25积分变换性质链用理论体系研究

第29卷第1期 2009年1月 长安大学学报(自然科学版) JournalofChang’anUniversity(NaturalScienceEdition) V01．29NO．1 Jan．2009 文章编号：167卜8879(2009)O卜0107—04 0 积分变换性质链用理论体系研究 刘小云 (长安大学理学院，陕西西安710064) 摘要：针对将积分变换性质进行类比替换应用及积分变换性质的链用缺乏理论指导的问题，定义 了像原改变，给出了按像原改变选择积分变换性质、按改变逆序应用积分变换性质的链用 规则 编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf ，从 而免去了以往对函数关系的嵌套分解，证明了积分变换性质中的非类比替换性，建立了积分变换性 质链用的理论体系。 关键词：积分变换性质；非类比替换性；像原改变；链用规则 中图分类号：029 文献标志码：A Theoreticalsystemofusingintegraltransformationnatureinseries LIUXiao—yun (SchoolofScience，Chang’anUniversity，Xi’an710064，Shaanxi，China) Abstract：Forthequestionofusingtheintegraltransformationnature(ITN)inthemethodof analogreplacementandlackingtheoreticaldirectioninapplyingITNinseries，aprimitiveimage changeisdefined，aruletouseITNinseriesisgiven，inwhichtheITNisselectedbythe primitiveimagechangeandis usedinreverseorder．Bythismethod，thepastcomplex decompositionoftheimageoriginalfunctioniscancelled．Non—analogreplacementcharacterin ITNisproved，andatheoreticalsystemtousingITNinseriesisestablished．10refs． Keywords：integraltransformationnature；non—analogreplacementcharacter；primitiveimage change：aruleapplyinginseries 引 日 积分变换常指Fourier(傅里叶)变换和Laplace (拉普拉斯)变换[1七]，它作为一种重要的运算工具及 频域 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 的桥梁，广泛地应用于电学、力学等各技术 领域[3‘8]。在这个过程中，人们常常需要求解时域函 数厂(f)的像函数，定义之外的另一种方法就是利用 积分变换的性质。对于积分变换性质，就Fourier 变换的微积特性问题，李裕信进行了研究[91；对于 求芗If(at—t。)](n、t。为常数，t为自变量，Gt≠o)， 为了对积分变换性质作出选择，李建林[1们将f(at— t。)分解成譬(￡)=f(t～to)，f(at—t。)=g(at)。这 样的分解是比较麻烦的，尤其对复杂函数，如 r以一6 te_‘sin(2t～7)dt，分解起来更繁琐，也容易出 J0 错。为了免去对嵌套的函数关系的分解，有时人们 “照着样子套公式”，结果出现了一些问题。比如：已 知莎[厂(￡)]=F(oo)，求箩If(at—t。)](日≠0，为常 数)，会出现如下几种做法：做法①乡[，(口￡一￡。)]墼e--im％． 收稿日期：2008—02—10 基金项目：国家自然科学基金项目(10472126) 作者简介：刘小云(1958一)，女，陕西渭南人．副教授，E—mail：lxyunl@126．COITI。 万方数据 108 长安大学学报(自然科学版) 2009正 珊(酬型丝e碱南Ⅲ弛))]k一 一。南F(詈) (1) 做法②罗[／’(甜一￡。)]』些些T_L箩[厂(f～ 圳旷詈丝丝南[e飞哆(厂㈤乩；詈一 e一岛_LFf竺＼ (2’ a ＼n， 做法③歹[厂(m—t。)]一别／(aft— Z l t 鲁))]丝击[罗(∞一 詈))k丝击[e-聃．tow∽乩f e～磅击F(詈) (3) 做法①、②、③的结果不同，孰对孰错?笔者发 现，出现这个问题的主要原因是：一是误认为积分变 换性质可对中间变量类比使用；二是到目前为止，还 没有一套完整的、方法简单的理论体系来指导积分 变换性质的链用。为此，笔者对其进行了探讨，发现 了积分变换性质的共同特点，定义了像原改变，将其 分成两大类，证明了积分变换性质中的非类比替换 性，指出了识别像原改变的要点，以对像原改变的确 认，将对积分变换性质做出选择；对像原改变的确认 是简单的，这样就免去了对函数嵌套关系的层层分 解，还给出了按像原改变逆序链用积分变换性质的 顺序规律，将对积分变换性质的选择方法与链用顺 序规律相结合，得出了积分变换性质的链用规则；建 立了链用积分变换性质的理论体系，所提供方法具 有快速准确的特点。 