冯西桥弹性力学-05本构关系

nullnull冯 西 桥 清华大学工程力学系 2006.11.02第五章 本构关系 Constitutive Relation 目 录目 录Chapter 5 引言 弹性的定义 广义胡克定律 应变能和应变余能 应变能的正定性弹性的定义弹性的定义Difference between solids and fluids. Mechanics of Solids, The New Encyclopedia of Britannica, 15th edition, Vol. 23, pp. 734-747, 2002. “A material is called solid rather than fluid if it can also support a substantial shearing force over the time scale of some natural process or technological application of interest.” J. R. Rice3Chapter 2.1引 言引 言Chapter 5 应力张量 s 应力平衡方程： 位移矢量 u 应变张量 e 几何方程： （应变协调方程： ）引 言引 言本构关系 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 的变形与所受应力之间的关系； 是材料本身所固有的性质； 本构关系的研究是固体力学最重要的课题之一。 Chapter 5目 录目 录Chapter 5 引言 弹性的定义 广义胡克定律 应变能和应变余能 应变能的正定性弹性的定义弹性的定义Chapter 5.1 由实验可知当加载到A点后卸载，加载与卸载路径并不完全重合，亦即应力与应变之间不是单值对应的关系。OBACO称为滞后回线。其所包含的面积称为滞后面积。 弹性的定义弹性的定义Chapter 5.1 对大多数材料来讲，当应力加载幅值较小时，滞后回线非常窄小，可以认为加载与卸载是重合的。因此应力与应变间可看作是单值对应关系。弹性的定义弹性的定义弹性本构关系： 其中4Chapter 2.1弹性的定义弹性的定义弹性本构关系： 应力与应变率无关，也不依赖于变形历史； 没有迟滞效应。 小变形弹性本构关系 均匀材料的小变形弹性本构关系 均匀材料的小变形线弹性本构关系 6Chapter 2.1弹性的定义弹性的定义Chapter 5.1 各向同性弹性体 假设物体是均匀、连续、各向同性的，应力和应变间的关系只决定于物体的物理性质，应力和应变之间的关系与坐标的位置和方向无关。 下面所研究的物体仅限于完全弹性体，即当物体除去外力后变形完全消失而恢复原状，而且应力与应变间成单值的线性关系。弹性的定义弹性的定义 两个假设 弹性体的响应仅依赖于当前的状态； 弹性体变形可以用一个状态张量关系 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示。7Chapter 2.1 超弹性（Green）弹性的定义弹性的定义线弹性: 广义胡克定律:8Chapter 2.1 超弹性（Green）弹性的定义弹性的定义, 14Chapter 2.2 晶体弹性的定义弹性的定义, 15Chapter 2.2silicon 晶体弹性的定义弹性的定义三斜 单斜 正交 三角 四方 六方 立方, 16Chapter 2.2 晶体弹性的定义弹性的定义17Chapter 2.2 长链高分子本构关系本构关系Chapter 5 弹性的定义 广义胡克定律 应变能和应变余能 应变能的正定性广义胡克定律广义胡克定律Chapter 5.1 单向应力状态时的胡克定律是 式中 E 称为弹性模量。对于一种材料在一定温度下，E 是常数。 杨氏模量广义胡克定律广义胡克定律Chapter 5.1 在单向拉伸时，在垂直于力作用线的方向发生收缩。在弹性极限内，横向相对缩短 和纵向相对伸长 成正比，因缩短与伸长的符号相反，有： 其中 是弹性常数，称为泊松比。 泊松比广义胡克定律广义胡克定律Chapter 5.1 先考虑在各正应力作用下沿 x 轴的相对伸长，它由三部分组成，即 线弹性叠加原理广义胡克定律广义胡克定律Chapter 5.1广义胡克定律广义胡克定律Chapter 5.1 将上述三个应变相加，即得在x、y、z同时作用下在x轴方向的应变 同理可得到在y轴和z轴方向的应变广义胡克定律广义胡克定律Chapter 5.1 根据实验可知，xy只引起 xy 坐标面内的剪应变xy，而不引起 xz、yz，于是可得广义胡克定律广义胡克定律Chapter 5.1于是，得到各向同性材料的应变-应力关系：广义胡克定律广义胡克定律Chapter 5.1杨氏模量，泊松比和剪切模量之间的关系为 将弹性本构关系写成指标形式为 广义胡克定律广义胡克定律Chapter 5.1广义胡克定律广义胡克定律Chapter 5.1如用应变第一不变量代替三个正应变之和，用应力第一不变量 表示三个正应力之和，则广义胡克定律广义胡克定律Chapter 5.1广义胡克定律广义胡克定律Chapter 5.1弹性关系的常规形式为 其中 G 和  称为拉梅常数。