插值法-第二次程序题

插值法 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 目1：对QUOTERunge函数QUOTE在区间[-1,1]作下列插值逼近，并和QUOTER(x)的图像进行比较，并对结果进行分析。(1)用等距节点绘出它的20次Newton插值多项式的图像。(2)用节点，绘出它的20次Lagrange插值多项式的图像。(3)用等距节点绘出它的分段线性插值函数的图像。(4)用等距节点绘出它的三次自然样条插值函数的图像。程序及分析：用等距节点绘出它的20次Newton插值多项式的图像。Matlab程序如下：%计算均差x=[-1::1];n=length(x);symszfori=1:ny(i)=1/(1+25*x(i)*x(i));endN=zeros(n,n);N(:,1)=y';forj=2:nfork=j:nN(k,j)=(N(k,j-1)-N(k-1,j-1))/(x(k)-x(k-j+1));endendfort=1:nc(t)=N(t,t)end%构造插值多项式f=N(1,1);fork=2:na=1;forr=1:(k-1)a=a*(z-x(r));endf=f+N(k,k)*a;end%作图a=[-1::1];n=length(a);fori=1:nb(i)=1/(1+25*a(i)*a(i));endfx=subs(f,z,a);subplot(2,1,1);plot(a,b,'k',a,fx,'r');c=[::];n=length(c);fori=1:nd(i)=1/(1+25*c(i)*c(i));endfx=subs(f,z,c);subplot(2,1,2);plot(c,d,'k',c,fx,'r');结果与分析：由下图可以看出，在区间[,]上，插值多项式可以很好的逼近被插值函数。而在边界附近，插值多项式与被插值函数的差别很大。即出现了Runge现象。主要原因是被插值函数的任意阶导数不能达到一致有界。其插值余项不趋近零。插值多项式不能收敛到被插值函数。Runge函数插值多项式用节点，绘出它的20次Lagrange插值多项式的图像。Matlab程序如下：clear;%插值点fori=1:21x(i)=cos((2*(i-1)+1)*pi/42);endn=length(x);fori=1:ny(i)=1/(1+25*x(i)*x(i));end%构造插值基函数symsz;temp=1;fori=1:nlx=1;forj=1:nifi~=jtemp=(z-x(j))/(x(i)-x(j));lx=lx*temp;endendl(i)=lx;end%插值多项式l=l';L=y*l;%作图a=[-1::1];n=length(a);fori=1:nb(i)=1/(1+25*a(i)*a(i));endfx=subs(L,z,a);subplot(2,1,1);plot(a,b,'k',a,fx,'xr');结果与分析：Runge函数XL插值多项式Runge函数XL插值多项式Newton插值多项式如下图所示，使用Chebyshev多项式零点构造的Lagrange插值多项式比较接近原函数，没有出现Runge现象。主要原因是其多项式误差为。(3)用等距节点绘出它的分段线性插值函数的图像。Matlab程序如下：clc;clear;x=[-1::1];n=length(x);symszfori=1:ny(i)=1/(1+25*x(i)*x(i));end%构造分段线性插值多项式fori=1:n-1l(i)=(z-x(i+1))/(x(i)-x(i+1))*y(i)+(z-x(i))/(x(i+1)-x(i))*y(i+1)%l(i)=y(i)+(y(i+1)-y(i))/(x(i+1)-x(i))*(z-x(i))end%作图fori=1:n-1a=[x(i)::x(i+1)];f=subs(l(i),z,a)plot(a,f,'k')holdonend结果与分析：如下图所示，分段线性插值多项式比较接近原函数，没有出现Runge现象。……..分段线性Runge函数利用线性插值多项式的误差估计：(4)用等距节点绘出它的三次自然样条插值函数的图像。Matlab程序如下：clc;clear;x=[-1::1];n=length(x);symsz;fori=1:ny(i)=1/(1+25*x(i)*x(i));endfori=1:n-1h(i)=x(i+1)-x(i);endfori=1:n-2u(i)=h(i)/(h(i+1)+h(i));r(i)=1-u(i);endG=zeros(n,n);fori=1:nG(i,i)=2;endfori=2:n-1G(i,i-1)=u(i-1);G(i,i+1)=r(i-1);endG(n,n-1)=1;G(1,2)=1;d=zeros(1,n);fori=2:n-1d(i)=6*((y(i+1)-y(i))/h(i)-(y(i)-y(i-1))/h(i-1))/(h(i)+h(i-1));endsymsuv;u=diff(1/(1+25*v*v),v);a=subs(u,v,x(1));b=subs(u,v,x(n));d(1)=((y(2)-y(1))/h(1)-a)/h(1)*6;d(n)=(b-(y(n)-y(n-1))/h(n-1))/h(n-1)*6;d=d';M=inv(G)*d;fori=1:n-1s(i)=M(i)*(x(i+1)-z)^3/+M(i+1)*(z-x(i))^3/+(y(i)-M(i)*6)*(x(i+1)-z)/+(y(i+1)-M(i+1)*6)*(z-x(i))/;endfori=1:n-1a=[x(i)::x(i+1)];f=subs(s(i),z,a);plot(a,f,'xr')holdonend结果与分析：三次样条插值函数得到的图像如下：可以看出，三次样条插值函数的曲线及其光滑。