求解非线性偏微分方程的傅里叶变换方法

求解非线性偏微分方程的傅里叶变换方法 李华刚１，石智伟２ （１．广东第二师范学院 物理系，广东 广州５１０３０３； ２．广东工业大学 信息 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 学院，广东 广州５１０００６） 　　摘要：非线性偏微分方程数值求解在物理和数学上是一项基础工作．通过应用傅立叶变换得 到一种原理简单、收敛快速的迭代方法．这种迭代方法易于学生掌握和使用，能应用在ｍａｔｌａｂ程序 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 、数值分析、计算机辅助教学等课程教学中，有助于学生初步掌握非线性偏微分方程迭代求解 方法的学习． 关键词：非线性偏微分方程；傅立叶变换；数值解 中图分类号：Ｏ　１７５　文献标识码：Ａ　文章编号：１００７－８７５４（２０１１）０３－００４４－０４ 收稿日期：２０１０－１２－２６ 作者简介：李华刚，男，河北吴桥人，广东第二师范学院物理系讲师． 随着计算机性能的提高，许多非线性领域本身得到快速发展，非线性问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 在许多领域成为数学、物理及 其应用上的研究热点［１－４］．非线性偏微分方程一般不存在解析解，因此数值求解成为有力的研究工具．非线 性偏微分方程的求解方法有许多，比如多重网格法、牛顿迭代法和牛顿法的改进方法等．多重网格法原理简 单，但是需要仔细调整试探解．牛顿迭代法和牛顿法的改进方法收敛速度比较快，但是需要具有线性代数的 理论基础．通过应用傅立叶变换，我们得到一种原理简单，收敛速度快的迭代方法．对于初学的学生，这是一 个非常好的迭代方法，易于被学生掌握和应用．这种迭代方法能应用在 ｍａｔｌａｂ程序设计、数值分析、计算机 辅助教学等课程教学中． １　 方法原理 傅立叶变换可将平方可积的函数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示成复指数函数的积分或级数形式： Ｆ（ω）＝∫ ∞ －∞ ｆ（ｘ）ｅ－ｉωｘｄｘ， （１） 傅立叶变换的逆变换为： ｆ（ｘ）＝∫ ∞ －∞ Ｆ（ω）ｅｉωｘｄω． （２） 以非线性薛定谔方程为例，非线性薛定谔方程在（１＋１）维可写为： ｄｕ ｄｚ＝ ｉ ２ ２　ｕ ｘ２＋ ｉ｜ｕ｜２　ｕ， （３） 其中ｕ表示波函数，ｚ为传输方向、ｘ为横向坐标．边界条件是ｕ（ｘ）在无穷远处为零．假设其解的形式为 第３１卷　第３期 广 东 第 二 师 范 学 院 学 报 Ｖｏｌ．３１　Ｎｏ．３ ２０１１年６月 Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　 Ｊｕｎ．２０１１ ｕ（ｘ，ｚ）＝ＮＵ（ｘ）ｅｉβｚ，即空间光孤子解［５］，方程（３）可化为 －βＵ＋ １ ２ ２　Ｕ ｘ２ ＋ Ｎ２｜Ｕ｜２　Ｕ ＝０， （４） 其中β为空间光孤子的传播常数，Ｎ为空间光孤子振幅和Ｕ（ｘ）的振幅为１．方程（４）应用傅立叶变换的微分 性质，可得 Ｆ（ω）＝ Ｎ２∫ ∞ －∞ （｜Ｕ｜２　Ｕ）ｅ－ｉωｘｄｘ β＋ ω２ ２ ， （５） ｂ（ｘ）＝∫ ∞ －∞ ［（Ｎ２∫ ∞ －∞ （｜Ｕ｜２　Ｕ）ｅ－ｉωｘｄｘ－ω ２ ２Ｆ （ω）］ｅｉωｘｄω Ｕ ， （６） 其中Ｆ（ω）为Ｕ（ｘ）的傅立叶变换，ｂ（ｘ）是Ｕ（ｘ）在横向上各点的传播常数．因为傅立叶变换默认的边 界条件是Ｕ（ｘ）在无穷远处为零与方程（４）的边界条件相同，所以方程的边界条件可以不用设置．试探解的 ｂ（ｘ）不是常数即横向各点不相同，迭代的过程就是使ｂ（ｘ）为一常数即函数是一条直线，同时空间光孤子的 波形Ｕ（ｘ）趋向稳定解．所以我们在迭代过程中令β＝珔ｂ，珔ｂ为ｂ（ｘ）的平均值． ２　 数值模拟 设试探解为高斯函数Ｕ ＝Ｎｅ－ｘ ２／２．首先模拟Ｎ ＝１的解，即基本空间光孤子解．这种情况的解析解为 Ｕ（ｘ）＝ｓｅｃｈ（ｘ），β＝１／２．图１为解析解和数值解的对照图，从图上可以明显看出两条曲线完全重合，即数值 解为正确的解（数值模拟程序见附录）． 图１　（ａ）解析解和数值解对照图；（ｂ）横向上各点的传播常数ｂ（ｘ）；（ｃ）迭代次数与误差变化 其次，数值模拟Ｎ ＞１的解，即基态孤子解的其他形式．