概率论与数理统计_浙大四版_习题解_第5章_极限定理

1 数理统计（浙大第四版）习题解 第 5 章 极限定理 【习题 5.1】据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100h 的指数分布，现随机地取 16只，设它们的寿命是相互独立的。求这 16只元件的寿命总和大于 1920h的概率。 〖解〗 设随机抽取的第 i个电器元件的寿命（h）为 iX ，则 16 个寿命观测为独立同分布样本 1 2 16, , ,X X X 。因此，问题可 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 为求下面样本和事件的概率 16 1 1920i i P X         引用 P102例 5的结论，由习题所给条件确定指数分布随机变量 X的期望和方差    2 2 100 10000 E X Var X           引用期望和方差的运算规则，求样本和的期望和方差如下 16 1 16 2 2 1 16 1600 16 160000 i i i i E X n Var X n                         样本容量足够大，引用独立同分布样本和中心极限定理，计算事件的概率如下     16 1 1920 1 1920 1920 1600 320 1 1 400160000 1 0.8 1 0.7881 0.2119 i i P X F                            结论：抽样 16只元件的寿命总和大于 1920h的概率为 0.2119。 〖小资料〗 X服从指数分布，则它的概率密度和分布函数分别是   1 , 0 0, 0 xe x f x x         和   1 0 0 0 xe x F x x       寿命随机变量 X的期望求解如下   0 0 0 0 1 x x x x E X x e dx xe e dx e                      2 寿命随机变量 X的二阶原点距求解如下  2 2 2 0 0 2 0 0 2 0 1 2 1 2 2 x x x x x E X x e dx x de x e xe dx x e dx                             寿命随机变量 X的方差求解如下       22 2 2 22 Var X E X E X            【习题 5.2】（1）一保险公司有 10000个汽车投保人，每个投保人索赔金额的数学期望为 280 美元， 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差为 800 美元，求索赔总金额超过 2,700,000 万美元的概率；（2）一公司有 50 张签约保险单，各张保险单的索赔金额为 iX （千美元）， 1,2, ,50i   ， iX 服从 Weibull 分布，均值   5iE X  ，方差   6iVar X  ，求 50张保险单的索赔合计金额大于 300的概 率，设各个保险单的索赔金额是相互独立的。 〖解（1）〗 设第 i个投保人的索赔金额为 iX ，由于 iX 取值的随机不确定性，且诸 iX 具有相同的期 望和标准差，故 10000个索赔金额观测可视作独立同分布样本 1 2 10000, , ,X X X 。因此，问 题可表为求下面样本和事件的概率 10000 1 2700000i i P X         求样本和的期望和方差如下   10000 1 10000 10000 280 2800000i i i E X E X              10000 2 1 10000 10000 800i i i Var X Var X           样本容量足够大，引用独立同分布样本和中心极限定理，计算事件的概率如下       10000 1 2 2700000 1 2700000 2700000 2800000 1 800 10000 1 1.25 1.25 0.8944 i TS i P X F                        结论：10000个汽车投保人索赔总金额超过 2,700,000万美元的概率为 0.8944。 3 〖解（2）〗 设第 i个保险单的索赔金额为 iX （千美元），由于 iX 取值随机且具有相同的分布，故 50 个索赔金额观测可视作独立同分布样本 1 2 50, , ,X X X 。因此，问题可表为求下面样本 和事件的概率 50 1 300i i P X         求样本和的期望和方差如下   50 1 50 50 5 250i i i E X E X              50 1 50 50 6 300i i i Var X Var X            样本容量足够大，引用独立同分布样本和中心极限定理，计算事件的概率如下     50 1 300 1 300 300 250 1 300 1 2.89 1 0.9981 0.0019 i TS i P X F                       结论：50张保险单的合计索赔金额大于 300的概率为 0.0019。 【习题 5.3】计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数。设所有舍入误差是独 立的，且在  0.5,0.5 上服从均匀分布。