sin2αcos2α=b2tan(2α)附：设∠F1F2P=β,∠F2F1P=γ,则离心率e=sinβsinγsin(βγ)．证明如下：在ΔF1F2P中，由正弦定理得：sinβ∣∣∣PF1∣∣∣=sinγ∣∣∣PF2∣∣∣=sin[π−(βγ)]∣∣∣F1F2∣∣∣=sin[(βγ)∣∣∣F1F2∣∣∣由等比定理得：sinβsinγ∣∣∣PF1∣∣∣∣∣∣PF2∣∣∣=sin[(βγ)∣∣∣F1F2∣∣∣⇒sinβsinγ2a=sin(βγ)2c故e=ac=sinβsinγsin(βγ)二、双曲线中的焦点三角形面积公式1、公式：SΔPF1F2=b2tan(2α)−1．2、推导过程：如图所示设双曲线的标准方程为：a2x2−b2y2=1（a>0，b>0），F1,F2分别是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上异于实轴两端点的任意一点，PF1与PF2的夹角为α，则在ΔPF1F2中，依双曲线的定义及余弦定理，有{∣∣∣F1F2∣∣∣=2c，∣∣∣∣∣∣PF1∣∣∣−∣∣∣PF2∣∣∣∣∣∣=2a，c2=a2b2∣∣∣F1F2∣∣∣2=∣∣∣PF1∣∣∣2∣∣∣PF2∣∣∣2−2∣∣∣PF1∣∣∣∣∣∣PF2∣∣∣cosα⇒∣∣∣F1F2∣∣∣2=(∣∣∣PF1∣∣∣−∣∣∣PF2∣∣∣)22∣∣∣PF1∣∣∣∣∣∣PF2∣∣∣(1−cosα)即（2c）2=(2a)22∣∣∣PF1∣∣∣∣∣∣PF2∣∣∣(1−cosα)⇒∣∣∣PF1∣∣∣∣∣∣PF2∣∣∣=1−cosα2(c2−a）2=1−cosα2b2SΔPF1F2=21∣∣∣PF1∣∣∣∣∣∣PF2∣∣∣sinα=21×1−cosα2b2×sinα=b2×1−cosαsinα=b2×2sin2(2α)2sin2αcos2α=b2(tan2α)−1附：设∠F1F2P=β,∠F2F1P=γ,则离心率e=sinβ−sinγsin(βγ)．证明如下：在ΔF1F2P中，由正弦定理得：sinβ∣∣∣PF1∣∣∣=sinγ∣∣∣PF2∣∣∣=sin[π−(βγ)]∣∣∣F1F2∣∣∣=sin(βγ)∣∣∣F1F2∣∣∣由等比定理得：sinβ−sinγ∣∣∣PF1∣∣∣−∣∣∣PF2∣∣∣=sin(βγ)∣∣∣F1F2∣∣∣⇒sinβ−sinγ2a=sin(βγ)2c故e=ac=sinβ−sinγsin(βγ)

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