4．2．1直线与圆的位置关系
From:叶莺莺
一、教材
分析
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《直线与圆的位置关系》是圆与方程这一章的重要
内容
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，它是学生在初中平面几何中已学过直线与圆的三种位置关系，以及在前面几节学习了直线与圆的方程的基础上，从代数角度，运用坐标法进一步研究直线与圆的位置关系．同时为后续学习空间直角坐标系，实现空间形式与数量关系的结合作了铺垫．因此,本节课在本章中起着承前启后的作用．
本节内容共一个课时．教学过程中，让学生利用已有的知识，自主探索用坐标法去研究直线与圆的位置关系的方法，体验有关的数学思想，培养学生“用数学”以及合作学习的意识．
二、学情分析
1、有利因素
学生刚刚学习了直线的方程，圆的方程，点到直线的距离公式和待定系数法，对于本节课学习判断直线与圆的位置关系有很大的帮助。
2、不利因素
本节内容思维量较大，对思维的严谨性和数形结合、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度。
三、教学目标分析
知识与技能目标：
（1）理解直线与圆的位置的种类；
（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；
（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
过程与方法目标：
（1）经历理论与实际的联系，提升学生的数学建模能力，培养学生运用数形结合与方程的思想解决问题的意识；
（2）经历探索判断直线与圆的位置关系的过程，使学生参与数学实践；
情感态度价值观目标：
（1）让学生主动参与用坐标法探求直线与圆的位置关系的过程，使学生感受成功的喜悦；
（2）通过学生的自主探究、小组合作、讨论，培养学生的团队精神和主动学习的良好习惯．
四、教学重难点
重点：判断直线与圆位置关系的几何法和代数法。
难点：判断直线与圆位置关系的两种方法。
五、教学过程
1、直线与圆的位置关系判断方法的探究
同学们，这阵子我们南方频有台风来袭，最近的第11号强台风“凡亚比”将有可能成为今年以来登陆我国最强的台风。那我们先来看一个与台风有关的问题——“轮船是否受台风的影响问题”。（
ppt
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上显示问题）
意图：为了说明研究直线与圆的位置关系有一定的实际意义。
教师：同学们开动开动脑筋，想想如何解决这个问题？（由同学们讨论，一段时间后请一两位同学给出他们的解法。）
学生：给出解法，等面积法，或者是其他的方法。
（在ppt中显示解题过程。）
（如果用等面积法，说下这种方法其实就是点到直线的最短距离与半径作比较。）
教师：除了这几种方法，还有其他方法吗？那之前我们都在学习圆和直线的方程，能否应用这块的知识求解这个问题呢？若要用到直线与圆的方程，我们就需要建立直角坐标系，那如何建立呢？
学生：思考如何建立直角坐标系。
教师：怎样建立直角坐标系，才能使圆的方程达到最简呢？我们先来回顾下圆的
标准
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方程和一般方程是什么？点到直线的距离公式是什么？
（请一位学生回答）
学生：（回想之前学习的知识，回答问题。）圆的标准方程是
，一般方程是
，点到直线的距离公式是
。（ppt上显示）
教师：就圆的方程来说，标准方程明显要比一般方程来的简单，可以直接看出圆心和半径。那就这个题来说，我们如何建立直角坐标系，才能使圆的方程达到最简？（一般说来，尽量使图形中较多的点位于坐标轴上，较多的直线平行于坐标轴或通过原点。）
学生：以圆心为坐标原点，OA为所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立直角坐标系。
教师：为简便，我们取10km为一单位，那么直线方程和圆的方程分别是什么？（同时在ppt中显示出来）
学生：根据所建的直角坐标系，说出圆的方程，求解直线的方程。
圆方程为
，直线的方程为
。
教师：那这个问题就可以归结为圆与直线的位置关系，也就是有无公共点的问题。