（1）若将 1500个数相加，问误差总和的绝对值超 过 15的概率是多少？（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于 10的概率不小 于 0.90？ 〖解（1）〗 设第 i个加数的舍入误差为 iX ，舍入误差因加数随机而具有随机不确定性，且具有相 同的分布，故 1500个舍入误差观测可视作独立同分布样本 1 2 1500, , ,X X X 。因此，问题（1） 可表为求下面样本和事件的概率 1500 1 15i i P X         引用 P102例 4结论，代入分布区间的下限 a和上限 b，求得 iX 的期望和方差如下   0.5 0.5 0 2 2i a b E X       4       22 0.5 0.5 1 12 12 12i b a Var X        求样本和的期望和方差如下   1500 1 1500 1500 0 0i i i E X E X              1500 1 1 1500 1500 125 12i ii Var X Var X            样本容量足够大，引用独立同分布样本和中心极限定理，计算事件概率如下         1500 1500 1 1 15 1 15 1 15 15 15 0 15 0 1 125 125 1 1.34 1.34 2 2 0.9099 0.1802 i i i i TS TS P X P X F F                                                结论：若将 1500个数相加，误差总和的绝对值超过 15的概率是 0.1802。 〖小资料〗 若随机变量 X服从  0.5,0.5 上的均匀分布，则 X的概率密度和分布函数如下    1 1, 0.5 0.5 0, 其它 b a a x b f x a b            和   0 0.5, 1 x a F x x a x b x b         求 X的期望和方差如下   0.520.5 0.5 0.5 0 2 x E X xdx        0.53 30.52 2 0.5 0.5 0.5 1 2 3 3 12 x E X x dx              22 1 10 12 12 Var X E X E X       〖解（2）〗 设第 i个加数的舍入误差为 iX ，则问题（2）可表为求满足下面样本和事件概率的 n值 1 10 0.90 n i i P X          5 求样本和的期望和方差如下   1 0 0 n i i i E X nE X n              1 1 12 12 n i i i n Var X nVar X n            引用独立同分布样本和中心极限定理，变换上面表达式中的事件如下     1 10 0.90 10 10 0.90 10 0 10 0 0.90 12 12 20 3 2 1 0.90 20 3 1 0.9 0.95 2 n i i TS TS P X F F n n n n                                                     查 P382标准正态分布表并采用线性插值，可知应有 2 2 20 3 1.645 20 3 443.4549 1.645 443 n n n        结论：最多可有 443个数相加才能使误差总和的绝对值小于 10的概率不小于 0.90。 【习题 5.4】设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期 望为 0.5kg，均方差为 0.1kg，问 5000只零件的总重量超过 2510kg的概率是多少？ 〖解〗 设第 i个零件的重量为 iX ，则诸 iX 独立同分布，5000个重量观测可视作独立同分布样 本 1 2 5000, , ,X X X 。因此，问题可表为求下面样本和事件的概率 5000 1 2510i i P X         求样本和的期望和方差如下   5000 1 5000 5000 0.5 2500i i i E X E X            6   5000 2 1 5000 5000 0.1 50i i i Var X Var X            样本容量足够大，引用独立同分布样本和中心极限定理，计算事件概率如下     5000 1 2510 1 2510 2510 2500 1 50 1 1.41421 1 0.9213 0.0787 i TS i P X F                       查 P382标准正态分布表，并用线性插值法求下面的标准正态分布函数值       0.9222 0.9207 1.41421 0.9207 1.41421 1.41 1.42 1.41 0.9207 0.15 1.41421 1.41 0.9213             结论：5000只零件的总重量超过 2510kg的概率是 0.0787。 【习题 5.5】有一批建筑房屋用的木柱，其中 80％的长度不小于 3m。现从这批木柱中随机 地取出 100根，问其中至少有 30根短于 3m的概率是多少？ 〖解〗 设随机抽取的第 i根木柱状态变量为 iX ， 1iX  表木柱长度短于 3m， 0iX  表木柱长 度不小于 3m，则 100根木柱观测为 0-1总体抽样独立同分布样本 1 2 100, , ,X X X 。