教师资格证数学基本公式整理

备注：整理得公式都是与讲义统一的，公式放在一起，方便大家集中记忆。常用的公式汇总1.平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2。2.完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2。3.立方和公式：（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3。4.立方差公式：（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3。5.完全立方公式：（a±b）3=a3±3a2b+3ab2±b3。푏6.如果一元二次方程ax2+bx+c=0（x为未知数，a≠0）的两个实数根是x，x，那么x+x=-，1212푎푐xx=。若x+x=m，xx=n，则以x，x为根的一元二次方程是x2-mx+n=0。12푎1212127.指数公式(1)a0＝1(a>0)(2)ar·as＝ar＋s(r,s∈R,a>0)푎푟(3)＝푎푟−푠(r,s∈R,a>0)푎푠(4)(ab)r＝arbr(r∈R,a，b>0)(5)(ar)s＝ars(r,s∈R,a>0)1(6)a-r＝(r∈R,a>0)푎푟푟푠(7)푎푠＝√푎푟(r∈R,a>0，s∈N*，s>1)8.对数公式1特殊：log1＝0,loga＝1,log＝－1（a>0且a≠1）aaa푎和式：loga(M·N)＝logaM＋logaN（a>0且a≠1，M>0，N>0）푀差式：log＝logM－logN（a>0且a≠1，M>0，N>0）a푁aa푙표푔푐푏换底：logab＝（a>0且a≠1，c>0，且c≠1；b>0）푙표푔푐푎푛푛指系：푙표푔푚푏＝logb（a>0且a≠1，b>0，m,n∈R，m≠0）푎푚alog푎푥푥还原：푎=log푎푎（a>0且a≠1；x>0）1倒数：logab＝（a>0且a≠1，b>0且b≠1）푙표푔푏푎9.三角函数的基础公式푠푖푛훼sin2α＋cos2α＝1tanα＝tanαcotα＝1푐표푠훼10.和差公式（1）sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ（2）cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ푡푎푛훼±푡푎푛훽（3）tan(α±β)＝1∓푡푎푛훼푡푎푛훽11.倍角公式（1）sin2α＝2sinαcosα（2）cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2푡푎푛훼（3）tan2α＝1−푡푎푛2훼12.正弦定理在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，R为△ABC的外接圆的半径，푎푏푐则有＝＝＝2푅。푠푖푛퐴푠푖푛퐵푠푖푛퐶111三角形的面积公式：S＝bcsinA＝acsinB＝absinC∆ABC22213.余弦定理在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，有a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC푏2＋푐2−푎2푎2＋푐2−푏2푎2＋푏2−푐2推论：cosA＝，cosB＝，cosC＝2푏푐2푎푐2푎푏14.均值不等式①若a，b∈푅，푎2＋푏2≥2푎푏，当且仅当a=b时，等号成立푎＋푏②若a>0，b>0，则≥√푎푏，当且仅当a=b时，等号成立。2푎＋푏这里a，b均为正数，称为正数a，b的算术平均数，√푎푏称为正数a，b的几何平均2数，即两个整数的算术平均数不小于（大于等于）它们的几何平均数。푎＋푏+푐3③若a，b，c∈푅，则≥√푎푏푐，当且仅当a=b=c时，等号成立。315.柯西不等式若a，b，c，d∈푅，都是实数，则(푎2+푏2)(푐2+푑2)≥(푎푐+푏푑)2，当且仅当ad=bc时，等号成立。16.复数的运算1.加减运算：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i2.乘法运算：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i푎푐＋푏푑푏푐−푎푑3.除法运算：(a＋bi)÷(c＋di)＝＋푖(c＋di≠0)푐2＋푑2푐2＋푑24.i的幂运算：i4n＝1，i4n＋1＝1，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)17.复数方程实系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）在复数范围内求根：−푏±√푏2−4푎푐当判别式Δ>0时，有一对实根x=；1,22푎푏当判别式Δ=0时，有一对相等的实根x=−；1,22푎−푏±푖√4푎푐−푏2当判别式Δ<0时，有一对共轭虚根x=。