【精选五套高考模拟卷】2019学年辽宁省丹东市高考数学一模试卷(理科)含答案解析

2019年辽宁省丹东市、鞍山市、营口市高考数学一模试卷（理科）一、选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 （本题共12个小题，每小题5分，共60分，四个选项中只有一个正确）1．设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（　　）A．P⊆QB．Q⊆PC．P⊆∁RQD．Q⊆∁RP2．复数，且A+B=0，则m的值是（　　）A．B．C．﹣D．23．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（　　）A．1+a，4B．1+a，4+aC．1，4D．1，4+a4．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn．若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于（　　）A．18B．24C．60D．905．设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（　　）A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x6．设a=log23，，c=log34，则a，b，c的大小关系为（　　）A．b＜a＜cB．c＜a＜bC．a＜b＜cD．c＜b＜a7．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离的差是（　　）A．18B．C．D．8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）A．B．3πC．D．6π9．4的展开式共（　　）项．A．10B．15C．20D．2110．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为（　　）A．（1+）米B．2米C．（1+）米D．（2+）米11．已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（　　）A．y=﹣2x+3B．y=xC．y=3x﹣2D．y=2x﹣112．已知椭圆的左焦点为F1，有一小球A从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（　　）A．B．C．D．　二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．等比数列{an}的公比q＞0．已知a2=1，an+2+an+1=6an，则{an}的前4项和S4=　　．14．如图所示，输出的x的值为　　．15．已知四面体ABCD，AB=4，AC=AD=6，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，则该四面体外接球半径为　　．16．设点P在曲线y=ex上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|的最小值为　　．　三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．18．（12分）某校举行“庆元旦”教工羽毛球单循环比赛（任意两个参赛队只比赛一场），共有高一、高二、高三三个队参赛，高一胜高二的概率为，高一胜高三的概率为，高二胜高三的概率为P，每场胜负独立，胜者记1分，负者记0分，规定：积分相同者高年级获胜．（Ⅰ）若高三获得冠军概率为，求P．（Ⅱ）记高三的得分为X，求X的分布列和期望．19．（12分）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=60°．（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）E是棱CC1所在直线上的一点，若二面角A﹣B1E﹣B的正弦值为，求CE的长．20．（12分）已知抛物线C：y=2x2，直线l：y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线C于点N．（1）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（2）是否存在实数k使以AB为直径的圆M经过点N，若存在，求k的值，若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=x2++alnx．（Ⅰ）若f（x）在区间[2，3]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设f（x）的导函数f′（x）的图象为曲线C，曲线C上的不同两点A（x1，y1）、B（x2，y2）所在直线的斜率为k，求证：当a≤4时，|k|＞1．　[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．　[选修4-5：不等式选讲]23．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．　2019年辽宁省丹东市、鞍山市、营口市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析　一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，四个选项中只有一个正确）1．设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（　　）A．P⊆QB．Q⊆PC．P⊆∁RQD．Q⊆∁RP【考点】子集与真子集．【分析】此题只要求出x2＜4的解集{x|﹣2＜x＜2}，画数轴即可求出．【解答】解：P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，如图所示，可知Q⊆P，故选：B．【点评】此题需要学生熟练掌握子集、真子集和补集的概念，主要考查了集合的基本运算，属容易题．　2．复数，且A+B=0，则m的值是（　　）A．B．C．﹣D．2【考点】复数相等的充要条件．【分析】复数方程两边同乘1+2i，利用复数相等求出A、B，利用A+B=0，求出m的值．【解答】解：因为，所以2﹣mi=（A+Bi）（1+2i），可得A﹣2B=2，2A+B=m解得5（A+B）=﹣3m﹣2=0所以m=故选C．【点评】本题考查复数相等的充要条件，考查计算能力，是基础题．　3．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（　　）A．1+a，4B．