Helfrich手征弹性理论的推广及高分子螺旋双稳态的理论解释（已处理）

Helfrich手征弹性理论的推广及高分子螺旋双稳态的 理论解释 湖南大学 硕士学位论文 Helfrich手征弹性理论的推广及高分子螺旋双稳态的理论解释 姓名:齐卫宏 申请学位级别:硕士 专业:理论物理 指导教师:刘全慧 2001.4.1盏奄 摘 要 在高分子中,螺旋是种很普遍的高分子组态。近来实验发现,一些高分子, 如细菌鞭毛丝,在离子溶液中能够形成双稳态螺旋,即左螺旋与右螺旋在相 同的 条件下能够同时存在。对于这种现象的形成机制还没有一个令人满意的解 释。 提出?种四阶手征弹性链理论,并解释了高分子易形成螺旋而不是直 线。我们对这个阀题从稳定性的角度进行了考察,结果支持了的做法。由 于四阶理论不能解释螺旋双稳态的现象,我伽络理论进于推广到八阶,发 现五阶理论能够很好的解释堡蕉塑夔鲞的现象。 关键词:高分予,自最旋,弹性,手套灶 碰哂缸.删眦 跏 赶碰;盯黜 硪 赫邮 咖 ’ 珊删. 舭. 时 强蚴脚矗、 豫睹鼢 啦咄弛?,雠妇黜鼬 嘲枷嗍【 .哪吐埒删嚣娜量蚺, 砌 蛐. 舰 矗 . .第一章 引言 生物大分子,如、蛋白质等对生物体具有非常重要的作用【?,而大分 子的空间构形在某些方面决定了其生理功能。如蛋白质的折叠方式不同,所 完成 的生理功能不同,疯牛病就是由于某一种蛋白质的错误折叠引起【】,这也说 明, 同一高分子,一种构形可能对生物体非常重要,而另一种构形可能对生物体 有害。 因此研究高分子的空『自构形有很大的意义。 高分子形成螺旋构形是?种很普遍的现象,有机物高分子能够形成螺旋.】, 无机物也能够形成螺旋【,人们现在还能够人工合成具有螺旋结构的高分子阴。 最常见的高分子如,它是生命遗传物质的携带者。五十年代和 发现了的双螺旋结构,】,进一步研究 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明,双螺旋的能够缠绕在蛋 白质上形成超螺旋【,。实验还发现,~些纤维分子也在溶液中呈现螺旋状 【,,,】。这些螺旋要么是左螺旋,要么都是右螺旋,但从自然界现有的高分子 来看,绝大多数的是右螺旋【】。这些有机高分子的一个共同特点就是它们都是由 具有手征性的小分子构成。 随着科学的进步和实验手段的提高进一步发现,一些高分子在离子溶液中能 够出现双稳态螺旋,即左螺旋与右螺旋在相同的条件下自够同时存在。例如, 细菌鞭毛丝的左螺旋和右螺旋能眵互相转换,】,而且,在一定的离子溶液中, 这种左螺旋和右螺旋能够同时存在如图?所示】,细菌纤维也能够出现两 种手征性相反螺旋共存状态如图,所示。近来也发现,的左螺旋 和右螺旋的在一定的环境中也能够共存。于是就出现了一个问题,怎么从物 理机理上解释这种现象呢 研究发现,这种由具有手征性的分子构成的高分子具有很高的弹性,其空间 结构在很大的程度上取决于链的弹性。一种很自然的做法就是发展一种弹性理论 来解释这种现象。事实上,已经有了这样的理论。经典的高分子弹性理论是 .的细杆理论【,经很多人【】】的发展,成为研究高分子的一种较好 的理论。九十年代初,德国物理学家从第一原理出发,提出了一种纯弹性 理论】,他将高分子链看作?种弹性曲线,将链的能量密度以曲线的曲率和挠 率 展不根据微分几何理论,】,如果曲线的曲率和挠率唯一的确定,那么,空间 曲线就唯一的确定。的理论在研究生物高分子在空『自构形方面取得了很 螺.,?,廷薹要骖 二一。。