计算方法计算题

河北理工大学数值计算方法试题库-计算题 1. 用高斯－赛德尔迭代法求解线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 4 10 12 5 8 10 34 x x x x x x x x x x x x x x x x − − − = −⎧⎪− + − − =⎪⎨− − + − =⎪⎪− − − + =⎩ ，已知 ，求( )0 0,0,0,0 TX = 1X . 计算过程中保留 4 位有效数字，要求写出迭代格式。 2．已知数值表 x 0.5 0.6 0.7 ( )f x 0.47943 0.56464 0.64422 试用二次插值计算 的近似值，计算过程保留五位小数。（要写出二次插值 多项式） ( )0.57681f 3. 用牛顿法求方程 在3 3 1 0x x− − = [ ]1,2 之间的近似根，计算保留 6 位有效数字。要求 1 0.00005n nx x −− ≤ ，取 1 和 2 作为初始值。 4．用欧拉法解初值问题 在( ) 2 0 2 y x y y ′⎧ = − +⎪⎨ =⎪⎩ [ ]0,1.5 上的数值解，取 0.5h = ，计算过程保留 5 位小数。（要求写出迭代公式） 5. 用已知函数表 求抛物插值多项式，并求 1( ) 2 f 的近似值。 6.用紧凑格式解方程组 1 2 3 4 1 0 1 1 4 1 3 0 1 4 1 x x x −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎤⎥ 7. 已知方程组 1 2 3 2 1 0 1 1 3 1 1 0 1 2 1 x x x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎥⎥⎦ ) (1) 证明高斯－塞德尔法收敛； (2)写出高斯－塞德尔法迭代公式； (3) 取初始值 ，求出( ) (0 0,0,0 TX = ( )1X 8. 用 复化辛卜公式计算积分4n = 1 0 1 1 dx x+∫ ，并估计误差。 河北理工大学数值计算方法试题库-计算题 9.用一般迭代法求方程[ ]0,0.5 内的根。 (1) 对方程同解变形，并检验压缩条件； (2) 写出一般迭代法迭代公式； (3) 选初始值 ，求出0 0.5x = 1x 。 10. 已知函数 2 1 1 y x = + 的一组数据： 求分段线性插值函数，并计算 ( )1.5f 的近似值. 11. 求矩阵 的谱半径. 1 0 1 0 1 0 2 0 2 A −⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ 12. 已知方程组 1 2 3 2 1 0 1 1 3 1 1 0 1 2 1 x x x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎤⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎥⎥⎦ ) （1） 证明高斯－塞德尔法收敛； （2） 写出高斯－塞德尔法迭代公式； （3） 取初始值 ，求出( ) (0 0,0,0 TX = ( )1X 。 13. 时，用复化梯形与复化辛卜生公式分别计算积分4n = 1 20 4 x dx x +∫ . 14. 用改进平方根法求解方程组 1 2 3 3 3 5 10 3 5 9 16 5 9 17 30 x x x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎤⎥⎥⎥⎦ 15. 写出梯形公式、辛卜生公式，并分别用来计算积分 1 20 1 1 dx x+∫ . 16. ⑴. 若用二分法求 f (x) = 0 在 [1,2]之间近似根，精确到 0.01，求二分的次数 n+1. ⑵. 设f (x) = x3+x2-11, 若用牛顿法求解，请指出初值应取 1 还是 2,为什么？ 17. 已知方程组 1 2 3 8 3 2 20 4 11 1 33 6 3 12 36 x x x −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ) （1） 证明雅可比法收敛 （2） 写出雅可比迭代公式 （3） 取初值 ，求出( ) (0 0,0,0 TX = ( )1X 18 已知微分方程 ⎩⎨ ⎧ = +=′ 1)0(y yxy 河北理工大学数值计算方法试题库-计算题 取步长 h=0.1, 试用欧拉法求出满足已知微分方程和初始条件的函数 y 的前三个值。 19. 若 f (x) dx = A∫−11 0 f (-1) +A1 f (0) +A2 f (1) 有二次代数精度，求A0，A1,，A2 。 20. 给定数据表 x -2 -1 0 1 2 y -0.1 0.1 0.4 0.9 1.6 试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据. 21. 依据如下函数值表 x 0 1 2 4 )(xf 1 9 23 3 建立不超过三次的拉格朗日插值多项式. 22. 用矩阵的直接三角分解法解方程组 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ 7 17 3 5 3010 3421 1010 0201 4 3 2 1 x x x x 23.