八春07-二元二次方程组及应用问题（教师版）

序号：04数学备课组教师：班级：middle日期上课时间学生：学生情况：主课 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ：二元二次方程组及其应用问题教学目标：1.了解二元二次方程组的概念，并掌握二元二次方程组得基本解法方程；2.了解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。3.掌握列方程和方程组解应用题的方法步骤，能够熟练地列方程和方程组解行程问题和工程问题。培养学生分析、解决问题的能力。4.掌握列方程（组）解应用题的方法和步骤，并能灵活运用不等式（组）、函数、几何等数学知识，解决有关数字问题、增长率问题及生活中有关应用问题。教学重点：1.解二元二次方程组的基本思想和方法2.列方程解应用题中---寻找等量关系教学难点：1.加减消元法、分解降次法、换元法2.寻找列方程解应用题中等量关系考点及考试要求：1.解二元二次方程组的基本思想和方法2.能够熟练地列方程和方程组解行程问题和工程问题。；1/19【知识精要】二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二·一”型和“二·二”型，又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型。“二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组“二·一”型方程组的解法（1）代入消元法（即代入法）代入法是解“二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示；②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；③解这个一元二次方程，求得一个未知数的值；④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题；⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。（2）逆用根与系数的关系xya对“二·一”型二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，xyb2把x、y看做一元二次方程z-az+b=0的两个根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。注意：不要丢掉一个解。此方法是解“二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。2/19以上两种是比较常用的解法。除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。注意：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。（2）要防止漏解和增解的错误。“二·二”型方程组的解法(i)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解。(ii)当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程的解。注意：“二·一”型方程组最多有两个解，“二·二”型方程组最多有四个解，解方程组时，即不要漏解，也不要增解。【热身练习】1．下列方程组中是二元二次方程组的是（）1x3y51x25xy5A．x0B．yC．1D．yx3xy72221x3y5y7y4xx3/1922．方程组xy1的解的个数是（）22xy20A．1B．2C．3D．4xy2283．方程组的解是（）22xy0xx22xx22x2x2A．B．，，yy2,2yy2,2y2y2xx22C．D．yy2,24．有一根为57的有理系数一元二次方程是（）A.xx210180B.xx210180C．xx210180D．xx210180225．已知x1xy30，那么xy的值是（）A．0B．1C．9D．46．若方程(xy-5)2xy60，那么（）x3x2x6x13x22A．B．C．D．y2y3y1y12y23 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：1．D2．B3．B4．C5．B6．D【精解名题】基础题一.整体代入法x2y23x2y10(1)例1.解方程组xy7(2)解：由（1），得(xy)(xy)3x2y10(3)4/19将（2）整体代入（3），得7(xy)3x2y10，即4x5y10(4)x5联立（2）、（4）并求解，得原方程组的解为y2二.加减消元法y2xm,(1)例已知关于，的方程组有实数解，求的取值范围。