因此， 抽出 100根木柱中短于 3m的木柱至少有 30根的概率可表为求下面样本和事件的概率 100 1 30i i P X         根据已知条件，知 iX 的分布律如下 0 1 0.8 0.2       求 iX 的期望和方差如下   0.2iE X p     1 0.2 0.8 0.16iVar X p p     求样本和的期望和方差如下   100 1 100 100 0.2 20i i i E X E X            7   100 1 100 100 0.16 16i i i Var X Var X            样本容量足够大，引用独立同分布样本和中心极限定理，计算事件的概率如下     100 1 30 1 30 30 20 1 16 1 2.5 1 0.9938 0.0062 i TS i P X F                       结论：从一批木柱中随机取出 100根至少有 30根短于 3m的概率是 0.0062。 〖小资料〗 若 X=0表木柱长度不小于 3m，X=1表木柱短于 3m，则 X的分布律为    11 0,1 1 0.8 0.2 xxP X x p p x p           X的期望和方差求解如下    1 0 1 0.2E X p p p          2 2 21 0 1 0.2E X p p p               22 2 1 0.2 0.8 0.16 Var X E X E X p p p p             【习题 5.6】一工人修理一台机器需两个阶段，第一阶段所需时间（小时）服从均值为 0.2 的指数分布，第二阶段所需时间服从均值为 0.3 的指数分布，且与第一阶段独立。现有 20 台机器需要修理，求他在 8h内完成的概率。 〖解〗 设修理第 i个机器所花费的时间为 iX （h），则 20个修理时间观测可视作独立同分布样 本 1 2 20, , ,X X X 。因此，问题可表为求下面样本和事件的概率 20 1 8i i P X         引用习题 5.1的结果，考虑两阶段修理的独立性，求修理时间 iX 的期望和方差如下   0.2 0.3 0.5iE X      2 20.2 0.3 0.13iVar X    8 求样本和的期望和方差如下   20 1 20 20 0.5 10i i i E X E X              20 1 20 20 0.13 2.6i i i Var X Var X            样本容量足够大，引用独立同分布样本和中心极限定理，计算事件的概率如下       20 1 8 10 8 8 1.24 2.6 1 1.24 1 0.8925 0.1075 i TS i P X F                         结论：一工人 8h内完成 20台机器修理的概率为 0.1075。 【习题 5.7】一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕 的价格是一个随机变量，它取 1元、1.2元、1.5元各个值的概率分别为 0.3、0.2、0.5。若售 出 300只蛋糕，（1）求收入至少 400元的概率；（2）求售出价格为 1.2元的蛋糕多于 60只 的概率。 〖解（1）〗 设售出第 i个蛋糕的价格为 iX ， 1iX  表售出蛋糕的价格为 1 元， 1.2iX  表售出蛋 糕的价格为 1.2元， 1.5iX  表售出蛋糕的价格为 1.5元， iX 只取这三个数值，则售出 300 只蛋糕的价格观测可视作独立同分布样本 1 2 300, , ,X X X 。因此，问题可表为求下面样本 和事件的概率 300 1 400i i P X         由于诸 iX 具有下面的分布律 1 1.2 1.5 0.3 0.2 0.5       则 iX 的期望和方差如下   1 0.3 1.2 0.2 1.5 0.5 1.29iE X         2 2 2 21 0.3 1.2 0.2 1.5 0.5 1.713iE X              22 21.713 1.29 0.0489 i i iVar X E X E X        求样本和的期望和方差如下   300 1 300 300 1.29 387i i i E X E X            9   300 1 300 300 0.0489 14.67i i i Var X Var X            样本容量足够大，引用独立同分布样本和中心极限定理，计算事件概率如下       300 1 400 1 400 400 387 1 14.67 1 3.39413 1 3.4 1 0.9997 0.0003 i TS i P X F                         事件概率的较精确值如下     300 1 400 1 400 400 387 1 14.67 1 3.39413 1 0.999656 0.000344 i TS i P X F                       结论：收入至少 400元的概率只有 0.0003。 〖解（2）〗 设售出第 i个蛋糕的价格状态为 iX ， 1iX  表售出价格为 1.2 元的蛋糕， 0iX  表售 出价格为非 1.2元的蛋糕，则 300个价格状态观测可视作独立同分布样本 1 2 300, , ,X X X 。 