湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高二上学期10月联考数学试题及答案含答题卡

2021年湖北省新高考联考协作体高二上学期10月月考高二数学试卷考试时间：2021年10月18日下午15:00-17:00试卷满分：150分注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置。2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1．直线3x3y10的倾斜角是（）A．30B．60C．120D．1502．已知圆心为2,1的圆与y轴相切，则该圆的标准方程是（）2222A．x2y11B．x2y142222C．x2y11D．x2y143．方程x2(y3)2x2(y3)210，化简的结果是（）x2y2x2y2x2y2x2y2A．1B．1C．1D．1259251616251694．点P2,1的直线中，被圆C:x2y22x4y0截得的最长弦所在的直线方程为（）A．3xy50B．3xy70C．x3y50D．x3y105．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系不正确的是（）A．A⊆DB．B∩D＝C．A∪C＝DD．A∪B＝B∪D6．在三棱锥OABC中，M是OA的中点，P是ABC的重心．设aOA，bOB，cOC，则MP（）1111111111A．abcB．abcC．abcD．abc26332633327．若a,b,c构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）．rrrrA．bc、b、bcB．a、ab、abC．ab、ab、cD．ab、abc、c湖北省新高考联考协作体高二10月联考*数学试卷*（共4页）第1页8．已知定直线l的方程为y1kx2k0，点Q是直线l上的动点，过点Q作圆22C:x1y21的一条切线，M是切点，C是圆心，若△QMC面积的最小值为2，则△QMC面积最小时直线l的斜率k为（）1345A．-B．-C．-D．-3432二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）9．下列说法不正确的是（）1A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖1000B．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值C．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水10．已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(1,3,1)，则下列结论正确的有（）A．AB与AC是共线向量B．与AB共线的单位向量是(1,1,0)55C．AB与BC夹角的余弦值是D．平面ABC的一个法向量是(1,2,5)112x211．设椭圆C:y1(ab0)的左右焦点为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正2确的是（）6A．PF1PF222B．离心率e2△C．PF1F2面积的最大值为2D．以线段F1F2为直径的圆与直线xy20相切12．过点P(3,4)作圆C：x2y24的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是（）221A．|AB|B．AB所在直线的方程为3x4y405224221C．四边形PACB的外接圆方程为xy3x4y0D．△PAB的面积为25三、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．直线l1:2xy40，直线l2:6xmy10，若l1//l2，则m______114．从集合2,3,中任取两个不同的数a，b，则logb0的概率为______．2a湖北省新高考联考协作体高二10月联考*数学试卷*（共4页）第2页22xy△15．若椭圆1上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2的连线互相垂直，则PF1F2的面积3616为___________.16．如图，二面角l等于120，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面、内，ACl，BDl，且ABACBD1，则CD的长等于______．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题10分）求适合下列条件的椭圆的标准方程：5（1）焦点在坐标轴上，短轴长为4，离心率为；3x2y2（2）与椭圆1有相同的焦点，且过点5，4.9418．（本小题12分）已知正方体ABCDA1B1C1D1棱长为1，O为A1C1中点，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.（1）求平面ODC1的法向量n，并证明B1C//平面ODC1；（2）求异面直线B1C与OD夹角的余弦值.19．（本小题12分）已知圆C过点(2,6)且与y轴相切，圆心C在线段y2x(0x4)上，过点A(1,0)的直线l与圆C相交于M，N两点.（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若|MN|23，求直线l的方程.湖北省新高考联考协作体高二10月联考*数学试卷*（共4页）第3页20．（本小题12分）如图，在四棱锥PABCD中，已知ABBC5，AC4，ADDC22，点O为AC中点，PO底面ABCD，PO2，点M为棱PC的中点．（1）求直线PB与平面ADM所成角的正弦值；（2）求平面ADM和平面ACM所成锐二面角的余弦值；21．（本小题12分）为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识挑战赛．