第一章 第八节极限存在准则两个重要极限

第八节 极限存在准则 两个重要极限 分布图示 ★ 夹逼准则 ★ 例 1 ★ 例 2 ★ 例 3 ★ 例 4 ★ 例 5 ★ 例 6 ★ 例 7 ★ 例 8 ★ 例 9 ★ 单调有界准则 ★ 例 10 ★ 例 11 ★ 1sinlim 0 = → x x x ★ 例 12 ★ 例 13 ★ 例 14 ★ 例 15 ★ 例 16 ★ 例 17 ★ 例 18 ★ e n x x =      + ∞→ 11lim ★ 例 19 ★ 例 20 ★ 例 21 ★ 例 22 ★ 例 23 ★ 例 24 ★ 例 25 ★ 柯西极限存在准则 ★ 连续复利 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 1- 8 内容要点 一、准则 I（夹逼准则）：如果数列 nn yx , 及 nz 满足下列条件: （1） ),3,2,1( 3=≤≤ nzxy nnn ; （2） ,lim,lim azay nnnn == ∞→∞→ 那末数列 nx 的极限存在, 且 .lim axnn = ∞→ 注：利用夹逼准则求极限，关键是构造出 ny 与 nz , 并且 ny 与 nz 的极限相同且容易求. 二、 准则 II（单调有界准则）：单调有界数列必有极限. 三、两个重要极限： 1. 1sinlim 0 = → x x x ； 2． e x x x =      + ∞→ 11lim . 四、连续复利 设初始本金为 p (元), 年利率为 r, 按复利付息, 若一年分 m次付息, 则第 n年末的本利 和为 mn n m rps       += 1 如果利息按连续复利计算, 即计算复利的次数 m 趋于无穷大时, t 年末的本利和可按如下公 式计算 rt mt m pe m rps =      += ∞→ 1lim 若要 t年末的本利和为 s, 则初始本金 rtsep −= . 例题选讲 夹逼准则的应用 例 1 (E01) 求 .1 2 1 1 1lim 222         + ++ + + +∞→ nnnnn 3 解  nn n +2 nnn + ++ + < 22 1 1 1 3 12 + < n n 又 ,1 11 1limlim 2 = + = + ∞→∞→ n nn n nn ,1 11 1lim 1 lim 2 2 = + = + ∞→∞→ n n n nn 由夹逼定理得 .11 2 1 1 1lim 222 =        + ++ + + +∞→ nnnnn 3 例 2 求 .)321(lim /1 nnn n ++ ∞→ 解 由 , 3 1 3 213)321( 1 1 nnn nnn              +     +=++ 易见对任意自然数 ,n 有 ,3 3 1 3 211 <     +     +< nn 故 .33 3 1 3 21313 1 1 1 n nnn n ⋅<              +     +<⋅ 而 ,313lim 1 =⋅ ∞→ n n ,333lim 1 =⋅ ∞→ n n 所以 nnn n 1 )321(lim ++ ∞→ nnn n 1 3 1 3 213lim              +     += ∞→ .3= 例 3 求 . )( 1 )1( 11lim 222       + ++ + + ∞→ nnnnn 3 解 设 . )( 1 )1( 11 222 nnnn xn + ++ + += 3 显然， 2222 )2( 1 )2( 1 )2( 1 4 1 nnnn n +++= + 3 nx< 2222 1111 n n nnn + =+++< 3 又 ,0 4 1lim 2 = + ∞→ n n n ,01lim 2 = + ∞→ n n n 由夹逼准则知 ,0lim = ∞→ nn x 即 .0 )( 1 )1( 11lim 222 =      + ++ + + ∞→ nnnnn 3 例 4 求 ).1(lim > ∞→ a a n nn 解 设 ,1 ha += ,0>h 则 nn ha )1( += nhhnnnh ++−++= 32 !2 )1(1 , !2 )1( 2hnn −> 于是 2)1( !2 hnn n a n n − < ),1( )1( 2 2 >− = n hn 从而 2)1( 20 hna n n − << 又因 ,0 )1( 2lim 2 =−∞→ hnn 故得 .0lim = ∞→ nn a n 例 5 求 ).0( ! lim > ∞→ a n an n 解 naa aaaa n an 33 33 )2])([1]([321! ++⋅⋅ ⋅ = naa aaaac 3 33 )3])([2]([ ++ ⋅ ⋅= , n ac ⋅ < 其中 , )1]([321 +⋅⋅ ⋅ = a aaac 3 3 因此 , ! 