,一二~ 一图双稳态螺旋,图中所示的是沙门氏菌的鞭毛 左手螺旋与右手螺旋共存箭头所指,尺度条为微米。 。 图.图中所示的是螺线管状的型微小细菌纤维,也 显示了共存的双稳态,尺度条为微米。 大的成功『.。这两种理论到底有没有关系呢在第二章将作简要的分析。我 们 会看到,理论是理论的推广】。 通过对能量密度求极值,得到了当弹性常数满足一定条件时,螺旋是 链的能量密度极小时的一种组态【。但的做法是不是合理的昵因为他只 是对能量密度直接求极值,得到了螺旋组念。事实上,要给出商分子链的空间 构 形,就必须对一定长度的高分子链的总能量求极值,这是一种泛函的极值,属 于 变分法领域的问题【】。因此,的做法在数学上还可以严格化。严格的数 学处理证明了的作法的合理性。论文的第三章对这个问题作了较详细的分 析。通过对高分子链的总能量求一阶变分,给出了总能量极小时高分子链的一般 的形状方程,对总能量求二阶变分得到了形状自&够稳定存在的条件。就发现,? 般地,直线状高分子是不稳定的,它很容易失稳变成螺旋组态,但螺旋会不会稳 定存在,还是要看其稳定性的条件是否满足,满足了,螺旋就可以稳定的存在, 如不满足,那么螺旋又会失稳变成其它的形状。我们证明了麟给出的螺旋是 在?定的条件下可以稳定存在的螺旋,也就是说,的做法虽不能够给出所 有可能存在的组态,但能够给出符合条件的组态,也说明他的做法能够解释生物 高分子在溶液中形成螺旋的现象。 既然的做法是合理的,我们想用他的做法来解释生物高分子形成双稳 念的现象。但很容易发现,对给出的自由能求导只能得到一个螺旋挠率 只有一个值】,而螺旋双稳念是手征性相反的螺旋同时稳定存在挠率有两个 值,一个大于零,一个小于零,显然,四阶弹性理论是不能解释螺旋双 稳念的现象。 为了克服这一困难,我们对的理论进行了推广】。这样做的目的有 两个:一是看按照珏的思想,能量密度的高阶展不式有没有规律町寻如果 能够找到规律,那么,理论上我们可以给出任意阶展开式,如果没有规律,那么 我们也就给出了研究可能用到的高阶展开式;二是看利用能量的高阶展开式能不 能解释生物高分子在溶液中出现螺旋双稳态的空间构形。在第四章,我们将能量 密度一直展开到曲率和挠率的八阶项,从结果来看,展开式并没有具体的规律可 寻,只是定性的可以看出,阶数越高,能量项的表达式就越复杂。 研究表明,可以利用我们推广了的五阶能量表达式来解释螺旋双稳态 的现象【】。我们通过对五阶能量密度求导,找到了在相同的参数下,左螺旎和右螺旋能够同时存在,即存在两个挠率值,并且手征性相反,并且其能量比直线的 能量要低。我们给出的结果与实验相一致,这样就解释了螺旋双稳态的现象。 本论文是按照下面的思路组织的,在第二章罩,我们对理论和 理论进行了简要的介绍,并讨论了两种理论的关系,即理论是 理论的推广。第三章对的做法进行了数学上最~搬的考证,即对 能量密度求变分,说明了在一般隋况下,直线状高分子是不稳定的,会失稳变成 螺旋,螺旋是能够在一定条件下稳定存在的螺旋,即他的做法是合理的; 第四章通过冗长的运算,给出了能量密度的八阶表达式;第五章对能量密度 五阶 表达式求导,得到了左右螺旋在一定条件下能够同时存在,给出了与实验相一致 的结果;第六章对本论文进行了 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf ,并对进一步的工作进行了展望。