概率论公式汇总

第一章随机事件和概率古典概型几何概型加法BC基本事件减法BC随机试验E样本空间P(A)五大公式条件概率B/C和乘法公式BC随机事件A全概公式贝叶斯公式独立性贝努利概型m!Pn从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。m(mn)!（1）排列组合公式m!Cn从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。mn!(mn)!加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n（2）加法种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。和乘法原乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n理某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由m×n种方法来完成。重复排列和非重复排列（有序）（3）一些对立事件（至少有一个）常见排列顺序问题如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，（4）随机但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试试验和随验。机事件试验的可能结果称为随机事件。在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有（5）基本如下性质：事件、样本①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；空间和事②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。件这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。为必然事件，Ø为不可能事件。不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：AB如果同时有AB，BA，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。（6）事件A、B同时发生：AB，或者AB。AB=Ø，则表示A与B不可能同时发生，的关系与运算称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。②运算：结合率：A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)AiAi德摩根率：i1i1ABAB，ABAB设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1°0≤P(A)≤1，2°P(Ω)=1（7）概率3°对于两两互不相容的事件A1，A2，…有的公理化定义PAiP(Ai)i1i1常称为可列（完全）可加性。则称P(A)为事件A的概率。1°1,2n，12°P()P()P()。12nn（8）古典设任一事件A，它是由1,2m组成的，则有概型P(A)=(1)(2)(m)=P(1)P(2)P(m)mA所包含的基本事件数n基本事件总数若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何（9）几何概型。对任一事件A，概型L(A)P(A)。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。L()（10）加法P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)公式当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)P(A-B)=P(A)-P(AB)（11）减法当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)公式当A=Ω时，P(B)=1-P(B)P(AB)定义设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称为事件A发生条件下，事P(A)（12）条件P(AB)件B发生的条件概率，记为P(B/A)。概率P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如P(Ω/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)乘法公式：P(AB)P(A)P(B/A)（13）乘法更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有公式P(A1A2…An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)……P(An|A1A2…An1)。①两个事件的独立性设事件A、B满足P(AB)P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且P(A)0，则有P(AB)P(A)P(B)P(B|A)P(B)P(A)P(A)若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独（14）独立立。性必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。Ø与任何事件都互斥。②多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。设事件B1,B2,,Bn满足1°B1,B2,,Bn两两互不相容，P(Bi)0(i1,2,,n)，（15）全概n公式ABi2°i1，则有P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(Bn)P(A|Bn)。设事件B1，B2，…，Bn及A满足1°B1，B2，…，Bn两两互不相容，P(Bi)>0，i1，2，…，n，nABi2°i1，P(A)0，则（16）贝叶P(B)P(A/B)P(B/A)ii，i=1，2，…n。斯公式inP(Bj)P(A/Bj)j1此公式即为贝叶斯公式。i1ni1P(Bi)，（，2，…，），通常叫先验概率。P(Bi/A)，（，2，…，n），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。我们作了n次试验，且满足每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。（17）伯努这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。