全部的初等不等式证明

初等不等式证明 一、基本不等式及应用 基本不等式是指已被人们证明了的较为常用的不等式，它常被当作定理，用于证明其他一些不等式. 基本不等式在许多不等式专著中都作过介绍.这里给出几个常用的基本不等式. 1. 平均值不等式 设 是 个正实数，记 ， ， ， ， 分别称 为这 个正数的调和平均、几何平均、算术平均和平方平均，则有 ， 当且仅当 时取等号. 2. 柯西（Cauchy）不等式 设 ，则 ， 当数组 ； 不全为零时，当且仅当 时取等号. 3. 排序不等式 设两组实数 ； ，满足 ， ，则 有 （反序和） （乱序和） （同序和） 当且仅当 ，或 时取等号. 4. 琴生（Jensen）不等式 设连续函数 的定义域为 ，如果对于 内的任意两个数 ，都有 ， 则称 为 上的凸函数.若上式不等式反号，则称 为 上的凹函数. 若 为 上的凸函数，则对于任意 有 ， 当且仅当 时取等号. 若为 上的凹函数，则对于任意 有 ， 当且仅当 时取等号. 5. 贝努利（Bernoulli）不等式 设 ，若 ，或 ，则 . 若 ，则 . 当且仅当 时，以上两式均取等号. 6. 赫尔德（Hǒlder）不等式 设 ，又 ，且 ，则有 ，. 当且仅当 时取等号. 特别当 时，有 . 7. 切比雪夫(Chebyshev)不等式 设两组实数 ； ，若满足 ， 或 ， ，则有 . 若满足 ， ，或 ， ， 则有 . 当且仅当 ，或 时以上两式均取等号. 8. 加权幂平均不等式 设 ， ，且 ，则 ， 当且仅当 时取等号. 9. 其他 （1）设 ，且 （ ），则 i） 当且仅当 时取等号. ii） ， 当且仅当 时取等号. （2） 设 则 ， 当且仅当 （常数）， 时取等号. （3）设 ， ， ，则 ， 当且仅当 （常数）， 时取等号. （4）两个有用定理 定理1 设 ，记 ， ， ， ， ，则 i） ； ii） . 当且仅当 中有两个数相等且不小于第三个数时，（1）、（4）两式取等号；当且仅当 中有两个数相等，且不大于第三个数时，（2）、（3）两式取等号. 推论1 同定理1条件，有 ； 当且仅当 时，（5）、（6）、（7）、（8）四式取等号. 推论2 同定理1条件，有 ； ， 当且仅当 时，（9）、（10）、（11）、（12）四式均取等号. 定理2 设 ，记 ， ， ， （ ），则 ， 当且仅当 中有两个数相等，且不小于 时，（13）式取等号；当且仅当 中有两个数相等，且不大于 时，（14）式取等号. 推论3 同定理2条件，特别当 时，有 ， 当且仅当 中有两个数相等，且不小于 时，（15）式取等号；当且仅当 中有两个数相等，且不大于 时，（16）式取等号. 注：在应用定理2与其推论3时，要特别注意 的情况，有时要对 和 分别加以讨论，尤其在 时的情况. （一） 算术几何平均值不等式应用例子 例1 已知 …,n, 且 ，求证 （1） 当且仅当 时，（1）式取等号. 例2 （2005年全国十八所奥赛协作体学校试题）设 且 ，求证 （2） 提示 由 知，可证更强式 （3） （※） 例3 （2005，第17届亚太地区数学奥林匹克）设 且 ，则 （4） 当且仅当 时，（4）式取等号. 注：由本题证明中可知，若将条件改为 ，结论也成立. 例4 （自创题，2006.12.17） 设 ，则 ， （5） 例5 （自创题，1988.10.13）设同一平面上两个凸四边形的边长分别为 和 ，面积分别为 和 ，那么 （6） 当且仅当这两个凸四边形都内接于圆（不一定要同一个圆），且 时，（6）式取等号. 这里 ， . 附： 凸四边形 四边长分别为 ， ， ， ，当且仅当此四边形 内接于圆时，其面积最大，最大值为 （7） 例6 （自创题，2006.12.26）设 ，则 （8） 当且仅当 ， 时，（8）式取等号. 例7 设 ，求证 （9） 当且仅当 时，（9）式取等号. （二） 柯西不等式应用例子 例1 设 ， ，且 ， ， ， ， ，则 （1） 当且仅当 时，（1）式取等号. 在（1）式中，当 时，被人们称之为“母不等式”.即以下 命题1：设 ，且 ， ， ， ， 则 （2） 当且仅当 时，（2）式取等号. 命题1应用如下： 1.（匹多不等式） 与 边长分别为 和 ，面积分别为 与 ，则 （3） 当且仅当 时，（3）式取等号. 提示：取 , 等，并应用三角形面积公式. 2.（程灵提出）若 与 边长分别为 和 ，面积分别为 与 ，则 （4） 当且仅当 与 均为正三角形时，（4）式取等号. 提示：在（2）中取 ， 等，并应用到 . 3.（安振平提出）若 与 边长分别为 和 ，面积分别为 与 ，则 （5） 当且仅当 时，（5）式取等号. 提示：在（2）中取 ， 等. 4.（自创题，1983.05.07）若 与 边长分别为 和 ，面积分别为 与 ，则 （6） 当且仅当 时，（6）式取等号. 提示：在（2）中取 ， 等. 以上（3）式与（6）式有相同的取等号条件，试讨论他们左边式子的大小. 5. 设 三边长为 ，面积为 ， 为 内部或边界上一点，从 分别向三边 、 、 所在直线作垂线，垂足分别为 、 、 ，记 ， ， ，则 . （7） 提示： . 我们还可以由（2）式得到或证明更多不等式.又如第六章，“三角几何不等式”中的例6、例22等. 注：类似上述方法，应用赫尔德不等式，有 命题 设 ， ，则 .（8） 例2 （自创题，1988，0.4.20）设 ，且 ， ，则 （9） 当且仅当 时，（9）式取等号. 