广义胡克定律广义胡克定律Chapter 5.1 将应力和应变张量分解成球量和偏量，得 由于偏量和球量相互独立 ，所以有广义胡克定律广义胡克定律Chapter 5.1 第一式说明弹性体的体积变化是由平均应力0引起的，相应的弹性常数K称为体积模量。(体积变化) 第二式说明弹性体的形状畸变 是由应力偏量 引起的，相应的弹性常数是剪切模量G的二倍。(形状变化) 广义胡克定律广义胡克定律常用的三套弹性常数Chapter 5.1广义胡克定律广义胡克定律Chapter 5.1 对于给定的工程材料，可以用单向拉伸试验测定E和 ；用薄壁筒扭转试验来测定G；用静水压试验来测定K。实验表明，在这三种加载情况下物体的变形总是和加载方向一致的(即外力总在物体变形上做正功)，所以广义胡克定律广义胡克定律Chapter 5.1故要上式成立必 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 ： ∵广义胡克定律广义胡克定律Chapter 5.1 若设＝0.5，则体积模量K＝，称为不可压缩材料，相应的剪切模量为 对实际工程材料的测定值，一般都在 的范围内。 本构关系本构关系Chapter 5.2 引言 弹性的定义 广义胡克定律 应变能和应变余能 应变能的正定性广义胡克定律广义胡克定律各向同性本构关系Chapter 5.2对于各向同性材料，正应力在对应方向上只引起正应变，剪应力在对应方向上只引起剪应变，它们是互不耦合的。广义胡克定律广义胡克定律各向异性本构关系Chapter 5.2对于各向异性材料的一般情况，任何一个应力分量都可能引起任何一个应变分量的变化。 广义胡克定律的一般形式是： C 是四阶刚度（弹性）张量。 D 是四阶柔度张量。广义胡克定律广义胡克定律确定线弹性材料常数的历史过程Chapter 5.1广义胡克定律广义胡克定律Chapter 5.1 由于应力应变都是二阶张量，且上式对任意的kl均成立，所以根据商判则Cijkl是一个四阶张量，称弹性张量，共有81个分量。 弹性张量的Voigt对称性 广义胡克定律广义胡克定律Chapter 5.1下节中将证明广义胡克定律广义胡克定律Chapter 5.1独立的弹性常数由81个降为36个 广义胡克定律广义胡克定律Chapter 5.1 其中 即c 的下角标1、2、3、4、5、6分别对应于C 的双指标11、22、33、12、23、31。应该指出，改写后的cmn (m, n＝1~6) 并不是张量。 由于存在Voigt对称性，所以对于最一般的各向异性材料，独立的弹性常数共有21个。广义胡克定律广义胡克定律Chapter 5.1 (1) 一般各向异性线弹性 ： 无弹性对称面 21 例： 三斜晶体广义胡克定律广义胡克定律Chapter 5.1 (2) 具有一个弹性对称面的各向异性线弹性体 ： 13 例：单斜晶体(正长石和云母等) e1,e2平面为弹性对称面广义胡克定律广义胡克定律Chapter 5.1(3) 正交各向异性线弹性体 ： 9 广义胡克定律广义胡克定律Chapter 5.1(4) 横观各向同性线弹性体 ： 5例：六方晶体广义胡克定律广义胡克定律Chapter 5.1(5) 各向同性线弹性体 ： 2金属（随机排列晶体）、短纤维增强复合材料 颗粒增强复合材料弹性的定义弹性的定义三斜（21） 单斜（13） 正交（9） 三角（9） 四方（7） 六方（5） 立方（3）, 16Chapter 2.2 晶体广义胡克定律广义胡克定律Chapter 5.1小结本构关系本构关系Chapter 5 引言 弹性的定义 广义胡克定律 应变能和应变余能 应变能的正定性 应变能和应变余能 应变能和应变余能Chapter 5.2 应变能 如果载荷施加得足够慢，物体的动能以及因弹性变形引起的热效应可以忽略不计，则外力所做的功将全部转化为变形位能而储存在弹性体内。 弹性变形是一个没有能量耗散的可逆过程，卸载后物体恢复到未变形前的初始状态，变形位能将全部释放出来。 应变能和应变余能 应变能和应变余能Chapter 5.2 应变能和应变余能 应变能和应变余能Chapter 5.2 非线性的应力应变关系 应变能和应变余能 应变能和应变余能Chapter 5.2 正应力 11 仅在正应变 11 上做功，其值为： 其他应力分量 ij 也都只与之对应的应变分量 ij 上做功。