数理方程(调和方程)第四章调和方程§1.调和方程的定解问题1.方程的几个例子例1.稳定的温度分布温度分布满足稳定热源:与无关边界绝热(即边界条件也与无关)则长时间后,温度分布必然趋于稳定状态(与无关),即此时有, ()称为Poission方程当时,,称为Laplace方程或调和方程.例2.弹性膜的平衡状态:为膜在垂直方向的位移,外力,则有例3.静电场的电势Maxwell方程组:电场强度,:磁场强度,:电感应强度,:磁感应强度:传导电流的面密度,:电荷的体密度物质方程导磁率,:导电率,:介质的介电常数∵静电场是有势场:,即若静电场是无源的,即,则例4.解析函数则满足Cauchy-Riemann条件:例5.布朗运动(见图)设质点运动到边界上即终止，易知,2.定解问题(1)内问题:,有界,,在内满足边界条件:第一类(Dirichlet):第二类(Neumann):第三类(Robin):为的单位外法线方向.(2)外问题:在外部满足同样有三类边界条件(此时为的内法线方向).但解在无穷远处是否可以不加限制?要加何种限制?先看两个例子:例1.均为解,例2.均为解.因此,解在无穷远点一定要加限制,以确定解的唯一性.通常,解在无穷远处有界:有界解在无穷远处趋于0:(3)无界区域的边值问题:与外问题类似(4)等值面边值问题:边界条件:这个问题可约化为Dirichlet问题:设的解为,选取常数,s.t.:则§2.分离变量法1.圆的Dirichlet内问题与外问题内问题引入极坐标则原问题化为:将代入方程并分离变量得求解特征值问题:∴时不是解..∴求解:一般Euler方程的求解：(Poisson公式)外问题同样有Poisson公式2.扇形域分离变量得:与3.环形域解联立方程即得例如4.矩形域分离变量得特征值问题类似地，5.非齐次问题例方法一:方程齐次化令设方法二.特征函数法:令代入方程:,边界条件易求得（*）的一个特解为, （**）的一个特解为, , §3调和函数的基本性质3.1Green公式设为有界区域,分块光滑,.Green第一公式设,则
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:同样地,若,则因此有,Green第二公式设则Green公式特例3.2调和函数的基本性质1.Neumann问题解的自由度及可解性条件(1)解的自由度考虑问题 (PN) 若它有两个解,则满足问题(N)结论:问题(PN)在相差一个常数的意义下有唯一解.(2)可解性条件对问题(PN),结论:问题(PN)有解的必要条件为.2.基本积分公式先考察的情形.设考虑函数其中.易知,除外关于处处满足调和方程,称之为调和方程的基本解.取充分小,使得.记(见图)则,且在内处处满足调和方程.设,对与应用Green第二公式,其中令则从而,成为基本积分公式.调和函数的基本积分公式为:注1.基本解:其中为维空间中单位球面的面积.时的基本积分公式为:注2.对调和函数,成立3.平均值定理记以为球心、为半径的球为,球面为设,且在内调和,则证明:先假设由中的基本积分公式,若,则取,在上有取极限即可.注1.上调和():下调和():注2.平均值公式的球坐标形式：注3.4.极值原理例题5.Dirichlet内问题解的唯一性与稳定性内问题唯一性:考虑相应的齐次问题.稳定性:连续依赖于边界条件.考虑,§4Green函数及其应用4.1Green函数1.Green函数的定义设为有界区域,.设函数若在中调和,则设,已知基本积分公式相加得因此选满足称函数为Green函数.易知除外关于变量处处满足调和方程,且.注1.对Dirichlet问题,注2.对二维情形,Green函数为其中满足2.Green函数的意义1)Green函数仅依赖于区域,而与边界条件无关.2)特殊区域上的Green函数可用初等的方法求出.3)利用Green函数求解的积分公式可以讨论解的性质.4)有明显的物理意义:在接地的导电闭曲面内的点处放一单位正电荷,则内任一点处的电位为,它由两部分组成:即处电位正电荷产生的电位与内
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面上感应负电荷产生的感应电位.而且导体表面的电位恒为零.3.Green函数的性质1)事实上,而 2)(只需取即可.)3).事实上,由极值原理,,即..4)事实上,4.2静电源像法当区域具有某种对称性时,感应负电荷产生的电位可以用在相应的对称点放置的假想负电荷产生的电位来取代------这种求Green函数的方法称为静电源像法.1.上半空间的Green函数,.2.球的Green 函数
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