2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学(理)试题(一卷)(解析版)

故选：A．第PAGE\*MERGEFORMAT#页共23页第PAGE\*MERGEFORMAT#页共23页【详解】第1页共23页2020届清华大学中学生 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 学术能力诊断性测试高三5月测试数学（理）试 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 （一卷）一、单选题2.已知集合Axlog2（x2）0,Byyx4x5,xA，则AUB（）A.3,B.2,C.2,D.3,【答案】C【解析】先解对数不等式求出集合A，再根据二次函数的单调性求出集合B，然后根据并集的定义求解即可.【详解】TOC\o"1-5"\h\z解：••Tog2（x2）0,•••x21，即x3,•-A3,,22…yx4x5x212,B2,,AUB2,,故选：C.【点睛】本题主要考查集合的并集运算，考查对数不等式的解法，考查二次函数的值域，属于基础题.3i2•在复平面内，复数的虚部为（）D.2再根据虚部的定义得1i【答案】B【解析】根据复数代数形式的除法运算和复数的模先化简该复数,出结论.解：•/-23i辰1iVi3辰.i,1i1i1i1i22•••复数•23i.的虚部为,1i2故选：B.【点睛】本题主要考查复数代数形式的除法运算，考查复数的模和虚部的定义，属于基础题.詡w]ra2ra得可o，再根据平面向量的数量积的定义即可求出2rbra22rbra2，化简得ararbra222ra33.已知单位向量a,b满足ri2abri2ab，贝y3abab()A.1B.2C.3D.4【点睛】本题主要考查平面向量数量积的定义及其应用，属于基础题.4•下列程序框图的算法思想源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入a16,b10，则程序中需要做减法的次数为（B.5【答案】Ca,b的值，即可得到本题主要考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．25．在x22xx15的展开式中，4x4的系数为(B．C．10D．4答案】解析】因为x2x，且44的展开式的通项 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 为Tr1C4rxr，的展开式的通项公式为Tk1C5kxk，令rk4，由此可求出答案．详解】解：•2x2x4r14的展开式的通项公式为Tr1C4r14rC4rrx，x15的展开式的通项公式为Tk1C5kkx，则展开式中含x4的项需满足rk4，•••展开式中x4的系数为解析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的结论．【详解】TOC\o"1-5"\h\z解：由a16,b10,满足a1b，满足ab，则a16106；满足a1b，不满足ab，则b1064;满足a1b，满足ab，则a642；满足a1b，不满足ab，则b422；不满足a1b，则输出a2;则程序中需要做减法的次数为4，故选：C．C40C54C14C53122C42C52C43C5144014C44C5040602016，点睛】【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，考查计算能力与推理能力，属于中档题.6•在三角形ABC中,a,b,c分别为角A,b,C的对边，且满足b2c2a2-bc,5则sinBC2【答案】D【解析】根据余弦定理结合题意得COSA,而sin2Acos,再根据半角公2式求解即可.【详解】解：•••b2c2|bc，即a2b2c2ibc，由余弦定理可得a2b22c2bccosA,二2bccosA6bc,53•••cosA-5•/A二sinAcos—2,1cosA25故选:【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查半角公式的应用，属于基础题.7•函数fX的部分图像大致是（C•第PAGE\*MERGEFORMAT#页共23页第PAGE\*MERGEFORMAT#页共23页【答案】A【解析】根据指数函数的值域和绝对值的几何意义可知数求出函数在2,上的单调性，由此可得出答案.【详解】当x2时,ex322，x3ex0，再结合导x20，则C、D错;解：根据指数函数的值域和绝对值的几何意义可知fX由fx0得x3，由fx•••函数fx在2,3上单调递减，在3,上单调递增，则A对，B错;【点睛】本题主要考查函数图象的识别，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.1118.