设 4 9,1, 4 1,)( 2102 3 ==== xxxxxf （ 1 ） 试 求 在 上 的 三 次 Hermite 插 值 多 项 式 使 满 足)(xH ,2,1),()( == jxfxH jj , 以升幂形式给出。 （2）写出余项 的表达式 )()( 11 xfxH ′=′ )(xH )()()( xHxfxR −= 24.已知 的 满足 ，试问如何利用 构造一个收敛的简 单迭代函数 ，使 0，1…收敛？ 25. 试确定常数 A，B，C 和 ，使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为 Gauss 型的？ 26. 推导常微分方程的初值问题 的数值解公式： ⎩⎨ ⎧ = =′ 00 )( ),( yxy yxfy 河北理工大学数值计算方法试题库-计算题 27. 设 ，请用秦九韶算法计算 。 343)( 23 −+−= xxxxf )2(f 28. 请用二分法计算方程 的近似根，并进行到第 3 步为止。 0343)( 23 =−+−= xxxxf 29. 用紧凑格式的三角分解法求解线性方程组: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =++ =++ =++ 12 3 02 321 321 321 xxx xxx xxx 30. 用余弦函数 xcos 在 22410 ,,0 ππ === xxx 三个节点处的值写出二次 Lagrange 插值多 项式函数, 并近似计算 6cos π 及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。 31. 某学生在大学一二年级各个学期的平均成绩如下： 学期（ x） 1 2 3 4 平均成绩（ y ） 63.2 70.5 76.6 78.4 试求出一条最佳的直线以反映其平均成绩的上升趋势，并估计出他在大学三四年级各个学期 的平均成绩，将表格填完整。 32. 已知函数表 x 211− )(xf 403− （1）给出 Lagrange 二次插值多项式，并求 的近似值； )0(f （2）给出均差意义下的 Newton 二次插值多项式，并求 的近似值； )0(f （3）给出离散数据的线性拟合多项式，并求 的近似值。 )0(f 33.用矩阵的直接三角分解法解方程组 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 7 17 3 5 3010 3421 1010 0201 4 3 2 1 x x x x 34. 设 ，给出用牛顿迭代法计算0>a a 1 的公式，并根据初值 61725.02/2345.10 ==x 来 计算 2345.1 1 的值。（要求迭代 3 次） 35. 用欧拉预—校公式求解初值问题 10 0)0( 1 21' 2 ≤≤ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = + −= x y x xyy 要求取步长 。 5.0=h 河北理工大学数值计算方法试题库-计算题 36. 利用已知的离散数据点（2，4），（3，9），（5，25），分别 1. 给出 Lagrange 二次插值多项式，并求 的近似值； （3 分） )5.3(f 2. 给出均差意义下的 Newton 二次插值多项式，并求 的近似值； （5 分） )5.3(f 3. 给出离散数据的线性拟合多项式和均方误差，并求 的近似值。 （7 分） )5.3(f 37. 对于求积公式 )]()0([)]()0([ 2 )( 2 0 hffhhffhxdxf h ′−′++≈∫ α （1）求待定参数α 使得该求积公式代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精 度；（10 分） （2）用所求公式计算 的值。 （5 分） ∫ h xdx0 2 38. 用矩阵的直接三角分解法解方程组 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 47 22 23 9 4018156 18962 15694 6242 4 3 2 1 x x x x 39. 对非线性方程 （小数点后保留 5 位）。 0)2()1()( 3 =−−= xxxf 1. 取 ，用牛顿迭代法计算 ； （3 分） 9.00 =x 21, xx 2. 取 ，用计算重根的牛顿迭代格式计算 ； （3 分） 9.00 =x 21, xx 3. 取 ， ，用弦截法计算 ； （4 分） 9.00 =x 1.11 =x 32 , xx 40. 用欧拉预—校公式求解初值问题 10 0)0( 1 21' 2 ≤≤ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = + −= x y x xyy 要求取步长 ，计算结果保留 6 位小数。 5.0=h 河北理工大学数值计算方法试题库-计算题 计算题答案： 1.