【课时训练】第24节平面向量基本定理及坐标表示一、选择题1．(2018丰台期末)已知向量a＝(3，－4)，b＝(x，y)．若a∥b，则()A．3x－4y＝0B．3x＋4y＝0C．4x＋3y＝0D．4x－3y＝0【答案】C【解析】∵a∥b，∴3y＋4x＝0.故选C.2．(2018河南新乡三模)已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)．若3a－2b＋c＝0，则c＝()A．(－23，－12)B．(23,12)C．(7,0)D．(－7,0)【答案】A【解析】由题意可得3a－2b＋c＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x，y)＝(23＋x，12＋y)＝(0,0)，23＋x＝0，x＝－23，所以解得12＋y＝0，y＝－12，所以c＝(－23，－12)．→3．(江苏苏州质检)若AC为平行四边形ABCD的一条对角线，AB→→＝(3,5)，AC＝(2,4)，则AD＝()A．(－1，－1)B．(5,9)C．(1,1)D．(3,5)【答案】A→→→→【解析】由题意可得AD＝BC＝AC－AB＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－1)．4．(2018浙江温州模拟)已知平面向量a＝(1，－2)，b＝(2，m)．若a∥b，则3a＋2b＝()A．(7,2)B．(7，－14)C．(7，－4)D．(7，－8)【答案】B【解析】∵a∥b，∴m＋4＝0，∴m＝－4，∴b＝(2，－4)，∴3a＋2b＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)．5．(2018江西南昌二模)设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是()A．2B．－2C．±2D．0【答案】B【解析】因为a与b方向相反，故可设b＝ma，m<0，则有(4，4＝mx，x)＝m(x,1)，所以解得m＝±2.又m<0，所以m＝－2，x＝mx＝m，＝－2.6．(2018山西临汾三模)设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝()A．(2,6)B．(－2,6)C．(2，－6)D．(－2，－6)【答案】D【解析】设d＝(x，y)，由题意知4a＝4(1，－3)＝(4，－12)，4b－2c＝4(－2,4)－2(－1，－2)＝(－6,20)，2(a－c)＝2[(1，－3)－(－1，－2)]＝(4，－2)．又4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0,0)，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)．→7．(2018河北衡水二模)已知平行四边形ABCD中，AD＝(3,7)，→→AB＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则CO的坐标为()11A.－，5B．，522115D5C.2，－．－2，－【答案】D→→→→1→【解析】AC＝AB＋AD＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴OC＝AC＝21→1，5.∴CO＝－，－5.228．(2018广东揭阳质检)在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，→→π|OCB(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝4，|＝2.若OC→→＝λOA＋μOB，则λ＋μ＝()A．22B．2C．2D．42【答案】A→π|OCC(22)【解析】因为|＝2，∠AOC＝4，所以点的坐标为，．又→→OC＝λOA＋μOB，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝22.二、填空题9．(2018陕西西安二模)若A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)三点共线，则实数a的值为________．5【答案】－4→→→→【解析】AB＝(a－1,3)，AC＝(－3,4)，由题意知AB∥AC，∴4(a5－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－.4→10．(2019四川眉山中学质检)在△ABC中，点P在BC上，且BP→→→→＝2PC，点Q是AC的中点．若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则BC＝________.【答案】(－6,21)→→→→→【解析】∵AQ＝PQ－PA＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴AC＝2AQ＝→→→→2(－3,2)＝(－6,4)．又PC＝PA＋AC＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴BC＝→3PC＝3(－2,7)＝(－6,21)．→→→11．(2018青海西宁质检)已知向量AC，AD和AB在正方形网格中→→→的位置如图所示．若AC＝λAB＋μAD，则λμ＝________.【答案】－3→【解析】建立如题图所示的平面直角坐标系xAy，则AC＝(2，－→→2)，AB＝(1,2)，AD＝(1,0)．由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即2＝λ＋μ，λ＝－1，解得所以λμ＝－3.－2＝2λ，μ＝3，12．(2018江西宜春模拟)P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝________.【答案】{(－13，－23)}【解析】集合P中，a＝(－1＋m,1＋2m)，集合Q中，b＝(1＋2n，－1＋m＝1＋2n，m＝－12，－2＋3n)．则得此时a＝b＝(－13，1＋2m＝－2＋3n.n＝－7.－23)．三、解答题→→13．(2018湖南长沙二模)给定两个长度为1的平面向量OA和OB，2π它们的夹角为.CO3如图所示，点在以为圆心的圆→→→→弧AB上运动．若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．→【解】以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐13标系，如图所示，则点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为－，，222π设∠AOC＝α0，，则点C的坐标为(cosα，sinα)，α∈31cosα＝x－y，→→→2由OC＝xOA＋yOB，得3sinyα＝2，323所以x＝cosα＋sinysin3α，＝3α，π所以x＋y＝cosα＋3sinα＝2sin，α＋62πππ5π又α∈0，，则α＋∈，.3666πππ所以当α＋＝，即α＝时，x＋y取得最大值2.623
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