南京航空航天大学《高等数学》102对坐标的曲线积分

问题的提出对坐标的曲线积分的概念对坐标的曲线积分的计算一、问题的提出实例:变力沿曲线所作的功设一质点受力F(x,y){=P(x,y),Q(作用,x)}y沿光滑曲线L在xoy平面内从A→B，求变力所作的功。P（(x,y),Q(x,在y)上连续L) 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：常力FS经位移()直线段所作的功WFS=⋅变力F()x沿直线从a→b(力的方向//直线），bdwFdx=,()w=Fxdx∫a对于本问题解决的方法与定积分类似.分割A,M=(M,),yx"M,(xy,MB),=.011G1nG1−n−1−n1nMM=()().Δx+iΔyji−1iiiyBGGF(,)ξiηi(,)(,)(,),取FξiηiP=ξiηii+QξiηijMMn−1Δyi近似代替ΔWF≈(,),ξηMM⋅iiiii−1iMLi−1ΔxiM2即ΔW(,)(,).≈PξηΔx+QξηΔyMiiiiiiiA1n求和oxWW=∑Δi近似值i=1n[(,)(,)].≈∑Pξiη⋅iΔxi+ξQiηi⋅yiΔi=1n取极限limW=[P(ξiη⋅,iΔx)i+ξQiη(i,⋅yiΔ)].λ→0∑i=1精确值二、对坐标的曲线积分的概念1.定义设L为xoy面内从点AB到点的一条有向光滑曲线弧,P函数x(,y),Q(x在,y)L上有界L.用上的点M(1x,11y),2M(2,x2),yM",(,)n−1xn−1yn−1把分成L个有向小弧段nMM(i−1i1i,=2,"n,;M0=An,=M).BΔx=设ix−ixi−1,Δyi=iy,(,)−−1点iyiiξ为ηMMi−1i上任意取定的点.如果当各小弧段长度的最大值λ→0时,n的极限存在则称此极限为函∑P(,)ξiηiΔxi,i=1数P(,)x在有向曲线弧yL上对坐标x的曲线积分(或称第二类曲线积分）,记作n(P,x)y=dxlimPξηi(iΔ,xi).∫Lλ→0∑i=1n类似地定义(Q,x)y=dylimQξηi(iΔ,iy).∫Lλ→0∑i=1P其中(x,y),Q(,叫做被积函数x)y,L叫积分弧段.注与对弧长的积分相比这儿Δxi可正,可负,Δs而i>02.存在条件：P(当x,y),Q(,x在光滑曲线弧)yL上连续时,第二类曲线积分存在.3.组合形式Px(,)(,)ydx+Qxydy∫LL∫ΔGPx=(,)(,)ydx+Qx=Fy⋅dyds.∫L∫LGGGGGF其中Pi=Q+j,ds=+dx.idyjW实例:(,)(,)Px=ydx+Qx=ydy⋅Fds∫L∫L4.推广空间有向曲线弧PdxΓ+Qdy+.Rdz∫Γn(P,x,)yz=limdxξPηiζ(i,iΔx,i).∫Γλ→0∑i=1n(Q,x,)yz=limdyξQiη(i,ζiy,iΔ).∫Γλ→0∑i=1n(R,x,)yz=limdzξRiη(i,ζiz,iΔ).∫Γλ→0∑i=15.性质(1如果把)L分成和L1L2,则Pdx+=QdyPdx+QdyPdx++Qdy.∫L∫L1L2∫(2)设L是有向曲线弧,−LL是与方向相反的有向曲线弧,则Pxydx(,)(,)(,)(,)Qx+ydy=−Px+ydxQxydy∫−L∫L即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.三、对坐标的曲线积分的计算定理设(1有向曲线弧)L:x=(ϕt),=yψ(t)　　　'ϕ(ψt),'t(在以)α及β为端点的区间上连续，　　　[且'ϕ(t)]ψ2+[t'2(≠)]0(当2)tα由→β时,对应点M(,)xy从起点A　运动到终点BL描出(P3)x(y,、)Q(x在,y上连续)L.P⇒x(,),(,),ydxQx存在y且dy∫∫LLPx(,)(,)ydx+Qx=ydy∫LL∫β终点{[(P=ϕ),ψt(ϕ)]tϕ'ψ(tψ)+Q[(t),t()]t'dt()}∫α起点注(1α)−对应起点，β−对应终点未必有：βα>⌒⎧x=x2（）若AB:=y(y−)⎨x−y⎩=y()xAx:,:=aB=xbPx(,)(,)⌒ydx+Qxydy∫ABbP[x(=,y(x))Q+(x,y(x))y'(x)]dx∫a注⌒⎧x=ϕ()y3（）若AB:=xϕ(−)y⎨−⎩y=yA起点y:,:=c终点B=ydPx(,)(,)⌒ydx+Qxydy∫ABdP(=(yϕ[]),yϕ)ϕy(′)+Q((y),y)dy∫c注⎧x=ϕ()t⎪(4)推广Γ⎨y:=ψ(),:tt起点α→β终点.