双根式和或差的函数求最值方法

52 数学通报 2008年第47卷第12期 双根式和或差的函数求最值方法 李春雷 (北京师范大学良乡附属中学102488) 关于t的双根式和或差的函数U=~／，(f)± ~／g(￡)求最值问题，方法比较灵活．为了研究方 便，笔者先给出比较简单的关于t的函数“= ~／口￡+6±v77-4-了(口，b，c，d都是常数，且ac≠o) 求最值的方法，此时，(t)、g(t)都是一次函数形 式；然后举例说明厂(￡)、g(f)分别是一次、二次函 数形式如何求最值；再举例说明，(￡)、g(￡)均是 二次函数的特殊情形如何求最值；最后举例说明 ，(￡)、g(￡)更为复杂的情形如何求最值． 1单调性法 例1求函数“=√再虿+~／万干西的最值． 分析 由于~／￡+9与~／2￡+32同为单调递增 函数，所以“=47干-Y+~／2￡+32在其定义域上是 单调增函数，故可利用函数的单调性求出最值． 解由{寡主≥。，得函数的定义域为[-9， +o。)，易证函数“一~／习百+~／万丽在区间 [一9，+∞)上是增函数，所以当t--一-一9时，乱。i。= ~／一9+9+~／一2·(一9)+32=2，即函数U的最 小值为2，无最大值． 评注 关于t的函数“=~／口￡+6+√／／--+d (口，b，f，d都是常数)在a，c同号时求最值，可按 下述步骤求解： 第一步求出函数的定义域D． 第二步 当a，c同为正号时，易判断出函数 u在它的定义域D上是单调递增函数，进而求出 定义域D在左端点处的函数值，即可得到最小 值，无最大值． 当a，c同为负号时，易判断出函数“在它的 定义域D上是单调递减函数，进而求出定义域D 的右端点处的函数值，即可得到最大值，无最小 值． 例2 求函数U一~／f+9一~／一2t+32的最 值． 分析 由于~／￡+9与一~／一2￡+32同为单调 递增函数，所以"=撕耳可一、／—--2t—+32在其定义 域上是单调增函数，故可利用函数的单调性求出 最值． 解 由{=>／+320冽得函数的定义域为卜 9，163，易证函数U=“耳百一～／—--2t—+32在区间 [一9，16]上是增函数， 所以当t一一9时，UmIn=~／一9+9一 ~／一2(-9)+32=一5√2，即函数“的最小值为 一5√虿； 当t----16时，“。，一√16+9一~／一2·16+32 =5，即函数“的最大值为5． 评注 关于t的函数U一√而一√而 (口，b，c，d都是常数)在a，c异号时求最值，可按 下述方法求解： 第一步求出函数的定义域D． 第二步 当a为正数且c为负数时，易判断 出函数u在它的定义域D上是单调递增函数，进 而求出定义域的左端点处的函数值，即可得到最 小值；再求出定义域D的右端点处的函数值，即 可得到最大值． 当a为负数且c为正数时，易判断出函数u 在它的定义域D上是单调递减函数，进而求出定 义域D的左端点处的函数值，即可得到最大值； 再求出定义域D的右端点处的函数值，即可得到 最小值． 2平方法 例3 求函数“=~／习虿+／=而的最值． 分析 由于vq-+-Y与／=丽单调性相反， 万方数据 2008年第47卷第12期 数学通报 53 所以“=~／习虿+／=丽的单调性不易判断出 来，用单调性的方法求最值很困难．若注意到等号 右端二根式内t的系数恰为相反数，故作平方处 理后可转化为二次函数在其定义域上求最值． 解 由{t一+f9+≥302≥。，得函数的定义域为 [～9，32]． 因为乱=~／￡+9+~／一￡+32 =√(厢+厂i干甄)2 =√4l+2~／(￡+9)(一￡+32) =√4-+2√一(r一竽)2+竿 所以当t一弩时，函数“。；=√41+2√笔}所以当一等时，函数“。；=．／ +2．／坐!≯ 一∥玎干玎=~／西． 当￡=一9或32时，“Ⅱlin=√41． 评注 关于t的函数u一~／口￡+6+ ／=磊丽(口，6，d均为常数，且口≠o)求最值，可 按下述步骤求解： 第一步求出函数的定义域D． 第二步 将函数进行平方(开方)的恒等变 形． U=v／h-T-+--石+、／=乏F阿 =√(“万丽+厂i而)2 =√j-at2+a(d一6)t+bd+6+d 从而可转换为二次函数一at2+a(d一6)￡+ bd(tED)求最值问题． 