1+a，4+aC．1，4D．1，4+a【考点】极差、方差与 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差；众数、中位数、平均数．【分析】方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论．方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论．【解答】解：方法1：∵yi=xi+a，∴E（yi）=E（xi）+E（a）=1+a，方差D（yi）=D（xi）+E（a）=4．方法2：由题意知yi=xi+a，则=（x1+x2+…+x10+10×a）=（x1+x2+…+x10）=+a=1+a，方差s2=[（x1+a﹣（+a）2+（x2+a﹣（+a）2+…+（x10+a﹣（+a）2]=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2=4．故选：A．【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，若变量y=ax+b，则Ey=aEx+b，Dy=a2Dx，利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算．　4．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn．若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于（　　）A．18B．24C．60D．90【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】由等比中项的定义可得a42=a3a7，根据等差数列的通项公式及前n项和公式，列方程解出a1和d，进而求出s10．【解答】解：∵a4是a3与a7的等比中项，∴a42=a3a7，即（a1+3d）2=（a1+2d）（a1+6d），整理得2a1+3d=0，①又∵，整理得2a1+7d=8，②由①②联立，解得d=2，a1=﹣3，∴，故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式和等比中项的定义，比较简单．　5．设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（　　）A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），则|F1P|=，由F1、F2、P（0，2b）是正三角形的三个顶点可知|F1P|==2c，由此可求出b==a，进而得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，设F1（﹣c，0），F2（c，0），则|F1P|=，∵F1、F2、P（0，2b）是正三角形的三个顶点，∴=2c，∴c2+4b2=4c2，∴c2+4（c2﹣a2）=4c2，∴c2=4a2，即c=2a，b==a，∴双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的性质，主要是渐近线方程的求法，在解题时要注意审题，由F1、F2、P（0，2b）是正三角形的三个顶点建立方程，考查运算能力，属于中档题．　6．设a=log23，，c=log34，则a，b，c的大小关系为（　　）A．b＜a＜cB．c＜a＜bC．a＜b＜cD．c＜b＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的单调性求解．【解答】解：∵a=log23＞==b，=＞log34=c，∴a，b，c的大小关系为c＜b＜a．故选：D．【点评】本题主要考查了对数的大小判断，常常利用与1进行比较，属于基础题．　7．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离的差是（　　）A．18B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离分别是：d+r，d﹣r，其两者之差即为圆的直径，进而可得答案．【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0，∴（x﹣2）2+（y﹣2）2=18，∴圆半径r=3．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离分别是：d+r，d﹣r，其两者之差即为圆的直径，故圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离的差是，故选：B【点评】本题考查的 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 是直线与圆的位置关系，明确圆上的点到直线的最大距离和最小距离的计算方法是解题的关键．　8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）A．B．3πC．D．6π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：=3π．故选B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，正确判断几何体的特征是解题的关键，考查计算能力．　9．（x+y+z）4的展开式共（　　）项．A．10B．15C．20D．21【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式定理的展开式即可的得出结论．【解答】解：（x+y+z）4=（x+y）4+4（x+y）3z+6（x+y）2z2+4（x+y）z3+z4，根据二项式定理：（x+y）n展示式中共有n+1项，所以上式中：共有5+4+3+2+1=15项．故选：B．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．　10．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为（　　）A．（1+）米B．2米C．（1+）米D．（2+）米【考点】余弦定理；基本不等式．【分析】设BC的长度为x米，AC的长度为y米，依据题意可表示出AB的长度，然后代入到余弦定理中求得x和y的关系式，利用基本不等式求得y的最小值，并求得取等号时x的值．【解答】解：设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为（y﹣0.5）米，在△ABC中，依余弦定理得：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB，即（y﹣0.5）2=y2+x2﹣2yx×，化简，得y（x﹣1）=x2﹣，∵x＞1，∴x﹣1＞0，因此y=，y=（x﹣1）++2≥+2，当且仅当x﹣1=时，取“=”号，即x=1+时，y有最小值2+．