弹性力学第六章

1 第六章：温度应力第六章：温度应力 介绍温度应力的基本 概念及其求解过程 温度应力基本概念温度应力基本概念 物体 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面和内部温度发生变化会引起物体膨 胀与收缩 ¾ 若物体不受任何阻力，则不引起内力；但物 体与外界总有接触，它的某一部分的伸缩受到 限制，产生阻止自由伸缩的内力—热应力； ¾ 物体内部单元间的变形不能任意，互相之间 有约束—产生阻止自由伸缩的内力—热应力； 热应力分析：求解物体温度场发生变化 时，热应力的分布； 基本假设： • 热、力间无耦合； • 小变形，线弹性； • 材料热性质是各向同性，均匀的； 研究步骤： • 求物体内部的温度场 T(x,y,z,t)； • 求物体内部的热应力分布； 温度场的边值问题温度场的边值问题 热传导：物体一部分对另一部分或两个接 触物体间的热量交换与传递，以 温度变化为标志。 热传导方程： ρα c wT t T +∇=∂ ∂ 2 α=λ/cρ；c：比热； λ：导热系数。 α: 导温系数； ρ: 体密度；w: 内部热源强度； 初始条件： ),,(00 zyxTT tt == 边界条件： 1：已知表面在各时刻温度； ),,,( zyxtTT ss = 2：已知表面上各点的法向热流密度； n Tqzyxfq nSn ∂ ∂−== λ),,,( 3：物体表面与外界接触； )( esSn TTq −= β β：放热系数；Ts：物面温度； Te：外界介质温度。 4：物体表面与接触物体以热传导进行热交换； cS TT = Tc：接触物体的表面温度。 热应力问题基本方程热应力问题基本方程 对定常温度场，内部无热源，有： ρα c wT t T +∇=∂ ∂ 2 02 =∇ T 0),,( =∂ ∂= ss n TorzyxT ϕ 物理方程： (1) 自由伸缩时，产生应变： ds ds´ αTds 任一方向均有： T ds dssd αε =−′= 0, ====== zxyzxyzyx T γγγαεεε 2 (2) 实际非自由伸缩，产生热应力，相应地要 引起变形，应力应变满足虎克定理： ′′ ijij σε ~ (3) 由叠加原理，总应变=自由伸缩应变 +热应力产生的应变： [ ])(1 zyxx ET σσμσαε +−+= [ ])(1 zxyy ET σσμσαε +−+= [ ])(1 yxzz ET σσμσαε +−+= xyxy E τμγ )1(20 ++= yzyz E τμγ )1(20 ++= zxzx E τ μγ )1(20 ++= 平衡方程、几何方程、应变协调方程，应力边界 条件，应变边界条件形式不变（与无热应力时相比） 按位移求解温度应力的平面问题按位移求解温度应力的平面问题 平面应力问题： 0,0,0 === zxxyz ττσ 物理方程为： T E yxx αμσσε +−= )(1 T E xyy αμσσε +−= )(1 xyxy E τ μγ )1(2 += 用应变表示应力的物理方程为： μ αμεεμσ −−+−= 1)(1 2 TEE yxx μ αμεεμσ −−+−= 1)(1 2 TEE xyy xyxy E γμτ )1(2 += 再根据几何方程可得： μ αμμσ −−∂ ∂+∂ ∂ −= 1)(1 2 TE y v x uE x μ αμμσ −−∂ ∂+∂ ∂ −= 1)(1 2 TE x u y vE y )( )1(2 y u x vE xy ∂ ∂+∂ ∂ += μτ 代入平衡方程有： 0)1( 2 1 2 1 2 2 2 2 2 =∂ ∂+−∂∂ ∂++∂ ∂−+∂ ∂ x T yx v y u x u αμμμ 0)1( 2 1 2 1 2 2 2 2 2 =∂ ∂+−∂∂ ∂++∂ ∂−+∂ ∂ y T yx u x v y v αμμμ 应力边界条件为： Tl x v y um y v x ul αμμμ )1( 2 1 +=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂−+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂ Tm y u x vl y u x vm αμμμ )1( 2 1 +=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂−+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂ 从平衡方程和边界条件可以看出, 在一定的位移边 界条件下, 由温度变化引起的位移, 就等于温度不 变而受有下列假想的外来作用而引起的位移: 体力： ; 1 , 1 y TEY x TEX ∂ ∂ −−−= ∂ ∂ −−= μ α μ α 法向面力： μ ασ −= 1 TE N 求出位移后，按下述公式求出热应力： μ αμμσ −−∂ ∂+∂ ∂ −= 1)(1 2 TE y v x uE x μ αμμσ −−∂ ∂+∂ ∂ −= 1)(1 2 TE x u y vE y )( )1(2 y u x vE xy ∂ ∂+∂ ∂ += μτ 因此，在温度应力的平面应力问题中，温度 应力就等于假想体力和面力作用下所引起的 应力，再叠加以各向同性的正应力： μ α −− 1 TE 平面应变问题：平面应变问题： 物理方程为： TE yxx αμσμ μσμε )1() 1 (1 2 ++−− −= xyxy E τμγ )1(2 += T E xyy αμσμ μσμε )1() 1 (1 2 ++−− −= 平面应力 平面应变 E 21 μ− E αμ )1( +αμ μ μ −1 3 位移势函数位移势函数 0)1( 2 1 2 1 2 2 2 2 2 =∂ ∂+−∂∂ ∂++∂ ∂−+∂ ∂ x T yx v y u x u αμμμ 0)1( 2 1 2 1 2 2 2 2 2 =∂ ∂+−∂∂ ∂++∂ ∂−+∂ ∂ y T yx u x v y v αμμμ 按位移求解时，要满足以下方程组和相应的 边界条件 求解时，特解+补充解 补充解： 0 2 1 2 1 2 2 2 2 2 =∂∂ ∂++∂ ∂−+∂ ∂ yx v y u x u μμ 0 2 1 2 1 2 2 2 2 2 =∂∂ ∂++∂ ∂−+∂ ∂ yx u x v y v μμ 特解+补充解 满足边界条件 为了求特解，引入： yvxu ∂ ∂=′∂ ∂=′ ψψ , ψ称为位移势函数； 相应地，平衡方程为： y T y x T x ∂ ∂+=∇∂ ∂ ∂ ∂+=∇∂ ∂ αμψ αμψ )1( )1( 2 2 ψ满足的平衡方程为： Tαμψ )1(2 +=∇ 相应地， ψμα 2)1( 1 ∇+=T μ αμμσ −−∂ ∂+∂ ∂ −= 1)(1 2 TE y v x uE x μ αμμσ −−∂ ∂+∂ ∂ −= 1)(1 2 TE x u y vE y )( )1(2 y u x vE xy ∂ ∂+∂ ∂ += μτ yx E x E y E xy y x ∂∂ ∂ += ′ ∂ ∂ +−= ′ ∂ ∂ +−= ′ ψ μτ ψ μσ ψ μσ 2 2 2 2 2 1 1 1 位移补充解u``和v``满足的方程为： 0 2 1 2 1 2 2 2 2 2 =∂∂ ′′∂++∂ ′′∂−+∂ ′′∂ yx v y u x u μμ 0 2 1 2 1 2 2 2 2 2 =∂∂ ′′∂++∂ ′′∂−+∂ ′′∂ yx u x v y v μμ 相应的应力分量为： )( 1 2 y v x uE x ∂ ′′∂+∂ ′′∂ −= ′′ μμσ )(1 2 x u y vE y ∂ ′′∂+∂ ′′∂ −= ′′ μμσ )()1(2 y u x vE xy ∂ ′′∂+∂ ′′∂ +=′′ μτ 总的位移分量为： vvvuuu ′′+′=′′+′= , 总的应力分量为： xyxyxyyyyxxx τττσσσσσσ ′′+′=′′+′=′′+′= ,, 例： 试求解热应力问题，已知矩形薄板中 发生的变温为： )1( 2 2 0 b yTT −= a ab b x y oT0 解： 位移势函数满 足的方程为： Tαμψ )1(2 +=∇ )1()1( 2 2 0 b yT −+= αμ 取位移势函数为： 42 ByAy +=ψ 代入上式有： )1()1(122 2 2 0 2 b yTByA −+=+ αμ 比较系数有： 2 )1( 0TA αμ+= 2 012 )1( b T B αμ+−= 相应地， 42 ByAy +=ψ ) 122 ()1( 2 42 0 b yyT −+= αμ 相应的应力分量为： )1( 2 2 0 b yTEx −−=′ ασ 0=′yσ 0=′xyτ a ab b x y oEαT0 EαT0相应的面力如图所示： 为了满足边界条件，可施加 与上述面力大小相等而方向 相反的面力，如图所示： a ab b x y oEαT0 EαT0由此引起的应力作 