每位选手挑战时，主持人用电脑出题的方式，从题库中随机出3道题，编号为T1，T2，T3，电脑依次出题，选手按规则作答，挑战规则如下：①选手每答对一道题目得5分，每答错一道题目扣3分；②选手若答对第Ti题，则继续作答第Ti1题；选手若答错第Ti题，则失去第Ti1题的答题机会，从第Ti2题开始继续答题；直到3道题目出完，挑战结束；③选手初始分为0分，若挑战结束后，累计得分不低于7分，则选手挑战成功，否则挑战失3败．选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为，各次作答结果相4互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：（1）挑战结束时，选手甲共答对2道题的概率P1；（2）挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题的概率P2；（3）选手甲闯关成功的概率P3．22．（本小题12分）已知圆C：(x3)2y21与直线m：3xy60，动直线l过定点A（0，1）．（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；（2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，点M是PQ的中点，直线l与直线m相交于点N．探索AMAN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．湖北省新高考联考协作体高二10月联考*数学试卷*（共4页）第4页2021年湖北省新高考联考协作体高二10月联考数学试卷参考答案一．单选题：1-4DBCA5-8DCCB3131．D由3x3y10可得yx，所以直线3x3y10的斜率为k，3333设直线的倾斜角为，则ktan，因为0180，所以150，32．B根据题意知圆心为(2,1)，半径为2，故圆方程为：(x2)2(y1)24.3．C由x2(y3)2x2(y3)210得，点(x,y)的轨迹是以(0,±3)为焦点，10为长轴y2x2长的椭圆，设椭圆1(ab0)，a2b2c2，此时2a10,c3，故a2b2x2y2a5,ba2c24，故椭圆方程为1．16254．A由题意，圆x2y22x4y0，可得圆心坐标为C(1,2)，要使得直线被圆C截得的21弦长最长，则直线必过圆心，可得直线的斜率为k3，所以直线的方程为12y13(x2)，即所求直线的方程为3xy50.5．D“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况：恰有一枚炮弹击中，两枚炮弹都击中．故A⊆D，A∪C＝DB，D为互斥事件，B∩D＝；A∪B＝“两个飞机都击中或者都没击中”，B∪D为必然事件，这两者不相等6．C解：如图，取AB的中点D，连接CD，MC，MP.在MCP中，2121MPMCCP(OCOM)CD(OCOA)(ODOC)(ca)323222121211ODc(ca)(OAOB)cca(ab)332323232111cabc.36337．C11rrrr对于A选项，bbcbc，所以，bc、b、bc共面，A选项不满足条件；2211对于B选项，aabab，所以，a、ab、ab共面，B选项不满足条件；22对于C选项，假设ab、ab、c共面，则cxabyabxyaxyb，从而可知a、b、c共面，矛盾，C选项满足条件；对于D选项，abcabc，故ab、abc、c共面，D选项不满足条件.答案第1页，共6页8．B解：由题意可得直线l的方程为kxy12k0，圆C的圆心C1,2，半径为1，11如图：S△QMCMQM，QMC222又QMCQ1，当CQ取最小值时，QM取最小值，k212k此时CQl，可得QM22，CQ3，则3，k213解得kk04二．多选题9.AD10.CD11.AD12.BCD19．AD中奖概率为，并不是买1000张这种彩票一定能中奖，故A错误；结合概率的1000概念即可判断B项正确；C项中说的是“可以认为”，故C项正确：降水概率为70%就是降水的可能性有70%，故D错误.10．CD对于A,AB(2,1,0),AC(1,2,1)，不存在实数，使得ABAC，所以AB与AC不uuur是共线向量，所以A错误;对于B，因为AB(2,1,0)，所以与AB共线的单位向量为255255,,0或,，0)，所以B错误;对于C，向量AB(2,1,0),BC(3,1,1)，所5555ABBC55以cosAB,BC，所以C正确;对于D，设平面ABC的法向量是n(x,y,z)，|AB||BC|11nAB02xy0因为AB(2,1,0),AC(1,2,1)，所以，即，令x1，则n(1,2,5)，nAC0x2yz0所以D正确．2x211．AD由题意，椭圆C:y1(ab0)，可得a2,b1，可得ca2b21，2所以焦点为F1(1,0),F2(1,0),根据椭圆的定义PF1PF22a22，所以A正确；c2△1椭圆的离心率为e，所以B错误；其中PF1F2面积的最大值为2cbbc1，所a222以C错误；由原点(0,0)到直线xy20的距离d1c，所以以线段F1F2为1212直径的圆与直线xy20相切，所以D正确.12．BCD因为PAPB，所以以P为圆心，PA为半径的圆交圆x2y24于A,B两点，因为PA2OP2OA232422221,又因为以P为圆心，PA为半径的圆为22x3y421，答案第2页，共6页22x3y421与x2y24相减得3x4y40所以AB所在直线的方程为3x4y40，故B正确；11连接OP交AB于H，等面积法可得AOPAAHOP，即22221AOPAAHOP，所以2215AH，即AH，所以54213AB，故A错误；四边形PACB的外接圆是以PC为直径的圆，故圆心为,2，半5225322522径为的圆，故方程为xy2，即xy3x4y0，故C正确；22422221211214214221因为22，所以，故PHPAAH21SPAB5525525D正确；1三．填空题13．314．15．1616．2313．