1,22푎（3）数量积：对于两个向量푎⃗和푏⃗⃗，它们的模|푎⃗|、|푏⃗⃗|及它们的夹角的余弦的乘积称为向量푎⃗和푏⃗⃗的数量积，记作푎⃗·푏⃗⃗，即푎⃗·푏⃗⃗=|푎⃗||푏⃗⃗|푐표푠。18.坐标运算⃗⃗⃗设푎⃗＝(x1,y1)，푏＝(x2,y2)，则：向量的加减法运算：푎⃗±푏⃗⃗＝(x1±x2,y1±y2)实数与向量的积：휆푎⃗=휆(x1,y1)=(휆x1,휆y1)。若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则퐴퐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(x2－x1,y2－y1)，即一个向量的坐标等于表示这个向量的푥＋푥푦＋푦有向线段的终点坐标减去起点坐标。线段AB的中点坐标为(12,12)。22平面向量数量积：푎⃗∙푏⃗⃗＝x1x2＋y1y2。向量的模：|푎⃗|=√2+2，푎⃗2=|푎⃗|2=2+2。22两点间的距离：若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√(2−1)＋(2−1)。19.向量的运算律交换律：푎⃗＋푏⃗⃗＝푏⃗⃗＋푎⃗，λ(휇푎⃗)＝(λμ)푎⃗，푎⃗∙푏⃗⃗＝푏⃗⃗∙푎⃗结合律：(푎⃗＋푏⃗⃗)＋푐⃗＝푎⃗＋(푏⃗⃗＋푐⃗)，푎⃗＋푏⃗⃗＋푐⃗＝(푎⃗＋푏⃗⃗)＋푐⃗，푎⃗−푏⃗⃗−푐⃗＝푎⃗−(푏⃗⃗＋푐⃗)，(λ푎⃗)·푏⃗⃗＝λ（푎⃗·푏⃗⃗）=푎⃗·（λ푏⃗⃗）；分配律：(λ＋μ)푎⃗＝λ푎⃗＋휇푎⃗，λ(푎⃗＋푏⃗⃗)＝λ푎⃗＋휆푏⃗⃗，(푎⃗＋푏⃗⃗)·푐⃗=푎⃗·푐⃗＋푏⃗⃗·푐⃗。2⃗⃗⃗⃗⃗⃗2⃗⃗20.向量平行的充要条件：⃗푎⃗푏↔푎⃗＝휆푏(휆∈푹)↔(푎⃗∙푏)＝(|푎⃗||푏|)↔x1y2－x2y1=0。21.两个向量垂直的充要条件⃗⃗⃗设푎⃗＝(x1,y1),푏＝(x2,y2)，①向量式：⃗푎⃗푏⃗⃗(푏⃗⃗≠⃗⃗)↔푎⃗∙푏⃗⃗＝0；②坐标式：⃗푎⃗푏⃗⃗(푏⃗⃗≠⃗⃗)↔x1x2＋y1y2＝0。③直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0。向量垂直的充要条件：⃗푎⃗푏⃗⃗(푏⃗⃗≠⃗⃗)↔푎⃗∙푏⃗⃗＝0↔|푎⃗+푏⃗⃗|=|⃗푎⃗−푏⃗⃗|↔x1x2＋y1y2＝0。22.向量的模与两点间的距离公式设向量푟⃗=(x,y,z)，则向量模的坐标表示式|푟⃗|=√2+2+𝑧2设有点A=(x1,y1,z1)，B=(x2,y2,z2)，则퐴퐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝푂퐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗-푂퐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x2－x1,y2－y1,z2－z1)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗222于是点A与点B间的距离为|퐴퐵|=|퐴퐵|＝√(2−1)+(2−1)+(𝑧2−𝑧1)23.数量积（1）数量定义对于两个向量푎⃗和푏⃗⃗，它们的模|⃗푎⃗|、|푏⃗⃗|及它们的夹角的余弦的乘积称为向量푎⃗和푏⃗⃗的数量积，记作푎⃗∙푏⃗⃗，即푎⃗∙푏⃗⃗＝|푎⃗||푏⃗⃗|cos24.数量积的性质2①푎⃗∙푎⃗＝|푎⃗|②对于两个非零向量푎⃗和푏⃗⃗，如果푎⃗∙푏⃗⃗＝，则푎⃗푏⃗⃗；反之，如果푎⃗푏⃗⃗，则푎⃗∙푏⃗⃗＝。如果认为零向量与任何向量都垂直，则푎⃗푏⃗⃗↔푎⃗∙푏⃗⃗＝。25.数量积的运算律①交换律푎⃗∙푏⃗⃗＝푏⃗⃗∙푎⃗②分配律：(푎⃗＋푏⃗⃗)·푐⃗=푎⃗·푐⃗＋푏⃗⃗·푐⃗③⃗⃗＝（⃗⃗），⃗⃗＝⃗⃗、为常数(λ푎⃗)·푏푎⃗·λ푏(λ푎⃗)·(휇푏)λμ(푎⃗푏)λ휇26.数量积的坐标表示⃗⃗⃗⃗设푎⃗＝(푎푥，푎푦，푎푧)，푏＝(푏푥，푏푦，푏푧)，则푎⃗∙푏=푎푥푏푥+푎푦푏푦+푎푧푏푧（5）两向量夹角的余弦的坐标表示푎⃗⃗∙푏⃗⃗푎푏+푎푏+푎푏设=<푎⃗,푏⃗⃗>，则当푎⃗≠，푏⃗⃗≠时，有cos＝＝푥푥푦푦푧푧|푎⃗⃗||푏⃗⃗|222222√푎＋푎＋푎𝑧√푏＋푏＋푏𝑧27.向量积（1）向量积的定义设向量푐⃗是由两个向量푎⃗和푏⃗⃗按下列方式定出：푐⃗的模|푐⃗|＝|푎⃗||푏⃗⃗|sin，其中为푎⃗和푏⃗⃗间的夹角。푐⃗的方向垂直于푎⃗和푏⃗⃗所决定的平面，푐⃗的指向按右手定则从푎⃗转向푏⃗⃗来确定。那么，向量푐⃗叫做向量푎⃗与푏⃗⃗的向量积，记作푎⃗×푏⃗⃗，即푐⃗=푎⃗×푏⃗⃗向量积的几何意义：平行四边形的面积28.向量积的性质①푎⃗×푎⃗=②对于两个非零向量푎⃗、푏⃗⃗，如果푎⃗×푏⃗⃗=，则푎⃗∥푏⃗⃗；反之，如果푎⃗∥푏⃗⃗，则푎⃗×푏⃗⃗=。29.向量积的运算律①交换律푎⃗×푏⃗⃗=−푏⃗⃗×푎⃗②分配律：(푎⃗+푏⃗⃗)×푐⃗=푎⃗×푐⃗+푏⃗⃗×푐⃗③휆푎⃗×푏⃗⃗=푎⃗×(휆푏⃗⃗)=휆(푎⃗×푏⃗⃗)，휆为常数30.