利概型用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1pq，用Pn(k)表示n重伯努利试验中A出现k(0kn)次的概率，kknkPn(k)pqCn，k0,1,2,,n。第二章随机变量及其分布基本事件随机事件AP(A)随机变量X()aXbF(b)F(a)设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk，k=1,2,…，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形（1）离散式给出：型随机变Xx1,x2,,xk,量的分布|P(Xxk)p1,p2,,pk,。律显然分布律应满足下列条件：pk1（1）pk0，k1,2,，（2）k1。设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x)，对任意实数x，有xF(x)f(x)dx，（2）连续f(x)型随机变则称X为连续型随机变量。称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。量的分布密度函数具有下面4个性质：密度1°f(x)0。f(x)dx12°。（3）离散P(Xx)P(xXxdx)f(x)dx与连续型随机变量积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与P(Xxk)pk在离的关系f(x)dx散型随机变量理论中所起的作用相类似。设X为随机变量，x是任意实数，则函数F(x)P(Xx)称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(aXb)F(b)F(a)可以得到X落入区间(a,b]的概率。分布函数F(x)表示随机变量落入区间（–∞，x]内的概率。分布函数具有如下性质：1°0F(x)1,x；（4）分布2°F(x)是单调不减的函数，即x1x2时，有F(x1)F(x2)；函数3°F()limF(x)0，F()limF(x)1；xx4°F(x0)F(x)，即F(x)是右连续的；5°P(Xx)F(x)F(x0)。对于离散型随机变量，；F(x)pkxkxx对于连续型随机变量，F(x)f(x)dx。P(X=1)=p,P(X=0)=q0-1分布在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0,1,2,,n。kknkP(Xk)Pn(k)Cnpq，其中（5）八大分布q1p,0p1,k0,1,2,,n，二项分布则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。记为X~B(n,p)。当n1时，P(Xk)pkq1k，k0.1，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。设随机变量X的分布律为kP(Xk)e，0，k0,1,2，k!泊松分布则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为X~()或者P()。泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。CkCnkk0,1,2,lP(Xk)MNM,超几何分布nCNlmin(M,n)随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。P(Xk)qk1p,k1,2,3,，其中p≥0，q=1-p。几何分布随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。设随机变量X的值只落在[a，b]内，其密度函数f(x)在[a，b]1上为常数，即ba1,a≤x≤bf(x)ba其他，0,则称随机变量X在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。分布函数为均匀分布0，xb。x,x当a≤x1x1时，有F（x2,y）≥F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2)≥F(x,y1);（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即F(x,y)F(x0,y),F(x,y)F(x,y0);（4）F(,)F(,y)F(x,)0,F(,)1.（5）对于x1x2，y1y2，F(x2，y2)F(x2，y1)F(x1，y2)F(x1，y1)0.（4）离散P(Xx，Yy)P(xXxdx，yYydy)f(x，y)dxdy型与连续型的关系X的边缘分布为；PiP(Xxi)pij(i,j1,2,)j离散型Y的边缘分布为。PjP(Yyj)pij(i,j1,2,)（5）边缘i分布X的边缘分布密度为fX(x)f(x,y)dy；连续型Y的边缘分布密度为fY(y)f(x,y)dx.在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为pijP(Yyj|Xxi)；pi离散型在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为pijP(Xx|Yy),ijp（6）条件j分布在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为f(x,y)f(x|y)；fY(y)连续型在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为f(x,y)f(y|x)fX(x)一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)ppp离散型ijij有零不独立f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：连续型①可分离变量（7）独立②正概率密度区间为矩形22性1x2(x)(y)y1122212(1)1122二维正态分f(x,y)e,2布2121＝0若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立，h,g为连续函数，则：随机变量的h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。函数特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。设随机向量（X，Y）的分布密度函数为1(x,y)DSDf(x,y)0,其他其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。例如图3.1、图3.2和图3.3。