里论理论的比较 第二章 弹性杆理论是一种经典的弹性理论,具有悠久的历史】,而 理论是九十年代才提出的一种纯弹性。它们之间有没有联系在研 究高分二空间构形方面,哪一种理论更好呢本章试着对这些问题作一回答。首 先,我们对理论中用到的数学基本概念作一介绍。 .数学基本概念 ..空间曲线的标架【】 给出类空间曲线和上的一点,设曲线的自然参数表示 是 . 其中是弧长。尸点的单位切向量定义为 ‘。‘。 点的主法向量定义为 . ,一叫 点的副法向量定义为 × 我们把两两交的单位向量,,称为曲线上点的标架,由 ×知,标架构成右手系图 图 标架 七 墨市 其中。:『,.:,,:拿。 船给出闭区间。,:】上的两个连续的函数伊、,则除了空间的位置 差别外,唯一的存在一条空间曲线,使得参数是曲线的自然参数,并且妒和 ‖分别为曲线的曲率和挠率,即得自然方程如,。 一 . 盯, 协? 。士’ 舻赤一寿 丽’忙丽 .. 标架】 理论最初是基于标架的理论,这黾我们对其予以简单的介 绍。这罩用文献】中的记号。 是三维空间中的曲线,也可看作细杆的中心轴线。,.,:沿着 构成一个正交的右手系图。很显然,,,.,包含了丰富 的信息,如包含了弯折信息,而。或:包含了扭曲信息。 在标架中,我们有 ? ’×,,×,:× 这里的号代表对弧长参数的微分。是标架的旋转矢量 ? ? 在标架中,我们也可以写出类似的“公式” , ? :一 ;图? 标架 【】 ..连接数 连接数是一个拓扑指数一般是整数,它描述高分子拓扑性质。连接 数由两部分组成,扭转数和扭曲数,即方程 ‖ 而扭转数是指高分子沿中心线扭曲的程度,扭曲数描述高分子环绕的程度。 我们以圆构形的高分子为例。 如图.所示,表示松弛的圆构形分子,没有环绕,连接数就等于 扭转数,分子也没有内应力,即三,, ,。 一个与完全相同的圆形高分子,通过将高分子闭合圆打不, 扭曲,再粘接在一起,此时,它的连接数减少了一址,结果,内应力导致链的环 绕数增加。这样就有?,,一。 ‘?. 一? 罩一? 拳一? 图连接数、扭转数和扭曲数的关系. 弹性杆理论 论主要描述三维空间弹性细丝的力学行为,包括静力学方面 和动力学方面,我们分别进行概述。 .. 弹性杆动力学理论 理论能够描述三维空间弹性杆的动力学行为。我们假定弹性杆足够 的细它的截面积远小于它的长度,而且,弯曲的程度很小。我们以两个独立变 量时间和弧长,来描述杆的动力学。杆的中心轴,,我们去 标架作为方向基矢.,:,,,它们构成一个右手系。这里的标记是为了更方便, 其中,相当于沿着轴线的切向量。:,,相当于..节中的.,:,,。 显然我们有 ? ,炳 基矢随着时向和空间的演化确定了杆的运动。由基矢的下交性,我们可以写 出 ? 净 ,,。?×,,, 撇号和点号分别代表对弧长和时问的微分。矢量和?分别称作扭曲矢量和自 旋矢量,它们可以写作?:。,,??:.,。弹性杆的动力学依赖于总 力和总力矩,?;,/:。,?:.,,。对于一个有圆截面的直杆, 方程可写为, . ”:, ? ’×××这里的/功盯是比,表示杆的弯曲和扭曲系数比。一般 和之间。式?、 的,比界于.到之间,也就是说,的值在 .和式可以化成关于时间和空间的九个二阶方程,有九个变量 ,咄,称之为方程,通过求解方程,就可以获得杆的动力学信息。 .. 弹性杆静力学理论 这里我们介绍胁牙理论对高分子空蒯构形研究在静力学方面的发展。以 常见的高分子为例。 