3依题意，直线l1:2xy40的斜率k12，而l1//l2，则直线l2:6xmy10斜率必存在，66它为k，于是得kk，即2，解得m3，所以m3.2m12m114．3取两个不同的数a，b，记为有序数对a,b，所有基本事件为：11112,3,2,,3,2,3,,,2,,3共6种，满足logb0的情况为：2,3,3,2，一共2种，2222a1所以其概率为.315．16c2361620，a236222PF1PF22a12PFPFPFPF，1222，222PF1PF232PF1PF24c8021SPFPF16.PF1F221216．2∵A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面、内，ACl，BDl，又∵二面角l的平面角等于120°，且ABACBD1，1∴CAABABBD0，CADB60，CABD11cos60，222222∴CDCAABBDCAABBD2CAAB2ABBD2CABD4，uuurCD2．答案第3页，共6页四．解答题2b417．1依题意可得cb25，则b2，a3，3分1aa23x2y2当焦点在x轴上时，椭的标准方程为1；4分94y2x2当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为1．5分94x2y22依题意可得焦点是在x轴上，故设椭圆方程为1(ab0)，6分a2b2x2y2因为椭圆C与椭圆1有相同的焦点，且过点5，4，94516所以椭圆C的方程为1，8分a2a25x2y2解得a225即1．10分2520111118．（1）证明：O,,1，C10,1,1，故CO,,1，DC10,1,1，2分2222设平面ODC1的一个法向量为nx,y,z，11nDO0xyz0由得22，3分nDC01yz0令y1，则z1，x1，所以n=(1,1,-1).4分又B1C1,0,1，从而nB1C0.∵B1C平面ODC1，所以B1C平面ODC1；6分（2）解：设B1C、DO分别为直线B1C与OD的方向向量.1113112则由BC1,0,1，DO,,1，得cosB1C,DO.10分12232223所以两异面直线B1C与OD的夹角的余弦值为cos.12分219．（Ⅰ）由题意设圆心Cm,2m,0m4，1分22因为圆C与y轴相切，所以该圆的半径rm，所以圆C:xmy2mm2，3分22又圆C过点(2,6)，所以2m62mm2，解得m2或m5（舍去），5分答案第4页，共6页22所以圆C的方程为x2y44；6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得圆C的圆心2,4，半径r=2，当直线l的斜率不存在时，直线l:x1，7分此时圆心到直线的距离d211，|MN|2r2d223，符合题意；8分当直线l的斜率存在时，设直线l:ykx1即kxyk0，9分2MN若要使|MN|23，则圆心2,4到直线l的距离d=r2-=1，10分22k--4k15所以d==1，解得k，11分1+k2815所以直线l的方程为y=(x-1)即15x-8y-15=0；8综上，直线l的方程为x1或15x-8y-15=0.12分20．（1）由于ABBC,,ADDCO是AC的中点，所以BOD,,三点共线，且BDAC，由于AO平面ABCD，所以POOA,POOB，即OA,,OBOP两两相互垂直.ODAD2OA22,OBAB2OA21.以O为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系2分PBAD0,0,2,0,1,0,2,0,0,0,2,0,MCN1,0,1,2,0,0,0,1,1.3分PB0,1,2,AD2,2,0,AM3,0,1,AC4,0,0,设平面ADM的法向量为mx1,,y1z1，mAD2x12y10则，故可设m1,1,3.5分mAM3x1z10PBm7755设直线PB与平面ADM所成角为，则sin.6分PBm51155（2）设平面ACM的法向量为nx2,,y2z2，nAC4x20则，故可设n0,1,0.9分nAM3x2z20答案第5页，共6页nm111设平面ADM和平面ACM夹角为，则cos.12分nm111121．设Ai为选手答对Ti题，其中i1,2,3.（1）设挑战结束后，选手甲共答对2道题为事件A，选手甲共答对2道即选手甲前2题答对且第3题答错，所以AA1A2A3，所以，由事件独立性的定义得3339P1PAPA1A2A3PA1PA2PA31.4分44464（2）设挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题为事件B，选手甲恰好作答了2道题即选手甲地1题答错或第一题答对且第2题答错所以BA1A1A2由概率的加法公式和事件独立性的定义得3337P2PBPA1A1A2PA1PA1A2118分44416（3）设选手甲挑战成功为事件C若选手甲挑战成功，则选手甲共作答了3道题，且选手甲只可能作答2题或3道题所以“选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了2道题”的对立事件，所以CB79根据对立事件的性质得P3PCPB1PB112分161622．解：（1）1°当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝0，与圆C不相切；1分2°当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ymx1，即mxy10，2分3m133∴1，解得m0或m，∴直线l的方程为y＝1或yx1；5分1m244（2）由题意可知直线l的斜率存在，设l的方程为y＝kx+1，M（x0，y0），ykx122由22消去y得，（1+k）x﹣（6﹣2k）x+9＝0，7分(x3)y13k3k13k3kk23k，3k1，，∴x0y0，∴M22，∴AM22，8分1k21k21k1k1k1k5xykx1k356k355k由得，，∴N，，∴AN，，10分3xy606k3k3k3k3k3yk3155k5k23kAMAN5∴22，∴AMAN为定值．12分1kk31kk3答案第6页，共6页