相似三角形常用辅助线

相似三角形常用辅助线相似三角形常用辅助线第1页，共56页。相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：第2页，共56页。例题：如图，D是△ABC的BC边上的点，BD：DC=2：1，求：BE：EF的值.DABCEFE是AD的中点,连结BE并延长交AC于F,一、作平行线第3页，共56页。DABCEFn2kk解法1：过点D作CA的平行线交BF于点P，P?yyny第4页，共56页。DABCEF...

相似三角形常用辅助线第1页，共56页。相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：第2页，共56页。例题：如图，D是△ABC的BC边上的点，BD：DC=2：1，求：BE：EF的值.DABCEFE是AD的中点,连结BE并延长交AC于F,一、作平行线第3页，共56页。DABCEFn2kk解法1：过点D作CA的平行线交BF于点P，P?yyny第4页，共56页。DABCEFn解法1：过点D作CA的平行线交BF于点P，Pn2kkyy4y?y∴BE：EF=5：1.则∴PE=EFBP=2PF=4EF，所以BE=5EF第5页，共56页。DABCEFnn2k解法2：过点D作BF的平行线交AC于点Q，ykQ?y2y第6页，共56页。DABCEFnn解法2：过点D作BF的平行线交AC于点Q，Q2kk?y2y5yy∴BE：EF=5：1.∴第7页，共56页。DABCEF2k解法3：过点E作BC的平行线交AC于点S，Snnk?k第8页，共56页。DABCEF解法3：过点E作BC的平行线交AC于点S，Snn?y5yy2kk第9页，共56页。DABCEFnn2k解法4：过点E作AC的平行线交BC于点T，T?k?k第10页，共56页。DABCEFnn2k解法4：过点E作AC的平行线交BC于点T，Ty?y5y∵BD=2DC，∴∴BE：EF=5：1.第11页，共56页。练习：如图，D是△ABC的BC边上的点，BD：DC=2：1，求AF：CF的值.DABCEFE是AD的中点,连结BE并延长交AC于F,第12页，共56页。DABCEF解法1：过点D作CA的平行线交BF于点P，Pnn2x2x2kk3xAF：CF=2：3.第13页，共56页。DABCEF解法2：过点D作BF的平行线交AC于点Q，Qnn2x2x2kkxAF：CF=2：3.第14页，共56页。DABCEF解法3：过点E作BC的平行线交AC于点S，Snnh2h4hy5y4yAF：CF=2：3.第15页，共56页。DABCEF解法4：过点E作AC的平行线交BC于点T，Tnnhh4h5y6y4yAF：CF=2：3.第16页，共56页。作平行线例1.如图，的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：证明：过点C作CG//FD交AB于G小结：本题关键在于AD＝AE这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。第17页，共56页。例2.如图，△ABC中，ABAE),求证：∆AEF∽∆ECFECDBAF第33页，共56页。2、已知，在∆ABC中，若AB=BC,∠B=90º,AD为BC边的中线，过B作直线BP⊥AD于P交AC于E，求证：AE=2EC;∠AEB=∠CED.DABCE第34页，共56页。二、作垂线3.如图从ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：第35页，共56页。证明：过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥AC于N∴∽∴∴（1）∽∴∴（2）又∴AN=CM又（1）+（2）∴第36页，共56页。2、中，，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证：第37页，共56页。2、证明：过P作PE⊥AC于E，PF⊥CB于F，则CEPF为矩形∴PFEC∵∴∽∴∵EC=PF∴（1）在和中：CP⊥MN于Q∴又∵∴∴∽∴即由（1）（2）得（2）第38页，共56页。三、作延长线例5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。分析：因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。第39页，共56页。解：延长BA、CD交于点P∵CH⊥AB，CD平分∠BCD∴CB=CP，且BH=PH∵BH=3AH∴PA：AB=1：2∴PA：PB=1：3∵AD∥BC∴△PAD∽△PBC第40页，共56页。例6.如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG=CFBF第41页，共56页。解析：欲证式即由“三点定形”，ΔBFG与ΔCFG会相似吗？显然不可能。（因为ΔBFG为RtΔ），但由E为CD的中点，∴可设法构造一个与ΔBFG相似的三角形来求解。不妨延长GF与AC的延长线交于H则又ED=EC∴FG=FH又易证RtΔCFH∽RtΔGFB∴FG·FH=CF·BF∵FG=FH∴FG2=CF·BF第42页，共56页。四、作中线例7如图，中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。第43页，共56页。解：取BC的中点M，连AM∵AB⊥AC∴AM=CM∴∠1=∠C又BD=DC∴∴∽∴又DC=1MC=BC∴（1）又∽又∵EC=1∴由（1）（2）得，∴（2）∴小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取BC中点M，构造与相似是解题关键第44页，共56页。3、理由？（用三种解法）第45页，共56页。方法一：如图（1），设BC中点为E，连接AE。第46页，共56页。方法二：如图（2），在DA上截取DE=DC在△BED与△BCD中，第47页，共56页。方法三：如图（3），过B作BE⊥BC于B，交CA的延长线于E。第48页，共56页。回头一看，我想说…我有哪些收获呢？与大家共分享！第49页，共56页。再见第50页，共56页。第51页，共56页。第52页，共56页。第53页，共56页。第54页，共56页。第55页，共56页。第56页，共56页。

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