若杆是均匀、各向同性,其弹性能可以写作,,,】 鲁』?;培等』;出十』出 这里的和分别是弯折和扭曲弹性常数。.,:,,是在标架中表 示的几何量,;:是曲率的平方茁,,是扭转密度,是使杆不伸张而加 上的拉氏因子。 我们值得指出的是,式?未将拓扑约束考虑进去,拓扑约束就是在.. 节中介绍的连接数,而连接数在研究高分子的结构时是不能忽略的如对于 的超级结构来说,就不能忽略拓扑约束。 研究表明,如果将弹性能在标架中给出】,则很容易将拓扑约束包含 在弹性能中去。标架中的弹性能可以写为符号于文献【】中相同 . 如旯『 以是由于端点的条件不同而引入的拉氏因子,如将两个端点接在一起或将端 点固定。厶是弯曲弹性常数。自由能表达式的欧拉方程一次积分为【, 沼?, “。“ 丑,/‖一。‖阮一五:‖ /。阮恶.删嚣一:‖ 茁。表示对弧长的一次微分,依次类推。和‖是积分常数。数学上的 一个研究表明,如果杆是封闭的,方程?可以给出扭结解【,】。 . 手征弹性理论 对于圆截面的弹性纤维的理论研究,在最初,用来解释高分子的形状。这些 高分子在溶液中能够自发趋向于形成具有特定曲率和挠率的螺旋形状。根据 和?删提出的虫链模型,和给出了推广了高分子单位长度弹 性能为 ? ;舡一‰?弼一『这里?”口《时两个弹性模量,‰和分别是自发曲率和自发 挠率。在这个 模型中,没有曲率和挠率的耦合项,而且,‰和%从弹性理论的角度来说缺乏 应 有的基础】。 另一方面,我们已经知道,液晶双层膜在水中可以形成螺旋结构,,导 致这种螺旋结构的原因是由于膜是由具有手征性的高分子构成。这种双层膜 可能 具有自发挠率和曲率的耦合项,这种耦合项导致了螺旋构形的形成。基于这 种手 征力,和提出了?种螺旋带模型】,很多研究者对这个理论进行了 广泛的研究【,。 实验发现,有手征性双亲分子参加的水溶液中存在螺旋纤维结构【】,这刁能 用式来解释。于是,就有一个问题,由手征性分子构成的具有圆截面的各 向同性高分子是否更易于形成螺旋 对这个问题进行了研究,给出了一个很好的回答【】:只要弹性能的项 的阶数高于二阶,这种各向同性具有圆截面的手征性双亲分子纤维形成 螺旋的这种现象就能够被解释。单位长度的的弹性能可写为 ,, 、 ? ,告%‘一;女噼 二 ‘ ’ 这罩的七:,,,::,.是弹性模量。弹性常数,,是手征性物质的特征,它的 符号决定了纤维的扭曲方向,正值代表右手螺旋,负值代表左手螺旋。对于许 多 高分子,如,弹性模量女,,月是玻尔兹曼常数,丁是绝对温度, , 。弹性模量现在还不能直接测量,但对于一些特定组态,如 是 可以估计。在我们的处理中,所有的弹性常数沿着杆都是常数,并 忽略边界效应以及热振动。通过假定具有曲率和挠率都是常数的螺旋存在, 给出了只要满足下面的条件,就会自动形成螺旋 ? 否则,将继续保持直线状。在文献【】中,通过分别对平衡态的能量求导,我 们得到平衡念螺旋的曲率和挠率为 . 『:一蔓,砖:笪篁生 。 。由微分几何的理论,我们很容易得到~?, 、 ’ 陋,, 吲.竺×翻‖ 式的最后一项是 . 一耐×剽 我们很容易看到式给出的是四阶理论。若假如对曲线有?很小的形 变 . ’如沁 妒和妒是足够小且光滑的函数,对一定长度的高分子链的变分为 』他旯』出如小胁 它给出的两个平衡方程为,, 爿一五盯三如?一‖“ :: .《盯:。》 五 七盯一‖。彳。 屿、一一一;叫呜。 ? 一 。。。:一四 占;七:眠;:。‖代 七。茁一舢 。。