向量积的坐标表示풊풋풌⃗⃗푎⃗×푏=|푎푥푎푦푎푧|=(푎푦푏푧−푎푧푏푦)풊−(푎푥푏푧−푎푧푏푥)풋+(푎푥푏푦−푎푦푏푥)풌푏푥푏푦푏푧31.利用向量的坐标判断两个向量的平行⃗⃗⃗⃗⃗设푎⃗＝(푎푥，푎푦，푎푧)≠0,푏＝(푏푥，푏푦，푏푧)，向量⃗푎⃗푏⃗⃗↔푎⃗＝휆푏，푏푥푏푦푏푧即⃗푎⃗푏⃗⃗↔(푎푥，푎푦，푎푧)=휆(푏푥，푏푦，푏푧)，于是==푎푥푎푦푎푧32.混合积设已知三个向量a，b，c，先作两向量a和b的向量积a×b把所得到的向量与第三个向量c再作数量积(a×b)·c，这样得到的数量叫做三向量a、b、c的混合积，记作[a，b，c]。푎푥푎푦푎푧푎푦푎푧푎푥푎푧푎푥푎푦[a，b，c]=(a×b)·c=푐푥||-푐푦||+푐푧||=|푏푥푏푦푏푧|푏푦푏푧푏푥푏푧푏푥푏푦푐푥푐푦푐푧几何意义：以向量a，b，c，为棱长的平行六面体的体积。33.两条平行线间的距离|퐶1−퐶2|若l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0平行，则：d＝。√퐴2＋퐵234.点与直线的关系|퐴푥0＋퐵푦0＋퐶|点P0(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为：d＝。√퐴2＋퐵235.圆的方程的几种形式表达式圆心半径 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a，b)rx2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，퐷퐸√2＋2一般方程(−,−)퐷퐸−4퐹2222r＝(D＋E－4F>0)2＝푟cos＋푎参数方程{(a，b)r＝푟sin＋푏푛!37.排列数公式：퐴푚=푛(푛−1)(푛−2)…(푛−푚+1)=(m,n∈N,m≤n)푛⏟(푛−푚)!푚个相乘5!如퐴3=5×4×3=5(5−3)!38.组合数公式：푚3푚퐴푛n(n−1)…(n−m＋1)푛!3퐴55×4×3퐶푛＝푚＝＝(m,n∈N,m≤n)，如퐶5=3=。퐴푚푚(푚−1)…2∙1(푛−푚)!푚!퐴33×2×139.组合数性质푚푛−푚0푛퐶푛＝퐶푛，规定퐶푛＝퐶푛＝1。40.二项式定理n0n1n-1푟n-rr푛n푟(a＋b)＝퐶푛a＋퐶푛ab＋…＋퐶푛ab＋…＋퐶푛b(n，r∈N*)，其中组合数퐶푛叫做第(r＋푟n-rr1)项的二项式系数；展开式共有(n＋1)项，其中第(r＋1)项Tr＋1＝퐶푛ab(r＝0,1,2,…n)称为二项展开式的通项，二项展开式通项的主要用途是求指定的项。41.等可能事件的概率（1）几何概率：每个事件发生的概率只与构成事件区域的几何度量（面积或体积）成正比。构成事件A的区域的几何度量（长度、面积或体积）P（A）＝试验所有可能结果构成的区域的几何度量（长度、面积或体积）42.等可能事件的概率①特点：所有基本事件有限个；每个基本事件发生的可能性都相等퐴包含的基本事件的个数②概率公式：P（A）＝基本事件的总数43.古典概型概率的求法一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件푚A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）＝푛44.如果事件A和B互斥，则P（A+B）＝P（A）＋P（B）（加法公式）。45.如果A和B对立，则：P（A）＝1－P（B）。푃(퐴퐵)46.条件概率P（B|퐴）=，为在事件A发生条件下，事件B发生的概率。푃(퐴)47.独立事件概率P（AB）=P(A)P（B|퐴）=P（A）P（B）。48.n次独立重复试验中恰好发生k次的概率在n次重复试验中，试验成功的次数是一个随机变量，用ξ来表示，事件发生的概率是푘kn-kp，则在n次试验中恰好成功k次的概率为：P（ξ＝k）＝퐶푛p(1-p)。49.两点分布如果随机变量X的分布列为X01P1-pp则称X服从两点分布，并称p=P(X=1)为成功概率。50.二项分布n次独立重复试验中，事件A发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能的取值为0、1、푘kn-k2、…n，并且Pk=P（ξ＝k）＝퐶푛pq，其中0≤k≤n，q=1-p，随机变量ξ的分布列如下：ξ01…k…n00n11n-1푘kn-k푛n0P퐶푛pq퐶푛pq…퐶푛pq…퐶푛pq称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n,p)，并称p为成功概率，其中n、p为푘kn-k参数，并记퐶푛p(1－p)=b(k，n，p)。51.超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中含有次品数记为ξ，则事件{ξ＝k}发生푘푛−푘퐶푀퐶푁−푀的概率为P（ξ＝k）＝푛（k＝1,2,…,l,l＝min(n,M)，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*），퐶푁其分布如下表所示：Ξ01…l0푛1푛−1푙푛−푙퐶푀퐶푁−푀퐶푀퐶푁−푀퐶푀퐶푁−푀P푛푛…푛퐶푁퐶푁퐶푁푘푛−푘퐶푀퐶푁−푀称这样的随机变量ξ服从超几何分布，记作ξ～H(n，M，N)，并将P（ξ＝k）＝푛记为퐶푁H(k；n，M，N)。