迭代格式为： ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 3 4 1 1 2 1 3 4 1 1 1 3 1 2 4 1 1 1 1 4 1 2 3 0.2 0.2 0.2 0.8 0.1 0.1 0.1 1.2 0.2 0.2 0.2 1.6 0.1 0.1 0.1 3.4 k k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + + + + + + ⎧ = + + −⎪ = + + +⎪⎨ = + + +⎪⎪ = + + +⎩ 0,1, 2,k = ··· 因为 ，即( )0 0,0,0,0 TX = ( )01 0x = ， ( )02 0x = ， ( )03 0x = ， ( )04 0x = ，代入迭代格式求 ( )11X ， ( )01 0.2 0 0.2 0 0.2 0 0.8 0.8x = × + × + × − = − 将 ，( )11 0.8x = − ( )02 0x = ， ( )03 0x = ， ( )04 0x = 代入迭代式，求 ( )12x ， ( )12x ＝ ( )0.1 0.8 0.1 0 0.1 0 1.2 1.12× − + × + × + = 将 ( )11 0.8x = − ， ( )12 1.12x = ， ( )03 0x = ， ( )04 0x = ，求 ( )13x ， ( )13x ＝ ( )0.2 0.8 0.2 1.12 0.2 0 1.6 1.664× − + × + × + = 将 ( )11 0.8x = − ， ( )12 1.12x = ， ( )13 1.664x = ， ( )04 0x = ，求 ( )14x ， ( )14x ＝ ( )0.1 0.8 0.1 1.12 0.1 1.1664 3.4 3.549× − + × + × + = 于是，得到 (1 0.8,1.12,1.664,3.549 TX = − ) 2． 过 ( )， ，0.5,0.447943 ( )0.6,0.56464 ( )0.7,0.64422 作二次插值多项式 ( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )2 0.6 0.7 0.5 0.7 0.47943 0.56464 0.5 0.6 0.5 0.7 0.6 0.5 0.6 0.7 x x x x P x − − − −= × +− − − − × ( )( ) ( )( ) 0.5 0.6 0.64422 0.7 0.5 0.7 0.6 x x− −+ − − × 所以 ( ) ( ) ( )( )( )( )2 0.57681 0.6 0.57681 0.7 0.57681 0.57681 0.47943 0.5 0.6 0.5 0.7 f P − −≈ = ×− − ( )( ) ( )( ) 0.57681 0.5 0.57681 0.7 0.56464 0.6 0.5 0.6 0.7 − −+ ×− − 河北理工大学数值计算方法试题库-计算题 ( )( ) ( )( ) 0.57681 0.5 0.57681 0.6 0.64422 0.7 0.5 0.7 0.6 − −+ ×− − 0.00286 0.00946 0.001780.47943 0.56464 0.64422 0.2 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 = × − × − ×× × × 0.06856 0.53428 0.05738 0.54546= + − = 3. ( ) 3 3 1f x x x= − − ， ，( )1 3f = − < 0 ( )2 1 0f = > ( ) 23 3f x x′ = − ， ( ) 12f x x′′ = ， ( )2 24f 0= > ，故取 2x = 作初始值 迭代公式为 ( ) ( ) 3 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 3 3 n n n n n n n n f x x xx x x f x x − − − − − − − − −= − = −′ − ( ) 3 1 2 1 2 1( ) 3 1 n n x x − − + −或 1, 2,n， = ··· 0 2x = ， ( ) 3 1 2 2 3 1 1.88889 3 2 1 x × += =× − ， ( ) 3 2 2 2 1.88889 1 1.87945 3 1.88889 1 x × += =× − 2 1 0.00944x x− = ( ) 3 3 2 2 1.87945 1 1.87939 3 1.87945 1 x × += =× − ， 3 2 0.00006x x− = ( ) 3 2 2 2 1.87939 1 1.87939 3 1.87939 1 x × += =× − ， 4 3 0.00001x x− = 方程的根 1.87939x∗ ≈ 4. 欧拉法的公式为 ( ) ( ) ( )21 1 1 1 1 1−,k k k k k k k ky x y y hf x y y h x y− − − − −≈ = + = + − + 1, 2,3, 4， k = 已知 ， 0 0x = 0 2y = ( ) ( )210.5 2 0.5 0 2 4y y≈ = + × − + = ( ) ( )221 4 0.5 0.5 4 11.75y y≈ = + × − + = ( ) ( )231.5 11.75 0.5 1 11.75 80.28125y y≈ = + × − + = 5. 作差商表： ix iy 一阶差商 二阶差商 0 1 1 2 1 2 5 3 1 河北理工大学数值计算方法试题库-计算题 ( ) ( ) ( )( ) 22 1 0 0 1N x x x x x= + − + − − = +1 2 1 1 5 1.25 2 2 4 f N⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 6. 