一。。 一、。。一、。。一。。一。 若令屯,导致 茁。芷,?纠??这是‰和协给出的结果。 对于螺旋,曲率和挠率均为常数,此时,显然满足,爿:有 丑;也一坞: 一,, 一。茁。;茁一? 换句话说,螺旋总是形状方程的解,但它是否稳定仍然不知道。州评理论和理 论的关系 我们这里仅仅讨论鼹种理论的静力学关系。由式,可得】 山 ?~ ?‘一“剖 正丑 ..:一三一三一主篓。. . ‘”一丽一妒一舻帚妒一荣器 . 舻茄警一黪~筹谣一剡 . 《地垫塑纽?坐塑缱划 . ‰刽譬忽塑壁 ‰ 坐%归生铲 ‰一茄一警警警一器:彬.丽: 一等等一等一等等一等丁/七,。, 将这些关系式代入.和., 可撂彳西最一如一正?幽,置五一‘:玛 墨一驾旯 茁码如一码?箕置 一驾兄驾丑厶?罡墨 丑.墨一鸳旯:玛‖玛‖ 一旯?咒/兄旯兄 ‖【以一颤墨 丽丘如?以岛墨丑驾以驾 . ::如置。:置 一也:置 令 . 我们发现,只要弹性模量满足 协乾, 驴帮糍,弘。 任意的曲率都满足方程.。 从这个结果可以看出 扭结解的组态式理论的形状方程的解,这也表明,模型 在研究组态方面有潜在的应用价值。 细杼理论给出的结果是三阶理论的一个子集。扭结 细杆理论给出的结果,因此,它也是理论的结果。是换句话说, 三阶理论比理论能给出更多的空间构形。 显然,理论是理论的推广,理论在研究高分子空间 构形方面有更大的普适性。本论文将用理论来研究螺旋双稳态现象 第三章螺旋的严格数学考证 已经证明了螺旋是高分子链能量密度最小时的一种组态,在本章 中,我们要对的做法进行严格的数学考证。 本章首先对的做法进行简单的概述,再给出一般的稳定性条件,然后 证明若高分子链的初始形状是直线,在失稳时就会变成螺旋,但螺旋是不是 稳定 的呢不一定。但最后我们将证明,螺旋是在一定的条件下能够稳定存在 的螺旋,这给对螺旋组态的解释做法给出了一个有力的支持。 . 对商分子螺旋组态的解释 上一章中,我们大概叙述了对高分子形成螺旋的解释,这里我们再详 细?些给出他得求解过程。 对于?式,我们令不变,有,对求导得 . 。 一粤 将代入可得 ,之, ,如一钓;‖ 式对求导,可得 . ‰:掣 显然,只要满足条件?;颤,::则以‰,分别为曲率和挠率的螺 旋的能量为 。, 户‰簪 就比直线的能量低,高分子就会出现螺旋组态,这样,就解 释了为什么高分子会出现螺旋组态。 . 高分子构形的稳定性条件的给出 我们不难发现,只是说明了当一定的条件满足时,高分子呈螺旋构形 要比直线构形的能量低,但是,螺旋构形是不是稳定的构形直线构形和螺旋 构形到底有什么关系它们之州能不能转化要讨论这些问题,我们首先必须给 出高分子空间构形的稳定性条件。 根据我们的目标,我们需要研究螺旋组态的能量泛函的二阶变分 叫』舾旯』凼 我们取如下形式的微扰 妒妻坑挈 限,, 删塾一吲 这罩的?一,为了方便,实函数如的展开系数取蛾的形式,是高分 子的长度。我们忽略边界的影响同时利用周期性边界条件。 通过计算,能量的二阶变分为【】 ” 一舾兄出 ?罐’ :妻.?. 。删 这里”代表复共轭,且最后一项是实数。其中 石一茁一七三万如茁万 石九一胛矿七 尼 ?盯‖门石‖一 ? 。一万?万不 胛盯万 茁胛疗万屯盯 一盯石厅玎一?茁, 石石?盯万丁万 万 ?岛,万盯?盯三 ?.一?力一.玎 一胛万『万甜盯/工上一万以‖七‖ 牙一 一 如果一个组态能量极小,并且在可能的小的微扰下稳定,那么,必须满足下 面的条件 ? 