对数正态分布的几个性质及其参数估计

[收稿日期] � 2011- 08- 21 [作者简介] � 于洋( 1979- ) ,男, 东北财经大学数学与数量经济学院讲师, 硕士,研究方向: 概率统计。 对数正态分布的几个性质及其参数估计 于 � 洋 (东北财经大学 数学与数量经济学院, 辽宁 大连 116025) �摘 � 要� � 给出对数正态分布的几个性质, 分别利用矩估计法和最大似然估计法求出对数正态分布参数的点估 计, 并讨论其参数的区间估计。 �关键词� � 对数正态分布;矩估计; 最大似然估计;置信区间 Several Properties of the Lognormal Distribution and Estimation of Its Parameters YU Yang �Abstract� � This paper proposes several properties of the lognormal distribution and then derives point estimation of its parameters by using moment estimation and maximum likelihood estimation respectively. The paper also demonstrates interval estimation of its parameters. �Key words� � lognormal distribution; moment estimation; maximum likelihood estimation; confidence interval �中图分类号� O212� � � � �文献标识码� A � � � � �文章编号� 1674- 3229( 2011) 05- 0008- 04 1 � 对数正态分布的几个性质 对数正态分布在实际中有着重要的应用, 如在 金融市场的理论研究中, 著名的期权定价公式 (Black- Scholes 公式)以及许多实证研究都用对数 正态分布来描述金融资产的价格。在工程、医学和 生物学等领域里对数正态分布也有着广泛地应用。 1. 1 � 对数正态分布的定义 定义 � 如果随机变量X 的函数Y = lnX 服从正 态分布N �, �2 ,则称X 服从参数为�和�2的对数 正态分布。 从定义可以看出, 对数正态分布与正态分布之 间有着紧密的联系。由正态分布的概率密度, 可推导 出对数正态分布的概率密度。 令 �( y ) , �( y ) 分别 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示正态分布 N �, �2 的 分布函数和概率密度,其中 �( y ) = 1 2��e - ( y- �) 2 2�2 , - � < y < + � , 因 Y = lnX ~ N �, �2 , 则 X = eY 且 Y ~ N �, �2 , 于是当 x > 0时, FX ( x ) = P {X � x } = P eY � x = P{ Y � lnx } = �( lnx ) , 从 而 f X ( x ) = F�X ( x ) = 1 x �( lnx ) = 1 2��x e - ( lnx- �) 2 2�2 ,当 x � 0时, 易得f X ( x ) = 0,故对数 正态分布的概率密度为 f X ( x ) = 1 2��x e - ( lnx- �) 2 2�2 , x > 0 0, � � � � � � x � 0 。 根据定义,可以很方便地把对数正态分布的计 算转换为正态分布的计算。 1. 2 � 主要结果 对数正态分布有以下几个常用的性质。 命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1 � 设随机变量 X ~ N ( �, �2 ) , 则 Y = e aX+ b ( a, b 为常数且 a � 0) 服从参数为 a�+ b 和 a 2 �2 的对数正态分布。 证 � ln Y = aX + b ~ N ( a�+ b, a2 �2 ) ,根据定 义, 命题得证。 命题 2 � 设随机变量 X 与Y 相互独立,且 X ~ �8� 2011年 10 月 廊坊师范学院学报(自然科学版) Oct. 2011 第 11卷第 5 期 Journal of Langfang Teachers College( Naturnal Science Edition) Vol. 11 No. 5 N ( �1 , �21 ) , Y ~ N ( �2 , �22 ) , 则 Z = eaX+ bY ( a, b 为不 全为0的常数) 服从参数为 a�1 + b�2和 a2 �21+ b2 �22 的对数正态分布。 