此时的解析解为Ｕ（ｘ）＝ Ｎｓｅｃｈ（Ｎｘ），β＝ Ｎ２／２，图２显示孤子解与解析解相吻合，传播常数也与解析解的传播常数相一致． ·５４·２０１１年第３期 　　　　　　　　　　 李华刚，等：求解非线性偏微分方程的傅里叶变换方法 　　　　　　　　　　　　　 图２　（ａ）和（ｃ）归一化解析解和数值解对照图，其中（ａ）为Ｎ＝１．５， （ｃ）为Ｎ＝２．５；（ｂ）和（ｄ）横向上各点的传播常数ｂ（ｘ） 综上所述，我们应用傅立叶变换得到了一种比较简单的迭代方法，数值模拟结果显示其能快速的收敛， 与解析解相一致．对于初学的学生，这是一个非常好的一种迭代方法，易于学生掌握和应用． 参考文献： ［１］ＴＩＳＳＥＵＲ　Ｆ，ＭＥＥＲＢＥＲＧＥＮ　Ｋ．Ｔｈｅ　ｑｕａｄｒａｔｉｃ　ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．ＳＩＡＭ　Ｒｅｖｉｅｗ，２００１，４３（２）： ２３５－２８６． ［２］ＧＯＬＵＢ　Ｇ　Ｈ，ＶＡＮ　ＤＥＲ　ＶＯＲＳＴ　Ｈ　Ａ．Ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ　ｉｎ　ｔｈｅ　２０ｔｈ　ｃｅｎｔｕｒｙ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２０００，１２３：３５－６５． ［３］ＫＡＴＺ　Ｏ，ＬＡＨＩＮＩ　Ｙ，ＳＩＬＢＥＲＢＥＲＧ　Ｙ．Ｍｕｌｔｉｐｌｅ　ｂｒｅａｋｕｐ　ｏｆ　ｈｉｇｈ－ｏｒｄｅｒ　ｓｐａｔｉａｌ　ｓｏｌｉｔｏｎｓ［Ｊ］．Ｏｐｔｉｃｓ Ｌｅｔｔｅｒ，２００８，３３：２８３０－２８３２． ［４］ＣＯＲＣＯＲＡＮ　Ｂ，ＭＯＮＡＴ　Ｃ，ＰＵＤＯ　Ｄ，ｅｔ　ａｌ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｌｏｓｓ　ｄｙｎａｍｉｃｓ　ｉｎ　ａ　ｓｉｌｉｃｏｎ　ｓｌｏｗ－ｌｉｇｈｔ　ｐｈｏｔｏｎｉｃ ｃｒｙｓｔａｌ　ｗａｖｅｇｕｉｄｅ［Ｊ］．Ｏｐｔｉｃｓ　Ｌｅｔｔｅｒ，２０１０，３５：１０７３－１０７５． ［５］ＸＵ　Ｚ　Ｙ，ＫＡＲＴＡＳＨＯＶ　Ｖ，ＴＯＲＮＥＲ　Ｌ．Ｕｐｐｅｒ　ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ　ｆｏｒ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｍｕｌｔｉｐｏｌｅ－ｍｏｄｅ　ｓｏｌｉｔｏｎｓ　ｉｎ ｎｏｎｌｏｃａｌ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｍｅｄｉａ［Ｊ］．Ｏｐｔｉｃｓ　Ｌｅｔｔｅｒ，２００５，３０：３１７１－３１７３． Ｔｈｅ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ＳｏｌｖｉｎｇＮｏｎ－ｌｉｎｅａｒ　Ｐａｒｔｉａｌ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｂｙＡｐｐｌｙｉｎｇＦｏｕｒｉｅｒ　Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ＬＩ　Ｈｕａ－ｇａｎｇ１，ＳＨＩ　Ｚｈｉ－ｗｅｉ　２ （１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ， Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ，５１０３０３，Ｐ．Ｒ．Ｃｈｉｎａ；２．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ，５１０００６，Ｐ．Ｒ．Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｏ　ｓｏｌｖｅ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｐａｒｔｉａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌｌｙ　ｉｓ　ａ　ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ　ｗｏｒｋ　ｉｎ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　ｐｈｙｓｉｃｓ　ｒｅｓｅａｒｃｈ．