2020年全国一卷理科-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷（理科）（全国新课标I）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。若z=1+i,则|z2-2z|=A.0B・1C・血D.2【
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
】D（微信公众号：数学研讨）【解析】由z=l+i得，?=2i,22=2+21，所以|F-2z|=|2i-（2+2i）|=2.设集合£二{x|H—4W0},B={x\2x+a^0},且必门3={划—则。=A.-4B.-2C.2D.4【答案】B（微信公众号，数学研讨）【解析】由已知得/={x|—2WxW2},B={x\x^-^},又因为/DE={x|-2WxWl},所以有一£=1,从而a--2・23・埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的髙为边长的正方形面积等于该四棱锥一个側面三角形的面积.则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比工数孚硏讨【答案】C（微信公众号：数学研讨）【解析】如图，设正四棱锥的高为乩底面边长为a,侧面三角形底边上的高为则依题意有:,因此有宀（|）2=扫,,简得4（兰）2-2（兰）—1=0,解得兰=如1aaa44・己知4为她物线C:/=2^Q?>0)上一点.点A到C的焦点的距离为12.到丿轴的距离为9.则戸=A.2B.30.6D.9【答案】C(微信公佥号：数学研讨)【解析】设点/的■坐标为(兀刃•由点A到丿轴的距离为g可得X=9,由点丄到o的焦点的距离为LN可得a+|=12,解得j?=6.5・某梭一个课外学习小组为研兗某作物种子的发芽电y和温度x〔单悅票°C)的关系.在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验.由实验数据=1,2,…,20)得到下面的散点国:100%20%0o10203040温度/。c由此散点图，在10°C至4『C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率丿和温度；r的f回归方程类型的是A・y=a十弧ELy=a+b??C・y=a±bexD・y=tz+Z?lna【答秦】D(徴信公佥号：数学研讨)【稗析】用光滑的曲线把图中各点连接起来.由图像的大致走向判断，此函数应该是衬数函数类型的，故应该选用的函数模型为y=a^b\nx.函数克希=屮-2贰的圏■像在点的切线方程为A・y=-2a-1B・y=-2x+1C・y=2x-3D・y=2x+1【答案】&(微信公众号：数学研讨)【稗析】先求函数的导函数子'9)=4”-6”，则由导数的■几何意义知在点(L/X1))处的切线的斜率为氐=广〔1)=-2,又因为力；1)=-1-由直线方程的点斜式得切线方程为：y-(-l)=-2(^-1)・化简得y--2x+\.设函数/(x)=coSPx+i1在［f可的图像大致如下图，(x)的最小正同期为疋;•阪字诙讨Xv/A.9R.7716C.4713D.3兀IOji2【答案LC（微信公众号：数学研讨）4tl7L'一0十_96丿（徒Z）,又因为Tu2n<2T,即命2*鲁，所以1
3,所以疋戸的系数为15.9.己知ae（0?兀），且3cosa-8cosa二5,则siiia-1）3339【答案】：A（微信公众号：数学研讨）7【解析】：原式化简得3cos2a-4cosa-4-0,解得coso二上，或2（舍儿又ge（0,力，所以3sma———310・已知/I,B,C为球O的球面上的三个点，OQ为△/1BC的外接圆，若0Q的面积为4兀，AB=BC=AC=OO^贝9球O的
表
