数学专题复习——三角函数

考前专题辅导——三角函数 一、 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 归纳： 2、象限角及轴上角 的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示方法： 第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 终边在 轴上的角的集合为 终边在 轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 3、与角 终边相同的角的集合为 4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 弧度．记作：1rad 5、半径为 的圆的圆心角 所对弧的长为 ，则角 的弧度数的绝对值是 ． 6、弧度制与角度制的换算公式： ， ， ． 7、若扇形的圆心角为 ，半径为 ，弧长为 ，周长为 ，面积为 ，则 ， ， ． ★★8、①设 是一个任意大小的角， 的终边与单位圆的交点 的坐标是 ，则 ， ， . ②设 是一个任意大小的角， 的终边上任意一点 的坐标是 ，它与原点的距离是 ，则 ， ， ． 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 10、三角函数线： ， ， ． ★★11、同角三角函数的基本关系： 注意变形用 EMBED Equation.DSMT4 ； ． ★★12、函数的诱导公式： 口诀：横轴角，函数名称不变，符号看象限． 看作： --第一象限 --第二象限 --第三象限 -- 第四象限 口诀：纵轴角，正弦与余弦互换，符号看象限． --第一象限 --第二象限 13、三角函数图像变换： ① 图象上所有点向左（右）平移 个单位长度，得函数 的图象； 再将函数 图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 倍（纵坐标不变）， 得到函数 的图象；再将函数 的图象上所有点的纵坐标伸 长（缩短）到原来的 倍（横坐标不变），得到函数 的图象． ②数 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象；再将函数 的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度，得到函数 的图象；再将函数 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍（横坐标不变），得到函数 的图象． ★★14、函数 的性质： ①振幅： ；②周期： ；③频率： ；④相位： ；⑤初相： ． ⑥函数 ， 当 时，取最小值为 ；当 时，取最大值为 ， 则 ， ． ★★★15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： 图象 定义域 值域 最值 当 EMBED Equation.DSMT4 时， ； 当 时， ． 当 时， ； 当 时， ． 既无最大值也无最小值 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 上是增函数；在 上是减函数． 在 上是增函数；在 上是减函数． 在 上是增函数． 对称性 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心 无对称轴 ★★16．值域求法： ① 函数 或 --------.换元法转化为二次函数（新元范围） ②函数 ---------利用二倍角公式化为 型； ③ 函数 ----换元化为二次函数. 令 两边平方得： ★★17： 的单调区间、对称轴、对称中心的求法： 换元法(设t= ) 转化为 求解 ★★18.正、余弦定理：在 中有: ①正弦定理： （ 为 外接圆半径） 注意变形应用 ②面积公式： ③余弦定理： 二、方法 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf ： 1.三角函数恒等变形的基本策略。 （1）注意隐含条件的应用：1＝cos2x＋sin2x。 （2）角的配凑。α＝（α＋β）－β，β＝－等。 （3）升幂与降幂。主要用2倍角的余弦。 （4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。 （5）引入辅助角。asinθ＋bcosθ＝sin(θ＋)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan＝确定。 2.解答三角高考题的策略。 （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 三、例题集锦： 考点一：三角函数的概念 1.（2011年东城区示范校考试理15）如图，设是单位圆和轴正半轴的交点，是 单位圆上的两点，是坐标原点，，． （1）若，求的值；（2）设函数，求的值域． 2．（2011年西城期末理15）已知函数 .（Ⅰ）若点 在角 的终边上，求 的值； （Ⅱ）若 ，求 的值域. 考点二：三角函数的图象和性质 3.（2011年东城区期末理15）函数 部分图象如图所示．（Ⅰ）求 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设 ，求函数 在区间 上的最大值和最小值． 考点三、四、五：同角三角函数的关系、 诱导公式、三角恒等变换 4．（2010年海淀期中文16）已知函数.（1）若，求的值；（2）求函数的单调增区间.（3）求函数的对称轴方程和对称中心 5.（2011年丰台区期末理15）已知函数 （ ），相邻两条对称轴之间的距离等于 ．（Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）当 时，求函数 的最大值和最小值及相应的x值． 6、（2011朝阳二模理15）已知函数 . （Ⅰ）求函数 的最小正周期及函数 的单调递增区间； （Ⅱ）若 ， ，求 的值. 7、（2011东城二模理15）（本小题共13分）已知 ， ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求函数 的值域． 考点六：解三角形 8．（2011年朝阳期末理15）已知△ 中， . （Ⅰ）求角 的大小；（Ⅱ）设向量 ， ，求当 取最 小值时， 值. 9．（2011年石景山期末理15）已知函数 EMBED Equation.3 ． （Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）若 ，求 的最大值；（Ⅲ）在 中，若 ， ，求 的值． 10、（2011东城一模理15）在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 分，且满足 ． （Ⅰ）求角 的大小；（Ⅱ）若 ，求△ 面积的最大值． 11、(2011丰台一模理15). 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2-a2=bc． （Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数 ，当 取最大值 时，判断△ABC的形状． 