3分子有理化法 例4 求函数“=~／再百一“丽的最值． 分析 由于“丽与一撕丽单调性相反， 所以“=~／习虿一~／丽的单调性不易判断出 来，用单调性的方法求最值很困难．若注意到等号 右端二根式内t的被开方数之差是常数，故作分 子有理化处理后可转化为单调函数在其定义域上 求最值． 解 由(￡t++392≥≥O。，得函数的定义域(￡ft≥ ～9}． ’1 又“=厕一撕千西一_=；兰毫， ~／￡+9+~／￡+32 而√开百+．行千西是t∈[一9，+o。)上的增函 数，所以函数U=“可一~／而是t∈i-_9，+ ∞)上的增函数，所以当t=一9时，“。；。一 ／=F阿一√=丽=一何，无最大值． 评注 关于t的函数乱一~／丽一~／磊孺 (口，b，d均为常数，且口≠0，6≠d)求最值，可按下 述步骤求解： 第一步求出函数的定义域D． 第二步将函数的分子、分母都同乘以分子 的有理化因式． H=“而一ax／石-+d。 一(~／丽一~／五干了)(~／磊再+~／夏干i)，“矛而+以而 b·——d、 以再晤+“孑雨’ 而“而+“丽是一个单调函数，从而 可转换为函数“而+VZ再--E(t∈D)求最值问 题． 4数形结合法 ’例5 求函数U=“耳虿+～／—--2t—d-32的最 值． 分析 由于撕两与～／—--2t—-J-32单调性相 反，所以甜=~／再百+～／—--2t—d-32的单调性不易判 断出来，直接用单调性的方法求最值很困难；由于 等号右端二根式内t的系数不为相反数，故作平 方处理不能奏效；由于等号右端二根式内t的被 开方数之差不是常数，故作分子有理化处理也无 济于事；可求得所给函数的定义域为[一9，16]，若 作一步换元，如令士=“丽(--9≤f≤16)，则￡= z2—9(0≤z≤5)，代人U=~／再可+～／—--2t—d-32， 得“=z+~／50一2一(o≤z≤5)，所得形式更加复 杂．因此该题用常规求最值法较为复杂难解．注意 到两根号同为t的根式，故可采用两步换元． 解法1令lz2t兰兰—一，则2一+yz：50【y---~／--2t+32 (o≤z≤5，o≤y≤5厄)，所给函数化为以U为参 数的直线族Y=一z+U，它与椭圆222+y2=50 万方数据 54 数学通报 2008年第47卷第12期 在第一象限的部分(包 括端点)有公共点，如图 1，当直线过端点(5，0) 时，“。；。=5；当直线与椭 圆相切于第一象限时函 数球的值最大，此时由 方程组{荔：名。， 得3x2—2ux+U2—50 一i0，解△=0，得U一 土5√虿，故“。，一5屈 图l 评注该题运用数形结合思想，将求函数最 值问题转化为直线与椭圆相切等问题，起到了事 半功倍的效果． 解法2 U=撕两+～／—--2t—+32=“耳百+ 拉·厅而，由(=享；2冽得一。≤阁6， 令P一以+9卜9≤阁∞，则zz+yz：25 【了=~／一￡+16(一9≤￡≤16) (O≤z≤5，O≤y≤5)，越=z+√2y 所给函数化为以“为参数的直线族 了：一辱z+辱“，如图2，当直线过端点(5，o)时， z‘。；。=5；当直线z+√虿y一“=0与圆相切于第一 象限时函数甜的值最大，此时d一—兰==5， √Z十l 得“=士5万，故U。。=5佤 图2 评注该题也是运用数形结合思想，但将求 函数最值问题转化为直线与圆相切等问题，与直 线与椭圆相切相比较，运算上较简洁． 5换元法 例5分析 由解法2可知z2+y2=25，它是 圆方程形式，尝试用圆的参数方程去掉根式． 例5的解法3令P2竺《q∞，则z；w：25 ty=~／一￡十16(一9≤￡≤16) (。≤z≤5,0≤y≤5)，令匪搿(。≤蜒詈)则 U=z+妲Y一5cos0+5娩sin0—5幅 (捂fcosO+f譬sin口)，令sin9一譬,cos=譬刷 u=5√3(sin9cosa+cos9sin口)=5v／3"sin(0+9)． 易知“～=5√3．当0=0时，U。．m=5cos0+ 5√五in0=5． 评注该题运用三角代换法，将含有两个根 号的函数U=√再百+．