2012广州“一模”数学文科答案（广州教研室公布）

广 州 教 研 网 ht tp :/ /w ww .g ua ng zt r. ed u. cn / 数学（文科）试题参考答案及评分 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 第 1 页（共 8 页） 2012 年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学（文科）试题参考答案及评分标准 说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考， 如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应 的分数． 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得 分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C B C B A C B A 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共 5 小题，每小题 5 分，满分 20 分．其中 14~15 题是选做题，考生只能选做一题．第 13 题仅填对 1 个，则给 3 分． 11．0 12．[ ]0,1 13．35，10 14．6 2 15． 2 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算 步骤 新产品开发流程的步骤课题研究的五个步骤成本核算步骤微型课题研究步骤数控铣床操作步骤 ． 16．（本小题满分12分） （本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识，考查化归 与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解： 9 f pæ ö ç ÷ è ø tan 3 4 p pæ ö= +ç ÷ è ø ……………………………………………………………………………1 分 tan tan 3 4 1 tan tan 3 4 p p+ = p p - …………………………………………………………………………3 分 3 1 2 3 1 3 + = = - - - ．………………………………………………………………………4 分 （2）解法 1：因为 3tan 3 4 4 4 f a ap p pæ ö æ ö+ = + +ç ÷ ç ÷ è ø è ø …………………………………………………………5 分 ( )tan a= + p ………………………………………………………………6 分 tan 2a= = ．………………………………………………………………7 分 广 州 教 研 网 ht tp :/ /w ww .g ua ng zt r. ed u. cn / 数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 2 页（共 8 页） 所以 sin 2 cos a a = ，即sin 2cosa a= ． ① 因为 2 2sin cos 1a a+ = ， ② 由①、②解得 2 1cos 5 a = ．………………………………………………………………………………9 分 所以 2cos 2 2cos 1a a= - ………………………………………………………………………………11 分 1 3 2 1 5 5 = ´ - = - ．………………………………………………………………………12 分 解法 2：因为 3tan 3 4 4 4 f a ap p pæ ö æ ö+ = + +ç ÷ ç ÷ è ø è ø …………………………………………………………5 分 ( )tan a= + p ………………………………………………………………6 分 tan 2a= = ．………………………………………………………………7 分 所以 2 2cos 2 cos sina a a= - ……………………………………………………………………………9分 2 2 2 2 cos sin cos sin a a a a - = + …………………………………………………………………………10 分 2 2 1 tan 1 tan a a - = + ………………………………………………………………………………11 分 1 4 3 1 4 5 - = = - + ．……………………………………………………………………………12 分 17．（本小题满分12分） （本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运 算求解能力） （1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于 1， 所以10 (0.005 0.01 0.02´ + + 0.025 0.01) 1a+ + + = ．………………………………………………1 分 解得 0.03a = ．……………………………………………………………………………………………2 分 （2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于 60 分的频率为1 10 (0.005 0.01)- ´ + 0.85= ．…………3 分 由于该校高一年级共有学生 640 人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于 60 分的人数约为640 0.85 544´ = 人． …………………………………………………………………5 分 （3）解：成绩在[ )40,50 分数段内的人数为40 0.05 2´ = 人，分别记为 A，B ．……………………6 分 成绩在[ ]90,100 分数段内的人数为40 0.1 4´ = 人，分别记为C ，D，E ，F ．