0 n ac n an ⋅ << 而 ,0lim =⋅ ∞→ n ac n 所以 .0 ! lim = ∞→ n an n 例 6 (E02) 求 .!lim nn n n ∞→ 解 由 nnnn n n n n 3 3 ⋅⋅ ⋅⋅ = 321! nnnn nnn 3 3 ⋅⋅ ⋅⋅⋅ < 21 ,22n = 易见 .2!0 2nn n n << 又 .0 2lim 2 =∞→ nn 所以 .0!lim 2 =∞→ n n n 例 7 求 .lim n n n ∞→ 解 令 ),0(1 ≥+= nnn rrn 则 n nrn )1( += n nnn rr nnnr ++−++= 32 !2 )1(1 ),1( !2 )1( 2 >−> nrnn n 因此 , .1 20 − <≤ n rn 由于 ,0 1 2lim = −∞→ nn 所以 .0lim = ∞→ nn r 故 .1lim1)1(limlim =+=+= ∞→∞→∞→ nnnn n n rrn 例 8 求证 ).0(1lim >= ∞→ aan n 解 (1) 当 1=a 时, ,11 =n 故 .11limlim == ∞→∞→ n n n a (2) 当 1>a 时,设 ,nn ax = 显然 .1>nx 当 an > 时, .nnn nax <= 由例 3 知 ,1lim = ∞→ n n n 所以 ).1(1lim >= ∞→ aan n (3) 当 10 << a 时，总存在一个正数 ),1( >bb 使得 ,/1 ba = 由(2)知 ,1lim = ∞→ n n b 所以 ,1 1 1 lim 11limlim ==== ∞→ ∞→∞→ n n n n n n bb a 综合上述证明可知 ).0(1lim >= ∞→ aan n 例 9 (E03) 求极限 .1lim 0     → x x x 解 当 0≠x 时, xxx 1111 ≤   <− ，因此，当 0>x 时, 111 ≤   <− x xx 由夹逼定理可得 ,11lim 0 =    +→ x x x 当 0>x 时，有 111 ≥   >− x xx 由夹逼定理可得 ,11lim 0 =    −→ x x x 从而 .11lim 0 =    → x x x 例 10 (E04) 设有数列 ,31 =x ,3 12 xx += ,3 ,3 1−+= nn xx ,3 求 .lim nn x∞→ 证 显然 ,1 nn xx >+ }{ nx∴ 是单调递增的.下面利用数学归纳法证明 }{ nx 有界. 因为 ,331 <=x 假定 ,3a 为常数, 数列 nx 由下列定义: ),2,1( 2 1 1 1 33=      += − − nx axx n nn 其中 0x 为大于零的常数, 求 .lim nn x∞→ 解 先证明数列 nx 的极限的存在性. 由       += − − 1 12 1 n nn x axx ⇒ ,2 1 2 1 axxx nnn += −− 即 axxx nnn −=− − 22 1)( ⇒ . 2 axn ≥ 由 ,0>a ,00 >x 知 ,0>nx 因此 ,axn ≥ 即 nx 有下界. 又 ,1 2 1 2 11 2 1 22 1 ≤+=        +=+ nnn n x a x a x x 故数列 nx 单调递减，由极限存在准则知 nn x∞→lim 存在. 不妨设 ,lim Axnn = ∞→ 对式子       += − − 1 12 1 n nn x axx 两边取极限得: . 2 1       += A aAA 解之得 ,aA = 即 .lim axnn = ∞→ 例 12 (E07) 求 x x x tanlim 0→ . 解 xx x x x xx cos 1sinlimtanlim 00 ⋅= →→ xx x xx cos 1limsinlim 00 →→ ⋅= .1= 例 13 求 . 5sin 3tanlim 0 x x x→ 解 xx x x x xx 3cos 1 5sin 3sinlim 5sin 3tanlim 00 ⋅= →→ x x x x x x 3cos 1 5 3 5 5sin 3 3sin lim 0 ⋅= → 1 5 3 1 1 ××= . 5 3 = 例 14 (E06) 求 .cos1lim 20 x x x − → 解 原式 2 2 0 2 sin2 lim x x x→ = 2 2 0 2 2 sin lim 2 1       = → x x x 2 0 2 2 sin lim 2 1           = → x x x 21 2 1 ⋅= . 2 1 = 例 15 下列运算过程是否正确： 1 sin limtanlim sin .tanlim sin tanlim === →→→→ x x x x x x x x x x xxxxxxxx . 解 这种运算是错误的.当 0→x 时, ,1tan → x x ,1 sin → x x 本题 ,π→x 所以不能应用上述 方法进行计算.