,／—--2t—-+-32求最值问题转 化为三角函数“=5cos0+5厄sin口fo≤《吾1求 最值，可避免运用数形结合思想求最值时的作图 问题． 6向量法 例5分析 注意到U=~／习百+、／—--2t+—32 =1·474-可+厄·／i干丽=(1，√虿)· (,／74-Y，／=F日百)，故利用萌=(1，厄)与商= (,,q-4Y，√=而)，向量数量积的几何意义尝 试解题． 例5的解法4U=“丽+、／—--2t+—32= ··厢+拉·厅而，由{竺幸≥， ，。 ，，， ．{z=√￡+9(一9≤t≤16) 得一9≤t≤16，令{“ ”～、。8。、 ， 【y=／一￡+16(--9≤￡≤16) 则X2+y2=25(O≤z≤5，o≤y≤5)． 作向量萌=(1，在)，葫=(z，y)，如图3，则 “=1·~／习虿+抠·~／=i和晤=1·z+厄·y= (1，拉)·(z，y)=魂·茄，当向量魂与向量葫 共线时，向量商与向量萌夹角最小，有“。，= I耐I·I碡I·coso=√1z+(厄)z．5=5捂；当 向量魂的终点在点(5，o)时，向量功与向量萌 夹角最大，有U。i。一(1，厄)·(5，o)---5． 评注该题巧妙运用了向量数量积的知识， 灵活求出最值． 万方数据 2008年第47卷第12期 数学通报 55 圈3 7导数法 例5分析利用导数求出函数的单调区间， 进而求出函数的最值． 例5的解法5“，=12‘而1·(￡+9)7+ 虿1’了三赢1·(--2t+32)7=丢‘而1— 1 一~／一2t+32—2~／￡+9～／—--2t—+322·J7-4酉·厂i乒两虿 令“7>o，得一9<￡<一÷；令Ut—o， 得f=一÷；令甜7o，则~／再一4v／砑->O，所以5一 ￡2>4t3，所以4￡3+t2—5t<0，所以(4t3—4t)+(z2 —1)0恒成立，所以f一1dO，所以t <1，故当o≤￡≤1时，函数y卸+~／浔为增函 数，此时uE昕，33． (2)令U7dO，则易知t>1．所以当1≤￡≤√5 时，函数“卸+~／开为减函数，此时 万方数据 56 数学通报 2008年第47卷第12期 uE昕，3]． 综上，函数"；矗+~厂乒硇域为[据，3]． 评注当函数单调性难于直接判断出时，可 借助于导数找到单调区间，进而求出最值． 例8求函数“=~／2f2+4+~／7一t2的最值． 分析注意到“=~／2￡2+4+~／7一t2= 拉·～／-F+-2+川=丁，而(撕q乏)z+(川芒歹)z= 9为常数，故可考虑用向量数量积的几何意义尝 试解题． 解“=以而+力=丁=抠·以马虿+ ~／7一￡2，易知o≤矿≤7． 图4 令口=(在，1)，则IaI一√(厄)2+12=佤 令扫一(z，y)一(~／￡2+2，~／7一￡2)，则一+y2 =9(以- 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ． 解原函数可化为y= 以i习甲干砭iiF+√i=万耳订≯研， 它表示动点A(z，2x)到定点P(1，4)与动点Q(4， z2)距离之和(如图5所示)，由于两点之间线段最 短，则可以得出 图5 Y=lAPI+IAQ}≥IPQI= V(4-1)2+(z2—4)2≥3，可检验当且仅当．27=2 时，两不等式同时取等号． 此时A(2，4)，Q(4，4)，YlIli。=3．无最大值． 评注 将关于t的函数u=~／，(￡)士~／g(￡) 与两点间距离公式相联系，通过数形结合的方法 可处理更为复杂函数求最值。 万方数据 双根式和或差的函数求最值方法 作者： 李春雷 作者单位： 北京师范大学良乡附属中学,102488 刊名： 数学通报 英文刊名： BULLETIN DES SCIENCES MATHEMATICS 年，卷(期)： 2008,47(12) 被引用次数： 1次 引证文献(1条) 1.蔡祖才 一类分式函数最小值的求导处理及推广[期刊论文]-中学数学杂志（ 高中 高中语文新课程标准高中物理选修31全套教案高中英语研修观课报告高中物理学习方法和技巧高中数学说课稿范文 版） 2009(6) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_sxtb200812015.aspx