证 � 由正态分布的可加性, lnZ = aX + bY ~ N a�1 + b�2 , a2 �21 + b2 �22 , 根据定义,命题得证。 由命题2及正态分布的可加性可推出下面的结 论。 推论 1 � 设随机变量 X 1 , X 2 , �, Xn 相互独立, 且 Xk ~ N �k , �2k ( k = 1, 2, �, n) , 则 Z = e a 1 X 1 + a 2 X 2 + �+ a n X n ( a1 , a2 , �, an 为不全为 0的常数) 服从参数为�n k= 1 ak�k 和 �n k= 1 a 2 k�2k 的对数正态分布。 命题 3 � 设随机变量 X 与Y 相互独立,且 X 服 从参数为 �1和 �21的对数正态分布, Y服从参数为�2 和 �22的对数正态分布,则 Z = X aYb ( a, b 为不全为 0的常数) 服从参数为a�1+ b�2和 a2 �21+ b2 �22的对 数正态分布。 证 � 由 题设 知 lnX ~ N �1 �21 , ln Y ~ N �2 �22 ,且 lnX 和 ln Y相互独立, 根据正态分布的 可加 性, lnZ = ln XaYb = alnX + b ln Y ~ N a�1 + b�2 , a2 �21 + b2 �22 , 由定义,命题得证。 同理可得下面的推论。 推论 2 � 设随机变量 X 1 , X 2 , �, Xn 相互独立, 且Xk 服从参数为�k和�2k 的对数正态分布( k = 1, 2, �, n) ,则 Z = Xa11 Xa22 �X ann ( a1 , a2 , �, an为不全为 0的常数) 服从参数为�n k= 1 ak �k 和�n k= 1 a 2 k�2k 的对数正 态分布。 命题4 � 设总体X 服从参数为�和�2的对数正 态分布, X 1 , X 2 , �, X n 为来自总体X 的简单随机样 本,则 1 n �ni= 1 lnX i ~ N �, 1n�2 , 1�2 � n i= 1 ( lnX i - �) 2 ~ �2( n)。 证 � 由题设知 lnX i ~ N �, �2 , i = 1, 2, �, n ,且 lnX 1 , lnX 2 , �, lnX n 相互独立, 由正态分布的 可加性, �n i = 1 lnX i ~ N n�, n�2 , 从而 1 n �ni= 1 lnX i ~ N �, 1 n �2 ;又lnX i - �� ~ N ( 0, 1) ,由 � 2分布的可 加性,得 1�2 � n i= 1 lnX i - � 2 ~ � 2 ( n)。 命题5 � 设总体X 服从参数为�和�2的对数正 态分布, X 1 , X2 , �, X n 为来自总体X 的简单随机样 本。令 W2 = 1 n - 1 �ni= 1 lnX i - 1n � n i= 1 lnX i 2 ,则 n - 1�2 W 2 ~ �2 ( n - 1) , 1 n �ni= 1 lnX i - � W� n ~ t ( n - 1)。 证 � 令 Y = lnX , Yi = lnX i , i = 1, 2, �, n , �Y = 1 n �ni= 1 Yi = 1n � n i= 1 lnX i , 由题设, 易知 Y1 , Y2 , �, Yn为来自正态总体Y ~ N �, �2 的简单随机样本, 而 Y 的样本方差为 S 2 Y = 1 n - 1 �ni= 1 Yi - �Y 2 = 1 n - 1 �ni= 1 lnX i - 1n � n i= 1 lnX i 2 = W 2。 根据单个正态总体的抽样分布定理[ 1] ,有 n - 1 �2 W 2 = n - 1 �2 S 2 Y ~ � 2 ( n - 1) , 1 n �ni= 1 lnX i - � W� n = �Y - � SY� n ~ t ( n - 1)。 2 � 参数 �和 �2 的点估计 2. 1 � 参数 �和�2 的矩估计 设总体 X 服从参数为 �和�2 的对数正态分布, X 1 , X 2 , �Xn为来自总体X 的简单随机样本。记 �和 �2的矩估计量分别为 �^ME 和�^2ME。根据矩估计法的原 理[ 2] ,要求 �和�2的矩估计量, 需要知道X的数学期 望 EX 和方差DX ,为此先求 X 的 k 阶原点矩EX k。 