y1D1O1x（8）二维图3.1均匀分布y1D2O2x1图3.2ydD3cOabx图3.3设随机向量（X，Y）的分布密度函数为221x2(x)(y)y1122212(1)1122f(x,y)e,22121其中1,2,10,20,||1是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分（9）二维布，正态分布22记为（X，Y）～N（1,2,1,2,).由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，22即X～N（1,1),Y~N(2,2).22但是若X～N（1,1),Y~N(2,2)，(X，Y)未必是二维正态分布。根据定义计算：FZ(z)P(Zz)P(XYz)对于连续型，fZ(z)＝f(x,zx)dxZ=X+Y22两个独立的正态分布的和仍为正态分布（12,12）。n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。，222（10）函数CiiCiiii分布若X1,X2Xn相互独立，其分布函数分别为F(x)，F(x)F(x)，则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布x1x2xnZ=max,min(函数为：X1,X2,…Xn)F(x)F(x)F(x)F(x)maxx1x2xnF(x)1[1F(x)][1F(x)][1F(x)]minx1x2xn设n个随机变量X1,X2,,Xn相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和n2WXii1的分布密度为nu11u2e2u0,nnf(u)2220,u0.我们称随机变量W服从自由度为n的2分布，记为W～2(n)，2分布其中nn1x2exdx.20所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。2分布满足可加性：设2Yi(ni),则k2ZYi~(n1n2nk).i1设X，Y是两个相互独立的随机变量，且X~N(0,1),Y~2(n),可以证明函数XTY/n的概率密度为t分布n1n12t22f(t)1(t).nnn2我们称随机变量T服从自由度为t分布，记为T～t(n)。t1(n)t(n)22设X~(n1),Y~(n2)，且X与Y独立，可以证明X/nF1的概率密度函数为Y/n2n1n2n1n1n2n2112F分布2n1n1y21y,y0f(y)n1n2n2n2220,y0我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1,n2).1F1(n1,n2)F(n2,n1)第四章随机变量的数字特征期望方差一维随机变量矩切比雪夫不等式期望方差二维随机变量协方差相关系数协方差矩阵（1）离散型连续型一维期望设X是离散型随机变量，其设X是连续型随机变量，其随机期望就是平均值分布律为概率密度为fx,变量PXxkpk，的数EXxfxdx字特k1,2,,n，征（要求绝对收敛）nEXxkPkk1（要求绝对收敛）函数的期望YgXYgXnEYgxfxdxEYgxkpkk1方差2DXxkEXpkDXkDXxEX2fxdx2EXEX,标准差XDX,矩①对于正整数k，称随机变量①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为XX的k次幂的数学期望为vv的k阶原点矩，记为k，即X的k阶原点矩，记为k，kk即vkEXxipii，vEXkkk1,2,。xkfxdx=，②对于正整数k，称随机变量k1,2,。X与EX差的k次幂的数②对于正整数k，称随机变量学期望为X的k阶中心矩，X与EX差的k次幂的数记为k，即学期望为X的k阶中心矩，EXEXkkkk记为，即xiEXpiiEXEXKkk1,2,。xEXkfxdx,k1,2,。切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望EX，方差DX2，则对于任意正数，有下列切比雪夫不等式2PX2切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率PX的一种估计，它在理论上有重要意义。（2）（1）ECC;（2）ECXCEX期望的性nn（），质3EXYEXEYECiXiCiEXii1i1（4）EXYEXEY，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。（3）（1）DC0；ECC方差的性（2）DaXa2DX；EaXaEX质（3）DaXba2DX；EaXbaEXb（4）DXEX2E2X（5）DXYDXDY，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。DXYDXDY2EXEXYEY，无条件成立。而EXYEXEY，无条件成立。（4）期望方差常见01分布B1,ppp1p分布的期二项分布Bn,pnpnp1p望和方差泊松分布P11p几何分布Gppp2超几何分布nMnMMNn1Hn,M,NNNNN1abba2均匀分布Ua,b21211指数分布e2正态分布2N,2x2分布n2nnt分布0n2n2（5）期望n二维EXxipii1EXxfXxdx随机变量nEYyfYydy的数EYyjpj字特j1征函数的期望EGX,YEGX,YGx,yPijijGx,yfx,ydxdyij方差DX22DXxiEXpixEXfXxdxi2DYxjEYpjDYj2yEYfYydy协方差对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩11为X与Y的协方差或相关矩，记为XY或covX,Y，即XY11EXEXYEY。与记号XY相对应，X与Y的方差DX与DY也可分别记为XX与YY。相关系数对于随机变量X与Y，如果DX0，DY0，则称XYDXDY为X与Y的相关系数，记作XY（有时可简记为）。1，当1时，称X与Y完全相关：PXaYb1正相关，当1时a0，完全相关负相关，当1时a0，而当0时，称X与Y不相关。以下五个命题是等价的：①XY0；②covX,Y0；③EXYEXEY；④DXYDXDY；⑤DXYDXDY。协方差矩阵XXXYYXYY混合矩对于随机变量X与Y，如果有EXkYl存在，则称之为X与Y的k1阶混合原点矩，记为vkl；k1阶混合中心矩记为：kluklEXEXYEY.（6）协（i）covX,YcovY,X；方差的性质（ii）covaX,bYabcovX,Y；（iii）covX1X2,YcovX1,YcovX2,Y；（iv）covX,YEXYEXEY。（7）独（i）若随机变量X与Y相互独立，则0；反之不真。立和不XY相关22（ii）若X,Y~N1,2,1,2,，则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。第五章大数定律和中心极限定理切比雪夫大数定律大数定律伯努利大数定律辛钦大数定律列维－林德伯格定理中心极限定理棣莫弗－拉普拉斯定理二项定理泊松定理设随机变量X1，X2，…相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D（Xi）