已知函数fxx3x6ex6ex，若ff20,则a的取a11a2值范围为（）A.,12,B.1,2C.1,0U0,1D.1,1U2,【答案】D【解析】先判断函数的奇偶性，再求导研究函数的单调性，再结合奇偶性与单调性解不等式即可.【详解】解：••-fx13x3x6ex6ex，定义域为R,•fx13x3x6ex6exfx,38,第PAGE\*MERGEFORMAT#页共23页38,第PAGE\*MERGEFORMAT#页共23页•••函数fX为奇函数,•••fXX216ex6ex0,•函数f在R上单调递减，11a2，则f1a21解得1a1,【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性与单调性解不等式,考查利用导数研究函数的单调性,考查分式不等式的解法，属于中档题.9.已知等差数列an满足：a11,a4ai64，则2a2a22*19（）A.238B.219C.216D.276【答案】【解析】根据等差数列的性质和求和公式可得a1a?a1919a1a1919a4【详解】解：•••等差数列ana2a19满足：印19a1a192a12a22a192a1a2a19故选:【点睛】a<6丄，由此可求出答案.2a4a164,19a4a163825第PAGE\*MERGEFORMAT#页共23页第PAGE\*MERGEFORMAT#页共23页2x10.已知椭圆—a本题主要考查等差数列的性质的应用，考查等差数列的求和公式，属于基础题.0的离心率为?二，以原点为圆心以椭圆短半轴长V5为半径的圆与直线2x1相切,B.【答案】D【解析】由题意可得ab2252c，解出即可.【详解】解：由题意有，以原点为圆心以椭圆短半轴长为半径的圆的方程为x2y2b2,直线y2x1的一般式为2xy10,2又椭圆务a2y_b21的离心率为a2b2252c，解得1兰52.55故选：D.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查直线与圆的位置关系，属于中档题.11•设fx为定义于1,1上的偶函数，当x0,1时，fx12x，则方程2xffx的实数解的个数为（）2A.8B.6C.4D.2【答案】A【解析】由题意可知，ffx为偶函数，fx0,1，则12fx4x1,04x,11x—2，画出函数x1X2X和y在0,12上的图象，结合图象即可得出结论.【详解】解：当x0,1时,12x,0x-x12x122x1-x12/.fx0,1,•••当x0,1时,ffx12fx14x,04x1,1434X,1234x341x-41x-23x4•-ffx为偶函数,2且y—为偶函数，2画出函数f11212x,0x-21122x1,—x1214x1,0x-2134x,—x12x2在0,1上的图象如图,2x由图可知，函数ffX和y的图象在0,1上有4个交点,2•••由偶函数的性质可知，函数2Xffx和y的图象在1,0上有4个交点,2•函数ff2x和y的图象在1,1上有8个交点,2即方程ff2—的实数解的个数为8,2【点睛】本题主要考查方程的根与函数的零点以及函数图象的交点之间的关系,考查转化与化归思想，考查分类讨论思想，考查数形结合思想，考查计算能力与推理能力,属于难题.12.已知当X0,1时，不等式x2cossin0恒成立，则的取值范围为（A.knn12kn5nQk为任意整数）B.knkn5n石（k为任意整数）C.2kn122k5冗n—（k为任意整数）12D.2kn5n2kn云(k为任意整数）【答案】C【解析】可设不等式左边为f（x）并化简，求出f（x）的最小值，令其大于0，得到的取值范围即可.【详解】(1sin2cos)x(2sin1)xsin,、22解：设f(x)xcosx1x1xsin①若1cossin0，即2k或2k32时，原不等式不恒成立;②若1cossin0即2k或2k?时2时，2sin1Qf(x)在［°，1］的最小值为f(°)或f1或f［2(1cossin)］，f(0)0f(1)0f［2(12sin1…cossin)sincossin200，解得2k122k12故选：c.【点睛】本题主要考查不等式恒成立的问题，考查三角函数的性质，考查分类讨论思想，考查计算能力与转化能力，属于难题.二、填空题13.设数列an满足a14,a210,an£an25a：1,n3，则lna20191.Ina20182【答案】In5【解析】由题意可得，Ina；....an2ln5an1,化简整理得2lnan1.Inan12In1.an1Ina*22In5,令bnInan11Inan,可得2201In5bn2In5，由此可得bnIn5,从而可求出答案.