152.期望=平均数̅＝(x＋x＋…＋x)푛12n153.方差：s2＝[(x－̅)2＋(x－̅)2＋…＋(x－̅)2]푛12n휍54.标准差系数（离散系数）：푉=휍푥55.离散型随机变量的期望E(ξ)＝p1x1＋p2x2＋…＋pnxn＋…为ξ的数学期望或平均数、均值，简称为期望。∞E(X)=∑푘푝푘푘=1若η=aξ+b，其中a，b为常数，则η也是随机变量，且E(η)=E(aξ+b)=aEξ+b。随机变量期望的性质：①E(c)=c(c为常数)②E(cX)=cE(X)③E(X±Y)=E(X)±E(Y)푛푛④퐸(∑푋푖)=∑퐸(푋푖)푖=1푖=1⑤若X，Y相互独立，则E(XY)=E(X)·E(Y)。22256.离散型随机变量的方差D(ξ)＝p1(x1－E(ξ))＋p2(x2－E(ξ))＋…＋pi(xi－E(ξ))+…+2pn(xn－E(ξ))为随机变量ξ的方差。若η=aξ+b，其中a，b为常数，则η也是随机变量，且D(η)=D(aξ+b)=a2Dξ。随机变量方差的性质：∞22①D(X)=∑,푘−퐸(푋)-푝푘=E*,푋−퐸(푋)-+푘=1②D(c)=0(c为常数)③D(cX)=c2D(X)(c为常数)④D(X+c)=D(X)(c为常数)⑤若X，Y相互独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)⑥D(X)=E(X2)-[E(X)]257.随机变量的分布函数设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)=P{X≤x}，−∞0，则称ξ服从正态分布，记为ξ～N(μ，휍2)。称F(x)=∫푓()푑=∫푒2휎2푑−∞−∞√2휋휍为分布函数。期望Eξ=μ，方差Dξ=휍2。62.性质1.曲线在x轴上方，并且关于直线x=μ对称。P(X<μ)=P(X>μ)=0.5；P(X<μ-σ)=P(X>μ+σ)2.曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低。3.曲线的对称轴位置由μ确定；曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，反之越“高瘦”。63.标准正态分布11−푥2当μ=0，σ=1时，ξ服从标准的正态分布，记作ξ～N(0，1)，且有φ(x)=푒2，φ(x)√2휋푡2푥1푥−称为标准正态分布的概率密度函数；标准正态分布函数为Φ(x)=∫훷(푡)푑푡=∫푒2푑푡，−∞√2휋−∞且满足Φ(-x)=1-Φ(x)，Φ(0)=0.5。当X～N(μ，휍2)时，F（μ）=0.5；푥−휇F（x）=Φ()，휍푋−휇푥−휇푥−휇P（X≤x）=P（≤）=Φ()，휍휍휍푏−휇푎−휇P（aN时，有|푛−푎|<成立，那么就称常数a是数列*푛+的极限，或者称数列*푛+收敛于a，记作lim푛=푎。푛→∞“ε--N”语言：>，正整数N，当n>N时，有|푛−푎|<。65.函数极限（1）自变量趋于有限值时函数的极限设函数푓()在点0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数，当<|−0|<时，|푓()−퐴|<成立，则称푓()当→0时以A为极限，记作lim푓()=퐴。푥→푥0描述语言：当→0时，푓()无限趋近（接近）于某个常数A。“ε--N”语言：>，>，对任意的，有|푓()−퐴|<。66.自变量趋于无穷大时函数的极限设函数푓()当||大于某一正数时有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在着正数X，使得当x满足不等式||>푋时，对应的函数值푓()都满足不等式|푓()−퐴|<，那么常数A就叫做函数푓()当→∞时的极限，记作lim푓()=퐴或푓()→퐴（当→∞）푥→∞“ε--N”语言：>，푋>，当||>푋时，有|푓()−퐴|<。67.函数的有界性如果在变量x所考虑的范围(用D表示)内，存在一个正数M,使在D上的函数值푓()都满足|푓()|≤，则称函数=푓()在D上有界,亦称푓()在D上是有界函数。如果不存在这样的正数M,则称函数y=푓()在D上无界,亦称푓()在D上是无界函数。一般来说，连续函数在闭区间上具有有界性。68.极限的性质（1）函数极限的唯一性如果极限存在，那么这极限唯一。lim푥→푥0푓()（2）函数极限的局部有界性如果极限lim푓()=퐴푥→푥0那么存在常数M>0和δ>0，使得当<|−0|<时，有|푓()|≤。（3）函数极限的局部保号性如果lim푓()=퐴푥→푥0且A>0（或A<0），那么存在常数δ>0，使得当<|−0|<时，有푓()>（或푓()<）。（4）函数极限与数列极限的关系如果极限lim푓()푥→푥0存在，*푛+为函数f(x)的定义域内任一收敛于0的数列，且满足：푛≠0(푛∈푁+)，那么相应的函数值数列*푓(푛)+必收敛，且lim푓(푛)=lim푓().