2.xy2my4x3(2)解：(2)(1)2，得y22y32m，即y22y2m30依题意，得(2)24(2m3)0解得m2。即m的取值范围为。三.相除降次法4x29y215(1)例3.解方程组2x3y5(2)解：注意到4x29y2(2x3y)(2x3y)(1)(2)，得2x3y3(3)x2联立(2)、(3)并求解，得原方程组的解为1y3四.韦达定理法xy7(1)例方程组的解是。4.22______________xyxy32(2)解：由（2），得(xy)22xy(xy)32(3)把（1）代入（3），得722xy732，即xy12.(4)由（1）、（4）及韦达定理的逆定理，知x，y是方程t27t120的两个根。解这个方程，得t13，t24。x13,x24,所以原方程组的解为y14；y23注意：初学者常漏写后一组解，当心！5/19五.换元法(x1)2(y1)21例5.解方程组94xy14(x1)29(y1)236解：原方程组可化为(x1)(y1)34m29n236令x1m，y1n，则原方程组化为mn339m2m13，5解得n0；241n2534x2x12，5代入所设，得原方程组的解为y1；291y25xy8例6．解方程组xy12分析：仔细观察这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可用根与系数的关系，通过构造一个以x,y为根的一元二次方程来求解。解法一：由(1)得y=8-x..............(3)把(3)代入(2)，整理得x2-8x+12=0.解得x1=2,x2=6.把x1=2代入(3)，得y1=6.把x2=6代入(3)，得y2=2.x12x16所以原方程组的解是。,y16y126/19解法二：根据根与系数的关系可知：x,y是一元二次方程，2z-8z+12=0的两个根，解这个方程，得z1=2,z2=6.x12x16∴所以原方程组的解是,y16y12注意：“二·一”型方程组中的两个方程，如果是以两数和与两数积的形式给出的，这样的方程组用根与系数的关系解是很方便的。但要特别注意最后方程组解的写法，不要漏掉。xy24例7．2xy21解∵方程①是x与2y的和,方程②是x与2y的积,2∴x与2y是方程z-4z-21=0的两个根解此方程得:z1=-3,z2=7,x3x7∴或27y23yx3x712∴原方程的解是7，3yy1222xya 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 :此题属于特殊型的方程组,可用一元二次方程的根与系数的关系来解.xybx22yax22ya此外型的二元二次方程组,也都可以通过变形用简便的特殊解法.xybxybx224xy4yx2y20例8．3xy2110解(1)解法一(用代入法)113x由②得:y③2224x(113x)113x2(113x)把③代入①得:xx4()202227/19整理得:4x2-21x+27=09xx3,124把x=3代入得:y=1917把x代入得:y489x2x134∴原方程组的解为:y1171y28解法二(用因式分解法)方程(1)可化为(x-2y)2+(x-2y)-2=0即(x-2y+2)(x-2y-1)=0∴x-2y+2=0或x-2y-1=0原方程组可化为:xy220xy210和3xy21130xy2110分别解得:说明:此题为I型二元二次方程组,一般可用代入法求解,当求出一个未知数的值代入求另一个未知数的值时,一定要代入到二元一次方程中去求,若针对二元二次方程的特点,采用特殊解法,则较为简便.xy17例9．解方程组xy308/19xy17解：原方程组可化为，从而由根与系数的关系，知x,-y是方程z2-17z+30=0的两个根。xy()30解此方程，得z1=2，z2=15。x12x215即y115y22x12x215故原方程组的解为y115y22例10.A、B两地相距64千米，甲骑车比乙骑车每小时少行4千米，•如果甲乙二人分别从A、B两地相向而行，甲比乙先行40分钟，两人相遇时所行路程正好相等，•求甲乙二人的骑车速度．分析：设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为（x+4）千米/时，行程问题即为时间、路程、速度三者之间的关系问题，在分析题意时，先画出示意图（数形结合思想），然后设未知数，再列表，第一列填含未知数的量，第二列填题目中最好找的量，第三列不再在题目中找，而是用前面两个量表示，往往等量关系就在第三列所表示的量中．解完方程时要注意双重检验．2等量关系：t甲-t乙=40分钟＝小时，方程：3路程时间速度32322．32xx43甲x32x32乙x+432x12或x16（舍）x4例11.某市为了进一步缓解交通拥堵现象，•决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路。为使工程能提前3•个月完成，需要将原定的工作效率提高12%，问原计划完成这项工程用多少个月？