故选：D．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用以及基本不等式求最值问题．考查了考生利用数学模型解决实际问题的能力，属于中档题．　11．已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（　　）A．y=﹣2x+3B．y=xC．y=3x﹣2D．y=2x﹣1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先根据f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8求出函数f（x）的解析式，然后对函数f（x）进行求导，进而可得到y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求导切线方程．【解答】解：∵f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，∴f（2﹣x）=2f（x）﹣（2﹣x）2+8（2﹣x）﹣8．∴f（2﹣x）=2f（x）﹣x2+4x﹣4+16﹣8x﹣8．将f（2﹣x）代入f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8得f（x）=4f（x）﹣2x2﹣8x+8﹣x2+8x﹣8．∴f（x）=x2，f′（x）=2x，∴y=f（x）在（1，f（1））处的切线斜率为y′=2．∴函数y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=2（x﹣1），即y=2x﹣1．故选：D．【点评】本题主要考查求函数解析式的方法和函数的求导法则以及导数的几何意义，函数在某点处的导数值等于该点的切线方程的斜率．　12．已知椭圆的左焦点为F1，有一小球A从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（　　）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可得a+c=5（a﹣c），由此即可求得椭圆的离心率．【解答】解：∵椭圆上的点到左焦点距离最小的点是左顶点，距离最大的点是右顶点，∴由题意可得a+c=5（a﹣c），即4a=6c，得．∴椭圆的离心率为．故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质，明确椭圆上的点到左焦点距离最小的点是左顶点，距离最大的点是右顶点是关键，是基础题．　二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．等比数列{an}的公比q＞0．已知a2=1，an+2+an+1=6an，则{an}的前4项和S4=　　．【考点】等比数列的前n项和．【分析】先根据：{an}是等比数列把an+2+an+1=6an整成理q2+q﹣6=0求得q，进而根据a2求得a1，最后跟等比数列前n项的和求得S4．【解答】解：∵{an}是等比数列，∴an+2+an+1=6an可化为a1qn+1+a1qn=6a1qn﹣1，∴q2+q﹣6=0．∵q＞0，∴q=2．a2=a1q=1，∴a1=．∴S4===．故答案为【点评】本题主要考查等比数列前n项和公式和等比数列的通项公式．考查了学生对等比数列基础知识点的掌握．　14．如图所示，输出的x的值为　17　．【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的x的值，当a=b=17时满足条件a=b，输出x的值为17．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=51，b=221不满足条件a=b，满足b＞a，b=221﹣51=170，不满足条件a=b，满足b＞a，b=170﹣51=119，不满足条件a=b，满足b＞a，b=119﹣51=68，不满足条件a=b，满足b＞a，b=68﹣51=17，不满足条件a=b，满足a＞b，a=51﹣17=34，不满足条件a=b，满足a＞b，a=34﹣17=17，满足条件a=b，x=17，输出x的值为17．故答案为：17．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的x的值是解题的关键，属于基础题．　15．已知四面体ABCD，AB=4，AC=AD=6，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，则该四面体外接球半径为　2　．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】作出图形，利用勾股定理，求出四面体外接球半径．【解答】解：如图所示，O′为△ACD的外心，O为球心，BE⊥平面ACD，BF⊥AC，则EF⊥AC，∴AF=2，AE=2，BE==2．设该四面体外接球半径为R，OO′=d，则2+（2+d）2=d2+（3）2，∴d=，CD=6，∴R==2，故答案为：2．【点评】本题考查四面体外接球半径，考查勾股定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．　16．设点P在曲线y=ex上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|的最小值为　　．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；两点间距离公式的应用．【分析】由于函数y=ex与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数y=ex上的点P（x，ex）到直线y=x的距离为d=，设g（x）=ex﹣x，求出g（x）min=1﹣ln2，即可得出结论．【解答】解：∵函数y=ex与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称函数y=ex上的点P（x，ex）到直线y=x的距离为d=设g（x）=ex﹣x，（x＞0）则g′（x）=ex﹣1由g′（x）=ex﹣1≥0可得x≥ln2，由g′（x）=ex﹣1＜0可得0＜x＜ln2∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，dmin=由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为2dmin=．故答案为：．