解：（1）完成分解 A LR= ， ，11 4r = 12 1r = − 13 0r = ， 21 1 4 l = ， ，31 0l = 22 1 154 4 4r = − = ， 23 1r = − ， 32 4 15 l = ， 33 5615r = 所以矩阵的三角分解 A LR= 1 4 1 1 11 1 4 4 4 50 1 15 15 A ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ −⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢= − −⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢−⎣ ⎦ ⎣ 0 5 6 ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ （2）解方程组 ，LY b= 1 1y = ， 2 134y = ， 3 28 15 y = （3）解方程组 RX Y= ， 3 12x = ， 2 1x = ， 1 1 2 x = 所以 1 1( ,1, ) 2 2 TX = 7. （1）因为 A 严格对角占优矩阵，所以高斯－塞德尔迭代法收敛。 （2）高斯－塞德尔法迭代公式为： ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1 1 2 1 1 2 1 1 1 3 2 1 1 2 1 1 3 1 1 2 m m m m m m x x x x x x + + + + + ⎧ = −⎪⎪⎪ = − − −⎨⎪⎪ = −⎪⎩ 3 mx ) （3）取初值 ，计算得( ) (0 0,0,0 TX = ( )11 12x = ， ( )12 1 2 x = − ， ( )13 34x = 8. 用 复化辛卜公式计算得： 4n = 1 0 1 1 4 4 4 11 2 4 0.69325 1 12 6 5 7 2 dx x ⎡ ⎤⎛ ⎞≈ + × + × + + ≈⎜ ⎟⎢ ⎥+ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫ 因为 ( ) 1 1 f x x = + ， ( ) ( ) ( ) 4 5 24 1 f x x = + ， ( ) ( )44 max 24M f x= = 所以， ( )4 424 12880 2 1920R f ≤ =× 河北理工大学数值计算方法试题库-计算题 9. （1）在[ ]0,0.5 上将方程同解变形为 ( ) ( )31 14x x xϕ= + = 而 ( ) 23 3max max 1 4 16 x xρ ϕ′= = = < （2）一般迭代法公式为： ( )31 1 1 , 0,1,4n nx x n+ = + = ··· （3）由 ，计算得 0 0.5x = 1 0.28125x ≈ 10. 解 [ ]0,1x∈ ， ( ) 1 01 0.5 1 0.5 0 1 1 0 x xL x x− −= × + × = −− − % [ ]1,2x∈ ， ( ) 2 10.5 0.2 0.3 0.8 1 2 2 1 x xL x x− −= × + × = − +− − % 所以分段线性插值函数为 ( ) [ ][ ] 1 0.5 0,1 0.8 0.3 1,2 x x L x x x ⎧ − ∈⎪= ⎨ − ∈⎪⎩ % ( )1.5 0.8 0.3 1.5 0.35L = − × =% 11. 解 ( )( 1 0 1 0 1 0 1 2 0 2 I A λ λ λ λ λ λ − − = − = − − − )3λ 矩阵 A 的特征值为 1 2 30, 1, 3λ λ λ= = = 所以谱半径 ( ) { }max 0,1,3 3Aρ = = 12. （1）因为 A 严格对角占优矩阵，所以高斯－塞德尔迭代法收敛。 （2）高斯－塞德尔法迭代公式为： ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1 1 2 1 1 2 1 1 1 3 2 1 1 2 1 1 3 1 1 2 m m m m m m x x x x x x + + + + + ⎧ = −⎪⎪⎪ = − − −⎨⎪⎪ = −⎪⎩ 3 mx ) （3）取初值 ，计算得( ) (0 0,0,0 TX = ( )11 12x = ， ( )12 1 2 x = − ， ( )13 34x = 13. 解 1 0.25 4 4 b ah −= = = 用复化梯形公式计算： 1 20 4 x dx x +∫ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0.25 0 2 0.25 0.5 0.75 12 f f f f f⎡ ⎤≈ + + + +⎣ ⎦ ＝0.110 892 27 河北理工大学数值计算方法试题库-计算题 用复化辛卜生公式计算得： 1 20 4 x dx x +∫ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0.25 0 4 0.25 0.75 2 0.5 13 f f f f f⎡ ⎤≈ + + + +⎣ ⎦ ＝0.111 581 85 14. 