令 Y = lnX ~ N �, �2 ,则 X = eY ,于是 EX k = Ee kY =�+ �- � eky � 12��e- ( y- �) 22�2 dy = 1 2���+ �- � e- y2- 2 �+ k�2 y+ �22�2 dy = e k�+ k2 �22 � 1 2���+ �- � e- ( y- �- k�2) 22�2 dy = e k�+ k2 �2 2 , 故 � � � � � EX = e�+ �22 ( 1) EX 2 = e 2�+ 2�2 从而 DX = EX 2 - ( EX ) 2 = e 2�+ 2�2 - e2�+ �2 = e 2�+ �2 e �2 - 1 ( 2) �9� 第 11卷�第 5期 于洋: 对数正态分布的几个性质及其参数估计 2011 年 10月 根据矩估计法, EX 和DX 的矩估计量分别是 �X 和 1 n �ni= 1 X i - �X 2 , 由( 1) 式和( 2) 式, 有 �X = e �^+ �^22 , 1 n �ni= 1 X i - �X 2 = e 2�^+ �^2 e�^2 - 1 , 解得 �和 �2 的矩估计量分别是 �^ME = ln�X - 12 ln 1 + 1n �ni= 1 X i - �X 2 �X 2 ( 3) �^2ME = ln 1 + 1 n �ni= 1 X i - �X 2 �X 2 ( 4) 给定一组样本观测值,利用上式便可求出 �和 �2的矩估计值。 例1 � 设总体X 服从参数为 �和�2的对数正态 分布,已知样本观测值为 0. 25, 0. 8, 1, 2, 2. 5,计算可 得 �x = 1 n �ni= 1 x i = 1. 31, 1 n �ni= 1 x i - �x 2 = 1n � n i= 1 x 2 i - �x 2 = 0. 6744, 即对数正态总体X 的均值EX和方差DX 的矩估 计值分别为 EXME = �x = 1. 31, DXME = 1 n �ni= 1 x i - �x 2 = 0. 6744, 代入( 3) 式和( 4) 式,有 �^ME = 0. 1043, �^2ME = 0. 3314。 2. 2 � 参数 �和�2 的最大似然估计 设总体X 服从参数为 �和�2的对数正态分布, X 1 , X2 , �, X n 为来自总体X 的简单随机样本。记 � 和�2的最大似然估计量分别为 �^MLE 和�^2MLE , 文献[ 3] 给出了 �与�2 的最大似然估计量分别为 �^MLE = 1 n �ni= 1 lnX i , �^2MLE = 1 n �ni= 1 lnX i - 1n � n i= 1 lnX i 2。 由( 1) 式和 ( 2) 式以及最大似然估计的不变 性[ 1] ,对数正态总体 X 的均值EX 和方差DX 的最大 似然估计量分别为 EXMLE = e �^ MLE + �^2 MLE 2 , DXMLE = e 2�^ MLE + �^2 MLE e �^2 MLE - 1 。 在实际应用时, 给定一组样本值,代入计算便可 求出参数 �、�2 及 EX、DX 的最大似然估计值。 例2 � 设总体X 服从参数为 �和�2的对数正态 分布,已知样本观测值为 0. 25, 0. 8, 1, 2, 2. 5,计算可 得 �^MLE = 1 n �ni= 1 lnxi = 15 � ln1 = 0, �^2MLE = 1 n �ni= 1 lnx i - 1n � n i= 1 lnxi 2 = 1 5 � 3. 2916 = 0. 6583, EXMLE = e 0+ 1 2 �0.6583 = 1. 3898, DX MLE = ( 1. 3898) 2 e 0. 6583 - 1 = 1. 7992。 比较例1和例2可知,对数正态总体每个参数的 矩估计量与该参数的最大似然估计量是不同的, 从 而对于同一组样本观测值, 每个参数的矩估计值和 最大似然估计值也是不同的。 定理 � 设总体X 服从参数为 �和�2的对数正 态分布, X 1 , X 2 , �, Xn 为来自总体X 的简单随机 样本, �^MLE = 1 n �ni= 1 lnX i 和 �^2MLE = 1n � n i= 1 ( lnX i - 1 n �ni= 1 lnX i ) 2 分别为 �和�2 的最大似然估计量, 则 �^MLE 是参数 �的无偏估计量和相合估计量, �^2MLE 是 �2 的渐进无偏估计量和相合估计量, 而 n n - 1�^2MLE = 1 n - 1 �ni= 1 lnX i - 1n � n i= 1 lnX i 2 是 �2 的一个无偏 估计量。 定理的证明参见文献[ 3]。在实际应用时, 常选 用 �和�2 的最大似然估计量来作为 �和�2 的估计 量。 3 � 参数 �和 �2 的置信区间 设总体 X 服从参数为 �和�2 的对数正态分布, X 1 , X 2 , �, Xn 为来自总体X 的简单随机样本。根据 构造置信区间的方法[ 1] , 本文给出以下四个置信区 间。 3. 1 � �2 已知时 �的置信区间 由定理知 �^MLE = 1 n �ni= 1 lnX i 是参数�的无偏估 计量,由命题4知 �^MLE ~ N �, 1 n �2 ,其中 �2已知, 则 n �^MLE - �� ~ N ( 0, 1) , 对给定的置信水平 1- �, 有 P - u � 2 < n �^MLE - �� < u �2 = 1- �, 即 �10� 2011 年 10月 廊坊师范学院学报(自然科学版) 第 11 卷�第 5 期 P �^MLE - u �2 � � n < � < �^MLE + u �2 � � n = 1- � ( 5) 故 �2已知时, �的置信水平为1- �的置信区间 为 1 n �ni= 1 lnX i - u �2 � �n , 1n � n i= 1 lnX i + u � 2 � � n 。 