【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好．　三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）（2019•营口一模）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）化简可得f（x）=2sin（2x+）+a+1，由题意易得﹣1+a+1=2，解方程可得a值，解不等式2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得单调区间；（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x﹣）+3，可得sin（4x﹣）=，解方程可得x=或x=，相加即可．【解答】解：（1）化简可得f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a=cos2x+1+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1，∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴f（x）的最小值为﹣1+a+1=2，解得a=2，∴f（x）=2sin（2x+）+3，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+，∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）；（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x﹣）+3，由g（x）=4可得sin（4x﹣）=，∴4x﹣=2kπ+或4x﹣=2kπ+，解得x=+或x=+，（k∈Z），∵x∈[0，]，∴x=或x=，∴所有根之和为+=．【点评】本题考查三角函数和差角的公式和三角函数图象的变换，属中档题．　18．（12分）（2019•营口一模）某校举行“庆元旦”教工羽毛球单循环比赛（任意两个参赛队只比赛一场），共有高一、高二、高三三个队参赛，高一胜高二的概率为，高一胜高三的概率为，高二胜高三的概率为P，每场胜负独立，胜者记1分，负者记0分，规定：积分相同者高年级获胜．（Ⅰ）若高三获得冠军概率为，求P．（Ⅱ）记高三的得分为X，求X的分布列和期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由题意得到高三获得冠军的所有情况，然后利用相互独立事件及互斥事件的概率公式求出概率，由概率为求得p值；（Ⅱ）写出高三的得分为X的所有取值，求出相应的概率，则分布列及期望可求．【解答】解：（Ⅰ）高三获得冠军有两种情况，高三胜两场，三个队各胜一场．高三胜两场的概率为，三个队各胜一场的概率为，∴．解得：；（Ⅱ）高三的得分X的所有可能取值有0、1、2，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=．∴X的分布列为： X 0 1 2 P 故X的期望E（X）=．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查了相互独立事件及其概率计算公式，是中档题．　19．（12分）（2019•营口一模）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=60°．（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）E是棱CC1所在直线上的一点，若二面角A﹣B1E﹣B的正弦值为，求CE的长．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明AB⊥BC1，在△CBC1中，由余弦定理求解B1C，然后证明BC⊥BC1，利用直线与平面垂直的判定定理证明C1B⊥平面ABC．（Ⅱ）通过AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出平面AB1E的一个法向量，平面的一个法向量通过向量的数量积，推出λ的方程，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为AB⊥平面BB1C1C，BC1⊆平面BB1C1C，所以AB⊥BC1，…（1分）在△CBC1中，BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=60°，由余弦定理得：BC12=BC2+CC12﹣2BC•CC1•cos∠BCC1=12+22﹣2×1×2×cos60°=3，所以B1C=，…（3分）故BC2+BC12=CC12，所以BC⊥BC1，…又BC∩AB=B，∴C1B⊥平面ABC．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则，则B（0，0，0），A（0，1，0），C（1，0，0），C1（0，0，），B1（﹣1，0，）（7分），，令，∴，，设平面AB1E的一个法向量为．，令z=，则x=，y=，∴，．∵AB⊥平面BB1C1C，是平面的一个法向量，|cos＜＞|=，两边平方并化简得2λ2﹣5λ+3=0，所以λ=1或（舍去）．∴CE=CC1=2．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的向量求解方法，考查空间想象能力计算能力以及逻辑推理能力．　20．（12分）（2019•营口一模）已知抛物线C：y=2x2，直线l：y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线C于点N．（1）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（2）是否存在实数k使以AB为直径的圆M经过点N，若存在，求k的值，若不存在，说明理由．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线与圆的位置关系．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，可得M，N的坐标，再由y=2x2的导数，可得在点N处的切线斜率，由两直线平行的条件即可得证；（2）假设存在实数k，使AB为直径的圆M经过点N．由于M是AB的中点，则|MN|=|AB|，运用弦长公式计算化简整理，即可求得k=±2，故存在实数k，使AB为直径的圆M经过点N．【解答】（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），把y=kx+2代入y=2x2得2x2﹣kx﹣2=0，得x1+x2=．