12、(2011海淀一模理15). （本小题共13分） 在 中，内角A、B、C所对的边分别为 ，已知 ， ，且 . (Ⅰ)求 ； (Ⅱ)求 的面积. 13、（2011石景山一模理15）． 在 中，角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ，且 ． （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）求 的最大值． 例题集锦答案： 1.（2011年东城区示范校考试理15）如图，设是单位圆和轴正半轴的交点，是 单位圆上的两点，是坐标原点，，． （1）若，求的值；（2）设函数，求的值域． ★★单位圆中的三角函数定义 解：（Ⅰ）由已知可得……………2分 ………3分 …………4分 （Ⅱ） ………6分 ………………7分 ………………8分 ………9分 …………12分 的值域是………………………………13分 2．（2011年西城期末理15）已知函数 .（Ⅰ）若点 在角 的终边上，求 的值； （Ⅱ）若 ，求 的值域. ★★三角函数一般定义 解：（Ⅰ）因为点 在角 的终边上， 所以 ， ， ………………2分 所以 ………………4分 . ………………5分 （Ⅱ） EMBED Equation.3 ………………6分 ， ………………8分 因为 ，所以 ， ………………10分 所以 ， ………………11分 所以 的值域是 . ………………13分 3.（2011年东城区期末理15）函数 部分图象如图所示．（Ⅰ）求 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设 ，求函数 在区间 上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）由图可得 ， ， 所以 ． ……2分 所以 ． 当 时， ，可得 ， 因为 ，所以 ． ……5分 所以 的解析式为 ． ………6分 （Ⅱ） EMBED Equation.DSMT4 ． ……10分 因为 ，所以 ． 当 ，即 时， 有最大值，最大值为 ； 当 ，即 时， 有最小值，最小值为 ．……13分 相邻平衡点（最值点）横坐标的差等； ； ;φ----代点法 4．（2010年海淀期中文16）已知函数.（1）若，求的值；（2）求函数的单调增区间.（3）求函数的对称轴方程和对称中心 解：（1） ...3分（只写对一个公式给2分） ....5分 由，可得 ......7分 所以 ......8分 .......9分 （2）当，换元法 ..11 即时，单调递增. 所以，函数的单调增区间是 ... 13分 5.（2011年丰台区期末理15）已知函数 （ ），相邻两条对称轴之间的距离等于 ．（Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）当 时，求函数 的最大值和最小值及相应的x值． 解：（Ⅰ） ． 意义 ……4分 因为 ，所以 ， ． ……6分 所以 ．所以 ………7分 （Ⅱ） 当 时， ， 无范围讨论扣分 所以 当 ，即 时， ， …10分 当 ，即 时， ． ………13分 6、（2011朝阳二模理15）已知函数 . （Ⅰ）求函数 的最小正周期及函数 的单调递增区间； （Ⅱ）若 ， ，求 的值. 解: ……………………………………1分 ……………………………………2分 . 和差角公式逆用 ………………3分 （Ⅰ）函数 的最小正周期 . ……………………………………5分 令 EMBED Equation.DSMT4 ， ……………………………………6分 所以 . 即 . 所以，函数 的单调递增区间为 . ……………8分 （Ⅱ）解法一：由已知得 ， …………………9分 两边平方，得 同角关系式 所以 …………11分 因为 ，所以 . 所以 . ……………………………………13分 解法二：因为 ，所以 . …………………………9分 又因为 ， 得 . ……………………………………10分 所以 . ……………………………………11分 所以， . 诱导公式的运用 7、（2011东城二模理15）（本小题共13分）已知 ， ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求函数 的值域． 解：（Ⅰ）因为 ，且 ， 所以 ， ． 角的变换因为 ． 所以 ． ………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ． 所以 此结构转化为二次函数值域问题 EMBED Equation.DSMT4 ， ． 因为 ，所以，当 时， 取最大值 ； 当 时， 取最小值 ． 所以函数 的值域为 ． 8．（2011年朝阳期末理15）已知△ 中， . （Ⅰ）求角 的大小；（Ⅱ）设向量 ， ，求当 取最 小值时， 值. 解：（Ⅰ）因为 ， 和差角公式逆用 所以 . ……… 3分 因为 ，所以 .所以 . ……… 5分 因为 ，所以 . …………7分 （Ⅱ）因为 ， ………………… 8分 所以 . …10分 所以当 时， 取得最小值. 此时 （ ），于是 . 同角关系或三角函数定义……12分 所以 . …………… 13分 9．（2011年石景山期末理15）已知函数 EMBED Equation.3 ． （Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）若 ，求 的最大值；（Ⅲ）在 中，若 ， ，求 的值． 解：（Ⅰ） EMBED Equation.3 ． 4分 （Ⅱ） EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ． …6分 ， ． 当 时，即 时， 的最大值为 ．…8分 （Ⅲ） EMBED Equation.3 ， 若 是三角形的内角，则 ，∴ ． 令 ，得 ，此处两解 解得 或 ． ……10分 由已知， 是△ 的内角， 且 ， ∴ ， ， ∴ ． …11分 又由正弦定理，得 ． ……13分 10、（2011东城一模理15）（本小题共13分） 在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 分，且满足 ． （Ⅰ）求角 的大小；（Ⅱ）若 ，求△ 面积的最大值． 解：（Ⅰ）因为 ， 所以 由正弦定理，得 ．边化角 整理得 ． 所以 ． 在△ 中， ． 所以 ， ． （Ⅱ）由余弦定理 ， ． 所以 均值定理在三角中的应用 所以 ，当且仅当 时取“=” ． 取等条件别忘 所以三角形的面积 ． 所以三角形面积的最大值为 ． ……………………13分 11、(2011丰台一模理15). 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2-a2=bc． （Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数 ，当 取最大值 时，判断△ABC的形状． 解：（Ⅰ）在△ABC中，因为b2+c2-a2=bc，由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA 可得cosA= ．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) ……3分 ∵ 0