푛→∞푥→푥069.极限的运算法则设limu(x)＝A，limv(x)＝B，则有（1）加减法：lim[u(x)±v(x)]＝limu(x)±limv(x)＝A±B（2）乘法：lim[u(x)·v(x)]＝limu(x)·limv(x)＝A·B푢(푥)푙푖푚푢(푥)퐴（3）除法：当limv(x)＝B≠0时，lim＝＝푣(푥)lim푣(푥)퐵推论1：如果limu(x)存在，而c为常数，那么lim[cu(x)]＝climu(x)。推论2：如果limu(x)存在，而n是正整数，那么lim[u(x)]n＝[limu(x)]n。70.判定极限存在的两个准则（1）（夹逼准则）设函数f(x)，g(x)，h(x)在0的某个邻域푈(0)内满足g(x)≤f(x)≤h(x)，且有极限lim푔()=lim푕()=퐴푛→푥0푥→푥0则有lim푓()=퐴。푥→푥0（2）单调有界数列必有极限。71.极限的求法代入法就是直接将所趋近的值代入函数表达式中，这种方法的前提条件是这个值能使函数有意义。约公因子法：所趋近的值使得函数没有意义，因此需要进行约公因子，约公因子通常运用因式分解的方法。最高次幂：当函数是分式形式，且分子、分母都是多项式时，可以通过这种方法。最高次幂法主要是比较分子与分母次数的高低。푎0,当푛＝푚푎푚＋푎푚−1＋…＋푎푏0lim01푚＝푥→∞푏푛＋푏푛−1＋…＋푏,当푛>푚01푛{∞,当푛<푚72.两个重要极限公式푠푖푛（1）lim＝1푥→01푥1（2）lim(1＋)＝푒或lim(1＋)푥＝푒푥→∞푥→073.洛必达法则0法则1：（型）0设（1）limf(x)=0，limg(x)=0；（2）在x变化过程中，f′(x)，g′(x)皆存在；푓′(푥)푓(푥)（3）lim=퐴（或∞），则lim=퐴（或∞）。푔′(푥)푔(푥)푓′(푥)푓(푥)注意：如果lim不存在，则不能得出lim不存在，如反例푔′(푥)푔(푥)+푠푖푛lim。푥→∞∞法则2：（型）∞设（1）limf(x)=∞，limg(x)=∞；（2）在x变化过程中，f′(x)，g′(x)皆存在；푓′(푥)푓(푥)（3）lim=퐴（或∞），则lim=퐴（或∞）。푔′(푥)푔(푥)注意：（1）离散型数列极限不能直接用洛必达法则；1（2）如果直接用洛必达法则更麻烦，可先作变量替换，如令=t。푥274.两个无穷小的比较푓(푥)在自变量同一变化过程（→或→∞）中，设limf(x)=0，limg(x)=0，且lim=푙，0푔(푥)则有：①若l=0，称푓()是比푔()高阶的无穷小，记作：푓()＝o,푔()-；②若l＝∞，称푓()是比푔()低阶的无穷小，记作：푓()＝O,푔()-；③若l=c≠0，称푓()与푔()是同阶无穷小；④若l＝1，称是푓()与푔()等阶无穷小，记作：푓()~푔()。75.常用等价无穷小当x→的等价无穷小量有：sin~；tanx～x；arcsinx～x；arctanx～x；ex－1～x；푥2ln(1＋x)～x；（1＋x）2－1～2x；1－cosx～；ax-1～x·lna276.水平渐近线当lim푓()=푐(常数)푥→±∞时，则称y=c为水平渐近线。77.垂直渐近线当lim푓()=±∞±푥→푥0时，则称x=x0为垂直渐近线。78.闭区间上的连续函数的性质定理1（有界性与最大值最小值定理）：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。这就是说，如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，那么存在常数M>0，使得对任一x∈,푎,푏-，满足|푓()|≤；且至少有一点ξ，使f(ξ)是f(x)在[a，b]上的最大值；又至少有一点η，使f(η)是f(x)在[a，b]上的最小值。有界性定理：闭区间上连续函数在该区间上必有界。定理（零点定理）：设函数2f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)·f(b)<0），则在开区间（a，b）内至少有一点ξ，使f(ξ)=0。定理3（介值定理）：设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B则对于A与B之间的任意一个数C，在开区间（a，b）内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C（a<ξ0且a≠1），特别地（푒푥）′=푒푥114．（log）′＝（a>0且a≠1），特别地，(lnx)′=푎푥푙푛푎푥5.（sinx）′＝cosx（cosx）′＝－sinx（tanx）′＝sec2x（cotx）′＝－csc2x（secx）′＝tanxsecx（cscx）′＝－cotxcscx116．（arcsinx）′＝（arccosx）′＝-√1−푥2√1−푥211（arctanx）′＝（arccotx）′＝−1＋푥21＋푥283.