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面积为A.64兀B・48ti【答案】：A（微信公众号：数学研讨）C・36兀D.32兀込数字幼讨【解析L设AB^a.0Q的半径为八球O的半径为乩所以nr2=4n,所以尸=2,而r=O/=£a,所以a=2®R'=00j4。厨=4,所以球O的表面积为4tcR2=64n•故选A.11.己知OM:k+y2-2x—2y-2=0,直线/:2x+y+2=0,尸为/上的动点'过点P作OAf的切线阳，加，且切点为A,B,当|川1|・|血|最小时，直线朋的方程为A.2才一歹一1=0B.2x+y-1=0C.2“一尹+1=0D.2A+y+l=0【答案】：D(微信公众号；数学研讨)【解析】：OA/:(x-l)2+(y-l)2=4,因为S辱=加⑷匸=\PAI1W|=2|PJ|=2』加F-4,所以|/WH/⑹最小，即IPMI最小，此时PM与直线Z垂直，=+直线只1/与直线/的交点P(-1,0),过直线外一点P作的切线所得切点弦所在直线方程为：2x+y+\=0.所以选D.12.若2a+log2di=4fr+2log4i.则D.a2bB.a<2bCbz【答案】：B(微信公众号：数学研讨)【解析】:由指数与对数运算可得：Z+log2«=4fc+21og4A=2^+log26,又因为2詰+log2h<22b+log22b=22b+l+log2b>即2°+log?av2曲+log22h,令/(x)=2T+log^>由指对函数单调性可得/V)在®*o)內单调递増,由/(«))可得：a<2b,所以选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。2x+y-2冬0,13.若兀，y满足约束条件■则z=x+ly的最大值为7+1浓【答案】：1.(微信公众号：数学研讨〉【解析】：如图，当直线z=x+7y经过>1(1X))时2取到最大值1.14.设a,b为单位向量，且0+科=1,则方|=・【答案】：艮(微信公众号：数学研讨)【解析】：由己知可得=(a+b)・(G+Z>)=|彳2+2z^=1+142gZ>=1,=-y»=(tz-6)-((7-Z>)=|6?|2+|6|2-2ab=3,|a_b|=■>/?.15-己知F为双曲线C:二-刍=l(a>0e>0)的右焦点，zl为C的右顶点，B为C上的点且垂直于/aJV轴.若的斜率为3,则e的离心率为.【答案】：2〈微信公众号：数学研讨)方2【解析】：由条件，得/(GO)，F(”))，由于BF是通径长的一半，所以.aTOC\o"1-5"\h\z,a夕c2-a2c+a__•・•k铭==二二£+1二3,c-aa(c-a)a｛c-a)a:.离心率e=2•如图，在三棱锥P-ABC的平面展开图中，AC=\,AB=4D二忑,丄AC,丄AD,cos/CAE=30、则cos^FCB=・【答案】：-丄C微信公众号；数学硏讨)4【解析】：由已知，得bd=£ab=&、•••D,E,F重合于一点，・••AE二AD二屈BF二ED二品,.•.在ZMCE中，由余弦定理，得CE2=ACZ十AE2一2AC・AE•cosACAE=F十(亦)2-2xlx^3cos30e=1,・・CE二CF二1..•.在ABCF中,由余弦定理，得TOC\o"1-5"\h\z,厂“BC1十CFZ_BF1F十2’_(^6)21cos乙FCB二=二—・2BC・CF2x1x24三、解答题：共70分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个
试题
