中考专题复习 锐角三角函数
◆考点聚焦
1．了解锐角三角函数的定义，并能通过画图找出直角三角形中边、角关系，这也是本节的重点和难点．
2．准确记忆30°、45°、60°的三角函数值．
3．会用计算器求出已知锐角的三角函数值．
4．已知三角函数值会求出相应锐角．
5．掌握三角函数与直角三角形的相关应用，这是本节的热点．
◆备考兵法
充分利用数形结合的思想，对本节知识加以理解记忆．
◆识记巩固
1．锐角三角函数的定义：
如图，在Rt△ABC中，∠=90°，斜边为c，a，b分别是∠A的对边和邻边，则
sinA=______=_______；
cosA=______=_______；
tanA=______=_______．
2．填
表
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：
30°
45°
60°
sin
cos
tan
注意：30°，45°，60°的三角函数值是中考的必考考点，其他数值是利用数形结合的方法推导的，要求在理解的基础上进行识记．
3．锐角三角函数间的关系：
（1）互为余角的三角函数间的关系：
sin（90°-）=____，cos（90°-）=_____．
（2）同角三角函数的关系：
①平方关系：sin2+cos2=_______；
②商数关系：=_______．
注意：对于互为余角的锐角三角函数关系，要求学生能利用定义，结合图形进行理解，并能灵活运用公式；对于同一锐角三角函数的关系，仅让学生了解，不作中考要求．
4．锐角三角函数值的变化：
（1）当为锐角时，各三角函数值均为正数，且0
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
1．
2． 1
3．（1）cos sin （2）①1 ②tan
4．（1）增大 减小 （2）< >
◆典例解析
例1 在正方形网格中，∠的位置如图所示，则sin的值为（ ）
A． B．
C． D．
解析 本题主要考查锐角三角函数的概念，根据题意要求sin的值，想到将∠放在直角三角形中求解，故需构造直角三角形，由于该题放在网格中，直角三角形不难构造．若能结合图形特点求出∠=45°，则方法更为简便．
答案 B
例2 已知为锐角，且tan=，则代数式=______．
解析 方法一：在Rt△ABC中，∠C=90°，tan=，令a=，b=2，则此时c=．
∴sin===，cos==．
∴原式=
=．
方法二：∵tan==．
∴2sin=cos．
又∵sin2+cos2=1．
∴
=．
方法三：∵tan==，sin2+cos2=1．
∴原式=
=|tan-1|=|-1|=．
答案
例3 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，点D在BC边上，且∠ADC=45°，DC=6，求∠BAD的正切值．
解析 过点B作BE⊥AD，交AD延长线于E．
∵∠C=90°，
∴sinB==．
∵∠ADC=45°，∴AC=DC=6，
∴AB=10，BC=8，
∴BD=2．
∵∠ADC=45°，
∴∠BDE=45°，
∴DE=BE=BD=．
又∵在Rt△ACD中，AD=DC=6，
∴AE=7，
∴tan∠BAD==．
点评 要求∠BAD的正切值，首先得将∠BAD转化到某一直角三角形中去，因此通过作垂线，构造直角三角形是解决这个问题的关键．
◆中考热身
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，则cosA的值是（ ）
A． B． C． D．4
2．在△ABC中，∠C=90°，若AC=2BC，则tanA的值是（ ）
A． B．2 C． D．
3．计算：sin60°-cos45°+．
4．如图，点C是半圆O的半径OB上的动点，作PC⊥AB于点C，点D是半圆上位于PC左侧的点，连结BD交线段PC于点E，且PD=PE．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，PC=8，设OC=x，PD2=y．
①求y关于x的函数关系式；
②当x=时，求tanB的值．
◆迎考精练
一、基础过关训练
1．在△ABC中，已知AC=4，BC=3，AB=5，则sinA等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知直角三角形ABC中，斜边AB的长为m，∠B=40°，则直角边BC的长是（ ）
A．msin40° B．mcos40°
C．mtan40° D．
3．在Rt△ABC中，已知∠C=90°，BC=6，sinA=，那么AC的长是______．
4．在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AB=10，AC=6，则sinB的值是_______．
5．计算：
（1）cos260°-tan245°-2sin45°；
（2）cos45°+cos230°-sin30°·tan45°+tan30°．
6．如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=15，求△ABC的周长和sinA的值．
二、能力提升训练
7．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，BC=1，则BB′的长为（ ）
A．4 B． C． D．
8．如图，机器人从A点沿着东南方向行了4个单位到达B点后，观察到原点O在它的南偏西60°方向上，则原来A点的坐标为多少？
9．如图1，由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形得：S△ABC=bcsinA， ①
即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半．
如图2，在△ABC中，CD⊥AB于点D，∠ACD=，∠DCB=，∵S△ABC =S△ADC +S△BDC，
由公式，得AC·BC·sin（+）=AC·CD·sin+BC·CD·sin．
即AC·BC·sin（+）=AC·CD·sin+BC·CD·sin． ②
你能利用直角三角形边角关系，消去②中的AC，BC，CD吗？若不能，说明理由，能写出解决过程．
图1 图2
参考答案
中考热身
1．B 2．A
3．解：原式=×-×+2=-1+2=．
4．（1）证明：连结OD．
∵OD=OB，∴∠BDO=∠OBD．
∵PD=PE，∴∠PDE=∠PED=∠BEC．
∵PC⊥AB于点C，∴∠OBD+∠BEC=90°，
∴∠ODB+∠PDE=90°，
∴OD⊥PD于点D，∴PD是⊙O的切线．
（2）解：①连结OP．
在Rt△POC中，OP2=OC2+PC2=x2+192．
在Rt△POD中，OP2=OD2+PD2=48+y，
∴y=x2+144（0≤x≤4）．
②当x=时，y=147．
∴PD=7，∴EC=，而CB=3．
在Rt△ECB中，tanB==．
迎考精练
基础过关训练
1．A 2．B 3．2 4．
5．解：（1）原式=（）2-1-2×=--．
（2）原式=+（）2-×1+×
=+-+=
6．解：在△ABC中，∠C=90°，
sinA==，AC=15．
设BC=4x，则AB=5x．
由勾股定理，知AC=3x=15．
∴x=5，∴BC=20，AB=25．
∴C△ABC=15+20+25=60．
tanA==．
能力提升训练
7．D
8．解：过点B作BC⊥AO于点C，则由题意知AB=4，
∵∠BAC=∠ABC=45°．
Rt△ABC中，∠ABC==，
∴AC=4=BC，
∴∠OBC=90°-60°=30°．
在Rt△OBC中，tan30°=．
∴OC=BC·tan30°=，
∴OA=AC+OC=4+．
∴点A的坐标为（0，4+）．
9．解：能消去AC，BC，CD，过程如下：
在Rt△BCD中，CD=BC·cos．
在Rt△ACD中，CD=AC·cos．
∴等式②可化为
AC·BC·sin（+）=AC·BC·cos·sin+BC·AC·cos·sin，即sin（+）
=sincos+cossin．
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