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵xN=xM==，∴N点的坐标为（，）．　　　　　∵y′=4x，∴y′|=k，即抛物线在点N处的切线的斜率为k．　　　　　　　　　　　　∵直线l：y=kx+2的斜率为k，∴l∥AB；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2）解：假设存在实数k，使AB为直径的圆M经过点N．由于M是AB的中点，∴|MN|=|AB|．　　　　　　　　　　　　由（Ⅰ）知yM=（y1+y2）=（kx1+2+kx2+2）=[k（x1+x2）+4]=（4+）=2+，由MN⊥x轴，则|MN|=|yM﹣yN|=2+﹣=，∵|AB|=•　　　　　　　　　　=•=•由=•∴k=±2，则存在实数k=±2，使AB为直径的圆M经过点N．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义和两直线平行的条件，同时考查直线和圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题．　21．（12分）（2019•营口一模）已知函数f（x）=x2++alnx．（Ⅰ）若f（x）在区间[2，3]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设f（x）的导函数f′（x）的图象为曲线C，曲线C上的不同两点A（x1，y1）、B（x2，y2）所在直线的斜率为k，求证：当a≤4时，|k|＞1．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）由函数单调性，知其导函数≥0在[2，3]上恒成立，将问题转化为在[2，3]上单调递减即可求得结果；（2）根据题意，将写成，利用不等式的性质证明，所以＞，即得．【解答】解：（1）由，得．因为f（x）在区间[2，3]上单调递增，所以≥0在[2，3]上恒成立，即在[2，3]上恒成立，设，则，所以g（x）在[2，3]上单调递减，故g（x）max=g（2）=﹣7，所以a≥﹣7；（2）对于任意两个不相等的正数x1、x2有＞==，∴，而，∴==＞，故：＞，即＞1，∴当a≤4时，．【点评】本题考查导数及基本不等式的应用，解题的关键是利用不等式得到函数值的差的绝对值要大于自变量的差的绝对值．　[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2019•新课标）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【考点】椭圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．　[选修4-5：不等式选讲]23．（2019•天水校级模拟）设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求出集合M，利用绝对值三角不等式直接证明：|a+b|＜；（2）利用（1）的结果，说明ab的范围，比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|两个数的平方差的大小，即可得到结果．【解答】解：（1）记f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|=，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M=（﹣，）．…（3分）∵a、b∈M，∴，所以|a+b|≤|a|+|b|＜×+×=．…（2）由（1）得a2＜，b2＜．因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…（9分）所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．…（10分）【点评】本题考查不等式的证明，绝对值不等式的解法，考查计算能力．　数学高考模拟试卷（理科）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若（为虚数单位），则实数的值为（）A．1B．-1C．D．22.实数满足条件，则的最大值为（）A．-1B．0C．2D．43.已知命题：，使，命题：集合有2个子集，下列结论：①命题“”真命题；②命题“”是假命题；③命题“”是真命题，正确的个数是（）A．0B．1C．2D．34.在如图所示的计算的程序框图中，判断框内应填入（）A．B．C.D．5.函数（）的部分图像如图所示，则函数表达式为（）A．B．C.D．6.已知等差数列的前项和为，且，若记，则数列（）A．是等差数列但不是等比数列B．是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列又不是等比数列7.设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为（）A．2B．4C.8D．168.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（）A．[-，1）B．[-，）C.[，）D．[，1）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）9.已知集合，则集合中的最大整数为．10.在中，角所对的边分别是，若，则的值为．11.已知圆的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，则直线截圆所得的弦长是．12.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为．13.若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是．14.已知函数，其中是半径为4的圆的一条弦，为原点，为单位圆上的点，设函数的最小值为，当点在单位圆上运动时，的最大值为3，则线段的长度为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知是直线与函数图象的两个相邻交点，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在锐角中，分别是角的对边，若的面积为，求的值.16.一个袋子内装有2个绿球，3个黄球和若干个红球（所有球除颜色外其他均相同），从中一次性任取2个球，每取得1个绿球得5分，每取得1个黄球得2分，每取得1个红球得1分，用随机变量表示2个球的总得分，已知得2分的概率为.（Ⅰ）求袋子内红球的个数；（Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望.17.