【详解】解：Tan\an25a2n1,n3,•••当n3时，Ina：■.an2In5an1，即2Inan2Inan22In52Inan1,二2lnan.2Inan1S2an2In5,二2InanInan12忤2Inan2In5,令bnInani1Ina*,则2bni21Ina2In印2In5,•••2bn1In5仁In5,又bIn50,•bnIn5，即Inan11InanIn5,2--Ina2°19〔In2a2018In5,故答案为：In5【点睛】本题主要考查数列递推公式的应用，考查推理能力与计算能力，考查转化与化归思想,属于中档题.xy02214•设实数x,y满足2xy20，则xy的最大值为x3【答案】73【解析】画出不等式组 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的可行域，利用目标函数的几何意义（到原点的距离的平方）转化求解即可.【详解】显然A到原点的距离最大，由2xy2x322则xy的最大值为：96473,故答案为：73.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于基础题.15.假设抛一枚质地均匀的色子，若抛出的点数为1、2或3,我们称为“小”，否则,若抛出的点数为4、5或6,则称为"大”.独立重复地抛这枚色子两次，已知两次都为"大”，则第1次抛出的点数为6的概率.1【答案】丄3【解析】由题意可知，第1次抛出的点数为4、5或6,根据相互独立的事件的概率互不影响即可求出答案.【详解】解：由题意可知，第1次抛出的点数为4、5或6,•••独立重复地抛这枚色子两次，两次抛掷互不影响，1•••第1次抛出的点数为6的概率p-,31故答案为：丄.3【点睛】本题主要考查独立重复试验的应用，属于基础题.16.已知定义于实数R上的奇函数fX满足f'x2，则不等式fx12x32lnx312x的解集为【答案】0,1【解析】设gxfx1x>32lnx312x,x0」fx12x32lnx312xgx0,g'xf'x14xInx4x6，令hx14xlnx4x6，则hx4Inx求导后可得hxh12，结合题意可得g'x220，得函数gx在0,上单调递增，而g10,由此可求出解集.【详解】解：设殳gxfx12x32lnx312x,x0,则fx1x232lnx312xgx0,1•••gxf'x"14xlnx4x6,令hx4xlnx4x6，则hx4lnx由h'x0得x1,由hx0得0x1,.••当x1时，函数h:x取得极小值同时也是最小、值h12•••f1x12,hx2,二g'x220,•••函数gx在0,上单调递增，又g1f111232ln13120,•••由gx:0得gxg1,•••0x1,故答案为：0,1•【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数的单调性解不等式，考查计算能力与推理能力，属于难题.三、解答题17•设VABC中，cosCcosA.3sinAcosB0，内角A、b、C对应的对边长分别为a、b、c.求角B的大小；若a24c28，求VABC面积S的最大值，并求出S取得最大值时b的值.【答案】(1)Bn(2)面积S的最大值为乜；此时b.332【解析】(1)在三角形中，cosCcosABcosAcosBsinAsinB，结合冗条件可得2sinAsinB—0,由此可求出答案；3(2)由a24c28可得ac2，贝VS—acsinB丄2上33，此时a2,2222c1，再由余弦定理即可求出答案.【详解】解：(1)•••cosCcosABcosAcosBsinAsinB,•-cosCcosA.3sinAcosBsinAcosB■,3sinAcosBn2sinAsinB0,3•••sinA0,0Bn,•••sinB上3(2)因a,c0,a24c28，a24c24ac，故ac2,于是,acsinB2•VABC面积S的最大值为-2,2由余弦定理,且当S取得最大值时，ac2,a2c，可得a2,c1,b2a2c22accosB3，即得b、、3•【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，考查重要不等式的应用，属于基础题.18•如下为简化的 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 生育模型：每个家庭允许生男孩最多一个，即某一胎若为男孩，则不能再生下一胎，而女孩可以多个•为方便起见，此处约定每个家庭最多可生育3个小孩，即若第一胎或前两胎为女孩，则继续生，但若第三胎还是女孩，则不能再生了.