必修4平面向量知识点小结一、向量的基本概念向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来
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示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移.举例1已知A(1,2)，B(4,2)，则把向量AB按向量a」」3)平移后得到的向量是.结果：(3,0)零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，规定：零向量的方向是任意的；单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是_亘)；|AB|相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a//b,规定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！(因为有o)；三点A、B、C共线二忌总共线.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量记作-a.举例2如下列命
题
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：(1)若ia品，则a&.TOC\o"1-5"\h\z两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.若TB就，则若若a=,b二，则au.若a//b,b//c则a//c.其中正确的是._结果：(4)(5)二、向量的表示
方法
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_几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；斗符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a,b,t等；坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量F,j为基底，则平面内的任一向量a可表示为axi*yj(x,y)，称(x,y)为向量a的坐标，£=(x,y)叫做向量a的坐标表示.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同•三、平面向量的基本定理定理设eg同一平面内的一组基底向量，a是该平面内任一向量，则存在唯一实数对(•「)，使a「e盒定理核心：「爲隹;(2)从左向右看，是对向量a的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a的合成.解.(3)向量的正交分解:当慕时，就说a騙扈为对向量a的正交分举例3(1)若aQi),bji,□),c4,2)，贝yc三结果:1a_3b2下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A.e=(0,0),e2=(1,2)B.ei=(4,2),e2半,7)C.e°31FT已知応BE分别是△ABC的边BC,AC上的中线，且7D4，隹孔则金可用向量a,b表示为._结果：审守.ei=(4,2),e2=(5,7)e=(3,5),e2=(6,10)D.ei#.3),(4)已知UBC中，点D在BC边上，且CD=2DB,CD=rABsAC，则r•s=的值是.结果：0.四、实数与向量的积实数■与向量a的积是一个向量，记作/，它的长度和方向规定如下：模:|-a^l；方向：当•.o时，a的方向与a的方向相同，当■：：：o时，-a的方向与a的方向相反，当■=o时，^=0,五、平面向量的数量积两个向量的夹角：对于非零向量a,b，作oA=a,oB=b，则把aob-丸0s"::二)称为向量a,b的夹角.当卄0时，a,b同向；当卄二时，a,b反向；当二时，a,b垂*7rxT-Tb平面向量的数量积：如果两个非零向量a,b，它们的夹角为我们把数量日叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：a即b=|a||b|co^i.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.TOC\o"1-5"\h\z举例4（1）△ABC中，|爲」?|AC^4，|BC^5，则"AC=.结果:9（2）已知a*|，逬,冷｝c*,dj匕，c与d的夹角为4，则k=.结果：1.（3）已知|£，|论，abw，贝卩倩点.结果：声.（4）已知a,b是两个非零向量，且ia晶品0,则a与a屈的夹角为.结果：30，.向量b在向量a上的投影：|b|cosr，它是一个实数，但不一定大于0.(2)当a、ab=|a||b|是a、当a、b反向时,ab||b|，特别地，a^aa=|a|^|a
公式
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:设R（x,yi）,P2（X2,y2），点P（x,y）分有向线段RP?所成的比为■,则定比分点坐标公式为点坐标公式为Xi+泌X,1拧（41）yi+扎y?y特别地，当‘1时，就得到线段PP2的中点坐标公式特别地，当‘1时，就得到线段PP2的中点坐标公式XiX2x,2%%y•2区，y?）说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确（xy）,（Xi，yi）、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.（2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比■.举例17（1）若艸―，N（6,_1），且『血1，则点P的坐标为.3结果：（£,吕）；3（2）已知A（a,0），B（3,2a），直线ygax与线段AB交于M，且AM=^MB，则a=.—结果：2或4.十一、平移公式如果点P（X,y）按向量a=（h,k）平移至P（x：y）,则」X「h1；曲线f（x,y）=0按y=y出.向量a=（h,k）平移得曲线f（x_h,y_k）0.说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例18（1）按向量a把（2,」）平移到（2），贝卩按向量a把点（二2）平移到点.结果：（-8,3）；（2）函数y^in.的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是yHOS2X十，贝ya三.结果：（-?,1）.7二4十二、向量中一些常用的结论一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；模的性质：|；|-|"勻ab|」ai“bi.（1）右边等号成立条件：a、b同向或ab中有0=|；爲冃；|朮|；（2）左边等号成立条件：a、b反向或a、b中有0=|；-;冃；|扁|；(3)当ab不共线二”ai_ibii期+林躺叶简.3.三角形重心公式在△ABC中，若A%』),B(X2,y2),Cgys),则其重心的坐标为G(Xi亠X2亠X3yiy2y33).举例19若厶ABC的三边的中点分别为A(2,1)、B(」,4)、C(_1,_1),贝廿△ABC的重心的坐标为结果：罷.5.三角形“三心”的向量表示(1)PG」(PAPBPC)GABC的重心，特别地P^+P^+P^=O^G3为△ABC的重心.(2)PAPB=PBPC=PCPAP为△ABC的垂心.(3)fAB|PCTBC|PA+GA|PB=O=P为△ABC的内心；向量九‘虽+虽b丸)所在直线过△ABC的内心.|AB||AC|6•点P分有向线段PP2所成的比■向量形式设点P分有向线段晶所成的比为「若M为平面内的任一点，则活二亦工，特别地p为有向线段需的中点二爲二^!应2.TOC\o"1-5"\h\z1…儿2使得7.向量PA,PB,PC中三终点A,B,C共线=存在实数；，TTPA=：PB：PS1.举例20平面直角坐标系中，。为坐标原点，已知两点A(3,1),B(」3),若点C满足OCmOA^OB,其中1,'2R且「2,则点C的轨迹是.—结果：直线AB.欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供
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协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求5ab的几何意义：数量积ab等于a的模简与b在a上的投影的积.向量数量积的性质：设两个非零向量a,b，其夹角为日，则：（1）a_bab=o；（2）当a、b同向时,b同向的充要分条件；4a^-|a||b|,a-la||b|是a、b反向的充要分条件；当日为锐角时，ab>o，且a、b不同向，是。为锐角的必要不充分条件；斗当日为钝角时，abv。，且a、b不反向；abv。是e为钝角的必要不充分条件.（3）非零向量a,b夹角二的计算公式：cos-举例6（1）已知a“2.）,：込,2），如果a与b的夹角为锐角，贝y，的取值范围是.结果：扎咛或曲且妙3；3（2）已知△ofq的面积为s，且°?73d，若2农：：彳，则OF,7Q夹角二的
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