null§2.1 变量分离方程与变量变换
§2.1 变量分离方程与变量变换
Separable First-Order ODE & Transform null本节要求/Requirements/1 熟练掌握变量分离方程，齐次方程的求解方法。 2 熟练掌握运用变量变换将方程化为熟知类型求解的思想方法，求更广泛类型方程的解。 变量分离方程 与变量变换 内容提要/Main Contents/null1 变量分离方程/Variables Separated ODE/
分别是 x 与 y 的已知连续函数。其中 特点中的 f ( x, y )可
表
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示成一般的一阶方程 例null解法步骤 /Solving Steps/如果(1) 分离变量 (2) 两边积分 …………(2.2)用G(y)，F(x)分别表示的某一个原函数(3) 方程（2.1）的通解为G(y)=F(x)+Cnull因为将 y 视为 x 的函数，对G(y)=F(x)+C 两端关于x求导，所以，（2.2）为方程(2.1)的通解。如果存在直接验证得: ，使得 为方程(2.1)的常数解。 分离变量方程（2.1）的解为null解 1 分离变量 2 两边积分3 例1 求解方程（c 为任意正常数）或者求通解null解时(1) 分离变量通解中，因而方程还有解 y = 0（3） 求解方程 并求出满足初始条件：当 x = 0时 y = 1的特解。例2 （c为任意常数）为方程的通解。注意 y = 0 时，也是方程的解，而其并不包含在(2) 两边积分null求特解 将初始条件 y (0)=1代入通解中，得c = -1则满足所给条件的特解为:所以，原方程的解为null
(1) 齐次方程/Homogeneous Equation/
(2) 可化为齐次方程的方程类型
/Classifications of Homogenous/2 可化为变量分离方程的类型
/Classifications of Variable Separated Equation/null(1) 齐次方程/Homogeneous Equation/
形式： g (u)为 u 的连续函数一般方程的右端函数 f (x,y) 是x，y 的零次齐次式。即 或 f (x,y) 可表示成以特点：null解法 (1) 作变量变换 即 y=ux（2）对两边关于 x 求导（3）将上式代入原方程，得整理 ……….(2.3)变量可分离方程（4）求解方程(2.3),若其解为:(5) 原方程的通解为: null………………………………..(2.4)( 为任意常数)例3 求解方程解令null( 为任意常数) 令 得: Sinu = cx （c 为非零任意数）另当 tanu = 0 时，u = 0即 u = 0 也是方程(2.4)的解故 （2.4）的通解为 sinu= cx（c 为任意常数）代回原来的变量，原方程的通解为:null可化为齐次方程的类型
/Classifications of Homogenous/形式：……………(2.5) 均为常数，且不同时为零. 1.若 即设 则原方程可化为:null令（变量分离方程，即可求解） 2.若则
……………..(2.6)有唯一的解:令null则方程 (2.5) 化为：为齐次方程, 即可求解。null(1) 解代数方程组
…………….(2.6)其解为:(2) 作变换 将方程(2.5)化为齐次方程
(3) 再作变换将其化为变量分离方程特别地，当时，方程(2.5)的求解方法(4) 求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原 方程的解。null类似的方法，可求解更广泛的方程 P.26例4 求解方程
…..(2.17)解 解方程组
得 x = 1, y = 2 令
……….(2.18)null再令
……………………….(2.18)即(2.18)可化为:
两边积分，得:因此
记并代回原变量，得:null并代回原变量，得:此外，容易验证:
即也是方程(2.18)的解。 其中 c 为任意常数。 因此原方程(2.17)的通解为:null变量分离方程 与变量变换 本节小结/Conclusion/
通解的形式及其中任意常数的意义。注意/Note/：null课堂练习/Exercise/思考以下方程的求解方法作业: P.31. 第 2, 3, 5, 8, 11, 13, 16, 18(1), 21
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
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