解 由公式计算得 11 11 12 12 13 133, 3, 5;r a r a r a= = = = = = 312121 31 11 11 3 51, 3 3 aal l r r = = = = = 22 22 21 21 23 23 21 135 1 3 2, 9 1 5 4r a l r r a l r= − = − × = = − = − × = ( )2332 33 33 31 13 32 23 22 4 22, 2 3 rl r a l r l r = = = = − + =r 再得 1 2 3 410, 6, 3 y y y= = = 得 (1, 1, 2 TX = − ) 15.. 解 梯形公式 ( ) ( ) ( ) 2 b a b af x dx f a f b−≈ +⎡ ⎤⎣ ⎦∫ 应用梯形公式得 1 20 1 1 1 1[ ] 1 2 1 0 1 1 dx 0.75 x ≈ + =+ + +∫ 辛卜生公式为 ( ) ( ) ( )[ 4 ( ) 6 2 b a b a a b ]f x dx f a f f b− +≈ + +∫ 应用辛卜生公式得 ( ) ( )1 20 1 1 0 1 0[ 0 4 ( ) 11 6 2dx f f f ]x − +≈ + ++∫ 2 1 1 1[1 4 ]16 1 11 ( ) 2 = + × + ++ 47 60 = 16.. ⑴.二分的次数： n+1> = [ln (b – a) – ln є]/ ln 2 = [ln 1 – ln 10 - 2]/ ln 2 = 2 ln 10 / ln 2 = 6.6445 取 7. ⑵.若用牛顿法求解， 要求：f (x0) f ΄΄(x0) > 0, f ΄(x) = 3x2 + 2x f ΄΄(x) = 6x + 2, 可见：f ΄΄(1) > 0, f ΄΄(2) > 0. 而 f (2) > 0, 所以取 . 20 =x 河北理工大学数值计算方法试题库-计算题 17.解 （1）因为 A 是严格对角占优矩阵，由定理知雅可比迭代法收敛。 （2）雅可比迭代公式 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 1 2 3 1 2 1 3 1 3 1 2 3 2 20 8 4 33 6 3 36 12 m m m m m m m m m x x x x x x x x x + + + ⎧ = − +⎪⎪ = − + +⎨⎪⎪ = − − +⎩ 11 ) ) （3）初值 ，则 ( ) (0 0,0,0 TX = ( ) (1 2.5,3,3 TX = 18. 自变量的值x0=0 x1=0.1 x2=0.2 x3=0.3 相应的y值 y0=1， y1=y0+hf(x0,y0)=1+0.1×(0+1)=1.1 y2=y1+hf(x1,y1)=1.1+0.1×(0.2+1.1)=1.22 y3=1.22+0.1×(0.2+1.22)=1.362。 19.. 分别令 f (x) = 1, f (x) = x, f (x) = x2。得： ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =+− =++ 3/2 0 2 20 20 210 AA AA AAA 所以A0 = 1/3, A1 = 4/3，A2 = 1/3。 20. 解 332210)( xcxcxccxy +++= ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −− −− = 8421 1111 0001 1111 8421 A ， ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = 1300340 034010 340100 01005 AAT TT yA )4.14,7,2.4,9.2(= 法方程 yAAcA TT = 的解为 ， ，4086.00 =c 39167.01 =c 0857.02 =c ， 00833.03 =c 得到三次多项式 32 00833.00857.039167.04086.0)( xxxxy +++= 误差平方和为 000194.03 =σ 21. 解 插值基函数 河北理工大学数值计算方法试题库-计算题 1 4 7 8 7 8 1 )40)(20)(10( )4)(2)(1()( 230 +−+−=−−− −−−= xxxxxxxl xxxxxxxl 3 82 3 1 )41)(21)(01( )4)(2)(0()( 231 +−=−−− −−−= xxxxxxxl −+−=−−− −−−= 232 4 5 4 1 )42)(12)(02( )4)(1)(0()( xxxxxxxl 12 1 8 1 24 1 )24)(14)(04( )2)(1)(0()( 233 +−=−−− −−−= 拉格朗日插值多项式为 )(3)(23)(9)()()()( 3210 3 0 3 xlxlxlxlxlxfxL i i i +++== ∑ = = 1 2 1 4 45 4 11 23 +−+− xxx 22. 