注：（9）式可参阅由吴康主编的《奥赛金牌之路》（高中数学）“第一章 §6 三角不等式”（P81—P90），本节系杨学枝所写. 利用同上证法可得以下命题（自创题）： 设 ， ，则 （10） 当且仅当， 时，（9）式取等号. （10）式为笔者首创，可参见同上吴康主编的《奥赛金牌之路》（高中数学）P82. 本命题在《中等数学》杂志社组织的数学竞赛命题评奖中，获一等奖.本命题也可参见《中等数学》，1989年第二期，杨学枝文：《对一个三角不等式的再探讨》. 例3 ， ，则 . （11） 注：（11）式是一个值得关注的不等式，如取 时，可证2004年中国国家队 培训 焊锡培训资料ppt免费下载焊接培训教程 ppt 下载特设培训下载班长管理培训下载培训时间表下载 题： ，满足 ， ，求证 . 例4 设 ，且 ，则 . （12） 例5 （2005年.IMO.46）已知x,y,z EMBED Equation.DSMT4 ,且 ，求证 （13） 例6 （2002年IMO预选题）设 ,求证 . （14） 例7 a,b,c为正数，证明 ， （15） 当且仅当 ，且 ，即 且 时，（15）式取等号. 例8 （2006年国家集训队测试题）设 且 ，求证 （16） 例9 （自创题，1987.07.20） 设 ，则 （17） 当且仅当 时，（17）式取等号. 注：（17）式可推广为：设 ，则 EMBED Equation.DSMT4 （18） 当且仅当 时,(18)式取等号. 若记 ， ， ， ，则（18）式可写成如下形式： . 例10 (陈计，2008.08.29提供)对正数 及 ，有 . （19） 例11 （自创题，2010.11,09）设 ，求证 ， （20） 当且仅当 时（20）式取等号. 注：猜想 设 ，有 ；更强有 . 例12 设 非负，且 ，则 . （21） 例13 （第50届IMO金牌得主林博提出的猜想）设 ，求证 . （22） 例14（自创题，2001.02.02）设 ,且 ，则 . （23） 注：1.用类似方法，可证以下 命题 设 ， ，且 ，则 . （24） 2. 第48届国际数学奥林匹克中国国家集训队有一道测试题（2007年3月）与其相似.题目 设正实数 满足 ，求证 . （25） 若设 ， ， ，则原命题等价于： ，且 ，则 ① 式证明可见《数学奥林匹克不等式研究》第八章章练习题64中i）. 例15（第48届IMO中国国家集训队测试题）设正数 ，满足 ，求证 （26） 例16 已知 ， ，且 ，求证 （27） 当且仅当 ，即 时，（27）式取等号. 例17. （2002年IMO预选题）设 ,求证 . （28） 3. 其他基本不等式应用例子 例1 设 ，则 ， 例2 （自创题，2010.07.03） 若 为满足 的正数， ，则 ， （3） 推广式，即有以下 命题 若 为满足 的正数， ，则 ， （4） 当且仅当 时，（4）式取等号. 例3 （自创题，2010.07.03）若 为满足 的正数， ，则 ， （5） 当且仅当 时，（5）式取等号. 推广式以下 命题 若 为满足 的正数， ，则 ， （6） 当且仅当 时，（6）式取等号. 例4（《不等式研究网站》，“竞赛不等式”专栏，2007年1月6日，陈胜利老师提出） 设 ，且 ，求证 （7） 例5 （王雍熙，2011.08.22提供）设 ，且 ，则 . （8） 本题可推广，见以下例6. 例6（自创题，2011.08.22）设 ， ， ，记 （ ）中每 （ ）,个乘积之和为 ， 为不大于 的正整数，且 ，则 ， （9） 二、其他方法证明不等式例子 例1 （自创题，2006.08.25）设 ，且 EMBED Equation.DSMT4 ，则 ， （1） 当且仅当 ，或 中一个为零，另外二个均等于 时，（1）式取等号. 例2（2010年全国高中数学联赛A卷加试题3） 给定整数 ，设正实数 满足 ，记 . 求证： . （2） 例3 已知 ， ，若 ，求证： . 注. 本例可推广. 例4 （自创题，2007.12.28）设 ，且 ，则 ， （3） 当且仅当 时取等号. 例5 （宋庆老师在《中学数学研究》（广东），2008年第1期，文“两个优美的无理不等式”中提出的猜想） 若 ，满足 ，则 . （4） 例6 .(2008年，Serbian数学奥林匹克试题) 已知 是正数,且 ，证明 . （5） 例7（陈计，2008.05.04提供）设 ， ，则 . （6） 例8 （自创题，2008.05.07）设 ，求使 成立的最大正数 的值. 例9 (自创题，2008.08.30)设 ，且 ，则 ， （7） 当且仅当 ， ， 时，（7）式取等号. 例10 （江苏高三学生顾振同学2010.08.06提供）设 ，且 ，则 ， （8） 当且仅当 ，或 中，有一个为零，其余两个都等于 时，（8）式取等号. 例11 （自创题，2005.12.04）设 ，且 ，则 （9） 当且仅当 ，或 中有一个等于 ，另外两个都等于 时，（9）式取等号. 例12（自创题，2007.09.18）设 ，且 ，则 （10） 当且仅当 ，或 中一个等于 ，其余两个都等于 时，（10）式取等号. 例13 （美国，Pham Kim Hung）设 是三角形三边长，则 ， (11) 当且仅当 为正三角形时,(11)式取等号. 例14 “奥数之家”2010.03.31，“476934847”提出： 设 ，则 . （12） 例15 假设 、 、 分别是 的三边 、 、 上三点，且满足 ， 则 （13） 注：1. 