求导法则函数的和、差、积、商的求导法则定理：设u＝u(x)，v＝v(x)都可导，则（1）[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)；（2）[u(x)·v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)，特别地，[Cu(x)]′＝Cu′(x)；푢(푥)′푢(푥)푣(푥)−푢(푥)푣′(푥)（3）01＝（v′（x）≠0）。푣(푥)푣2(푥)84.反函数求导法则反函数的导数等于原函数导数的倒数。85.复合函数的求导法则函数对自变量的导数等于函数对中间变量的导数乘中间变量对自变量的导数。86.隐函数求导（1）隐函数的概念由二元方程F（x,y）＝0所确定的函数称为隐函数。（2）隐函数的求导法例：求由方程푒푥+xy-e=0所确定的隐函数的导数。푑解：把方程两边分别对x求导数，注意y=y(x)。方程左边对x求导得(푒푦+−푒)=푑푥푑푦푑푦푒푦+y+，푑푥푑푥方程右边对x求导得(0)′=0。푑푦푑푦由于等式两边对x的导数相等，所以푒푦+y+=0，푑푥푑푥푑푦푦从而=−(x+푒푦≠)。푑푥푥+푒푦在这个结果中，分式中的y=y(x)是由方程푒푥+xy-e=0所确定的隐函数。87.由参数方程所确定的函数的导数=휑(푡)一般地，若参数方程{，确定y与x间的函数关系，则称此函数关系所表达的=ψ(t)函数为由参数方程所确定的函数。要计算这个参数方程所确定的x的函数的导数，假设函数푑푦푑푦휑′(푡)=휑(푡)、=ψ(t)都是可导的，而且ψ(t)≠0。则=푑푡=。푑푥푑푥휓′(푡)푑푡88.切线方程与法线方程函数푓()在点0处的导数푓(0)在几何上表示曲线＝푓()在点(0，푓(0))处的切线的斜率，即푓(0)＝푘切。′②若푓(0)=∞，则在点(0，푓(0))处的切线垂直于轴；③曲线＝푓()在点(0，푓(0))处的切线方程为−푓(0)＝푓(0)(−0)；1曲线＝푓()在点(0，푓(0))处的法线方程为−푓(0)＝−(−0)。푓′(푥0)89.函数单调性的判定设函数y=f(x)在[a，b]上连续，在（a，b）内可导。（1）如果在（a，b）内f′(x)≥0，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数y=f(x)在[a，b]上单调增加；（2）如果在（a，b）内f′(x)≤0，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数y=f(x)在[a，b]上单调减少；90.求函数最值的方法极值与区间端点处的函数值比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。91.曲线的凹凸性与拐点푥+푥푓(푥)+푓(푥)设f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x，x恒有푓.12/<12，那么称1222f(x)在I上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；푥+푥푓(푥)+푓(푥)如果恒有푓.12/>12，那么称f(x)在I上的图形是（向上）凸的（或凸弧）.22如果函数f(x)在I内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，设f(x)在[a，b]上连续，在（a，b）内具有一阶和二阶导数，那么（1）如果在（a，b）内f″(x)>0，那么函数f(x)在[a，b]上的图形是凹的；（2）如果在（a，b）内f″(x)<0，那么函数f(x)在[a，b]上的图形是凸的；92.詹森不等式：若f为[a，b]上的凹函数，则对任意xi∈[a，b]，λi>0(i=1,2,3,…n)，푛∑휆푖=1，푖=1푛푛有푓(∑휆푖푖)≤∑휆푖푓(푖)。푖=1푖=1一般地，设y=f(x)在区间I上连续，x0是I内的点。如果曲线y=f(x)在经过点（x0，f(x0)）时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点（x0，f(x0)）为这曲线的拐点。93.可以按照如下的步骤来判定区间I上的连续曲线y=f(x)的拐点：（1）求f″(x)；（2）令f″(x)=0，解出这方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f″(x)不存在的点；（3）对于（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x0，检查f″(x)在x0左、右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点（x0，f(x0)）是拐点，当两侧的符号相同时，点（x0，f(x0)）不是拐点。94.微分和导数的关系d＝푑푓()=′푑=푓()d95.罗尔定理如果函数푓()满足：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在（a，b）内至少有一点ξ(a<ξm。