解 设 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ 44 3433 242322 434241 3231 21 0201 1 1 1 1 3010 3421 1010 0201 u uu uuu lll ll l 由矩阵乘法可求出 和 iju ijl ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ 1010 121 10 1 1 1 1 1 434241 3231 21 lll ll l ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ 2 12 101 02010201 44 3433 242322 u uu uuu 解下三角方程组 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ 7 17 3 5 1010 121 10 1 4 3 2 1 y y y y 河北理工大学数值计算方法试题库-计算题 有 ， ， ，51 =y 32 =y 63 =y 44 =y 。再解上三角方程组 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ 4 6 3 5 2 12 101 0201 4 3 2 1 x x x x 得原方程组的解为 ， ，11 =x 12 =x 23 =x ， 24 =x 。 23.（1） 25 1 450 233 450 263 225 14)( 23 −++−= xxxxH （2） ) 4 9()1)( 4 1( 16 9 !4 1)( 22 5 −−−⋅= − xxxxR ξ ， ) 4 9, 4 1()( ∈= xξξ 24. 由 ，可得 因 故 故 ，k=0,1,…收敛。 25. 5 12, 9 16, 9 10 ±==== aBCA ， 该数值求积公式具有 5 次代数精确度， 它是 Gauss 型的. 26. 数值积分方法构造该数值解公式：对方程 在区间 上积分，得 ，记步长为 h,对积分 用 Simpson 求积公式得 所以得数值解公式： 河北理工大学数值计算方法试题库-计算题 27. 解: 按秦九韶算法列表计算如下: 1 -3 4 -3 2 -2 4 2=x 1 -1 2 1=f(2) 所以 . 1)2( =f 28. 解: 由于 f(0)=-3<0, f(2)=1>0, 在[0,2]上连续, 故由闭区间上连 续函数的零点存在定理, [0,2]为方程的隔离区间; 343)( 23 −+−= xxxxf 取[0,2]的中点 c=1, 此时有 f(c)=-1<0, 而 f(2)=1>0, 故此时方程的隔离区间缩小为[1,2]; 再取[1,2]的中点 c=1.5, 此时有 f(c)= -0.375<0, 而 f(2)=1>0, 故此时方程的隔离区间缩小为 [1.5,2]; 再取[1.5,2]的中点 c=1.525, 此时有 f(c)= -0.330 <0, 而 f(2)=1>0, 故此时方程的隔离区间缩小 为[1.525,2]; 所以计算进行到第 3 步为止时,方程的近似根为 x=c=1.525. 29. 解: 先用紧凑格式的三角分解法计算分解矩阵: ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2/112/12/1 32/12/12/1 0112 1211 3111 0112 )( bA 从而有 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 100 2/12/10 112 12/12/1 012/1 001 1211 3111 0112 A 因此原方程化为等价的三角方程组为: ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2/1 3 0 100 2/12/10 112 3 2 1 x x x 回代求解得: 3,2/11,2/1 123 −=== xxx 30. 解: 二次 Lagrange 插值多项式函数为: 2 2)2)(08(1)2)(4( 0 ))(0( ))(0( ))(0( ))(0( 1 )0)(0( ))(( ))(( ))(( ))(( ))(( ))(( ))(()( 22 422 4 1 244 2 24 24 2 1202 10 1 2101 20 0 2010 21 2 ⋅−−−⋅−−= ⋅−− −−+−− −−+⋅−− −−= −− −−+−− −−+−− −−= π π π ππ πππ π πππ π ππ ππ xxxx xx y xxxx y xxxx xxxxy xxxx xxxxy xxxx xxxxxL 6cos π 的近似值为: 河北理工大学数值计算方法试题库-计算题 9 242 9 24 9 2) 6 (2 +=+=πL 其绝对误差与相对误差分别为: 0176.0 6 cos/,01528.0) 6 ( 6 cos 2 ≈=≈−= πππ eeLe r 误差余项估计值为 02392.0 6 ) 26 )( 46 )(0 6 ( !3 cos) 6 ( 4 3 2 ≈≤−−−−= ππππππξπR 可以看出, 误差余项略大于绝对误差. 31. 解: 用最小二乘法求解. 