因此，问题可表为求下面样本和事件的概率 300 1 60i i P X         由于诸 iX 具有下面的分布律 0 1 0.8 0.2       则 iX 的期望和方差如下    1 0 1 0.2iE X p p p          2 2 21 0 1 0.2iE X p p p               22 2 1 0.2 0.8 0.16 i i iVar X E X E X p p p p             求样本和的期望和方差如下 10   300 1 300 300 0.2 60i i i E X E X              300 1 300 300 0.16 48i i i Var X Var X            样本容量足够大，引用拉普拉斯样本和中心极限定理，计算事件概率如下     300 1 60 60 60 1 60 1 48 1 0 0.5 i TS i P X F                     结论：售出价格为 1.2元的蛋糕多于 60只的概率为 0.5。 【习题 5.8】一复杂的系统由 100个相互独立起作用的部件所组成，在整个运行期间每个部 件损坏的概率为 0.10。为了使整个系统起作用，至少必须有 85个部件正常工作，求整个系 统起作用的概率。 〖解〗 设第 i个部件的运行状态为 iX ， 1iX  表部件正常， 0iX  表部件失效，100 个独立 起作用部件的运行状态观测可视作独立同分布样本 1 2 100, , ,X X X 。因此，问题可表为求 下面样本和事件的概率 100 1 85i i P X         由于诸 iX 为下面的 0-1分布 0 1 0.1 0.9       则 iX 的期望和方差如下    1 0 1 0.9iE X p p p          2 2 21 0 1 0.9iE X p p p               22 2 1 0.9 0.1 0.09 i i iVar X E X E X p p p p             求样本和的期望和方差如下   100 1 100 100 0.9 90i i i E X E X            11   100 1 100 100 0.09 9i i i Var X Var X            样本容量足够大，引用独立同分布样本和中心极限定理，计算事件概率如下       100 1 85 1 85 85 90 1 9 1 1.67 1.67 0.9525 i TS i P X F                        结论：若至少 85个部件正常系统才正常的话，则整个系统起作用的概率为 0.9525。 【习题 5.9】已知，某十字路口一周事故发生数的数学期望为 2.2，标准差为 1.4。（1）以 X 表示（以 52周记）此十字路口事故发生数的算术平均，试用中心极限定理求 X 的近似分布， 并求  2P X  ；（2）求一年事故发生数小于 100的概率。 〖解（1）〗 设第 i周的事故发生数为 iX ，则一年 52 周的事故发生数观测可视作独立同分布样本 1 2 52, , ,X X X 。诸 iX 的期望为 2.2，方差为 1.42。 根据中心极限定理，标准化样本均值的近似分布是标准正态分布，又据正态统计量的线 性组合仍然是正态统计量，由此推论样本均值的近似分布是正态分布。因此，问题（1）的 求近似分布可归结为求正态分布的参数，即求期望和方差       52 1 1 1 1 1 52 2.2 52 52ii E X E X E X E X                 252 12 1 1 1 1.4 52 52 52 52ii Var X Var X Var X            故近似地  22.2,1.4 52X N 问题（1）所求事件的的概率为         2 2.2 2 2 1.4 52 1.03 1 1.03 1 0.8485 0.1515 X P X F                  结论：  2P X  的计算结果为 0.1515。 〖解（2）〗问题（2）可表为求下面的事件概率 12 52 1 100i i P X         求样本和的期望和方差如下   52 1 52 52 2.2 114.4i i i E X E X              52 2 1 52 52 1.4 101.92i i i Var X Var X            样本容量足够大，引用独立同分布样本和中心极限定理，查 P382标准正态分布表，并 在两概率之间线性插值，计算事件概率如下         52 1 100 100 100 114.4 101.92 1.42637 1 1.42637 0.9236 0.9222 1 0.9222 1.42637 1.42 1.43 1.42 1 0.9230918 0.0769 i TS i P X F                                 结论：一年事故发生数小于 100的概率为 0.0769。 【习题 5.10】某种小汽车氧化氮排放量的数学期望为 0.9g/km，标准差为 1.9g/km。某汽车 公司拥有该款小汽车 100 辆，以 X 表示这些车辆氧化氮排放量的算术平均，问当L为何值 时 X L 的概率不超过 0.01。 