如图，在多面体中，四边形是正方形，，，，，，为的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求二面角的大小.18.各项均为正数的数列的前项和为，且满足，各项均为正数的等比数列满足.（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）若，数列的前项和为，①求；②若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围.19.如图，已知椭圆：的离心率为，的左顶点为，上顶点为，点在椭圆上，且的周长为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设是椭圆上两不同点，，直线与轴，轴分别交于两点，且，求的取值范围.20.已知.（1）讨论的单调性；（2）若为方程的两个相异的实根，求证：.试卷答案一、选择题1-5:BDCDB6-8:CCD二、填空题9.6010.11.12.313.14.三、解答题15.解：.由函数的图像及，得到函数的周期，解得.（Ⅱ）解：因为所以.又因为是锐角三角形，所以，即，解得.由，解得.由余弦定理得，即.16.解：（Ⅰ）设袋子内红球的个数为，由题设条件可知，当取得2个红球时得2分，其概率为，化简得：，解得或（不合题意，舍去）∴袋子内共有4个红球.（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为2，3，4，6，7，10.∵，，，，，，∴随机变量的分布列为： 2 3 4 6 7 10 ∴=2×+3×+4×+6×+7×+10×=.17.解法1.（Ⅰ）设与交于点，则为的中点，连接，又为的中点，所以，又，所以.所以四边形为平行四边形，所以平面平面，所以平面.（Ⅱ）由四边形为正方形，有，又，所以.而，又，所以平面.因为平面，所以，因为，所以.又为的中点，所以SKIPIF1<0，又，所以平面，又平面，所以，因为，所以.因为四边形是正方形，所以，又，所以平面.（Ⅲ）由（Ⅱ），又平面，则平面，所以，在平面内，作交延长线于.又，所以平面，所以，因此为二面角的一个平面角.设，则.因为，所以.因为，所以，..，所以.所以二面角为.解法2.以为坐标原点，的正方向为轴建立空间直角坐标系.设，则，.（Ⅰ）设与交于点.则为的中点，连接，则.，而，所以，而平面平面，所以平面.（Ⅱ），则，于是.因为四边形是正方形，所以，又，所以平面.（Ⅲ）.设平面的法向量为，则解得..设平面的法向量为，则解得.设与的夹角为，则..所以二面角为.18.解：（Ⅰ）∵，∴，∴，∴，又∵数列各项均为正数，∴∴数列从开始成等差数列，又，∴，∴，∴为公差为3的等差数列，∴，∵，∴；（2），（Ⅱ）①，，∴，，∴；②恒成立，∴，即恒成立，设，，当时，时，，∴，∴.19.解：（Ⅰ）由题意得：，所以椭圆的方程为；（Ⅱ）又，所以.由，可直线的方程为.由已知得，设.由，得：.，所以，由得.所以即，同理.所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.由所以.20.解：（1）当上递增；当，单调递增，单调递减，（2）.所以.令，在单调递减，单调递增.设.，所以单调递减，即.，..所以.数学高考模拟试卷（理科）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则（）A．B．C．D．2.设复数，则（）A．4B．2C．D．13.设等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（）A．2B．3C．4D．54.我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形.设直角三角形中一个锐角的正切值为3.在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（）A．B．C．D．5.设等比数列的各项均为正数，其前项和为，则“”是“数列是递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6.已知直线与抛物线：相交于，两点，若线段的中点为，则直线的方程为（）A．B．C．D．7.已知函数，不等式的解集为（）A．B．C．D．8.已知双曲线：的右焦点到渐近线的距离为4，且在双曲线上到的距离为2的点有且仅有1个，则这个点到双曲线的左焦点的距离为（）A．2B．4C．6D．89.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1.5，则输入的值应为（）A．4.5B．6C．7.5D．910.在中，边上的中线的长为2，点是所在平面上的任意一点，则的最小值为（）A．1B．2C．-2D．-111.如图是某几何体的三视图，其中俯视图为等边三角形，正视图为等腰直角三角形，若该几何体的各个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积与该几何体的体积的比为（）A．B．C．D．12.已知函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.设，满足约束条件，则的最大值为．14.某工厂从生产的一批产品中随机抽出一部分，对这些产品的一项质量指标进行了 检测 工程第三方检测合同工程防雷检测合同植筋拉拔检测方案传感器技术课后答案检测机构通用要求培训 ，整理检测结果得到如下频率分布表： 质量指标分组 频率 0.1 0.6 0.3据此可估计这批产品的此项质量指标的方差为．15.的展开式中常数项为．16.若函数SKIPIF1<0在开区间内，既有最大值又有最小值，则正实数的取值范围为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.已知数列满足，.（Ⅰ）证明：是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和.18.某教育培训中心共有25名教师，他们全部在校外住宿.为完全起见，学校派专车接送教师们上下班.这个接送任务承包给了司机王师傅，正常情况下王师傅用34座的大客车接送教师.由于每次乘车人数不尽相同，为了解教师们的乘车情况，王师傅连续 记录 混凝土 养护记录下载土方回填监理旁站记录免费下载集备记录下载集备记录下载集备记录下载 了100次的乘车人数，统计结果如下： 乘车人数 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 频数 2 4 4 10 16 20 16 12 8 6 2以这100次记录的各乘车人数的频率作为各乘车人数的概率.