“集合与函数概念”中的数学思想

“集合与函数概念”中的数学思想 浙江省永康市古山中学（321307） 吴汝龙 要学好数学，就必须掌握好数学思想的应用。在“集合与函数概念”中，更加如此，在本章中主要的数学思想有“函数的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想”，下面就谈谈这几种数学思想在本章中的应用。 一、函数的思想 函数思想方法，即是先构造函数，将所给问题转化为构造的辅助函数的性质（如单调性、奇偶性、最值等）研究后，得出所需的结论。 利用函数思想处理问题，须深刻理解、熟练掌握一次函数、反比例函数、二次函数的具体特征，及一般函数 ， 的单调性、奇偶性、最值、图像变换等，这是利用函数思想解题的必备基础。 同时要善于观察问题的结构特征，提示内在联系，挖掘隐含的特性，从而恰当构造函数和准确地利用函数性质，使问题得以解决。 例1：设 ，且它们的绝对值都不大于1，求证 。 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：构造函数 ， 是关于 的一次函数，由于 ，只要能证明 且 ，就能证明 。 证明：设 ， 是关于 的一次函数。 ∵ ， ∴ ， ， ∴ 在 上恒为非负， ∴ 。 说明：本解法的关键在于具有函数的意识，运用函数思想构造一次函数，由一次函数的图像性质，使问题得以解决。 二、数形结合的思想 数形结合的思想是数学重要的思想方法之一，数形结合的解题方法的特点是：具有直观性、灵活性、深刻性，并跨越各科的界线，有较强的综合性，加强这方面的学习和训练，对巩固数学知识，打好基础、提高能力是重要环节。 例2：设 ，或 ， 。已知 ， ，试求 的值。 分析：可在数轴上画出图形，利用图形分析解答。 解：如图，设想集合B所表示的范围在数轴上移动，显然当且仅当B覆盖住集合 ，才能使 ，且 。根据二次不等式与二次方程的关系，可知 与 是方程 的两根。 ∴ ， 。 说明：类似本题多个集合问题，借助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，会得到直观、明了的解题效果。 例3：对于任意 ，函数 表示 ， ， 中的较大者，则 的最小值是___________。 分析：首先应理解题意，“函数 表示 ， ， 中的较大者”是指对某个区间而言，函数 表示 ， ， 中最大的一个。 解：如图，分别画出三个函数 ， ， 的图像，得到三个交点 ， ， 。 从图像观察可得出函数 的表达式： EMBED Equation.3 的图像是图中的实线部分，图像的最低点 ， 所以函数 的最小值是2， ∴填2。 说明：本题若不用图像法，单就求这个分段函数中每一段 的取值范围就很复杂了。 三、分类讨论的思想 利用分类讨论思想解答分类讨论问题已成为高考考查学生知识和能力的热点问题，这是因为：其一，分类讨论问题一般都覆盖较多知识点，有利于对学生知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类讨论思想与技巧，因此有利于对能力的考查；其三，分类讨论问题常与实际问题和高等数学相联系。 例4：已知函数 在区间 上的最大值为1，求实数 的值。 分析：首先应搞清二次项系数 是否为零，如果 ， 的最大值与二次函数系数 的正负有关，也与对称轴 的位置有关，解答时必须用讨论法。 解： 时， ， 在 上不能取得1，故 。 （ ）的对称轴方程为 。 （1）令 ，解得 ， 此时 ， 因为 ， 最大，所以 不合适。 （2）令 ，解得 ， 此时 ， 因为 ， ，且距右端点2教远，所以 最大，合适。 （3）令 ，解得 ， 验证后知只有 才合适。 综上所述， ，或 。 说明：这里函数 的最大值一是与 的符号有关。另外也与对称轴和区间的端点 ， 的远近有关，不分情况讨论就无法确定。 四、等价转化的思想 数学问题中，已知条件是结论成立的保证。但有的问题已知条件和结论之间，距离比较大，难于解出。因此，如何将已知条件经过转化。逐步向需求结论靠拢，这就是解题过程中经常要做的工作。变更条件就是利用与原条件等价的条件去代替，使得原条件中的隐含的因素显露出来，使各种关系明朗化，从而缩短已知条件和结论之间的距离，找出它们之间内在联系，以便应用数学规律、方法将问题予以解决。 例5：已知集合 与 ，若 为单元素集合，求实数 的取值范围。 解： 为单元素集合，等价于不等式组 有惟一一组解。 即 ，此方程在 上有一实根或两相等实根， 设 ，且 的图像与 轴相切于区间 上或与 轴相交，且只能一个交点落在区间 上，于是有 若 综上所述，实数 的取值范围是 或 。 说明：将集合问题转化为方程根的讨论问题，若利用求根公式解之，则较为繁难，设 ，则方程 在区间 上有两相等的实根，等价于函数 的图像与 轴相切，且顶点落在区间 上，这样，方程根的讨论问题就转化为二次函数图像与 轴交点的讨论问题，从而问题得以解决。 作者简介：吴汝龙，浙江省永康市古山中学科教处主任，负责学校课题与教师论文的管理，高级教师，曾获得金华市优秀教师、永康市"十佳青年"、永康市优秀班主任称号，永康市名师培养对象.