以, ,:一以或 或者等价于 ? 口。, ‰, 群一。“ 这里的 . 。.,“;.,。;. 如果态能量不是极小值,那么,它在微扰下将会是不稳定的。式.或 .即为稳定性条件。 .直线高分子的稳定性 本节我们要讨论直线高分子的稳定性,看一看它什么时候是稳定的,什么时 候是不稳定的,不稳定时会变成什么构形。 对于直线,我们令茁,,则 . 口。。石以巧 石 . 。一 刃一。;石一如门石石 我们将式改写为 . .。一警 这里的 . ,啦、, 其中 ? 赤一, ”去一筹割 函数.对应的方程在其系数不为零的情况下的根为 . 叠.:?./?:一 ‘’‘ . 简单的计算表明,当 ? :一. 即 置葺 直线将是不稳定的。 为了给出一种较直观的描述,我们利用赵伟等给出的一组弹性常数估计 值,来绘制厶, :随着”的变化而变化的关系图。图一给出了茸~胆的关系图, 由于很难将葺,置绘在同一个坐标系下差异太大,因而,我们在图中绘出 了它们的对数曲线。 我们发现,当条件满足时,直线将不稳定,但是,它会失稳变成什 么呢这里试着作一简单的分析。 假定原直线的方程为 ? 则微扰下的方程为 ’缈 我们知道,如果某种模式的微扰比热振动还要小,那么,它将对高分子的空 间构形将没有什么影响。实验表明,每种模式是相互独立的。假如说其能够 影响 高分子的空间组态,它的能量将与。。是玻耳兹曼常数可比拟。我们町以 由下式求出扰动系数 阮或六~ 这里兰阮,:,,根掘赵伟等给出的一组弹性 ? ’ 图..西~疗一 一 西 。。 。 图.~” ? 佰 ? , 图..没有微扰时直线状高分子的空间构形。 寻 伸 ” ? 图.在模式”微扰下高分子变成螺旋状。这罩 我门令一/, ‘.。常数估计值,可求出扰动系数。我们这里只对其可能的形状作一定性的 描述。对 于模式/,有 /无/ 满足,很显然,它将变 假定直线高分子图的长度在模式 成一个螺旋图,但是不是稳定的螺旋,仍然需要进一步的考证。 . 螺旋的稳定性 我们将螺旋存在的条件可改写为霹。,,则 『也霹,,’ . 壮 . 弘一’ 『 将上式代入?、一和 式,并重新定义为 通过计算,我们得到 .,/; ;,‘店% 尼;味彳十磋 ? “/七三粕八?缸甩‖不七一七一十. 七;三一.?七七一七三日 ;厅砰一七乏?? ? 以幻疗?元工触::。”一::。石 ? 砖一心一‘七一? 矿?‘一一 :一, ? 一 厅 /七 ?々疗石七一并./?? 我们发现,当/时,显然有式成立。也就是说,当 ? ,/,,。 时,螺旋能够稳定存在。 .小结 我们发现直线高分子在微扰下不稳定,它将变成螺旋。研究表明,通 过对能量密度求导给出的螺旋组态在一定的条件下是稳定的螺旋组态,由于 参数 的取值对溶液环境的变化反应非常敏感,因此,只要我们调整溶液的环境就 可 满足使螺旋稳定存在条件。从另?个角度来说,的做法在物理上 是合理的。这样,我们就可以用的方法来讨论双稳念的现象。 第四章理论的推广 上一章我们从数学的角度证明了做法的合理性,因此,我们可以用 同样的做法来讨论双稳态的的现象。然而,这里我们发现了一个根本性的困 难, 就是的能量密度四阶展开式在求极值时只能给出一种组态即一个 值,而我们要讨论的双稳态至少要两种组态即两个值。为了解决这个困难, 我们对的理论做了推广。考虑到理论的广泛应用前景,我们在 这一章将能量密度的表达式一直推广到八阶项【】,并看一看其展开式有没 有规律 可寻。 . 