…………………7 分 若从数学成绩在 [ )40,50 与 [ ]90,100 两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件 有： ( ),A B ， ( ),A C ， ( ),A D ， ( ),A E ， ( ),A F ， ( ),B C ， ( ),B D ， ( ),B E ， ( ),B F ， ( ),C D ， 广 州 教 研 网 ht tp :/ /w ww .g ua ng zt r. ed u. cn / 数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 3 页（共 8 页） ( ),C E ， ( ),C F ， ( ),D E ， ( ),D F ， ( ),E F 共 15 种．…………………………………………9 分 如果两名学生的数学成绩都在[ )40,50 分数段内或都在[ ]90,100 分数段内，那么这两名学生的数学成 绩之差的绝对值一定不大于 10.如果一个成绩在[ )40,50 分数段内，另一个成绩在[ ]90,100 分数段内， 那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于 10． 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有： ( ),A B ， ( ),C D ， ( ),C E ， ( ),C F ， ( ),D E ， ( ),D F ， ( ),E F 共 7 种．……………………11 分 所以所求概率为 ( ) 7 15 P M = ．…………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分） （本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以 及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：因为平面 ^PAC 平面 ABC ，平面PAC I平面 ABC AC= ， PD Ì平面PAC ， ACPD ^ ， 所以PD ^平面 ABC ．…………………………………………………………………………………2 分 记 AC 边上的中点为E ，在△ ABC 中，因为 AB BC= ， 所以 ACBE ^ ． 因为 6AB BC= = ， 4=AC ， 所以 ( )22 2 26 2 2BE BC CE= - = - = ．………………………………………………………4 分 所以△ ABC 的面积 1 2 2 2ABC S AC BED = ´ ´ = ．……………………………………………………5 分 因为 2=PD ， 所以三棱锥 ABCP - 的体积 1 3P ABC ABC V S PD- D= ´ ´ 1 4 2 2 2 2 3 3 = ´ ´ = ．……………………7 分 （2）证法 1：因为PD ^ AC ，所以△PCD为直角三角形． 因为 2PD = ， 3CD = ， 所以 2 2 2 22 3 13PC PD CD= + = + = ．………………9 分 连接BD，在Rt △BDE 中， 因为 90BEDÐ = o， 2BE = ， 1DE = ， 所以 ( )22 2 22 1 3BD BE DE= + = + = ．…………10 分 由（1）知PD ^平面 ABC ，又BD Ì平面 ABC ， 所以PD ^ BD． 在Rt △PBD中，因为 90PDBÐ = o， 2PD = ， 3BD = ， 所以 ( )22 2 22 3 7PB PD BD= + = + = ．……………………………………………………12 分 B P A CD E 广 州 教 研 网 ht tp :/ /w ww .g ua ng zt r. ed u. cn / 数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 4 页（共 8 页） 在 PBCD 中，因为 6BC = ， 7PB = ， 13PC = ， 所以 2 2 2BC PB PC+ = ．………………………………………………………………………………13 分 所以 PBCD 为直角三角形．……………………………………………………………………………14 分 证法 2：连接BD，在Rt △BDE 中，因为 90BEDÐ = o， 2BE = ， 1DE = ， 所以 ( )22 2 22 1 3BD BE DE= + = + = ．…………8分 在△BCD中， 3CD = ， 6BC = ， 3BD = ， 所以 2 2 2BC BD CD+ = ，所以BC BD^ ．………………10分 由（1）知PD ^平面 ABC ， 因为BC Ì平面 ABC ， 所以BC PD^ ． 因为BD PD D=I ， 所以BC ^平面PBD．…………………………………………………………………………………12分 因为PB Ì平面PBD，所以BC PB^ ． 所以 PBCD 为直角三角形．……………………………………………………………………………14分 19．（本小题满分14分） （本小题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概 括能力、运算求解能力和创新意识） （1）解：因为数列{ }na 是等差数列， 所以 ( )1 1na a n d= + - ， ( ) 1 1 2n n n S na d - = + ．……………………………………………………1分 依题意，有 5 2 7 2 22 70, . S a a a =ìï í =ïî 即 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 5 10 70, 6 21 . a d a d a d a d + =ìï í + = + +ïî ………………………………………3 分 解得 1 6a = ， 4d = ．……………………………………………………………………………………5 分 所以数列{ }na 的通项公式为 4 2na n= + （ *nÎN ）．…………………………………………………6 分 （2）证明：由（1）可得 22 4nS n n= + ．……………………………………………………………………7 分 所以 ( )2 1 1 1 2 4 2 2nS n n n n = = + + 1 1 1 4 2n n æ ö= -ç ÷+è ø ．