现在圆的方程和直线的方程都已经知道了，那如何判断直线与圆的位置关系呢？（让学生自己思考，可分组讨论。）
学生：思考，可互相交流。
教师：（过段时间）请一位学生说出他的解法。
学生：（可能情况）根据点到直线的距离与圆的半径做比较。
圆心(0, 0)到直线x＋2y－8＝0的距离d为
∵ 半径 r＝3，∴ d ＞r．
所以，直线与圆相离，不改变航线，不受台风影响．
（ppt上显示出来）
教师：根据点到直线的距离d与圆的半径r做比较来判断直线与圆的位置关系，叫做几何法。对于一般的直线L：
和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝ r 2 的位置关系的几何判断方法的具体步骤如下：
（1）先利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离
（2）与半径比较作出判断：
若d＜r，则直线与圆相交；
若d＝r，则直线与圆相切；
若d＞r，则直线与圆相离。
（边说边在ppt中显示出来）
教师：已知直线和圆的方程，除了用几何法判断直线与圆的位置关系，还有其他的方法吗？（若没人回答，继续引导：直线与圆的位置关系，除了用dr法去判断，能否从直线与圆的公共点个数去判断？那公共点反映在直线与圆的方程上是什么？是不是两个方程的组成的方程组的实数解的个数？）
学生：联立两个方程，
消去x，得
，∵△=322-4×5×55=-76<0
所以，直线与圆相离，不改变航线，不受台风影响．
教师：这种判断直线与圆的位置关系的方法我们叫做代数法，对于一般的直线l：
和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝ r 2 的位置关系的代数判断方法的具体步骤如下：
（1）联立方程组：
（2）消元，得一元二次方程；
（3）计算判别式Δ的值；
（4）比较大小值，分析得到结论；
若Δ＞0，则直线与圆相交；
若Δ＝0，则直线与圆相切；
若Δ＜0，则直线与圆相离。
（边说边在ppt中显示出来）
说明：两个方法的顺序可能会根据情况调换下次序。
2、例题巩固
教师：现在我们已经知道判断直线与圆的位置关系的两种方法，分别是代数法和几何法，接下来我们应用这两种方法来解决有关直线与圆位置关系的例题。先看例题1.（ppt 上显示题目）
给出例题1，判断下列直线和圆的位置关系：
（1）直线
：
， 圆C：（x-2）2 +（y+3）2=9
（2）直线
： 3x+4y+2=0 ， 圆C： x2+y2-2x=0
（3）直线
： 3x+y-6=0 ， 圆C：x2+y2-2y-4=0
教师：请同学们在下面做一下，前两小题选择一种方法求解，第三小题用两种方法都判断一下。等会儿我会请一位同学说出他的答案和选择的判断方法。（着重讲一种方法，第三小题让学生用两种方法求解，请两位同学写出第三小题的具体过程，一人一种方法）
（前两小题直接给出答案，可适当说下解题要点，如d，△等）
学生：（1）相离（2）相切（3）相交
教师归纳几何法的注意点：只让我们判断直线与圆的位置关系时，几何法和代数法都可以用。在用几何法判断直线与圆的位置关系时，首先要将直线方程化成一般方程，将圆方程化为标准方程，再按几何法的步骤来判断。
意图：及时巩固判断直线与圆的位置关系的两种方法。
给出例2（
书
关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf
本P 127例1），如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标。
教师：第一小题我们已经在上一题中用分别用两种方法分别求出来了，直线与圆是相交的。这一题除了让我们判断位置关系，还让我们求出交点坐标，那如何求交点坐标呢？能否紧接着上面这两位同学的解题步骤求解？
教师归纳小结：若只是让我们判断直线与圆的位置关系，几何法和代数法都可以用；但如果还让我们求交点坐标，代数法比几何法简便。
例题1的两种解法：
解法一（代数法）：由直线l 与圆的方程，得
消去y，得x2 – 3x + 2 = 0，因为△= (–3)2 – 4×1×2 = 1＞0
所以，直线l与圆相交，有两个公共点.
（如何求交点？）
由x2 –3x + 2 = 0，解得x1 =2，x2 = 1.
把x1=2代入方程①，得y1= 0；
把x2=1代入方程①，得y2= 0；
所以，直线l 与圆有两个交点，它们的坐标分别是
A (2，0)，B (1，3).