⎪⎩z=ω()tPdx+Qdy+Rdz∫Γβ{[(ϕ),P=ψ(ωt),ϕtϕ(ψ)]tω(′ψt)+Q[(t),t(′),t(t)]()∫α[R(ϕ+),ψtω(ωt),(t′)]t(dt)}注(5)两类曲线积分之间的联系：⎧x=ϕ()t设有向平面曲线弧为L：⎨,⎩y=ψ()tL上点(,)x处的切线向量的方向角y为α,,βPdx则+Qdy=(cosPα+cosQ)βds∫L∫Lϕ()′tψ()′t其中cosα=,cosβ=,ϕ()()′2ψt+′2tϕ()()′2ψt+′2t（可以推广到空间曲线上Γ）设Γ上点(,,)xy处的切线向量的方向角z为α,,,βγPdx+则Qdy+=Rdz(cosαP+cosQβcos+)Rγds∫Γ∫ΓGGG可用向量表示=At⋅=dsA⋅ds=Atds,∫Γ∫Γ∫ΓGG其中APQR{,,}={cos，t=,αcosβ,γcos},Γ上点(,,)xy处的单位切向量zGdst=ds{,,}=dxdy有向曲线元；dzGGAt为向量A在向量上的投影t.例1计算xydxc:2y=上从点x(1,−1A到)∫c点(B1,1的一段弧).⌒⌒y解法1视x为参数c,=AO+OB⌒2B(1,1)AO:,=xx=y−;xy=x⌒OB:,x=x=yxxydx=⌒⌒xydx+xydy∫c∫∫AOOBox013=x−xdx+2xdx∫∫10A(1,-1)134=2x2dx=∫05解法2视y为参数y2⎧x=y2B(1,1)c:⎨，:y−1→1y=x⎩y=ydx=2ydy1oxxydx=3y2ydy∫c−∫1124A(1,-1)=y5=5−15例2计算:xydx2+x2其中dy沿二种路径从cOB到.∫cy解OB:=yxB(1,1)x⎧x=xy=OB:⎨:x0→1y=x⎩AOxxydx2+2x=dy∫OB11x(2+2x2dx)=3x1=∫00例计算:xydx2+x2其中dy沿二种路径从cOB到.2∫cc解=OA+AByB(1,1)⎧x=xOA:⎨,:x0→1=x⎩y=0yx1⎧=AAB:⎨,:y0→1x⎩y=yOxydx2+2xdy∫c11=2x⋅0dx+20⋅x+y2⋅02dy+1∫0∫0=1xydx2+x2其中dy沿二种路径从cOB到.∫c结论：被积函数相同，起点和终点相同，但是路径不同，积分结果相同。2例3计算:,:ydx其中L∫L(1)半径为，圆心在原点，按逆时a针方向绕行的上半圆周。(2)A从点a(,沿0x轴到点)(−B,0的直线段。a)结论：被积函数相同，起点和终点相同，但是路径不同，积分结果不同。ydx−+xdyxdx+ydy例4计算:，，∫cx2+y2∫cx2+y2其中c:x2+y2=沿逆时针方向2a解x⎧=acostc:⎨:t0→π2y⎩=asintydx−+xdy∫cx2+y2sina−2π(tsina−t)+acosta(tcos)=dt∫0a22π=1⋅dt=π2∫0ydx−+xdyxdx+ydy例4计算:，，∫cx2+y2∫cx2+y2其中c:x2+y2=沿逆时针方向2ax⎧=acost解c:⎨:t0→π2y⎩=asintxdx+ydy∫cx2+y2cosa(2πtsin−at)+asinta(tcos)=dt=0∫0a2z例y5()()()−dx+x−zdy+x−ydz∫c⎧x2+y2=1其中：c:⎨从正z轴方向往负z轴x⎩−y+z2=方向看是顺时针.=解x令cos=θ,yθsin=z−,2x+2ycos=θ−θsin+θ:π2→0zy−()()()dx+x−zdy+x−y=dz∫c0[2=(cos−θθsin+θθ)θ+3π2cos2−d=sin−]2∫2π