因为f(a)=f(b)，所以M和m这两个数中至少有一个不等于푓()在区间[a，b]的端点处的函数值，为确定起见，不妨设M≠f(a)，那么必定在开区间（a，b）内有一点ξ使푓(ξ)=。因此任取x∈(a，b)，有푓()≤푓(ξ)，从而由费马引理可知푓(ξ)=。96.拉格朗日中值定理如果函数푓()满足：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；那么在（a，b）内至少有一点ξ(a<ξa≥0，y2(x)≥y1(x)≥0)围成的图形绕y轴旋转一周푏所成的旋转体体积V=()()∫푎2휋,2−1-푑111.求平面曲线的弧长=휑(푡)设曲线弧由参数方程{，（α≤t≤β）给出，其中휑(푡)，휓(푡)在[α，β]上具有连续导=휓(푡)数，且휑(푡)，휓(푡)，不同时为零。现在计算这曲线弧的长度。于是所求弧长为훽s=√′2()2。∫훼휑푡+휓(푡)푑푡当曲线弧由直角坐标方程y=f(x)(a≤x≤b)给出，其中f(x)在[a，b]上具有一节连续导数，这=푏时曲线弧由参数方程2，(a≤x≤b)，从而所求的弧长为s=√1+2푑。=푓()∫푎当曲线弧由极坐标方程ρ=ρ(θ)（α≤θ≤β）给出，其中ρ(θ)在[α，β]上具有连续导数，则由=()=휌()푐표푠直角坐标与极坐标的关系可得{，（α≤θ≤β），这就以极角θ为参数的曲=()=휌()푠푖푛线弧的参数方程。于是，弧长元素为ds=√′2()+2()푑=√휌2()+휌2()푑。，从而所求弧长为s=√휌2()+휌2()푑。112.等比级数的公比的绝对值|푞|<1，那么数级收敛；如果|푞|≥1，那么级数发散。无穷级数1+2+3+…+n+…是发散的。111无穷级数++⋯++⋯是收敛的。1∙22∙3푛(푛+1)113.级数收敛的必要条件如果级数∞∑푢푛푖=1收敛，那么它的一般项푢푛趋于零，即lim푢푛=.푛→∞注意：级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件，有些级数虽然一般项趋于零，但仍然是发散的。例如，调和级数1111+++⋯++⋯，23푛1虽然它的一般项푢=→(푛→∞)，但是它是发散的。푛푛114.比值审敛法（达朗贝尔判别法）设∞∑푢푛푛=1为正项级数，如果푢lim푛+1=휌，푛→∞푢푛那么当ρ<1时级数收敛，푢ρ>1（或lim푛+1=∞）时级数发散，ρ=1时级数可能收敛也可能发散。푛→∞푢푛115.比值审敛法（柯西判别法）设∞∑푢푛푛=1为正项级数，如果푛lim√푢푛=휌，푛→∞那么当ρ<1时级数收敛，푛ρ>1（或lim√푢푛=+∞）时级数发散，ρ=1时级数可能收敛也可能发散。푛→∞那么当ρ<1时级数收敛，ρ>1时级数发散，ρ=1时级数可能收敛也可能发散。116.莱布尼茨定理如果交错级数∞푛−1∑(−1)푢푛푛=1满足条件：（1）푢푛≥푢푛+1(푛=1,2,3…)；（2）lim푢푛=，푛→∞那么级数收敛，且其和，s≤푢1，其余项푟푛的绝对值|푟푛|≤푢푛+1。117.函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是常数乘幂函数的函数项级数，即所谓幂级数，它的形式是∞푛2푛∑푎푛=푎0+푎1+푎2+⋯+푎푛+⋯푛=0其中常数a0，a1，a2，…，an，…叫做幂级数的系数。118.幂函数及其收敛性1.收敛半径与系数的关系如果푎lim|푛+1|=휌，푛→∞푎푛其中an，an+1是幂级数∞푛∑푎푛푛=0的相邻两项的系数，那么这幂级数的收敛半径1，ρ≠휌R=+∞，ρ={，ρ=+∞据此可知，∞푛푎푛∑푎푛的收敛半径为푅=lim||。푛→∞푎푛+1푛=0119..求幂级数的收敛半径的方法∞∞푛푛푛在端点处，考查∑푎푛及∑(−1)푎푛的收敛性，得出收敛区域。푛=0푛=0120.平面方程的基本形式（1）点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0其中已知点（x0，y0，z0），法向量푛⃗⃗=(퐴，퐵，퐶)。（2）一般式：Ax＋By＋Cz＋D＝0(A、B、C不全为零)。121.直线方程的基本形式퐴1＋퐵1＋퐶1𝑧＋퐷1＝（1）一般式（交面式）：{，其中（퐴1，퐵1，퐶1）与（퐴2，퐵2，퐶2）不平行。퐴2＋퐵2＋퐶2𝑧＋퐷2＝＝0＋푡푙（2）参数式：{＝0＋푡푚𝑧＝𝑧0＋푡푛其中（0，0，𝑧0）为直线L上的定点，（l，m，n）为直线L的方向向量。푥−푥푦−푦푧−푧（3）对称式（标准式）：0＝0＝0푙푚푛。122.直线与平面的关系（数形结合，不要死记硬背公式）123.距离公式（数形结合，不要死记硬背公式）22124.球面：球心在点（x0,y0,z0），半径R的球面方程可写成(x－x0)＋(y－y0)＋(z－z0)＝R2。125.设曲面方程为F(x，y，z)=0，M0(x0，y0，z0)是曲面上的一点，并设函数F(x，y，z)的偏导数在该点连续且不同时为零。法向量푛⃗⃗=(A，B，C)就是该曲面在点M0处的一个法向量，其中A=Fx′(x0，y0，z0)，B=Fy′(x0，y0，z0)，C=Fz′(x0，y0，z0)，则切平面方程为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0。