〖解〗 设第 i辆小汽车的氧化氮排放量为 iX ，则 100 个排放量观测可视作独立同分布样本 1 2 100, , ,X X X 。诸 iX 的期望为 0.9，方差为 1.92。因此，问题可表为求满足下面概率不等 式的 L   0.01P X L  求样本均值的期望和方差       100 1 1 1 1 1 100 0.9 100 100ii E X E X E X E X                 2100 12 1 1 1 1.9 100 100 100 100ii Var X Var X Var X            求满足要求的 L值 13       0.01 1 0.01 0.99 0.9 0.99 0.19 X X P X L F L F L L              查 P382标准正态分布表，有   0.9 2.33 0.19 0.9 2.33 0.19 1.3427 L L        g km 结论：L值至少达 1.3427时， X L 的概率才不超过 0.01。 【习题 5.11】随机地选取两组学生，每组 80人，分别在两个实验室里测量某种化合物的 pH 值。各人测量的结果是随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为 5，方差 为 0.3，以 X 和Y 分别表示第 1组和第 2组所得结果的算术平均；（1）求  4.9 5.1P X  ； （2）求  0.1 0.1P X Y    。 〖解（1）〗 设第 1 组第 i个学生所测定的 pH 值为 iX ，则 80 个测定结果可视作独立同分布样本 1 2 80, , ,X X X 。设第 2 组第 j个学生所测定的 pH 值为 iY ，则 80 个测定结果可视作独立 同分布样本 1 2 80, , ,Y Y Y 。诸 iX 和 iY 有     5i jE X E Y  ，     0.3i jVar X Var Y  。 样本均值 X 和Y 的期望和方差分别为     80 1 1 1 80 5 5 80 80ii E X E Y E X                  80 2 1 1 1 3 80 0.3 80 80 800ii Var X Var Y Var X              引用独立同分布样本均值中心极限定理，则问题（1）求解如下         4.9 5.1 5.1 4.9 5.1 5 4.9 5 3 800 3 800 0.1 2 1 2 1.63 1 3 800 2 0.9484 1 0.8968 X X P X F F                                      问题（1）的较准确值为 14         4.9 5.1 5.1 4.9 5.1 5 4.9 5 3 800 3 800 0.1 2 1 2 1.63299 1 3 800 2 0.94876 1 0.8975 X X P X F F                                      结论：  4.9 5.1P X  的计算结果为 0.8968。 〖解（2）〗 引用问题（1）求解结果，可知均值差 X -Y 的期望和方差分别为   5 5 0E X Y          3 3 3 800 800 400 Var X Y Var X Var Y      再引用独立同分布样本均值中心极限定理，则问题（2）求解如下         0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0 0.1 0 3 400 3 400 0.1 0 2 1 2 1.15 1 3 400 2 0.8749 1 0.7498 X Y X Y P X Y F F                                           问题（2）事件概率的较准确值为         0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0 0.1 0 3 400 3 400 0.1 0 2 1 2 1.1547 1 3 400 2 0.87589 1 0.7518 X Y X Y P X Y F F                                           结论：  0.1 0.1P X Y    的计算结果为 0.7498。 【习题 5.12】一公寓有 200个住户，一个住户拥有汽车辆数 X 的分布律为 0 1 2 0.1 0.6 0.3       问需要多少个车位，才能使每辆汽车都具有一个车位的概率至少为 0.95。 〖解〗 15 设第 i个住户拥有的汽车数为 iX ，则对 200 个住户的汽车数观测可视作独立同分布样 本 1 2 200, , ,X X X 。