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考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(12分)<6数学研讨设匕｝是公比不为1的等比数列，5为％码的等差中项.求｛%｝的公比;若求数列｛加订的前幷项和.【答案】：(1)厂一2；(2)S”=(-討一*｝(一2)”+*(微信公众号：数学研讨)【解析1(1)由题意可知z2ax=a2+a3,即2^=a^q+a^q2因为故g2+g-2=0,解得孕=—2或彳二1(舍)•(2)此时%=q广,=(-2尸，记数列伽“｝的前幷项和为S”解法一：则Sn=1x(-2)°+2x(-2)1十…十恥(—2厂①-2$=lx(_2)+2x(-2)+…+/?x(_2)②①一②得：3S.=(-2)°+(-2)1+(-2)2+…+(-2厂1-nx(-2)”解法二nan=n\-2)K~l=(An+=(-3An+待定系数可得：j解得9[A-3B=0故幷勺=”•(—2)”“二(一£刃一£,(一2)"•(一2)"“故Sn=a}+2az+…+nan=_丄x1——x(―2)1———x(~2)°+——x2——x(―2)2———x1——x(_2)'+…I39丿I9丿I39丿\_39」+(-刼_£・(-2『+知1胡・(一2尸=r_i„_n.(_2)-+i.I39丿'，918.（12分）如图，D为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，ZE为底面直径，NE=4D・△.45C是底面的内接正三角形，尸为力上一点，po斗。(1)证明：匕4丄平面PEC：(2)求二面角B-PC-E的余弦值.【答案】，(1)见解析；(2)迈5【解析】：(1)不妨设0。半径为1,OA=OB=OC=\AE^AD^l,AB二BC=AC二忑、DO二JdT-M=忑,62PA^PB^PC=+AO2=—,在AP/C中，PA2A-PC2=AC2,故以丄FC,同理可得2P4丄PB,又PBcPC,故可得FA丄平面尸BC.⑵建立如图所示坐标系O-护，则有i,0)C(-^i,0),P(0,0,芈),E(o丄0)。故BC=(-73,0,0),晤(拿*,0),CP£设平面PBC的法向昼为叫.由薯欝得同理可求得平面PCE的法向复为石=方),故cos。=故二面角B-PC-E的余弦值为琴.19・〔12分)甲、乙.丙三位同学进行羽毛球比赛，预定赛制如下;累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两个人，另一人轮空，每场匕匕赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负着下一场轮空，直至有一人淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空•设每场比赛双方获胜的概率都为丄.2求甲连胜四场的概率；求需要进行第五场比赛的概率；‘叫宀.＜二勿字储门求丙最终获胜的槪率・【答案】：（1）【解析】：（1）甲连续胜四场只能是前四场全胜：P=（^=L（2）情景一;前3场各负一场：P}=（^=j-199—；（2）—?（3）—.（微信公众号：数学研讨）163232情景二：前3场比赛结束是乙被淘汰（其中甲进一场），最后两场比赛结束，又分为甲胜或丙胜^前3场比赛结束是乙被淘汰（其中甲胜三场）,最后两场比赛结束,又分为甲胜或丙胜;P严2・前3场比赛结束是甲被淘汰（其中乙胜一场儿最后两场比赛结束,又分为乙胜或丙胜:前3场比赛结束是甲被淘汰（其中乙胜三场）.最后两场比赛结束.又分为乙胜或丙胜:巧=2・需要进行第五场比赛的概率p=^32（3）前3场各负一场：斥二132前3场比赛结束是乙被淘汰（其中甲胜一场）,最后两场比赛结束,丙胜;前3场比赛结束是乙被淘汰（其中甲胜三场）,最后两场比赛结束,丙胜：P严前3场比赛结束是甲被淘沐（其中乙胜一场）,最后两场比赛结束,丙胜：^=（|）5=前3场比赛结束是甲被洶汰〈其中乙胜三场人最后两场比赛结束,丙胜：P尸1-321一32丄32丄32只打4场，前3场比赛结朿时丙连续胜两场（其中甲或乙中有一人被淘汰）.最终丙获胜（12分）己知4〃分别为椭圆^：^-+/=l（6i>l）的左、右顶点，G为E的上顶点，走•汤=8,P为a直线x=6±的动点，PA与E的另一交点为C,皿与E的另一交点为Q,（1>求E的方程；（2）证明土宜线CQ过定点.【答案L(1)才+戸二1；(2)(=0)・(微信公众号：数学研讨)92【解析】：(1)由题意，4(-a,0)・B(a,O),G(O,1),所以药=(a,l),GB=(a-l),而•而=亍一1=8=＞。