通过点M0(x0，y0，z0)且垂直于切平面的直线为曲面在该点的法线，푥−푥푦−푦푧−푧则法线方程为0=0=0。퐴퐵퐶126.柱面面平行于哪个轴，方程中就不含哪个轴的量。127.圆锥面绕哪个轴旋转，哪个轴字母不变，另一个字母变成±根号下其他两个字母平方和。128.椭球面푥2푦2푧2标准方程：＋＋＝1(a,b,c>0)푎2푏2푐2=푎푐표푠푐표푠휑参数方程：{=푏푐표푠푠푖푛휑(≤≤휋，≤휑≤휋)𝑧=푐푠푖푛129.双曲面(1)单叶双曲面푥2푦2푧2标准方程：＋−＝1(a,b,c>0)푎2푏2푐2=푎푐표푠휑푠푒푐휋휋参数方程：{=푏푠푖푛휑푠푒푐(≤≤2휋，−≤휑≤)22𝑧=푐푡푎푛（2）双叶双曲面푥2푦2푧2标准方程：＋−＝−1(a,b,c>0)푎2푏2푐2=푎푐표푠휑푡푎푛휋휋参数方程：{=푏푠푖푛휑푡푎푛(≤휑≤2휋，−≤≤)22𝑧=푐푠푒푐130.抛物面22（1）椭圆抛物面＋＝2𝑧(p,q>0)푝푞当p＝q时，曲面称为旋转抛物面，其可以由抛物线绕着它的轴旋转而成。푥2푦2（2）双曲抛物线−=(p，q>)푝푞131.行列式的概念푎11푎12D=||=푎11푎22−푎12푎21，其计算结果为一个数。푎21푎22푎11푎12푎13|푎21푎22푎23|푎31푎32푎33=푎11푎22푎33+푎12푎23푎31+푎13푎21푎32−푎11푎23푎32−푎12푎21푎33−푎13푎22푎31二三阶行列式的计算：对角线法则注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。132.行列式的性质性质1：行列式与它的转置行列式的值相等。12T13T例：已知D=||，D=||，则D=D。3424说明：行列式中行与列具有同等地位，因此凡是对行成立的行列式的性质，对列也成立。性质2：互换行列式的两行(푟푖↔푟푗)或列(푐푖↔푐푗)，行列式变号。12′34例：已知D=||，D=||，则D=−퐷。3412推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k(푟푗×k)，等于用数k乘此行列式。2412例：已知D=||，则D=2||。3535推论1：D的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D的外面。推论2：D中某一行（列）所有元素为零，则D=0。性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。14例：已知D=||，则D=0。28性质5：若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和：aij＝bij＋cij（j＝1,2,…,n），则可把行列式拆成两个行列式之和。푎1+푏1푎2+푏2푎3+푏3푎1푎2푎3푏1푏2푏3例：|푐1푐2푐3|=|푐1푐2푐3|+|푐1푐2푐3|푑1푑2푑3푑1푑2푑3푑1푑2푑3性质6：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变。134.余子式：在n阶行列式中，把元素푎푖푗所在的第i行和第j列划去后，留下来的（n-1）阶行列式叫做元素푎푖푗的余子式，记作푖푗。푖+푗135.代数余子式：记퐴푖푗=(−1)푖푗，퐴푖푗叫做元素푎푖푗的代数余子式。136.克拉默法则只适用于方程个数与未知量个数相等的情形。定理4：如果线性方程组的系数行列式D≠0，则它一定有解，且解是唯一的。逆否定理：如果线性方程组无解或有多个不同的解，则它的系数行列式必为零。137.矩阵与矩阵相乘设푨=(푎푖푗)是一个m×s矩阵，푩=(푏푖푗)是一个s×n矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵C=(푐푖푗)，其中푏1푗푏2푗(푎푖1푎푖2…푎푖푠)=푎푏+푎푏+⋯+푎푏⋮푖11푗푖22푗푖푠푠푗(푏푠푗)푠=∑푎푖푘푏푘푗(푖＝1,2,…푚，푗＝1,2,…푛)푘=1，并把此乘积记作C=AB。注意：（1）矩阵A与B能相乘的条件是：A的列数＝B的行数。（2）矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，AB≠BA，而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。（3）对于n阶方阵A和B，若AB=BA，则称A与B是可交换的。138.矩阵乘法的运算规律：（1）（AB）C＝A（BC）=ABC（2）α(AB)＝(αA)B=A(αB)（3）（A＋B）C＝AC＋BC；A（B＋C）＝AB＋AC（4）EmAm×n＝Am×nEn＝Am×n（5）若A是n阶方阵，则称Ak为A的k次幂，即퐴푘=퐴퐴⏟…퐴，并且퐴푘퐴푙=퐴푘+푙，(퐴푘)푙=퐴푘푙푘个（k,l为正整数）。规定A0=E。139..转置矩阵的运算性质：（1）（AT）T＝A（2）（A＋B）T＝AT＋BT（3）（kA