1极值点偏移定义及判定定理所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值，且函数与直线fx()xx=0y=fx()yb=xx+xx+交于Ax(,)b,Bx(,)b两点，则AB的中点为Mb(12,)，而往往x≠12.如下图12202所示.极值点没有偏移一、极值点偏移判定方法1、极值点偏移的定义对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为y=f(x)(a,b)x0f(x)=0x+xx、x，且a
x，则函数y=f(x)在区间(x,x)上极值点x左偏，简020120x+x称极值点x左偏；（3）若120，则12122x+x12<(>)x，即函数y=f(x)在区间(x,x)上极大（小）值点x右（左）偏；（2）020120x+xx+x若f'(12)<0，则12>(<)x，即函数y=f(x)在区间(x,x)上极大（小）值点22012左（右）偏。x0二、极值点偏移问题的一般题设形式：1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；f(x)x1,x2x1≠x2x1+x2>2x0x0f(x)2.若函数中存在且满足，求证：（为函f(x)x1,x2x1≠x2f(x1)=f(x2)x1+x2>2x0x0数f(x)的极值点）；x+x3.若函数f(x)存在两个零点x,x且x≠x，令x=12，求证：f'(x)>0；1212020x+x4.若函数f(x)中存在x,x且x≠x满足f(x)=f(x)，令x=12，求证：12121202f'(x0)>0三、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：（1）求出函数的极值点；f(x)x0（2）构造一元差函数；F(x)=f(x0+x)−f(x0−x)（3）确定函数F(x)的单调性；（4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系.F(0)=0F(x)f(x0+x)f(x0−x)
口诀
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：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2、抽化模型答题
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：若已知函数满足，为函数的极值点，求证：f(x)f(x1)=f(x2)x0f(x).x1+x2<2x0（1）讨论函数的单调性并求出的极值点；f(x)f(x)x0假设此处在上单调递减，在上单调递增.f(x)(−∞,x0)(x0,+∞)（2）构造；F(x)=f(x0+x)−f(x0−x)注：此处根据题意需要还可以构造成的形式.F(x)=f(x)−f(2x0−x)（3）通过求导F'(x)讨论F(x)的单调性，判断出F(x)在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；f(x0+x)f(x0−x)假设此处F(x)在(0,+∞)上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，.F(x)>F(x0)=f(x0)−f(x0)=0x>x0f(x0+x)>f(x0−x)（4）不妨设，通过的单调性，，与的x1x0f(x0+x)>f(x0−x)x1f[x0−(x2−x0)]=f(2x0−x2)x1
证明
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f'(12)<0，还需进一步讨论12与x的大小，得出12所在的2202单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.21世纪教育网版权所有x+x此处只需继续证明：因为x+x<2x，故12
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