1 积分变换性质链用理论体系 鉴于Laplace变换性质与Fourier变换性质是类 似的，存在的问题也是共同的，故以Fourier变换为 例进行分析，所得结论对Laplace变换也同样适用。 1．1 积分变换性质的共同特点 为了揭示积分变换性质中像原函数的变化实 质，先定义像原改变。在积分变换性质公式的两侧， 都会出现像原函数，若一侧出现的像原函数为 ，(￡)，则另一侧出现的像原函数必是厂(￡)经一次改 变G后所得函数G{厂(f)}，称G为将，(￡)变成 G{厂(￡))的一次像原改变，简称为改变。如像位移性 质：莎[e-o‘厂(￡)]一[扩[厂(￡)]]。．：一叶，((cJ。为常数)。 左侧出现的像原函数为e‰‘，(￡)，右侧出现的像原 函数为，(￡)，则出‘f(f)为，(￡)经一次像原改变 G(乘以因子出‘)而得来。尽管积分变换有很多性 质，但它们都反映的是经过改变函数的像与未经改 变函数的像间的关系，这就是积分变换性质的共同 特性。 1．2 积分变换性质中像原改变的分类及应用 将积分变换性质中的，(f)或fi(f)(i一1，2)看 作未经改变的函数，则各性质中的像原改变按改变 位置可分为两类。为了便于由像原改变找到对应的 性质，在分类命名时均采用与性质对应的名称。 1．2．1 第一类 对自变量的像原改变及应用要点 这类改变只对厂(f)的自变量t进行。 (1)平移改变f(t一6)，其中b为常数。 (2)相似改变f(at)。 应用要点：①这类改变是对最终自变量t进行 的，只有平移、相似两个性质具有，所以，遇到这两种 改变选用积分变换性质时，不是选用平移性质就是 选用相似性质；②如果t是某变量U的函数，即为中 间变量时，则平移、相似性质不成立。反例如下所述。 反例1 对应于平移性质莎Ef(t—t。)]一 e-∥。莎Ef(t)-]，若以at(以、t。为常数，口≠o)代替t，则 莎[厂(以一t。)]≠e一曲。伊[f(at)](4) 而 罗[f(at—t。)]一e一詈莎[f(at)](5) r+c“ 事实上，多-[f(at—t。)]一If(at一如)e一如dt， J一∞ 令U—t一旦 口 歹[f(at～f。)]一If(au)e一灿(什鲁)du— e一鲁r )e-Juu—e一业罗atf(au du [f(at)]e脚i ) 一e一灿言罗 )] 所以，当t为中间变量时，Fourier变换的平移性 质不能类比套用。 反例2 对应于相似性质莎If(at)]一T．：≮· I“l [莎(／(￡))]。。：詈，若以t—t。代替￡(口、t。为常数，乜≠ 0)，则 莎[厂(口(￡一to))]≠T_打a[莎(，(￡一￡。))]|i。．：。(6)。 ul=i 而 罗[厂(n(￡一％))]=T_鲁e一“一吉¨。[歹(，(￡一 l“l ￡。))]k詈 (7) 事实上，莎[厂(口(￡一t。))]一r尢Ⅱ(。 J∞ 万方数据 第1期 刘小云：积分变换性质链用理论体系研究 109 to)e1“dt，令“一日(t—to)+to 矿[厂(n(￡一t。))]=T_鲁lf(u—t。)· l“lJ～。。 e咱(孕+r。)d“：T_Le-im(1一÷)t。． n 广+∞ 厂(“一to)ela‰du— J—t” 南e咄¨音¨。[Sr(f(t—to))]卜詈 所以，当t为中间变量时，Fourier变换的相似性 质不能类比套用。结合反例l的结论可知，相似性质 和位移性质都不能对中间变量类比使用。这里将这 个结论称为相似性质和位移性质不具有类比替换 性。由此判定，就引言中所举例子，它的做法①、③ 是错误的，因为它们分别将位移性质、相似性质错误 地套给了中间变量at和t—to_，违背了这两个性质 “ 不具有类比替换性的特点。 1．2．2 第二类 对厂(f)或fi(￡)(i一1，2)整体的 像原改变及应用要点 (1)线性改变∥。(￡)+Ⅳz(￡)，其中a、卢为系数。 (2)像位移改变ej棚f(f)。 (3)微分改变，7(z)。 (4)像微分改变(一j￡)厂(￡)。 (5)像卷积改变f。(f)f2(￡)。 (6)卷积改变(f1*，2)(￡)。 f't (7)积分改变I，(f)dt。 J一∞ (8)对称改变F(±f)(F(叫)一罗[级￡)]。 应用要点：①这些改变都是对函数的整体进行 的，应用积分变换性质时，根据像原改变的名称得出 相应的性质名称，用之即可；②用证明式(5)、式(7) 的方法还可以证明，Fourier变换的微分性质、积分 性质也不具有类比替换性。这与微积分学中的微分 形式不变性是不同的。所以，在应用积分变换性质 时，最好应用已被证明了的基础性质(如各参考书给 出的积分变换性质)，若不是基础性质，就需加以证 明，确认正确后才能采用。 1．3 积分变换性质的快速选择方法 设H(￡)是厂(f)经有限次像原改变而得到的函 数，从，(￡)到H(f)的像原改变依次为G，，G：，⋯， G。。则利用莎If(t)]求莎[H(f)]时，对每一次改变 Gi(i=1，2，⋯。聍)都要套用一次积分变换性质公 式。套用选择积分变换性质的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 是：先辨认G。(i =1，2，⋯，咒)属于上述中哪～类的哪一种改变，由 改变名称得出性质名称，再验证一下性质的应用要 点，若满足，则可套用。 1．4 链用积分变换性质的顺序规律 设H(￡)是厂(￡)经有限次像原改变而得到的函 数，从，(￡)到H(￡)的像原改变依次为G。，G：，⋯， G。，则利用莎If(t)]求罗[H(￡)]时，从最后一次改 变G。