Ａ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｍｅｔｈｏｄ　ｇａｉｎｅｄ　ｂｙ　ａｐｐｌｙｉｎｇ　Ｆｏｕｒｉｅｒ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ　ｉｎ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ·６４·　 广东第二师范学院学报 第３１卷 ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｎｅｗ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ｓｉｍｐｌｅ　ａｎｄ　ｐｏｓｓｅｓｓｅｓ　ｒａｐｉｄ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｒａｔｅ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎ，ｆｏｒ　ｅｘａｍｐｌｅ，ｄｅｒｉｖｅｓ　ｉｎ　ｄｅｔａｉｌ　ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ　ｆｏｒｍｕｌａ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｎｄ　ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔｎｅｓｓ　ｏｆ　ｉｔ　ｗａｓ　ｐｒｏｖｅｄ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ．Ｉｔ　ｗｉｌｌ　ｂｅ　ｂｅｎｅｆｉｃｉａｌ　ｔｏ　ｈｅｌｐ　ｔｈｅ　ｂｅｇｉｎｎｅｒｓ ｌｅａｒｎｉｎｇ　ａｎｄ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｉｔｅｒａｔｉｖｅ　ａｐｐｒｏａｃｈ． Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｐａｒｔｉａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；Ｆｏｕｒｉｅｒ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ；ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ 附录　图１的数值模拟ｍａｔｌａｂ程序： ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｓｏｌｉｔｏｎ＿ＮＬＳ（） ｐｏｉｎｔ＝２５６；ｘ＿ｒ＝１０；ｘ＝ｌｉｎｓｐａｃｅ（－ｘ＿ｒ，ｘ＿ｒ，ｐｏｉｎｔ＋１）；ｘ＝ｘ（１：ｐｏｉｎｔ）；Ｎ＝１； Ｕ＝Ｎ＊ｅｘｐ（－ｘ．＾２／２）； ｆｘ＝－ｐｏｉｎｔ＊ｐｉ／（２＊ｘ＿ｒ）：ｐｉ／ｘ＿ｒ：（ｐｏｉｎｔ＊ｐｉ／（２＊ｘ＿ｒ）－ｐｉ／ｘ＿ｒ）；ｆｘ＝ｆｆｔｓｈｉｆｔ（ｆｘ．＾２）； Ｕ１＝２＊Ｕ；ｂ＝１；ｏｏ＝１； ｗｈｉｌｅ（ｎｏｒｍ（Ｕ１－Ｕ，ｉｎｆ）＞１ｅ－１２） 　　Ｕ１＝Ｕ；Ｕ２＝ｉｆｆｔ（ｆｆｔ（Ｎ＾２＊ａｂｓ（Ｕ）．＾２．＊Ｕ）．／（ｂ＋ｆｘ／２））； 　　Ｕ＝ａｂｓ（Ｕ２．／ｍａｘ（Ｕ２））； 　　ｂ１＝ｒｅａｌ（ｉｆｆｔ（ｆｆｔ（Ｎ＾２＊ａｂｓ（Ｕ）．＾２．＊Ｕ）－ｆｘ．＊ｆｆｔ（Ｕ）／２）．／（Ｕ＋ｅｐｓ））； 　　ｂ＝ｍｅａｎ（ｂ１）；ｗ＿ｃ（ｏｏ）＝ｎｏｒｍ（Ｕ１－Ｕ，ｉｎｆ）；ｗ＿ｂ（ｏｏ）＝ｏｏ；ｏｏ＝ｏｏ＋１； ｅｎｄ ｓｕｂｐｌｏｔ（２，２，１） ｐｌｏｔ（ｘ，Ｕ，ｂｌａｃｋ－） ｈｏｌｄ　ｏｎ ｐｌｏｔ（ｘ，ｓｅｃｈ（ｘ＊Ｎ），ｂｌａｃｋ：） ｓｕｂｐｌｏｔ（２，２，２） ｐｌｏｔ（ｘ，ｂ１） ｓｕｂｐｌｏｔ（２，１，２） ｐｌｏｔ（ｗ＿ｂ，ｗ＿ｃ） ·７４·２０１１年第３期 　　　　　　　　　　 李华刚，等：求解非线性偏微分方程的傅里叶变换方法