解法二（几何法）
书本P127页
教师：之前的两道例题都是直接给出直线与圆的方程，让我们去判断它们的位置关系，那反过来，如果已经知道直线和圆的位置关系，我们又可以解决哪些问题呢？我们来看下例题3.
例3、已知过点M（-3，-3）的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为 ，求直线l的方程。
教师分析：现已知直线l过点M（-3，-3），则只需知道直线l的斜率K即可求直线方程。为此，用数形结合以及待定系数法求解。过O点做直线l的垂线OC，直线l与圆相交点A、B两点，连接OA.那根据平面几何的知识，我们可以知道，CO⊥AB，有
。AO就是半径，AC就是半弦，都已知，就可以求得OC的值，也就是圆心O到直线的距离，也就是知道了直线l的斜率。
（先让学生思考下，适时的分析要点，给予提示，分析思路，再自己在黑板上写下解题过程。）
解：将圆的方程写成标准形式，得x2 + (y + 2)2 =25，
所以，圆心的坐标是(0，–2)，半径长r =5.
因为直线l 被圆所截的弦长为，所以弦心距为，
即圆心到所求直线l的距离为.
因为直线l 过点M (–3，–3)，所以可设所求直线l的方程为
y + 3 = k (x + 3)，即k x – y + 3k –3 = 0.
根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l 的距离
d =.因此，，
即|3k – 1| =，
两边平方，并整理得到 2k2 –3k –2 = 0，解得k =
，或k =2.
所以，所求直线l 有两条，它们的方程分别为
y + 3 =
(x + 3)，或y + 3 = 2(x + 3).
即x +2y = 0，或2x – y + 3 = 0.
教师：除了用上面这个方法求解，还有其他方法吗？
引导学生说出：先设直线方程，求解直线与圆的交点坐标，再用两点距离公式求解。（让学生课后探究。）
反思：有关于直线与圆相交时的弦长问题。
（1）解决弦长常用的关系式是：
（2）直线l ： 与圆心C相交的弦长为：
其中x1，x2是两交点的横坐标。（课后探究）
（3）点到直线的距离公式是解决弦长问题常用公式之一。
3、课堂练习
1、已知直线4x+3y-35=0与圆心在原点的圆C相切，求圆C的方程。
2、圆 截直线 所得的弦长等于
A B C 1 D 5
（让学生自己完成，可以适时给予提示，过段时间再让两位学生给出他们的答案。）
意图：这几道题与本节课所学习的知识点紧密相连，有利于学生及时巩固知识。
4、课堂小结
教师提出下列问题让学生思考：（与学生共同回顾知识）
（1）判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？
（2）直线与圆相交时，如何求出直线被圆所截的弦长？
（3）这节课中应用了哪些思想方法？
5、布置作业
1、习题4.2A组1、2、3、5、6.
2、配套练习
意图：巩固所学知识。
8、说明
整个教学过程，教师应该注意少讲点拨，给学生以充分思考的时间与空间，让学生通过讨论交流评价，悟出解题方法，教师重点放在归纳解法及坐标法的思想的落实上。
9、备选例题
例1 已知圆的方程x2 + y2 = 2，直线y = x + b，当b为何值时，
（1）圆与直线有两个公共点；
（2）圆与直线只有一个公共点；
（3）圆与直线没有公共点.
解法1：圆心O (，0)到直线y = x + b的距离为，圆的半径.
（1）当d＜r，即–2＜b＜2时，直线与圆相交，有两个公共点；
（2）当d = r，即b= 时，直线与圆相切，有一个公共点；
（3）当d＞r，即b＞2或b＜–2时，直线与圆相离， 无公共点.
解法2：联立两个方程得方程组.消去y2得
2x2 + 2bx + b2 – 2 = 0，=16 – 4b2.
（1）当＞0，即–2 ＜b＜2时，直线与圆有两个公共点；
（2）当＝0，即时，直线与圆有一个公共点；
（3）当＜0即b＞2或b＜–2时，直线与圆无公共点.
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浙公网安备 33021202002483