美丽的齐次

中学生数学� 2010 年 8 月上� 第 399 期(高中) 网址: zxs s. chin ajou rnal . net . cn � � � � � � � � � � � � � � � 电子邮箱: zx ss@ chinajournal. net . cn 学好基础知识 美 � 丽 � 的 � 齐 � 次 广东省深圳市石岩公学高中部( 518108) � 康　宇 � � 借助不等式 x 2+ y 2 2| xy | ,文[ 1]对如下 一类问题: 1. 设 x , y 是实数, 且 x 2 + xy+ y 2 = 3, 求 x 2 - x y+ y 2 的最大值与最小值. 2. 实数 x , y 满足 x 2 - 3xy + y2 = 2, 则 x 2 + y 2 的值域是 . 3. 实数 x , y 适合 1 ! x 2 + y 2 ! 2,则 2x 2+ 3xy+ 2y 2 的值域是 . 4. 已知 x 2 - xy+ 2y 2 = 1, 求表达式 x 2 + 2y 2的最大值与最小值. 5. 实数 x , y 满足 4x 2 - 5x y+ 4y 2 = 5, 设 S= x 2+ y 2 , 则 1 Smax + 1 S min 的值为 . 给出了一种凑配求解方法. 这种解法看似 有章可循, 但毕竟过程繁冗, 且不能推而广之, 难免给人一种美中不足之感. 不禁要问,此类问题是否存在更加简便快捷, 又可应对一般的万全之策呢? 回答是肯定的. 事实上,对上述问题 1, 充分利用题中所给 式子的特征,可以有以下解法: 令 t= x 2- xy+ y 2 ∀ 又 x 2+ xy+ y 2= 3 # ∀ ∃ # ,得 t( x 2 + xy+ y 2)= 3( x 2- xy+ y 2 ) , 即( t- 3) x 2+ ( t+ 3) x y+ ( t- 3) y2 = 0 % 由# 可知, x , y 不全为零,不妨设 x &0,则 %可化为 ( t- 3) y x 2 + ( t+ 3) y x + ( t- 3)= 0 ∋ 由于 y x ( R ,所以 �= ( t+ 3) 2 - 4( t- 3) 2 0 � 1 ! t ! 9. 故 x 2- xy+ y 2 的最大值与最小值分别为 9和 1. 上述解法对于问题 2、3、4、5 无疑可以效 仿. 可以看出, 上述方法的精彩之处在于思路 清晰,讲究对称, 营造齐次, 自然简明, 还揭示 了问题的一种内在的本质,而且知识范围仅限 于初中.其解题过程给人以简洁明快之美感. 更令我们感到欣慰的是, 利用上述方法, 还 可以得到此类问题更加一般情形的解法. 问题 � 设 x , y 是实数, 且 a1x 2 + b1xy + c1y 2 = m(m &0) ,求: (1) a2 x 2 + b2 xy + c2y 2 的最大值或最小 值; (2) ax+ by 的最大值或最小值. (下转第 11页) (上接第 9页) x � A} ,所以命题 p 和命题 p 的否定�p 应该在 其中的一个中含有 x= 2,因此这个 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 错误. 正解 � 命题 p 的否定�p : x+ 3 x- 2 < 0或 x- 2 = 0. 评注 � 因为) 非∗相当于集合在全集中的 )补集∗,即 + UA = { x | x ( U,且 x � A } , 所以也 可以先求出 p ,再取 p 的补集,得到�p . 一些参考资料上的错误答案启发我们, 在 新教材的学习过程中, 特别是新增加的内容的 学习过程中, 要有自己的思想, 应该多问几个 为什么,不能人云亦云. 参考文献 [ 1] � 刘绍学. 普通高中课程标准实验教 科书. A 版数学选修 2 , 1. 人民教育出版社. 