关于本题，有其深刻的背景，可参阅杨之所著《初等数学研究的问题和课题》P297~298；或参阅《数学通讯》1991年第2期“问题征解”栏目杨学枝解答及编者 评语 评语下载剧本评语下载小学第一学期期末评语免费下载小学一年级学生评语考生思想政治品德考核评语 ；或参阅《中学数学教学参考》（陕西），1992年第6期，杨学枝文《一个几何不等式的再加强》；或参阅《数学通讯》1996年第10期，杨学枝文《从一道命题谈起》：也可以参阅杨学枝主编《不等式研究》(西藏人民出版社，2000年6月出版)一书中杨路教授写的“序”；还可以参阅杨学枝著《数学奥林匹克不等式研究》(哈尔滨工业大学出版社，2009年8月出版)一书中杨路教授写的“序”；还可以参见《UNIV, BEOGRAD. PUBL. ELEKTKOTEHN.FAKser. Mat.4(1993).25~27.陈计与杨学枝文:《ON A ZIRAKZADEH INEQUALITY RELATED TO TWO TRIANGLES INSCRIBED ONE IN THE OTHER》. 2. 由以上所得重要不等式 （14） 可得较（13）式更强的不等式 （15） 3. 《福建中学数学》，1996年第4期.杨学枝文：《对一道猜想题的证明》中，用与（13）式的类似证法，给出了 （16） 其中 分别为 边上的周界中点. PAGE 1 _1248804012.unknown _1302521086.unknown _1368423033.unknown _1372515393.unknown _1375781096.unknown _1376068874.unknown _1376219720.unknown _1378228685.unknown _1378289999.unknown _1378290081.unknown _1378406644.unknown _1378406651.unknown _1378290032.unknown _1378228765.unknown _1378228807.unknown _1378228741.unknown _1378227381.unknown _1378228381.unknown _1378227278.unknown _1376219268.unknown _1376219297.unknown _1376068959.unknown _1375781207.unknown _1375782496.unknown _1376068697.unknown _1376068749.unknown _1375785823.unknown _1375782471.unknown _1375781131.unknown _1375767717.unknown _1375780565.unknown _1375780842.unknown _1375780577.unknown _1375768286.unknown _1375780521.unknown _1375780536.unknown _1375768253.unknown _1373206867.unknown _1373701817.unknown _1374494437.unknown _1374494770.unknown _1374564828.unknown _1374494498.unknown _1373954402.unknown _1373208206.unknown _1372515446.unknown _1373083553.unknown _1372512916.unknown _1372515315.unknown _1372515360.unknown _1372515121.unknown _1372512809.unknown _1372512873.unknown _1372247849.unknown _1372247883.unknown _1368423225.unknown _1365256181.unknown _1365256615.unknown _1368422955.unknown _1368423006.unknown _1365256708.unknown _1365256354.unknown _1365256430.unknown _1365256312.unknown _1339743938.unknown _1354357084.unknown _1365255882.unknown _1365255993.unknown _1365256015.unknown _1365256064.unknown _1365256077.unknown _1365256031.unknown _1365256005.unknown _1365255935.unknown _1365255949.unknown _1365255917.unknown _1365255824.unknown _1365255836.unknown _1354357224.unknown _1341866129.unknown _1342729687.unknown _1353931101.unknown _1353931281.unknown _1354211471.unknown _1354211512.unknown _1353931319.unknown _1353931153.unknown _1353931044.unknown _1342727529.unknown _1342727532.unknown _1342727533.unknown _1342727531.unknown _1342727528.unknown _1339745159.unknown _1339745213.unknown _1339745040.unknown _1339744617.unknown _1339744751.unknown _1339744367.unknown _1339706390.unknown _1339735450.unknown _1339737453.unknown _1339743843.unknown _1339735573.unknown _1339735742.unknown _1339735524.unknown _1339735130.unknown _1339735186.unknown _1339735282.unknown _1339733866.unknown _1339735092.unknown _1314958691.unknown _1339704780.unknown _1339705687.unknown _1339705704.unknown _1339705807.unknown _1339705510.unknown _1339704735.unknown _1309063397.unknown _1314958690.unknown _1302521513.unknown _1269170920.unknown _1269190965.unknown _1271067064.unknown _1281609942.unknown _1281758765.unknown _1302521020.unknown _1302521066.unknown _1281759269.unknown _1302071711.unknown _1302071810.unknown _1281758780.unknown _1281610008.unknown _1281704829.unknown _1281704854.unknown _1281704375.unknown _1281609970.unknown _1271483234.unknown _1271932407.unknown _1271945016.unknown _1271943977.unknown _1271483400.unknown _1271483169.unknown _1269193701.unknown _1271066989.unknown _1271067013.unknown _1269194189.unknown _1269192143.unknown _1269193143.unknown _1269193218.unknown _1269193102.unknown _1269191983.unknown _1269191815.unknown _1269190530.unknown _1269190675.unknown _1269190753.unknown _1269190586.unknown _1269171036.unknown _1269189471.unknown _1269189504.unknown _1269190097.unknown _1269171097.unknown _1269170956.unknown _1269168684.unknown _1269170481.unknown _1269170842.unknown _1269170900.unknown _1269170664.unknown _1269169762.unknown _1269170265.unknown _1269169812.unknown _1269170171.unknown _1269169664.unknown _1269169712.unknown _1269168839.unknown _1269169548.unknown _1269168774.unknown _1266749772.unknown _1269166441.unknown _1269168345.unknown _1269168510.unknown _1269166860.unknown _1269168008.unknown _1269168078.unknown _1269167628.unknown _1269167440.unknown _1269167501.unknown _1269166969.unknown _1269166650.unknown _1269165840.unknown _1269166073.unknown _1269166330.unknown _1269165968.unknown _1269165677.unknown _1269165732.unknown _1268046464.unknown _1268046551.unknown _1269144761.unknown _1268046521.unknown 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