在各种专业报纸杂志中发表论文30多篇。联系电话：0579－7515867，13157923066，邮编：321307，email：ykwrl2000@163.com QQ：282181020 _1220811413.unknown _1220813003.unknown _1220814093.unknown _1220814550.unknown _1220814805.unknown _1220815608.unknown _1220815868.unknown _1220816234.unknown _1220816327.unknown _1220816486.unknown _1220816512.unknown _1220816847.unknown _1220816870.unknown _1220816833.unknown _1220816496.unknown _1220816399.unknown _1220816245.unknown _1220816270.unknown _1220816001.unknown _1220815962.unknown _1220815650.unknown _1220815824.unknown _1220815621.unknown _1220815039.unknown _1220815484.unknown _1220815568.unknown _1220815051.unknown _1220815002.unknown _1220815012.unknown _1220814825.unknown _1220814669.unknown _1220814710.unknown _1220814771.unknown _1220814693.unknown _1220814579.unknown _1220814597.unknown _1220814564.unknown _1220814291.unknown _1220814486.unknown _1220814512.unknown _1220814542.unknown _1220814497.unknown _1220814434.unknown _1220814453.unknown _1220814413.unknown _1220814227.unknown _1220814256.unknown _1220814275.unknown _1220814239.unknown _1220814121.unknown _1220813416.unknown _1220813903.unknown _1220814069.unknown _1220814082.unknown _1220814058.unknown _1220813884.unknown _1220813505.unknown _1220813853.unknown _1220813282.unknown _1220813297.unknown _1220813315.unknown _1220813263.unknown _1220813004.unknown _1220812424.unknown _1220812714.unknown _1220812940.unknown _1220812962.unknown _1220813002.unknown _1220812953.unknown _1220812763.unknown _1220812725.unknown _1220812744.unknown _1220812476.unknown _1220812689.unknown _1220812704.unknown _1220812504.unknown _1220812445.unknown _1220812462.unknown _1220812436.unknown _1220811549.unknown _1220812024.unknown _1220812127.unknown _1220812071.unknown _1220812099.unknown _1220812039.unknown _1220811988.unknown _1220811527.unknown _1220811537.unknown _1220811478.unknown _1220811162.unknown _1220811336.unknown _1220811381.unknown _1220811392.unknown _1220811373.unknown _1220811193.unknown _1220811205.unknown _1220811179.unknown _1220811032.unknown _1220811142.unknown _1220811152.unknown _1220811122.unknown _1220810806.unknown _1220811007.unknown _1220810703.unknown