分析：工程量不明确，一般视为1，设原计划完成工时工作量工效这项工程用x个月，实际只用了（x-3）个月.等量关系：原计划x11实际工效=原计划工效×（1+12%）．x11方程：(112%)实际x-311xx3x3x289/19例12.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫应降价多少元时，商场平均每天盈利最多？分析：（1）设每件衬衫应降价x元，则由盈利(40xx)(202)1200可解出x但要注意“尽快减少库存”决定取舍。（2）当取不同的值时，盈利随变化，可配方为：2(x15)21250求最大值。但若联系二次函数的最值求解，可设：y(40x)(202x)y2x260x800结合图象用顶点坐标公式解，思维能力就更上档次了。所以在应用问题中要发散思维，自觉联系学过的所有数学知识，灵活解决问题。答案：（1）每件衬衫应降价20元；（2）每件衬衫应降价15元时，商场平均每天盈利最高。中档题y24x2y10(1)例1．k为何值时，方程组ykx2(2)（1）有两组相等的实数解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解。分析：先用代入法消去未知数y，可得到关于x的一元方程，如果这个一元方程是一元二次方程，那么就可以根据根的判别式来讨论。解：将(2)代入(1)，整理得k2x2+(2k-4)x+1=0..................(3)k20（1）当时，方程(3)有两个相等的实数根。010/19k0即22(2kk4)40k0解得：k=1。k1∴当k=1时，原方程组有两组相等的实数根。k20（2）当时，方程(3)有两个不相等的实数根。0k0即22(2kk4)40k0解得：k<1且k≠0.k1∴当k<1且k≠0时，原方程组有两组不等实根。（3）因为在（1）、（2）中已知方程组有两组解，可以确定方程(3)是一元二次方程，但在此问中不能确定方程(3)是否是二次方程，所以需两种情况讨论。k20(i)若方程(3)是一元二次方程，无解条件是，0k0即22(2kk4)40k0解得：k>1。k11(ii)若方程(3)不是二次方程，则k=0，此时方程(3)为-4x+1=0，它有实数根x4综合(i)和(ii)两种情况可知，当k>1时，原方程组没有实数根。注意：使用判别式“Δ”的前提条件是能确定方程为一元二次方程，不是一元二次方程不能使用Δ。11/193x22xy4y3x4y0(1)例2．解方程组22。xy25(2)分析：此方程组是由两个二元二次方程组成的方程组，在(1)式的等号左边分解因式后将二元二次方程转化为一元二次方程。解：将式(1)分解因式，得(x+y)(3x-4y)-(3x-4y)=0即(3x-4y)(x+y-1)=0∴3x-4y=0,或x+y-1=0.故只需解下面两组方程组：3xy40xy10（1）22；（2）22。xy25xy253（1）由3xy40，得yx，代入xy2225,42922得xy25,x16,x4,即xx4,4,1612将x1和x2代入，得y1=3,y2=-3.（2）由x+y-1=0，得y=1-x，代入x2+y2=25,得x2+(1-x)2=25,整理，得x2-x-12=0,即(x-4)(x+3)=0,∴x3=4,x4=-3.当x3=4时,y3=-3;当x4=-3时，y4=4.x14x24x34x43故原方程组的解为：;;;。y13y23y33y44xy221(1)例3．解方程组2(xy)2(xy)30(2)12/19分析：观察方程(2)，把(x-y)看成整体，那么它就是关于(x-y)的一元二次方程，因此可分解为(x-y-3)(x-y+1)=0，由此可得到两个二元一次方程x-y-3=0和x-y+1=0。这两个二元一次方程分别和方程(1)组成两个“二·一”型的方程组：xy221xy221和xy30xy10分别解这两个方程组，就可得到原方程组的解。解：由(2)得(xy3)(xy1)0∴x-y-3=0或x-y+1=0。∴原方程组可化为两个方程组：xy221xy221（1）（2）xy30xy10用代入消元法解方程组（1）和（2），分别得：5x13x214y0y213∴原方程组的解为。错误分析：注意不要将（1）式错误分解为（x+y）(x-y)=1,故而分解为（x-y）=1或者（x+y）=1,这样做是错的，因为当右边≠0时，可以分解出无穷多种可能，例如（x+y）(x-y)=1还可以分解为1xy2,xy等等。213/19x223xy4y0(1)例4．解方程组22x4xy4y1(2)分析：方程(1)的右边为零，而左边可以因式分解，从而可达到降次的目的。方程(2)左边是完全平方式，右边是1，将其两边平方，也可以达到降次的目的。解：由(1)得(x4y)(xy)0，∴x-4y=0或x+y=0.