2020届高中数学《简单几何体的表面积与体积》导学案 北师大版必修2

PAGE第13课时　简单几何体的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面积与体积1.通过对柱、锥、台、球的研究,了解球的表面积和体积的计算公式(不 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 记忆公式),掌握柱、锥、台、球的表面积与体积的求法,能运用公式进行计算并解决有关的实际问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 .2.让学生经历几何体的侧面展开过程,感知几何体的形状,通过对照比较柱体、锥体、台体,掌握三者之间的表面积与体积的转化.3.感受几何体体积和表面积公式的推导过程,提高空间思维能力和空间想象能力,增强探索问题和解决问题的能力.2020年6月11号,神州十号发射成功并在太空与天宫一号对接成功,女航天员王亚平在天宫仓内上了一堂生动的太空课,其中水球演示实验非常神奇,即水在太空中的形状是球状的形式.其原理就是在失重的状态下,影响水的形状的主要因素就是水的表面张力,而表面张力的作用就是压缩水的表面积,而在相同体积下的几何体中,球的表面积最小,这就是为什么在太空中水的形状是球状的原因.问题1:直棱柱、棱锥、棱台表面积展开图是什么,该如何计算?直棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算,可以先计算其侧面积,然后加上它们的底面积.(1)从侧面展开图可知:直棱柱侧面积S侧=　ch　,底面周长为c,侧棱为h. (2)棱锥侧面积S侧=　　　　,底面周长为c,斜高为h'. (3)棱台侧面积S侧=　　　　,上、下底面的周长分别为c'、c,斜高为h'. 问题2:圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么?侧面积及表面积公式呢?圆柱:侧面展开图是　矩形　,长是圆柱底面圆的　周长　,宽是圆柱的高(母线),S圆柱侧=2πrl,S圆柱表=2πr(r+l),其中r为圆柱底面半径,l为母线长. 圆锥:侧面展开图为一个　扇形　,扇形的半径是圆锥的　母线　,弧长等于圆锥底面周长,侧面展开图的扇形圆心角为θ=×360°,S圆锥侧=πrl,S圆锥表=πr(r+l),其中r为圆锥底面半径,l为母线长. 圆台:侧面展开图是　扇环　,内弧长等于圆台　上底周长　,外弧长等于圆台　下底周长　,侧面展开图的扇环圆心角为θ=×360°,S圆台侧=π(r+r')l,S圆台表=π(r2+rl+r'l+r'2). 问题3:写出柱体、锥体、台体、球的体积计算公式.(1)V柱=　Sh　,其中S和h分别是柱体的底面积和高. 特别地,V圆柱=　πr2h　,其中r和h分别是圆柱的底面半径和高. (2)V锥=　　　　,其中S和h分别是锥体的底面积和高. 特别地,V圆锥=　　　　,其中r和h分别是圆锥的底面半径和高. (3)V台=(S++S')h,其中S、S'和h分别是台体的上底面面积、下底面面积和高.特别地,V圆台=π(r2+rr'+r'2)h,其中r、r'和h分别是圆台的上底面半径、下底面半径和高.(4)V球=πR3.问题4:柱、锥、台的体积计算公式有何关系?从锥、台、柱的形状可以看出,当台体上底缩为一点时,台成为　锥　;当台体上底放大为与下底相同时,台成为　柱　.因此只要分别令　S'=S　和　S'=0　便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式.从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式. 柱体、锥体、台体的体积公式之间存在的关系.(S'、S分别为上、下底面面积,h为柱、锥、台的高)1.圆锥的底面半径为1,高为,则圆锥的表面积为(　　).A.π　　　　B.2π　　　　C.3π　　　　D.4π2.长方体的高为1,底面积为2,垂直于底的对角面的面积是,则长方体的侧面积等于(　　).A.2B.4C.6D.33.半径为R的半圆卷成一个圆锥,这个圆锥的体积为　　　　. 4.一个底面直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升高9厘米,求此球的表面积.棱柱、棱锥、棱台的体积与表面积已知棱长为5,底面为正方形,各侧面均为正三角形的四棱锥,求它的表面积与体积.球的表面积与体积已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半且AC=BC=6,AB=4,求球的表面积与球的体积.简单组合体的表面积和体积如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2,AD=2.求四边形ABCD绕AB所在直线旋转一周所成几何体的表面积和体积.如图所示,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,用截面截下一个三棱锥C-A'DD',求三棱锥C-A'DD'的体积与剩余部分的体积之比.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且AB=6,BC=2,求棱锥O-ABCD的体积.牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体,尺寸如图所示,请你帮忙算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少m2的篷布,这个蒙古包占多大的体积?