把这些功叠加起来，并除以微元体积dV，得 应变能和应变余能 应变能和应变余能Chapter 5.2 引进应变能密度函数W(ij)，使 即则 其中，W(0)和W(ij)分别为物体变形前和变形后的应变能密度。一般取变形前的初始状态为参考状态，令W(0)＝0。 格林(Green,G.) 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 应变能和应变余能 应变能和应变余能Chapter 5.2应变能密度等于单位体积的外力功。 应变能密度只与物体的初始状态和最终变形状态有关，而变形历史无关，即是一个状态函数。 应变能是弹性材料本构关系的另一种表达形式，当W(ij)的具体形式给定后，应力应变关系也惟一确定。 应变能和应变余能 应变能和应变余能Chapter 5.2广义格林公式 应变能和应变余能 应变能和应变余能Chapter 5.2 线弹性情况 在无应变自然状态(ij=0)附近把应变能函数W(ij)对应变分量展开成幂级数： 应变能和应变余能 应变能和应变余能Chapter 5.2 应变能和应变余能 应变能和应变余能 它是应变分量ij的二次齐次式，有： 由此证明弹性张量 C 对双指标 ij 和 kl 具有对称性。Chapter 5.2 应变能和应变余能 应变能和应变余能Chapter 5.2 对于各向同性材料，有 对于非线性弹性材料，还应考虑应变能幂级数表达式中的高阶项。 应变能和应变余能 应变能和应变余能Chapter 5.2 应变余能 仿照应变能的定义式，可以定义应变余能Wc 它具有如下类似性质： 应变能和应变余能 应变能和应变余能Chapter 5.2对上式分部积分得： 应变能和应变余能 应变能和应变余能Chapter 5.2 应变能和应变余能 应变能和应变余能Chapter 5.2对于线弹性材料，应变余能为 应变余能的值和应变能的值相等。 应变能和应变余能 应变能和应变余能Chapter 5.2 注 应变余能并不储存在弹性体内。例如：设在弹性悬臂梁的自由端突然加一块砝码。当梁通过其静态平衡位置时，砝码所做的功为全功，其中只有一半转化为储存在梁内的应变能；另一半应变余能则表现为动能，它导致梁－砝码系统在其平衡状态附近的自由振动，并通过与空气的摩擦逐渐转化为热能耗散于空气之中。本构关系本构关系Chapter 5 广义胡克定律 应变能和应变余能 应变能的正定性 应变能的正定性 应变能的正定性热力学第一定律 其中dT和dE分别是动能增量和内能增量，dA是外力对系统所做的功， dQ是系统从外界吸收的热量。 热力学第二定律 其中 为温度，S为熵。 Chapter 5.3 应变能的正定性 应变能的正定性Chapter 5.3代入 这是自然界中一切热力学过程都必须满足的方程。其中等号仅适用于可逆过程。 应变能的正定性 应变能的正定性Chapter 5.3 对于dS＝0的等熵(绝热)过程 对于等温过程，定义自由能表达式 其中F,E,S分别表示物体的总自由能、总内能和总熵。 由此解出E代入 第二定律表达式得： 由于等熵过程的内能E和等温过程中的自由能F都等于应变能U，所以上述两式可统一写为： 应变能的正定性 应变能的正定性Chapter 5.3 即外界对物体所做的功在可逆过程中(取等号)将全部转化为动能和应变能；在不可逆过程中(取不等号)则只有一部分转化为动能和应变能，剩余部分将通过热或声耗散掉。 应变能的正定性 应变能的正定性Chapter 5.3 把加载前物体所处的热力学平衡状态选为无应变自然状态。加载后的平衡状态称为变形状态和干扰状态。下面来证明只要自然状态是物体的稳定平衡状态，则应变能是正定的。 考虑由自然状态到变形状态的准静态加载过程，这时动能dT＝0。又因准静态过程是可逆的，所以式子简化为 应变能的正定性 应变能的正定性Chapter 5.3 由于从稳定的平衡状态到相邻的干扰状态外力必须做正功，即 dA>0，所以上式要求 令自然状态的应变能为零，则变形状态的应变能必正定。 应变能的正定性 应变能的正定性Chapter 5.3 应变能的正定性限制了弹性常数的取值范围。将各向同性弹性材料的比应变能公式改写为： 其中， 为体积变化， 为应变偏量，表示形状畸变。 应变能的正定性 应变能的正定性Chapter 5.3 右端第一项称为体积应变能，第二项称为畸变应变能或歪形能。由于体积变化和形状畸变是两种互相独立的变形形式，所以应变能的正定性要求上式右端的两项分别大于零，而二次式 和 恒正，所以要求相应系数 应变能的正定性 应变能的正定性Chapter 5.3 与前面推导的结论相同。 本构关系 本构关系Chapter 5谢 谢！