得到的函数十分接近被插值函数。XXXXRunge函数三次样条题目2：对函数：在区间[-1,1]作下列插值逼近，并和被插值函数的图像进行比较，并对结果进行分析。(1)用等距节点绘出它的20次Newton插值多项式的图像。(2)用节点，绘出它的20次Lagrange插值多项式的图像。(3)用等距节点绘出它的分段线性插值函数的图像。(4)用等距节点绘出它的三次自然样条插值函数的图像。程序及分析：(1)用等距节点绘出它的20次Newton插值多项式的图像。Matlab程序如下：clc;clear;%计算均差x=[-1::1];n=length(x);symsz;y=zeros(1,n)fori=1:10y(i)=sin(pi*x(i));endfori=11:15y(i)=cos(pi*x(i));endfori=15:ny(i)=0;endN=zeros(n,n);N(:,1)=y';forj=2:nfork=j:nN(k,j)=(N(k,j-1)-N(k-1,j-1))/(x(k)-x(k-j+1));endendfort=1:nc(t)=N(t,t);end%构造插值多项式f=N(1,1);fork=2:na=1;forr=1:(k-1)a=a*(z-x(r));endf=f+N(k,k)*a;end%作图v=linspace(-1,0,50);u=sin(pi*v);plot(v,u,'k')holdonv=linspace(0,,25);u=cos(pi*v);plot(v,u,'k')holdonv=linspace,1,10000);u=0;plot(v,u,'k')holdona=[-1::1];fx=subs(f,z,a);plot(a,fx,'r');结果与分析：见下图被插值函数插值多项式等距节点20次Newton插值得到的函数图像如下：可以看出，在整个区间上，插值多项式精度都不是很高。出现了Runge现象。被插值函数插值多项式(2)用节点，绘出它的20次Lagrange插值多项式的图像。Matlab程序如下：clc;clear;%求插值节点fori=1:21x(i)=cos((2*(i-1)+1)*pi/42);endn=length(x);y=zeros(1,n);fori=1:nifx(i)<0y(i)=sin(pi*x(i));elseifx(i)>y(i)=0;elsey(i)=cos(pi*x(i));endend%插值基函数symsz;temp=1;fori=1:nlx=1;forj=1:nifi~=jtemp=(z-x(j))/(x(i)-x(j));lx=lx*temp;endendl(i)=lx;end%插值多项式l=l';L=y*l;%作图a=[-1::1];fx=subs(L,z,a);plot(a,fx,'xr');结果与分析：被插值函数插值多项式如下图所示，使用Chebyshev多项式零点构造的Lagrange插值多项式比Newton插值多项式接近原函数，没有出现Runge现象。(3)用等距节点绘出它的分段线性插值函数的图像。Matlab程序如下：clc;clear;x=[-1::1];n=length(x);symsz;fori=1:10y(i)=sin(pi*x(i));endfori=11:15y(i)=cos(pi*x(i));endfori=15:ny(i)=0;end%构造插值多项式fori=1:n-1l(i)=(z-x(i+1))/(x(i)-x(i+1))*y(i)+(z-x(i))/(x(i+1)-x(i))*y(i+1);%l(i)=y(i)+(y(i+1)-y(i))/(x(i+1)-x(i))*(z-x(i));end%作图fori=1:n-1a=[x(i)::x(i+1)];f=subs(l(i),z,a);plot(a,f,'xr')holdonend结果与分析：如下图所示，分段线性插值多项式比较接近原函数，没有出现Runge现象。但是在间断点处及导数不存在的点误差较大。主要是因为这些地方构造的线性函数斜率较大，不能较好的趋近原函数。被插值函数插值多项式(4)用等距节点绘出它的三次自然样条插值函数的图像。Matlab程序如下：clc;clear;x=[-1::1];n=length(x);symszfori=1:10y(i)=sin(pi*x(i));endfori=11:15y(i)=cos(pi*x(i));endfori=15:ny(i)=0;endfori=1:n-1h(i)=x(i+1)-x(i);endfori=1:n-2u(i)=h(i)/(h(i+1)+h(i));r(i)=1-u(i);endG=zeros(n,n);fori=1:nG(i,i)=2;endfori=2:n-1G(i,i-1)=u(i-1);G(i,i+1)=r(i-1);endG(n,n-1)=1;G(1,2)=1;d=zeros(1,n);fori=2:n-1d(i)=6*((y(i+1)-y(i))/h(i)-(y(i)-y(i-1))/h(i-1))/(h(i)+h(i-1));endsymsuv;u=diff(sin(pi*v),v);a=subs(u,v,x(1));b=0;d(1)=((y(2)-y(1))/h(1)-a)/h(1)*6;d(n)=(b-(y(n)-y(n-1))/h(n-1))/h(n-1)*6;d=d';M=inv(G)*d;fori=1:n-1s(i)=M(i)*(x(i+1)-z)^3/+M(i+1)*(z-x(i))^3/+(y(i)-M(i)*6)*(x(i+1)-z)/+(y(i+1)-M(i+1)*6)*(z-x(i))/;endfori=1:n-1a=[x(i)::x(i+1)];f=subs(s(i),z,a);plot(a,f,'xr')holdonend结果与分析：三次样条插值函数得到的图像如下：被插值函数插值多项式可以看出，三次样条插值函数在间断点处也有较大误差。