(精确到0.01)1.一个球的大圆面积为9π,则球的表面积和体积分别为(　　).A.9π,27π　　B.9π,36π　　C.36π,36π　　D.36π,48π2.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为,则这个圆锥的表面积是(　　).A.3πB.3πC.6πD.9π3.长方体的三个面的面积分别为2、6和9,则长方体的体积为　　　　. 4.如图是一个圆台的侧面展开图,根据图中数据求这个圆台的表面积和体积.(2020年·江苏卷)如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V2=　　　　. 　　考题变式(我来改编):第13课时　简单几何体的表面积与体积知识体系梳理问题1:(1)ch　(2)ch'　(3)(c+c')h'问题2:矩形　周长　扇形　母线　扇环　上底周长下底周长问题3:(1)Sh　πr2h(2)Sh　πr2h问题4:锥　柱　S'=S　S'=0基础学习交流1.C　∵l==2,=πr(r+l)=π(1+2)=3π.2.C　设长方体的长、宽、高分别为a、b、c,则c=1,ab=2,·c=,∴a=2,b=1,故S侧=2(ac+bc)=6.3.R3　设圆锥的底面半径为r,则有πR=2πr,所以r=,所以圆锥高为R,所以V圆锥=π()2·R=R3.4.解:水面上升的体积就等于球的体积,设球的半径为R,圆柱底面半径为r.则V=πr2h=πR3,R==12.所以球的表面积S=4πR2=4π×144=576π(平方厘米).重点难点探究探究一:【解析】如图,四棱锥S-ABCD的各棱长均为5,各侧面都是全等的正三角形.设E为AB的中点,则SE⊥AB.SE===,∴S侧=4S△SAB=4××AB×SE=2×5×=25,∴S表=S侧+S底=25+25.易知四棱锥的高SO===.∴V=S底h=×25×=.【小结】解决棱柱、棱锥、棱台的体积与表面积问题的关键是找到高,这需要在常见的几何体中构造特殊图形:一般地,在棱柱中构造矩形、在棱锥中构造直角三角形、在棱台中构造直角梯形,将立体问题转化为平面问题解决.　　探究二:【解析】设球心为O,球半径为R,作OO1⊥平面ABC于O1,如图.由于OA=OB=OC=R,则O1是△ABC的外心,设M是AB的中点,由于AC=BC,则O1∈CM,连接O1A.设O1M=x,易知O1M⊥AB,则O1A=,O1C=CM-O1M=-x.又O1A=O1C,∴=-x,解得x=,则O1A=O1B=O1C=.在Rt△OO1A中,O1O=,∠OO1A=90°,OA=R,由勾股定理得()2+()2=R2,解得R=.故S球=4πR2=54π,V球=πR3=27π.【小结】球的截面问题主要考查球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离构成直角三角形的计算问题,注意大圆半径与小圆半径之间的转化.　　探究三:【解析】过点C作CE⊥AB交AB于点E,将四边形ABCD绕AB所在直线为轴旋转一周得到的几何体是由直角梯形ADCE旋转出的圆台与△CBE旋转出的圆锥拼接而成的组合体.由图计算可得CE=4,AE=2,CD=2,BE=3,BC=5,∴S表=π·AD2+π(CE+AD)·CD+π·CE·BC=24π+12π;∴V=π(CE2+CE·AD+AD2)AE+πCE2·BE=π.【小结】首先根据旋转的图像,确定形成的旋转体由哪些简单几何体组成,再套用公式求表面积和体积.思维拓展应用应用一:已知长方体可以看成直四棱柱ADD'A'-BCC'B',设它的底面ADD'A'的面积为S,高为h,则它的体积为V=Sh.而三棱锥C-A'DD'的底面面积为S,高是h,因此,三棱锥C-A'DD'的体积VC-A'DD'=×Sh=Sh.剩余部分的体积是Sh-Sh=Sh.所以三棱锥C-A'DD'的体积与剩余部分的体积之比为Sh∶Sh=1∶5.　　应用二:如图,连接AC,BD交于点O1,则O1为矩形ABCD所在小圆的圆心,连接OO1,则OO1⊥面ABCD,易求得O1C=2,又OC=4,∴OO1==2,∴棱锥体积V=×6×2×2=8.　　应用三:上部分圆锥体的母线长为,其侧面积为S1=π××,下部分圆柱体的侧面积为S2=π×5×1.8.S=S1+S2=π××+π×5×1.8≈50.03(m2).所以,要搭建这样的一个蒙古包至少需要约50.03m2的篷布.V=π×()2×1.8+×π×()2×1.2=35.325+7.85≈43.18(m3).这个蒙古包占的体积约为43.18(m3).基础智能检测1.C　由球的大圆面积为9π,得到球的半径R=3,∴S表=4πR2=36π,V=πR3=36π.2.A　设底面圆半径为r,则(2r)2=,∴r=1,母线l=2,∴S底=πr2=π,S侧=πrl=2π,∴S表=3π.故选A.3.6　设长方体的三边长为a,b,c,则则V=abc==6.4.解:设圆台的上底半径为r,下底半径为R.由图知母线l=8,2πr=×16,2πR=×24,所以r=2,R=3,S侧=π××8=40π,所以S表=π×22+π×32+40π=53π,h===3,所以V=(4π++9π)×3=19π.全新视角拓展　由题意知,三棱锥F-ADE与三棱柱A1B1C-ABC的高之比为,底面积之比为,故V1∶V2==.思维导图构建　　S圆柱侧=2πrl　S圆锥侧=πrl　S圆台侧=π(r+r')l　V圆柱=πr2h　V圆锥=πr2h　V圆台=πh(r2+rr'+r'2)　S球=4πR2