设所求的直线为 , 则整体误差为: bxay += ∑ = −+= 4 1 2)(),( i ii ybxabaE (5 分) 由 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =∂ ∂ =∂ ∂ 0 0 b E a E 得关于 的线性方程组为: ,即 ba, ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+ =+ ∑∑∑ ∑∑ === == i i i i i i i i i i i yxxbxa yxba 4 1 4 1 2 4 1 4 1 4 1 4 ⎩⎨ ⎧ =+ =+ 6.7473010 7.289104 ba ba , 解得 , 75.60=a 67.4=b 所以所求的直线为 . xy 67.475.60 += 将 分别代入8,7,6,5=x xy 67.475.60 += 后可估计得出他在大学三四年级各个学期 的平均成绩分别为: 。填表。 11.98,44.93,77.88,1.84=y 32. 解：先作插值多项式 ，用)(xP )()( xfxP ≈ ，求 )0(P (1) )( ))(( ))(( )( ))(( ))(( )( ))(( ))(( )()()()( 2 1202 10 1 2101 20 0 2010 21 2211002 xf xxxx xxxxxf xxxx xxxxxf xxxx xxxx yxlyxlyxlxL −− −−+−− −−+−− −−= ++= 4. )12)(12( )1)(1(0. )21)(11( )2)(1()3( )21)(11( )2)(1( −+ −++−+ −++−−−−− −−= xxxxxx 河北理工大学数值计算方法试题库-计算题 3 7 2 3 6 5 )1)(1( 3 4)2)(1( 2 1 2 −+= −++−−−= xx xxxx 3 7)1( 3 42. 2 1)0()0( 2 −=−+−=≈ Lf (2) 用 二次插值 Newton 3 7 6 5 2 33)0()0( 3 7 2 3 6 5)1)(1( 6 5)1( 2 33 ))(](,,[)](,[)()( 6 5 21 4 2 3 ],[],[],,[ 4 1 4 21 40)()(],[ 2 3 2 3 11 03)()(],[ 2 2 1021001002 20 2110 210 21 21 21 10 10 10 −=−+−=≈ −+=−++++−= −−+−+= =−− − =− −= =− −=− −=− −= =− −=−− −−=− −= Pf xxxxx xxxxxxxfxxxxfxfxP xx xxfxxfxxxf xx xfxfxxf xx xfxfxxf (3) 设拟合多项式为 xaaxP 101 )( += 则由法方程ATAX＝ATY可得： ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡− ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − 4 0 3 211 111 21 11 11 211 111 1 0 a a 整理可得： 解之得：⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 11 1 62 23 1 0 a a 14 31, 7 8 10 =−= aa 则 xxP 14 31 7 8)(1 +−= ， 7 8)0()0( 1 −≈ Pf 33. 解：设 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 44 3433 242322 14131211 434241 3231 21 1 1 1 1 3010 3421 1010 0201 u uu uuu uuuu lll ll l 由矩阵乘法可逐行、逐列分别求出 ： jiji lu , 河北理工大学数值计算方法试题库-计算题 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 1 1 1 434241 3231 21 lll ll l = ， ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1010 121 10 1 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2 12 101 0201 44 3433 242322 14131211 u uu uuu uuuu 解三角方程 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 7 17 3 5 1010 121 10 1 4 3 2 1 y y y y 得： 4,6,3,5 4321 ==== yyyy 再解三角方程组 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 4 6 3 5 2 12 101 0201 4 3 2 1 x x x x 得 1,1,2,2 1234 ==== xxxx 所以方程组的解为 。 TX )2,2,1,1(= 34. 解 设方程 2 1)(,01)( x xfaxxf −=′=−= 牛顿迭代： )2()( )( 1 kk k k kk axxxf xfxx −=′−=+ 取 61725.02/2345.10 ==x ，下表是迭代 3 次的计算结果： 0.61725 0.76416 0.80745 0.81004 35. 解： 欧拉预校公式为： ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ++= += +++ + )],(),([ 2