（Ⅰ）若随机抽查两次教师们的乘车情况，求这两次中至少有一次乘车人数超过18的概率；（Ⅱ）有一次，王师傅的大客车出现了故障，于是王师傅准备租一辆小客车来临时送一次需要乘车的教师.可供选择的小客车只有20座的型车和22座的型车两种，型车一次租金为80元，型车一次租金为90元.若本次乘车教师的人数超过了所租小客车的座位数，王师傅还要付给多出的人每人20元钱供他们乘出租车.以王师傅本次付出的总费用的期望值为依据，判断王师傅租哪种车较合算？19.如图，四棱锥中，为等边三角形，且平面平面，，，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值.20.已知圆经过椭圆：的两个焦点和两个顶点，点，，是椭圆上的两点，它们在轴两侧，且的平分线在轴上，.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）证明：直线过定点.21.已知函数.（Ⅰ）讨论函数在内的单调性；（Ⅱ）若存在正数，对于任意的，不等式恒成立，求正实数的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的普通方程为.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）写出圆的参数方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与轴和轴的交点分别为、，为圆上的任意一点，求的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知函数，.（Ⅰ）若对于任意，都满足，求的值；（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围.理科数学（一）答案一、选择题1-5:ACBDC6-10:DADBC11、12：CA二、填空题13.414.14415.67216.三、解答题17.解：（Ⅰ）∵，∴，∵，∴SKIPIF1<0，∴，∴是以2为首项，2为公比的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ），可知，∴.∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.∴.18.解：（Ⅰ）由题意得，在一次接送中，乘车人数超过18的概率为0.8.记“抽查的两次中至少有一次乘车人数超过18”为事件，则SKIPIF1<0.即抽查的两次中至少有一次乘车人数超过18的概率为0.96.（Ⅱ）设表示租用型车的总费用（单位：元），则的分布列为 80 100 120 140 160 180 0.56 0.16 0.12 0.08 0.06 0.02SKIPIF1<0SKIPIF1<0.设表示租用型车的总费用（单位：元），则的分布列为 90 110 130 150 0.84 0.08 0.06 0.02SKIPIF1<0.因此以王师傅本次付出的总费用的期望值为依据，租型车较合算.19.证明：（Ⅰ）取的中点为，连接，，∵为等边三角形，∴.底面中，可得四边形为矩形，∴，∵，∴平面，∵平面，∴.又，所以.（Ⅱ）由面面，，∴平面，可得，，两两垂直，又直线与平面所成角为，即，由，知，得.建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的一个法向量为.∴，令，则，设平面的一个法向量为，∴，令，则，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵二面角为钝角，∴二面角的余弦值为.20.解：（Ⅰ）圆与轴交点即为椭圆的焦点，圆与轴交点即为椭圆的上下两顶点，所以，.从而，因此椭圆的方程为：.（Ⅱ）设直线的方程为.由，消去得.设，，则，.直线的斜率SKIPIF1<0；直线的斜率SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.由的平分线在轴上，得.又因为，所以，所以.因此，直线过定点.21.解：（Ⅰ），，当时，因为，所以，这时在内单调递增.当时，令得；令得.这时在内单调递减，在内单调递增.综上，当时，在内单调递增，当时，在内单调递减，在内单调递增.（Ⅱ）①当时，因为在内单调递增，且，所以对于任意的，.这时可化为，即.设，则，令，得，因为，所以在单调递减.又因为，所以当时，，不符合题意.②当时，因为在内单调递减，且，所以存在，使得对于任意的都有.这时可化为，即.设，则.（i）若，则在上恒成立，这时在内单调递减，又因为，所以对于任意的都有，不符合题意.（ii）若，令，得，这时在内单调递增，又因为，所以对于任意的，都有，此时取，对于任意的，不等式恒成立.综上，的取值范围为.22.解：（Ⅰ）圆的参数方程为（为参数）.直线的直角坐标方程为.（Ⅱ）由直线的方程可得点，点.设点，则SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.由（Ⅰ）知，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0.因为，所以.23.解：（Ⅰ）因为，，所以的图象关于对称.又的图象关于对称，所以，所以.（Ⅱ）等价于.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.由题意，即.当时，，，所以；当时，，，所以，综上.数学高考模拟试卷（理科）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数满足，则（）A．B．C．D．2.已知全集，，，则（）A．B．C．D．3.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则该竹子最上面一节的容积为（）A．升B．升C．升D．升4.若，且，则的最小值为（）A．B．C．D．5.已知SKIPIF1<0，则（）A．B．C．D．6.某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．7.若双曲线：的离心率为，一条渐近线的倾斜角为，则的值（）A．大于B．等于C．小于D．不能确定，与，的具体值有关8.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（）A．B．C．D．9.现有张牌（1）、（2）、（3）、（4），每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写上一个英文字母。现在规定：当牌的一面为字母时，它的另一面必须写数字.你的任务是：为检验下面的张牌是否有违反规定的写法，你翻且只翻看哪几张牌就够了（）A．翻且只翻（1）（4）B．翻且只翻（2）（4）C．翻且只翻（1）（3）D．翻且只翻（2）（3）10.如图，在正方形中，，分别是，的中点，是的中点