设需要的最少车位数是 L，则问题可表为求满足下式的 L 200 1 0.95i i P X L          计算诸 iX 的期望和方差如下   0 0.1 1 0.6 2 0.3 1.2iE X              22 2 2 2 20 0.1 1 0.6 2 0.3 1.2 0.36 i i iVar X E X E X             计算样本和的期望和方差如下   200 1 200 200 1.2 240i i i E X E X              200 1 200 200 0.36 72i i i Var X Var X            样本容量 200足够大，引用独立同分布样本和中心极限定理，查 P382标准正态分布表， 计算事件概率如下   200 1 200 1 0.95 240 0.95 72 240 1.65 72 i i i TS i P X L L P X L F L L                               即 240 1.65 72 254.0007L     取 254L  结论：至少需要 254个车位，才能使每辆汽车都具有一个车位的概率至少为 0.95。 【习题 5.13】某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望 （未知），方差 2 400  。为 了估计 ，随机地取 n只这种器件，在时刻 0t  投入测试（测试是相互独立的）直到失效， 测得其寿命为 1 2, , nX X X ，以样本均值 1 1 n i i X X n    作为  的估计。为了使  1 0.95P X    ，问 n至少为多少？ 16 〖解〗 设第 i个电子器件的寿命（h）为 iX ，则对 n电子器件的寿命观测可视作独立同分布样 本 1 2, , , nX X X 。因此，问题可表为求满足下式的 n  1 0.95P X    已知，诸 iX 的期望和方差为  iE X    400iVar X  则，计算样本均值 X 的期望和方差如下   1 1 1n i i E X E X n n n                2 1 1 1 400 400 n i i Var X Var X n n n n            引用独立同分布样本均值中心极限定理，推理如下  1 0.95 20 2020 20 20 2 1 0.95 20 1 0.95 0.975 20 2 P X X n n P P Z n n n n n                                                              查 P382标准正态分布表，推得 2 2 0.975 20 1.96 20 20 1.96 1536.64 1537 n n n n                 结论：为了使  1 0.95P X    ，则 n至少为 1537。 17 【习题 5.14】某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难血液病的治愈率为 0.8， 医院任意抽查 100个服用此药品的病人，若其中多于 75人治愈，就接收此断言，否则就拒 绝此断言。（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是 0.8，问接收这一断言的概率是多少？ （2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是 0.7，问接收这一断言的概率是多少？ 〖解（1）〗 设第 i个病人的治愈状态为 iX ， 1iX  表病人治愈， 0iX  表病人没有治愈，则对 100 个病人治愈状态的观测可视作 0-1总体抽样独立同分布样本 1 2 100, , ,X X X 。因此，问题（1） 可表为求下面的事件概率 100 1 75i i P X         计算诸 iX 的期望和方差如下   0.8iE X p     1 0.8 0.2 0.16iVar X p p     计算样本和的期望和方差如下   100 1 100 100 0.8 80i i i E X E X              100 1 100 100 0.16 16i i i Var X Var X            样本容量 100足够大，引用独立同分布样本和中心极限定理，查 P382标准正态分布表， 计算事件概率如下       100 1 75 1 75 75 80 1 1 1.25 16 1.25 0.8944 i TS i P X F                        结论：若实际上此药品对这种疾病的治愈率是 0.8，则接收这一断言的概率是 0.8944。 〖解（2）〗 设第 i个病人的治愈状态为 iX ， 1iX  表病人治愈， 0iX  表病人没有治愈，则对 100 个病人治愈状态的观测可视作 0-1总体抽样独立同分布样本 1 2 100, , ,X X X 。因此，问题（2） 可表为求下面的事件概率 18 100 1 75i i P X         计算诸 iX 的期望和方差如下   0.7iE X p     1 0.7 0.3 0.21iVar X p p     计算样本和的期望和方差如下   100 1 100 100 0.7 70i i i E X E X              100 1 100 100 0.21 21i i i Var X Var X            样本容量 100足够大，引用独立同分布样本和中心极限定理，查 P382标准正态分布表， 计算事件概率如下     100 1 75 1 75 75 70 1 1 1.09 21 1 0.8621 0.1379 i TS i P X F                       结论：若实际上此药品对这种疾病的治愈率是 0.7，则接收这一断言的概率是 0.1379。