正确的作法如下： 令 ,tx =−π 则 ;tx +=π 当 π→x 时, ,0→t 于是 )sin( )tan(lim sin tanlim 0 t t x x tx + + = →→ π π π t t t sin tanlim 0 − = → .1 sin tanlim 0 −= − ⋅= → t t t t t 例 16 计算 .3coscoslim 20 x xx x − → 解 20 3coscoslim x xx x − → 20 sin2sin2lim x xx x→ = x x x x x sin 2 2sin4lim 0 ⋅= → .4= 例 17 计算 . cossin1 lim 2 0 xxx x x −+→ 解 xxx x x cossin1 lim 2 0 −+→ xxx xxxx x cossin1 )cossin1(lim 2 0 −+ ++ = → 22 0 sincos1 )cossin1lim x xx x x xxx x + − ++ = → 1 2 1 11 + + = . 3 4 = 例 18 (E07) 求 30 sin2tan2lim x xx x +−+ → . 解 30 sin2tan2lim x xx x +−+ → )sin2tan2( sintanlim 30 xxx xx x +++ − = → )sin2tan2( 1 cos 1sin lim 30 xxx x x x +++       −⋅ = → xxx x x cos 1cos1sinlim 20 ⋅ − ⋅= → )sin2tan2( 1 xx +++ ⋅ 22 11 2 11 ⋅⋅⋅= . 24 1 = 例 19 (E8) 求 311lim + ∞→       + n n n . 解 311lim + ∞→       + n n n               +⋅      += ∞→ 31111lim nn n n 31111lim       +⋅      += ∞→ nn n n 1⋅= e .e= 例 20 (E9) 求 .)21(lim /1 0 x x x− → 解 x x x 1 0 )21(lim − → 2 2 1 0 )21(lim − − →         −= x x x .2−= e 例 21 (E10) 求 .11lim x x x       − ∞→ 解 x x x       − ∞→ 11lim x x x       − += ∞→ 11lim 1 11lim −− ∞→               − += x x x xx x −∞→       − + = 11 1lim .1 e = 例 22 (E11) 求 . 2 3lim 2x x x x       + + ∞→ 解 x x x x 2 2 3lim       + + ∞→ 2 2 11lim               + += ∞→ x x x 222 2 11lim               + += −+ ∞→ x x x 422 2 11 2 11lim −+ ∞→       + +               + += xx x x .2e= 例 23 求 . 1 lim 2 2 x x x x       −∞→ 解 x x x x       −∞→ 1 lim 2 2 x x x       − += ∞→ 1 11lim 2 11 2 22 1 11lim −− ∞→               − += x x x x x 0e= .1= 例 24 计算 .)(lim /1 0 xx x xe + → 解 xx x xe 1 0 )(lim + → x x xx x e xe 11 0 1)(lim       += → xx e x e xx e xe 1 0 1lim               += → ee ⋅= .2e= 例 25 求极限 .)(tanlim 2tan 4/ x x x π→ 解 令 ,1tan −= xt 则 ,1tan += tx 当 4 π →x 时, ,0→t 又 x xx 2tan1 tan22tan − = 2 )1(1 )1(2 +− + = t t 2 )1(21 + + ⋅−= t t t 故 2 )1(21 0 2tan 4 )1(lim)(tanlim + + ⋅− →→ += t t t t x x tx π 2 )1(21 0 ])1[(lim + +− → += t t t t t 2 )1(21 0 lim 0])1(lim[ + +− → →+= t t t t tt .1−= e 连续复利 例 26 (E14) 一投资者欲用 1000元投资 5年, 设年利率为 6%,试分别按单利、复利、每 年按 4次复利和连续复利付息方式计算, 到第 5年末, 该投资者应得的本利和 A. 解 按单利计算 1300506.010001000 =××+=S (元). 按复利计算 23.133833823.11000)06.01(1000 5 =×=+×=S (元). 按每年计算复利 4次计算 86.134634686.11000015.11000 4 06.011000 20 54 =×=×=      += × S (元). 按连续复利计算 86.134910001000 3.0506.0 =⋅=⋅= ⋅ eeS (元). 注: 连续复利的计算公式在其它许多问题中也常有应用如细胞分裂、树木增长等问题. 课堂练习 1. 求极限 . sin sintanlim 20 xx xx x − → 2. 求极限 .)93(lim 1 xxx x + +∞→