…………………………………………………8分 所以 1 2 3 1 1 1 1 1 1 n n n T S S S S S- = + + + + +L B P A CD E 广 州 教 研 网 ht tp :/ /w ww .g ua ng zt r. ed u. cn / 数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 5 页（共 8 页） 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 3 4 2 4 4 3 5 4 1 1 4 2n n n n æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö= - + - + - + + - + -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷- + +è ø è ø è ø è ø è ø L ……………9 分 1 1 1 1 1 4 2 1 2n n æ ö= + - -ç ÷+ +è ø 3 1 1 1 8 4 1 2n n æ ö= - +ç ÷+ +è ø ．………………………………………………………………………10 分 因为 3 1 1 1 0 8 4 1 2n T n n æ ö- = - + <ç ÷+ +è ø ，所以 3 8n T < ．………………………………………………11 分 因为 1 1 1 1 0 4 1 3n n T T n n+ æ ö- = - >ç ÷+ +è ø ，所以数列{ }nT 是递增数列．………………………………12 分 所以 1 1 6n T T³ = ．………………………………………………………………………………………13分 所以 1 3 6 8n T£ < ．…………………………………………………………………………………………14分 20．（本小题满分14分） （本小题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨 论的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：因为 3 2( )f x x ax b= - + + ，所以 2 2( ) 3 2 3 3 a f x x ax x xæ ö¢ = - + = - -ç ÷ è ø ．……………………1 分 当 0a = 时， ( ) 0f x¢ £ ，函数 ( )f x 没有单调递增区间；……………………………………………2 分 当 0a > 时，令 ( ) 0f x¢ > ，得 20 3 a x< < ． 故 ( )f x 的单调递增区间为 20, 3 aæ öç ÷ è ø ；…………………………………………………………………3 分 当 0a < 时，令 ( ) 0f x¢ > ，得 2 0 3 a x< < ． 故 ( )f x 的单调递增区间为 2 ,0 3 aæ öç ÷ è ø ．…………………………………………………………………4 分 综上所述，当 0a = 时，函数 ( )f x 没有单调递增区间； 当 0a > 时，函数 ( )f x 的单调递增区间为 20, 3 aæ öç ÷ è ø ； 当 0a < 时，函数 ( )f x 的单调递增区间为 2 ,0 3 aæ öç ÷ è ø ．……………………………………5 分 广 州 教 研 网 ht tp :/ /w ww .g ua ng zt r. ed u. cn / 数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 6 页（共 8 页） （2）解：，由（1）知， [ ]3,4aÎ 时， ( )f x 的单调递增区间为 20, 3 aæ öç ÷ è ø ，单调递减区间为 ( ),0-¥ 和 2 , 3 aæ ö+¥ç ÷ è ø ． …………………………………6 分 所以函数 ( )f x 在 0x = 处取得极小值 ( )0f b= ，……………………………………………………7 分 函数 ( )f x 在 2 3 a x = 处取得极大值 32 4 3 27 a a f bæ ö = +ç ÷ è ø ．………………………………………………8 分 由于对任意 [ ]3,4aÎ ，函数 ( )f x 在R 上都有三个零点， 所以 ( )0 0, 2 0. 3 f a f <ì ï í æ ö >ç ÷ï è øî 即 3 0, 4 0. 27 b a b <ì ï í + >ïî ……………………………………………………………………10 分 解得 34 0 27 a b- < < ．……………………………………………………………………………………11 分 因为对任意 [ ]3,4aÎ ， 34 27 a b > - 恒成立，所以 3 3 max 4 4 3 4 27 27 a b æ ö ´ > - = - = -ç ÷ è ø ．………………13 分 所以实数b 的取值范围是 ( )4,0- ．……………………………………………………………………14 分 21．（本小题满分14分） （本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、 化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：依题意可得 ( 1,0)A - ， (1,0)B ．…………………………………………………………………1 分 设双曲线C 的方程为 2 2 2 1 y x b - = ( )0b > ， 因为双曲线的离心率为 5 ，所以 21 5 1 b+ = ，即 2b = ． 所以双曲线C 的方程为 2 2 1 4 y x - = ．……………………………………………………………………3 分 （2）证法 1：设点 1 1( , )P x y 、 2 2( , )T x y （ 0ix > ， 0iy > ， 1,2i = ），直线 AP 的斜率为 k （ 0k > ）， 则直线 AP 的方程为 ( 1)y k x= + ，………………………………………………………………………4 分 广 州 教 研 网 ht tp :/ /w ww .g ua ng zt r. ed u. cn / 数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 7 页（共 8 页） 联立方程组 ( ) 2 2 1 , 1. 