开始，按照G。，G，。，G，2，⋯，G。的次序，即按 改变逆序依次应用积分变换性质。这就是链用积分 变换性质的顺序规律。将这个顺序规律与积分变换 性质选用标准结合起来称为积分变换性质的链用规 则。积分变换性质的链用规则，使积分变换性质的链 用在顺序上有规律可循，在性质的选择上有简便方 法可依，它免去了以往对函数关系的嵌套分解，建立 了依据可靠、应用简便的积分变换性质链用理论体 系，大大降低了积分变换性质链用时的计算难度。 下面介绍应用积分变换性质链用规则的实用做 法。从理论上讲，要将罗[H(￡)]用罗Ef(t)] 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，首 先需找出从厂(￡)到H(f)的所有改变G，，G：，⋯， G。。但实际应用时，并不需一次将G，，G：，⋯，G。全 找出来。实用的做法是先找出H(￡)中的最后一个 像原改变G。，对G。按积分变换性质选择方法选择 套用积分变换性质；套用一次后进行整理，再观察次 后的像原改变G，r。，对G，r。重复对G。的做法，然后 对G，r：，G，。，⋯，G。依次选择套用积分变换性质公 式，一直到罗If(t)]处，这样就用罗I-f(t)]表示出 了罗I-H(￡)]。当莎If(￡)]已知或易求得时，就求得 了H(￡)的Fourier变换。 2 链用积分变换性质求复杂函数像 函数的举例 在链用积分变换性质时，前面归纳的积分变换 性质链用规则具有规律性强、选择性质简单、可免去 函数嵌套关系的分解特点，这里举例说明。 I'ae-b 例 设，(￡)一Ite-32sin(2t一7)dt(口>0， Jo a为常数)，求厂(￡)的Laplace变换够If(t)]。 解 根据积分变换性质链用规则的实用做法， 从，(f)的最后一次像原改变开始逆序应用Laplace 变换性质，用G，表示从最后一次改变计起的倒数第 i次改变，用IV(independentvariable)表示对自变 量的像原改变。 厂(q) 1 g[厂(￡)]一翌1r～￡f。zsin(2￡一7)d￡l= 卜 万方数据 110 长安大学学报(自然科学版) 2009益 丢陋bte-3'sin(2t-7)dtL一 {ire一扭-2J．：te一舢sinczt——，，dz]，一 引导凇te，-3'sin(2t--7)]L一 --丑21)。e-，由，,Qdi[g[鸭e-，轧sin(2￡一7’]]}J，：}5 寻{搴新"ng∥儿1m：音一 {搴圳2P卜(G7，7小儿一n一 丢{搴圳C％S[si％n(t，刀kLm：}一 罢{}新((e吨3南)旷虬rm：÷一罢{搴新e竿(南)]h一 监。一丢c升㈨![!!±!堡!!±兰垡：]±!堡!!±!垒2一 S L(s+3a)2+4a‘J。 堡!!!￡±!!坐±!!!堡2。一等Hos s[s2+6as+13a2 J2 式中：G，、G：、⋯、G，均为像原改变，其各自代表的改 变是：G。为相似改变(IV)；G。为位移改变(Ⅳ)；G。 为积分改变；G4为像微分改变；G5为像位移改变；G6 为相似改变(1V)；G，为位移改变(Ⅳ)；Gs为基础函 数；S为复自变量。 3 结 语 (1)证明了积分变换性质中的非类tt替换性。 (2)揭示了积分变换性质的共同特性，定义了像 原改变，给出T积分变换性质链用规则，建立了依据 可靠、应用简便的积分变换性质链用理论体系。 参考文献： RefeFences： [1]东南大学数学系．积分变换[M]．4版．北京：高等教 [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] 育出版社，2003． 戴嘉尊．数学物理方程[M]．南京：东南大学出版 社，2003． 刘小云，田润利．移动载荷下粘弹性道路瞬态响应解 析解[J]． 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 数学学报，2007，24(6)：1049—1055． I，IUXiao—Yun，TIANRun～li．Dynamicresponsesolu— tionintransientstateofviscous—elasticroadunder movingload[J]．ChineseJournalofEngineering Mathematics，2007，24(6)：1049—1055． 孙璐，邓学钧．匀速运动的线源荷载激励下无限长 梁动力分析[JJ．应用数学和力学，1998，19(4)： 341-347． SUNLu。DENGXue-jun．Dynamicalanalysistoinfi— nitebeamunderamovinglineloadwithuniformmo— tion[J]．AppliedMathematicsandMechanics，1998， 19(4)：341-347． 尹刚，冯贤贵．用拉氏变换计算连续梁的弯曲变形 [J]．重庆工学院学报，2004，18(4)：22—23． YlNGang，FENGXian—gui．Calculationofbending deflectionofcontinualbeamswithLaplace’Sintegral transformation[J]．JournalofChongqingInstituteof 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