设每一胎生男生女等可能，且各次生育相互独立•依据每个家庭最多生育一个男孩的政策以及我们对生育女孩的约定，令X为某一家庭所生的女孩数，Y为此家庭所生的男孩数•求X,Y的分布列，并比较它们数学期望的大小；求概率PXDX，其中DX为X的方差•1【答案】(1)分布列见解析：EXEY(2)-4第PAGE\*MERGEFORMAT#页共23页第PAGE\*MERGEFORMAT#页共23页864,73284第PAGE\*MERGEFORMAT#页共23页【解析】(1)易知X的取值为0,1,2,3,Y的取值为0,1，利用相互独立的事件的概率公式求出相应概率，由此可得分布列，再根据数学期望的计算公式求出期望，进而比较大小；(2)结合公式DXE(X2)2EX求出方差，再根据互斥事件的概率加法公式即可求出结果.【详解】解:(1)易知X的取值为0,2,3,对应取值的概率为别为:即得X的分布列如下X0123P11112488类似地，Y的取值为0,1，对应取值的概率分别为:PY0PX31,PY18得Y的分布列如下:X0117P—88Y的分布列可得它们的期望分别为:E(X)E(Y)因此E(X)E(Y)；(2)DXE(X2)EX0221222711故PXDXPXPX2PX3644【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列及数学期望、方差，考查计算能力与推理能力,属于中档题.19.如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD为边长为2的菱形，PA平面ABCD,PA2,ABC60,F为棱PC上一点，且PF:FC1:3.KC(1)求证：BDAF;(2)求二面角APDC的余弦值;(3)求三棱锥FAPD的体积V.【答案】(1)证明见解析;【解析】(1)由PA平面ABCD得PABD，又底面ABCD为菱形可得ACBD,则BD平面PAC，从而BDAF；(2)设菱形ABCD的对角线交点为0，以0为原点，分别以umruuuOC、OD的方向为x,y轴建立空间直角坐标系，借助空间向量求出平面法向量的夹角，从而求出答案;33(3)由图可知V乂ACDVfacd，由题意可知三棱锥PACD的高为2PA-，由此可求出答案.【详解】解：(1)因PA平面ABCD，故PABD,又因底面ABCD为菱形，故ACBD,又PAIACA,PA,AC平面PAC,•••BD平面PAC,而AF平面PAC,•-BDAF；(2)设菱形ABCD的对角线交点为O，因ACBD,PA平面ABCD,uuruuuOC、OD的方向为x,y轴建立如图所示的空间直角坐标系,以0为原点，分别以则A1,0,0，P1,0,2，D0^.3,0，C1,0,0，uuuuur一二AP0,0,2,AD1八3,0,uuruuur_•••平面APD和平面PCD的一个法向量分别为*、、3,1,0,$、.3,1八3,•-cos.ri,r2ri||r2_2_辽2一7T，PC2,0,2,CD1,、、3,0,由图可知二面角APDC的平面角为锐角,•二面角APDC的余弦值为二7(3)由图可知，VVPACDVFACD,因PF:FC1:3,可知三棱锥PACD的高为3PA…V—Saacd323【点睛】本题主要考查线面垂直的判定与性质，考查二面角的求法，考查三棱锥的体积的求法,考查计算能力与推理能力，属于中档题.2220•已知双曲线C:务占1a0,b0的离心率e3，其左焦点R到此双曲ab线渐近线的距离为22.求双曲线C的方程；若过点D2,0的直线|交双曲线C于AB两点，且以AB为直径的圆E过原点O,求圆E的圆心到抛物线x24y的准线的距离•【答案】(1)x2匸1(2)8J01或口°181919【解析】(1)由题意可得(2)由题意设直线AB的方程为xmy2，联立直线与椭圆的方程并消元，设A%,%,BX2,y2，可得韦达定理的结论，又以AB为直径的圆过原点0得X-|X2yy0，代入可求得丄0，根据中点坐标公式求得圆E的圆心的纵坐2标，从而可求出答案.【详解】解：(1)由题意可得abe2b2b222，解得b•••双曲线C的方程为2y8(2)易知直线AB与x轴不重合，设直线AB的方程为xmy2,2x联立方程2工8my1，可得8m2122y32my24上述方程式的判别式2328m30，以及8m210(否则直线I不能与双曲线交两点)，设A%,%,Bx2,y2，则％y232m248m21同时可得x1x2myi2my22m2y1y22m%y28m248m21以AB为直径的圆过原点O,知x1x2y1y20,结合8m210，可知8m2424，m—10,2•••圆E的圆心即AB中点的纵坐标为7一y!216m8m2181019•••抛物线x24y的准线方程为y1,•••圆E的圆心到抛物线x24y的准线距离为81019【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质,考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于中档题.21•设函数fX如果0,e和e,(2)若函数Inx3竺x均为函数3cx在x0,其中e为欧拉数，a,b为未知实数，且a0.