4 y k x y x ì = + ï í + =ïî ………………………………………………………………………………5 分 整理，得 ( )2 2 2 24 2 4 0k x k x k+ + + - = ， 解得 1x = - 或 2 2 4 4 k x k - = + ．所以 2 2 2 4 4 k x k - = + ．…………………………………………………………6 分 同理可得， 2 1 2 4 4 k x k + = - ．…………………………………………………………………………………7 分 所以 1 2 1x x× = ．……………………………………………………………………………………………8 分 证法 2：设点 1 1( , )P x y 、 2 2( , )T x y （ 0ix > ， 0iy > ， 1,2i = ）， 则 1 1 1 AP y k x = + ， 2 2 1 AT y k x = + ．…………………………………………………………………………4 分 因为 AP ATk k= ，所以 1 2 1 21 1 y y x x = + + ，即 ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 1 21 1 y y x x = + + ．……………………………………5 分 因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以 2 2 1 1 14 y x - = ， 2 2 2 2 14 y x + = ． 即 ( )2 21 14 1y x= - ， ( )2 22 24 1y x= - ．…………………………………………………………………6 分 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 1 2 4 1 4 1 1 1 x x x x - - = + + ，即 1 2 1 2 1 1 1 1 x x x x - - = + + ．……………………………………………………7 分 所以 1 2 1x x× = ．……………………………………………………………………………………………8 分 证法 3：设点 1 1( , )P x y ，直线 AP 的方程为 1 1 ( 1) 1 y y x x = + + ，………………………………………4 分 联立方程组 ( )1 1 2 2 1 , 1 1. 4 y y x x y x ì = +ï +ï í ï + =ïî …………………………………………………………………………5 分 整理，得 2 2 2 2 2 21 1 1 1 14( 1) 2 4( 1) 0x y x y x y xé ù+ + + + - + =ë û ， 解得 1x = - 或 2 2 1 1 2 2 1 1 4( 1) 4( 1) x y x x y + - = + + ．…………………………………………………………………6 分 广 州 教 研 网 ht tp :/ /w ww .g ua ng zt r. ed u. cn / 数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 8 页（共 8 页） 将 2 21 14 4y x= - 代入 2 2 1 1 2 2 1 1 4( 1) 4( 1) x y x x y + - = + + ，得 1 1 x x = ，即 2 1 1 x x = ． 所以 1 2 1x x× = ．…………………………………………………………………………………………8 分 （3）解：设点 1 1( , )P x y 、 2 2( , )T x y （ 0ix > ， 0iy > ， 1,2i = ）， 则 ( )1 11 ,PA x y= - - - uuur ， ( )1 11 ,PB x y= - - uuur ． 因为 15PA PB× £ uuur uuur ，所以 ( )( ) 21 1 11 1 15x x y- - - + £ ，即 2 21 1 16x y+ £ ．…………………………9 分 因为点P 在双曲线上，则 2 2 1 1 14 y x - = ，所以 2 21 14 4 16x x+ - £ ，即 21 4x £ ． 因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以 11 2x< £ ．…………………………………………10 分 因为 1 2 2 1 | || | | | 2 S AB y y= = ， 2 1 1 1 1 | || | | | 2 2 S OB y y= = ， 所以 ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 1 2 1 1 21 4 4 1 5 44S S y y x x x x- = - = - - - = - - ．……………………………11 分 由（2）知， 1 2 1x x× = ，即 2 1 1 x x = ． 设 21t x= ，则1 4t< £ ， 2 2 1 2 4 5S S t t - = - - ． 设 ( ) 45t t f t= - - ，则 ( ) ( ) ( )2 2 2 24 1 t t f t t t - + ¢ = - + = ， 当1 2t< < 时， ( ) 0f t¢ > ，当2 4t< £ 时， ( ) 0f t¢ < ， 所以函数 ( )f t 在 ( )1, 2 上单调递增，在 ( ]2,4 上单调递减． 因为 ( )2 1f = ， ( ) ( )1 4 0f f= = ， 所以当 4t = ，即 1 2x = 时，( ) ( )2 21 2 min 4 0S S f- = = ．……………………………………………12 分 当 2t = ，即 1 2x = 时， ( ) ( )2 21 2 max 2 1S S f- = = ．………………………………………………13 分 所以 2 21 2S S- 的取值范围为[ ]0,1 ．……………………………………………………………………14 分 说明：由 ( )2 2 2 21 2 1 2 1 25 4 5 4 1S S x x x x- = - + £ - = ，得 ( )2 21 2 max 1S S- = ，给 1 分．