为补充解； a ab b x y oEαT0 EαT0其精确解很难求得； 当a>>b时，左右边界成为次要边界，可以按照圣 维南原理，把两边的面力化为静力等效的均布载 荷，则满足相容方程的应力函数可以取为： 2cy=ϕ 相应地，应力分量为： c y x 22 2 =∂ ∂=′′ ϕσ 0 2 2 =∂ ∂=′′ x y ϕσ 0 2 =∂∂ ∂−=′′ yxxy ϕτ 总的应力分量为： )1(2 2 2 0 b yTEcxxx −−=′′+′= ασσσ 0=′′+′= yyy σσσ 0=′′+′= xyxyxy τττ 4 边界条件为： 0)(,0)( 0)(,0)( == == ±=±= ±=±= byxybyy axxyaxx τσ τσ 后三个条件满足，第一个条件要用圣维南原 理化为静力等效条件： 0)(,0)( == ∫∫ − ±=− ±= bb axxbb axx ydydy σσ )1(2 2 2 0 b yTEcxxx −−=′′+′= ασσσ把 代入，得： 03 22 TEc α= 最后的温度应力为： 0,0,) 3 1( 2 2 0 ==−= xyyx b yTE τσασ x y o + - 03 2 TEα 03 1 TEα 用极坐标求解用极坐标求解 物理方程： T E rr αμσσε θ +−= )(1 TE r αμσσε θθ +−= )( 1 θθ τμγ rr E )1(2 +=特解： θ ψψ θ ∂ ∂=′∂ ∂=′ r u r ur 1, 位移势函数满足的方程为： Tαμψ )1(2 +=∇ 2 2 22 2 2 11 θ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂=∇ rrrr 相应的应力分量为： )11( 1 2 2 2 θ ψψ μσ ∂ ∂+∂ ∂ +−=′ rrr E r 2 2 1 r E ∂ ∂ +−=′ ψ μσ θ )1( 1 θ ψ μτ θ ∂ ∂ ∂ ∂ +=′ rr E r 若T=T(r)，则可取ψ= ψ(r)： ψ满足的方程为： Tdr d rdr d αμψ )1()1( 2 2 +=+ T dr dr dr d r αμψ )1()(1 += 积分得： BrATrdrrr ++++= ∫ ∫ ln)1(1)1()( 2 αμαμψ dr d r E r ψ μσ 1 1 +−=′ ][2 ∫ +−= ATrdrr Eα 2 2 1 dr dE ψ μσ θ +−=′ ][ 2 2 TrATrdr r E −+−= ∫α 0=′ θτ r 圆环和圆筒的轴对称温度应力圆环和圆筒的轴对称温度应力 a b 设圆环的内半径为a，外半径为 b，发生轴对称变温T=T(r), 0)(,0)( == == brrarr σσ 相应于位移特解的应力分量为： ][ 2 ATrdr r E r ar +−=′ ∫ασ ][ 22 TrATrdrr E r a −+−=′ ∫ασ θ 0=′ θτ r 边界条件： 边界条件不能被满足 取满足相容方程的应力函数为： 22 r C=ϕ 相应的应力作为补充解： 0, =′′=′′=′′ θθ τσσ rr C 总应力为： CATrdr r E r ar ++−= ∫ ][2ασ CTrATrdrr E r a +−+−= ∫ ][ 22ασ θ 0=θτ r 代入边界条件有： 0 2 =+− CA a Eα 0][ 2 =++− ∫ CATrdrb E b a α ∫∫ −=−= b a b a Trdr ab ECTrdr ab aA 2222 2 , α ][ 22 22 2 ∫∫ −− −= r a b ar TrdrTrdr ab ar r Eασ ][ 2 22 22 2 TrTrdrTrdr ab ar r E r a b a −+− += ∫∫ασ θ 0=θτ r 作为特例，设圆环从某一均匀温度加热，内面 增温Ta，外面增温Tb，内部无热源，求热流稳 定后，圆环中的热应力？ 变温满足的方程为： 02 =∇ T 0)(1 =dr dTr dr d r BrAT += ln bbraar TTTT == == )(,)( a b r a T a b r b TT ba ln ln ln ln += ] 1 1 ln ln [ 2 )( 2 2 2 2 − − −−−= a b r b a b r b TTE ba r ασ ] 1 1 ln 1ln [ 2 )( 2 2 2 2 + + + −−−= a b r b a b r b TTE baασθ