2007年 11月 ( 责审　连四清 ) �10� 中学生数学� 2010 年 8 月上� 第 399 期(高中) 网址: zxs s. chin ajou rnal . net . cn � � � � � � � � � � � � � � � 电子邮箱: zx ss@ chinajournal. net . cn 学好基础知识 (上接第 10页) 分析 � (1) 设t= a2x 2 + b2xy+ c2y 2 − a1x 2 + b1xy+ c1y 2= m . − ∃ .,得 t( a1x 2+ b1 xy+ c1 y2 )= m( a2x 2 + b2xy+ c2y 2) , 整理, 得( ta1 - ma2 ) x 2 + ( tb1 - mb2 ) x y+ ( tc1 - mc2 ) y 2 = 0. / � m &0, 0 x , y 不全为零,不妨设 x &0, 0 ( ta1- ma2) y x 2 + (tb1- mb2) y x + (tc1- mc2) = 0. 由于 y x ( R ,所以 �= ( tb1- mb2) 2- 4( ta1- ma2) ( tc1- mc2) 0, 整理, 得 ( b 2 1 - 4a1c1 ) t 2 + 2 ( 2ma1c2 + 2ma2c 1 - mb1 b2) t+ ( b22 - 4a2c2) m2 0 1 以下可由1 ,分 b21- 4a1c 1< 0, b21- 4a1 c1= 0, b 2 1- 4a1c1 > 0 三种情形讨论, 求出 t 的最大 值或最小值(过程由读者完成) . 对于( 2)可通过平方,转化为(1) . 由 1不难发现,此类问题, 并非都有解, 这 与给出相应的系数与常数密切相关. 在数学中, 齐次式给人的视觉上的感觉是 美丽的,它在解决某些数学问题的作用是独特 的,下面,我们不妨再列举几例, 与同学们共同 欣赏. 例 1 � 已 知 tan � 4 + = 2, 求 1 3+ 2sin cos + cos2 的值. 解 � tan � 4 + = 2 � 1+ tan 1- tan = 2 � tan = 1 3 � 3sin = cos . 1 3+ 2sin cos + co s2 � = sin2 + cos2 3( sin 2 + cos 2 )+ 2sin cos + co s2 � = sin2 + cos 2 3sin2 + 4cos 2 + 2sin cos � = sin2 + 9sin2 3sin2 + 4� 9sin2 + 2sin � 3sin = 29 . 本题的解法思路来自美丽的齐次. 例2 � (第四届全国数学女子奥赛题)设正实 数 x , y 满足 x3+ y3= x- y,求证: x 2+ 4y 2< 1. 解 � / � x , y> 0. 0 � ( x 2+ 4y 2) ( x- y )- ( x 3+ y 3) = - y ( x 2 - 4xy+ 5y 2 ) = - y [ ( x - 2y ) 2 + y 2 ] < 0. 即 � ( x 2+ 4y 2) ( x- y )< x 3+ y3 . 又 � x 3+ y 3= x- y> 0. 故 � x 2+ 4y2 < 1. 很显然,上述简洁证法的思维灵感也来自 美丽的齐次. 例 3 � 已知抛物线 C: y 2 = x , 直线 l : x + y + m= 0与 C 交于 A , B 两点, 且 OA 2OB, 求 实数 m 的值. 解 � 设 A( x 1 , y 1) , B( x 2 , y 2) , 由 OA 2OB 知, y 1 x 1 � y 2 x 2 = - 1. 注意 m & 0,由 y 2= x � my2 = mx , 又 � m= - x- y , 故my2 = mx= (- x- y ) x � my 2+ xy+ x2 = 0, 即 � m y x 2 + y x + 1= 0. 由根与系数的关系可得 y1 x 1 � y2 x 2 = 1 m = - 1 � m= - 1. 上述解法, 没有直接求解两个交点 A , B 的 坐标,而是借助斜率概念,由 OA 2OB 入手, 通 过构造关于 x , y 齐次二次方程,利用根与系数 的关系,简捷地解决了问题,从而避免了较繁琐 的计算过程,再次彰显了齐次的魅力! 参考文献 [ 1] � 刘之平. 从一道智慧窗题的巧解谈 起.中学生数学, 2010(1) ( 责审　余炯沛 ) �11