由(2)得(x+2y)2=1∴x+2y=1或x+2y=-1原方程组可化为以下四个方程组：(xy4)0(xy4)0xy0xy0；；；xy21xy21xy21xy21解这四个方程组，得原方程组的四个解是：22x1x233x31x41；；；11y1y1yy341626注意：不要把同一个二元二次方程分解出来的两个二元一次方程组成方程组，这样会出现增解问题，同时也不要漏解。xy2252(1)例5．解方程组xyxy34(2)分析：此方程组是“二·二”型方程组，因为方程(1)和(2)都不能分解为两个二元一次方程，所以需要寻找其它解法。我们先考虑能否换元法。因为x2y2(xy)22xy。所以，方程(1)可化为(xy)22xy52,显然此方程组具备换元条件，可以用换元法来解。14/19解：由(1)式，得(xy)22xy52，设x+y=u,xy=v（这种换元是解决问题的关键），则原方程组可化为：uv2252uv34u110u212解这个方程组，得：；v124v246xy10xy12即：或xy24xy46xy10xx1246解：，得;xy24yy1264解：无解。∴原方程组的解为。【巩固练习】基础题x3xyy241．________（填是或不是）方程组的解。22y1x21xyyx242．方程组的解是_________________________________。2y9xy53．方程组中的xy,可看作是一元二次方程_________________________的两个根。xy64．方程x2229xyy可化为____________________和____________________两个方程。xy225．方程组的解是_________________________________。xyxy216．若方程组无解，则m的取值范围是_____________。22xym15/19答案：1．不是；x12x22x32x422．，，，；3．zz2560x13x23x33x43xx121214．xy30,xy30；5．;；6．myy12123中档题23xy29x11x221.方程组的两组解是，不解方程组，求1221的值。xy5y11y22分析：将y5x代入①得x的一元二次方程，1、2是两根，可用根与系数的关系，将151，252代入后，用根与系数的关系即可求值。53答案：3x222xyy1(1)2.解方程222x5xy3y0(2)1331xxxx13223243；；；，2112yyyy13223243【自我测试】一、填空题：yx1、方程组的解是。12yx2x3x24y232、方程组的解是。x2y1x2y2203、解方程组时可先化为和两个方程组。(x2y)(x3y)016/19115xy64、方程组的解是。111xy6xyax1a1x2a25、方程组的两组解为，，则a1a2b1b2＝。xyby1b1y2b2二、选择题：xy1、由方程组消去后得到的方程是（）122y(x1)(y1)40A、2x22x30B、2x22x50C、2x22x10D、2x22x90xy0、方程组解的情况是（）222xxy30A、有两组相同的实数解B、有两组不同的实数解C、没有实数解D、不能确定x2y2103、方程组有唯一解，则m的值是（）yxm0A、2B、2C、2D、以上答案都不对yx24、方程组有两组不同的实数解，则（）yxm11A、≥B、＞C、＜＜D、以上答案都不对44三．解方程组（每小题7分，共42分）xy21xy22401．2．222xy450xxy6113xy22253．4．xy(换元法)xy1212xy17/19x2221xyy6x225xyy0．．5226224x4xyy4x4xy3y4x8y40四．解答下列各题（每小题7分，共14分）y24x2y1011．k取何值时，方程组有两个相同的实数解？ykx222．某汽车队有十几辆汽车要在规定的天数内运完一批货物，若汽车减少6辆，则增加3天才能完成任务；若汽车增加4辆，则可以提前1天运完，问这个车队共有多少车？规定是多少天完成任务？答案：一、填空题：x22222x11x24xy20xy201、，；2、1；3、，；y10y25yx2y0x3y02x12x234、，；5、0y13y22二、选择题：ABCB三．解方程组x3x123x223x32x121．；2．，，，；y1y1y1y13y2331x111x13x24x33x44x3．，，，；4．1，12；y4y3y4y31234y12y1121x2x4x11x23x31x41x125x3145．，，，；6．，，，y0y4y2y0y44y3312341y3y2544四．解答下列各题18/1921．解：把（2）代入（1）得：kx24x2kx210k22x4kx44x2kx410k22x2k4x10∵要使原方程组有两个相等的实数根k20k0k20∴即：∴2202kk440k1答：当k取1时，原方程组有两个相同的实数解2．解：设这个车队共有x辆车，规定y天完成任务；则：x63yxyxy260即：x41yxyxy440x16解得：y5答：这个车队共有16辆车，规定5天完成任务。19/19