2=9=＞。=3,所以椭圆E的方程为^+/=1,(2)由(1)知月(一3,0),8(3,0).设P(g),则直线PA的方程为y=彳(x+3),X22y=1联立丿9=>(9+w2)x2+6w2x+9?w2-81=0in(々、y=-(x+3)由韦达定理2害"害'代入直线"的方程为尸卷(心)得凡二耳即c(沁M耳)c9+血厶9+w29+w2直线PB的方程为y=£(x-3),r2—卜y=19=>(l+/w2)x2-6w2x+9w2-9=0m(小尹二亍(—3)由韦达定理3%=啦二?n%二単二・代入直线PB的方程为^=-(x-3)得夕=岀1+/W1+加~31+加’所以直线CQ的斜率絡q二9+加2i+二4加—3m2+273加"—33(3—/)9+w21+w2所以直线CQ的方程为厂鲁二趕(“害)’整理得尸r”2仗-a所以直线cd过定点(-?o).3(3—m)22(12分)已知函数f(x)=eJ+ax2-x.(】)当4=1时，讨论/3)的单调性；(2)当兀=0时，/(x)>丄疋+1,求。的取值范虱27—e2【答案】；(1)/(©的单调增区间为(O.+8),减区间为(-00,0)；(2)a>4【解析】：(1)当。=1时，/(x)=ex+x2-x,3f'(x)=eA+2x-1,记g(x)=f(x),因为/Z(x)=eX-］兀2+2ox—l所以0时，f\x)>0所以/(x)的单调增区间为(0,+8),减区间为(y,0).(2)当丘0肘,f(x)>丄丘+1恒成立，2⑴当兀=()时，eR；丄丘+x+l-e”(ii)当“>0时，即a>^；恒成立，x丄x3+x+l-ex(2-x)(ex--x2-x-l)记h(x)=2:,所以//(X)2，xxiBg(x)=e':——x2—x—1.因为当^>0.g*Xx)=er-1>0恒成立，g'(x)二e；-x—1,2所以0(町在(0,+oo)单调递增，所以［gG)U,=g\o)=o,:上•咨訂字研|1.所以g(x)>0恒成立，所以g(x)在(0,+oo)单调递增，所以［g(x)U=g(0)=0>■八八令hf(x)=0可得x=2,当xe(0,2)时，hf(x)>0,方(x)在(0,2)单调遶增，当龙w(2,+00)时,<0,加刃在(2,+8)单调递减,所以Wa)lmin"(2)=吕兰7-e2所以沦——.47-e2综上，a的取值范围为［,+8)・4［选修牛4：坐标系与参数方程］(10分)在直角坐标系心中，曲线q的参数方程为fcos'f,(r为参数)•以坐标原点为极点，k轴正［y=sii/t半牠为极轴翟立极坐标系，曲线C?的极坐标方程为4-z?cos^-16/9sin6+3=0.当左=1时，q是什么曲线？当k=4时，求q与C2的公共点的直角坐标.【答案】：(1)以原点为圆心，以1为半径的圆；(2)(1i).(微信公众号：数学研讨)【解析】：(1)21时，q的参数方程为x=cosf\宜角坐标方程为x2+y2=l,表示以原点为圆心，［y=sint以1为半径的圆.(2)"4时，q的参数方程为JX=C°S2^直角坐标方稈为仮+“=1,G的直角坐标方程为\y=sint4x-16y+3=0联立［坂+"二1,解得"丄，尸丄4x-16y+3=044所以C］与C2的公共点的直角坐标为(£》•23.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)二乞数字硏讨己知函数/(x)=|3x+l|-2|x-l|.(1)画出y=/(x)的图像：13⑵求不等式1）的解集.【答案L（A）见解析；〔2）巫〔微宿公众号:数学研讨）A-I:T）【解析儿〔1）函数£3）二氐+1|-2|—1|二①茸-1,（-*算＜1卄图像如图所示】-「丸“-\7解得交点横坐标为0⑵函数A.V-1）的图像即为将g的图像向左平移-r单位所得,如图,联立$二-a-3和尸5.vI4[7二原不等式的解集为6
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