例 3 � 设总体 X 服从参数为 �和1的对数正态 分布, X 1 , X 2 , �, Xn为来自总体X的简单随机样本, 求 EX 的置信水平为 1- �的置信区间。 解 � 已知 �2 = 1,由( 1) 式知 EX = e�+ 12 ,且是 �的单调递增函数,根据( 5) 式有 1- �= P �^MLE - u �2 � 1 n < �< �^MLE + u �2 � 1 n = P e �^ MLE + 1 2 - u � 2 � 1 n < e �+ 1 2 < e �^ MLE + 1 2 + u � 2 � 1 n = P �n i = 1 X i 1 n � e 12- u �2 � 1n < EX < �n i= 1 X i 1 n � e 12+ u�2 � 1n , 故 EX 的置信水平为 1 - �的置信区间为 �n i= 1 X i 1 n � e 12- u�2 � 1n , �n i= 1 X i 1 n � e 12 + u�2 � 1n 。 3. 2 � �2 未知时 �的置信区间 由定理及命题5知 n n - 1 �^2MLE = W2是 �2的一个 无偏估计量,且 1 n �ni= 1 lnX i - � W� n ~ t ( n - 1) , 对给定 的置信水平1 - �,有 P - t � 2 ( n - 1) < 1 n �ni= 1 lnX i - � W� n < t �2 ( n - 1) = 1 - �, 即 P 1 n �ni = 1 lnX i - t �2 ( n - 1) � Wn < � < 1n � n i= 1 lnX i + t � 2 ( n - 1) � W n = 1- �, 故 �2未知时 �的置信水平为 1- �的置信区间 为 1 n �ni= 1 lnX i - t �2 ( n - 1) � Wn , 1n � n i= 1 lnX i + t � 2 ( n - 1) � W n , � � 其中 W2 = 1 n - 1�ni= 1 lnX i - 1n � n i = 1 lnX i 2 。 3. 3 � �已知时 �2 的置信区间 由命题4知 1�2 � n i= 1 lnX i - � 2 ~ � 2 ( n) ,其中 � 已知,对给定的置信水平 1 - �,有 P �21- � 2 ( n) < 1 �2 � n i = 1 lnX i - � 2 < � 2� 2 ( n) = 1- �, 即 P �n i= 1 lnX i - � 2 � 2� 2 ( n) < �2 < � n i= 1 lnX i - � 2 V 2 1- A 2 ( n) = 1- A, 故 L 已知时R2的置信水平为1- A的置信区间 为 E n i= 1 lnX i - L 2 V 2 A 2 ( n) , E n i= 1 lnX i - L 2 V 2 1- A 2 ( n) 。 3. 4 L未知时 R2 的置信区间 由命题 5知n - 1 R 2 W 2 ~ V 2 ( n - 1) ,对给定的置 信水平 1- A,有 P V 2 1- A 2 ( n - 1) < n - 1 R 2 W 2 < V 2 A 2 ( n - 1) = 1- A, 即 P ( n - 1) W 2 V 2 A 2 ( n - 1) < R 2 < ( n - 1) W 2 V 2 1- A 2 ( n - 1) = 1 - A, 故 L 未知时R2的置信水平为1- A的置信区间 为 ( n - 1) W 2 V 2 A 2 ( n - 1) , ( n - 1) W 2 V 2 1- A 2 ( n - 1) , 其中 W2 = 1 n - 1 E n i = 1 lnX i - 1 n E n i= 1 lnX i 2 。 [参考文献] [ 1] 龙永红.概率论与数理统计(第 3版 ) [ M ] . 北京:高等教 育出版社, 2009. [ 2] 邓集贤,杨维权, 司徒荣, 邓永录. 概率论及数理统计(第 4版) [M ] . 北京:高等教育出版社, 2009. [ 3] 于洋,孙月静. 对数正态分布参数的最大似然估计 [ J] . 九江学院学报, 2007( 6) . [4] M . H. DeGroot, M. J. Schervish. 概率论与数理统计 (第 3 版) [M ] . 北京:高等教育出版社, 2005. #11# 第 11卷#第 5期 于洋: 对数正态分布的几个性质及其参数估计 2011 年 10月