的单调区间•0,ee,上有极值点，c为实数，求c的取值范围•【答案】(1)2—,0e【解析】(1)In3ae3lnxaex0,求导得函数gx在x0,上单调递增，设0的唯一根为则x0满足3lnX。ae，由题设得XoXo此可得答案;(2)由题意得存在x00,ee,，使得hx再分类讨论结合一元次方程根的分布即可求出答案.【详解】解:(1)令gX3aeInx3lnxXae,x0,X3ae二gX)~20(因a0,x0),XX•••函数gX在0,上单调递增，设gx0的唯一根为X0，即X0满足3lnX0易确定)于是，当1X0,X0时，gx0,而当x从而，当1X0,X时，fXae3lnxX当XX0,时，fX3lnaexb,X可知，0,X0为fx的单调递减区间，X进而,由题设得x°e,,(利用3lnx,的函数图象很容XoXXo,时,gx0,b,为fX的单调递增区间，(2)若函数3cx在0,ee,上有极值点，则易知存在X。0,ee,，使得注意到h3e3xx3e23c,xx3c,x0,ee,3c0在°,e上有根,等价于2ey上有解,由一元二次方程根的分布可得，只需满足0，解得c—卄33e②右23c0在e,上有根，等价于xx2eyy0,1e上有解,因此,10，解得-c0；由一元二次方程根的分布可得，只需满足c0且e丄e2综上，C的取值范围为,0e【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想，考查计算能力与推理能力，属于难题.22•设fX为定义于0,1上的函数，满足：对任意X0,1,都有fx0；fXf1X对任意X,y0,1,都有2.fyf1y求证：fx在0,1上的导数恒为零.【答案】证明见解析；【解析】由题意可得，对任意X,y0,1，都有fX,f1X,fy,fXf1Xf1y0,由—2得fyf1yfxf1yfyf1X2fyf1y，令x1y,可得222fXf1x2fXf1X0,即fxf1X0,则fXf1XfX”fXf1X，于是2化为2—2,即fxfy,fyf1yfy冋理，亦有fyfX则fXfy，由此得证.【详解】证明：要证明fx在0,1上的导数恒为零,等价于证明fx在0,1上恒为常数;因对任意X0,1,都有fX0,故对任意x,y0,1,都有fx,f1x,fy,f1y(0,fXf1:X对任意x,y0,1，都有2,fyf1y故有fxf1yfyf1X2fyf1y因上式对于任意x0,1都成立，故令X1y,可得fxf1x2fxf1x0，即fxf1xfxf1x,x0,1,fxf1xf2可化为2fx2，即fyxfy,x,y0,1,于是，fyf1y同理，亦有fyfx,x,y0,1,因此，x,y0,1,fxfy,即得证fx在0,1上恒为一个常数，•••fx在0,1上的导数恒为零.【点睛】本题主要考查抽象函数的导数的应用，考查转化与化归思想，考查计算能力，属于难题.k23•设数列an为非负实数列，且满足ak2ak1ak20,ai1,k1,2,….i12求证：0akak12,k1,2,…k【答案】证明见解析；【解析】先证akak10,k1,2，…，反证法，若存在某个k01，使得ak°ak°1,则有从ak0起，非负数列an单调递增，从而得出矛盾，得到假设不成立；2再证akak1-7,k1,2,…，令bkakak10，则akak1bk，有题意k可知bkbk1，再由条件可得到kk11b12b23bskbk12kbkbk，由此即可证明.2【详解】证明：先证akak10,k1,2,…，若存在某个k01，使得ak0ak01，则有ak01ak（）ak01ak02ak（）2,即从ak0起，非负数列an单调递增,将随着k的增加而趋于正无穷，不可能永远小于等于即与2,…矛盾,故akak1°,k1,2，…；再证akak1■2k2，k1,2,…令bkakak1°,k1,2,…•，则akak1bk,由ak2ak1ak2°可知bkbk1,k1,2，…又因1ki1aia1a?a3a4akbi2a2a3a4akbi2b23a3akbi2b23b3kbkkak1bi2b23b3kbk,故有1b12b23b3kbk12kbkkbk22，即证得ak2,k1,kk1k2ak1.2k2,…k1bk，综上:°akak12，…【点睛】本题主要考查反证法证明不等式,考查数列的递推公式的应用,考查推理能力与计算能力，属于难题.