理论推广的基本思想 按的做法,我们将高分子链看作一条数学曲线,是弧长。 则曲线的应变可以由单位切向量的微分展开”/?,?。 为了得到八阶能量展不式,我们的计算结果表明,对的零到六阶微分在展 开的过程中是必须的,即 . 、。 ,面 ,否,孑,万,矛,虿 ”出’凼’出’凼’凼’出 展开过程中,对称性是应该考虑的。也就是说,当,反向时一,一一, 由于这只是一种参数变换,而没有任何物理意义的改变,因此,能量项应该在 变 换,寸一下不变。这意味着对于任何能量项,和的总数应该是偶数。 男一个要考虑的问题是上面所列的因子.都是矢量,而能量密度的每一项必 须是标量,为了得到标量,我们将用到数量积和矢量积的运算。 前四阶项已经由【给出 ’ 石,磊?弱,堕.鳓/,‘×弱, 石’磊,。磊。别,一’一, 。别 .五阶项的推导 血阶项可以按下面的步骤来分析 很显然,五个粤不可能构成一个具有对称性的标量。 珊 ,以及在的协助下,可以构成有效项。 如果?个筹三个罢 五,, 二。’ 塞×渤旧翕 ?忑。别飞石’剥 和一个宰 不能构成有效项,一个垂和两个宰也不能构 一‘而‘ “ 。 成有效项。 . 一/、.万和一个窘给出有效项 五, ×幽 .箬 得到 一个塞 和一个.萨 . × 、???,, ,??、、一西 盟‖翁 斟×弱?矛 巩一出一??一 在这个公式里,等式右边的第二部分和式相司,第一部分则可看作边 界项,边界项意味着如果我们对由它构成的能量项从。到:积分,就会出现诸 如 水×黜.掣 的项,对于一个很长的高分子链来说,它对能量的贡献完全可以忽略不记,它 没 有给出任何新的项。因而,×翁.雾也不应该出现在能量展开式中。 仅仅只有一个?了也不能构成有效项。 .六阶项的推导 同样的,六阶项也可以由下面的步骤得到显然,六、、能够给出 船 巩矾、 ? \ 一个筹和四个篡不能够形成具有对称性的标量。 两个雾和两个妄可构成 ? 心×铆 . 陋.纠 两个都是有效项,但是对于 \出出,西出, ?孑凼 .坐.妄.黝罢.翁 陀×斜象.期 没有任何新的项在单面,因此,它不应该出现注能量项中。 个堕给出 .妄.翁 .弱.象.弱一象,堕 显然,它也不是一个新项 一个窘和三个芸可得到 丛期?塞翁丢象?韵?塞?为 .翕一盟 .纠 一.盟 .塞.翕 可以给出有效项 ,一、孑 ,和一个 一个丛 九, .剽.。矛.五 两个筹给出有效项 五 ?叫’ 虿.剖 虿‘硎 一个箬和两个妄,一个.矛和一个筹,一个万和一个忑, 以及一个筹 都不能给出有效项。 我们仍然按上面的步骤来推导七阶项,这比上面要复杂一些。 、 七个粤不能构成符合条件的项 五个妄,一个筹,可以构成 。 『×鞘.瓤篡.翁 三个磊,两个窘,不能构成符合条件的项。 一个坐,一个堕 一 ×幽.烈堕.纠四个,一个,不能构成有对称性的标量 ,也不能构成有对称性的项。 一个塞,两个矛 两、忑,一个丛 ,?个丛,可以构成 一 『×韵.翻.害.翕 . 、砂、斟妄.弱 一个盟,两小堕 ×幽.邻.弱 “ :.×弱.窘.嘉.翁 不是新项。 . 一个窘,三个妄,可构髓 . 『弱.抓芸.黝 ?一个筹,一个窘,一个妄,可构成. 矛。冽’磊?个碧,一个.矿,可构成 . 筹×剥. 一个箬,两个忑,不能构成有效项。 ~个雾,一个坐,可以构成一 ?。刮 一个雾,一忑,可以构成 . 滢×期. ~个磐不能够成有效项。 础 .八阶项的推导 八阶项可以推导如下 八个粤可构成 疵、 . 譬括/ 一个筹,六个,不能构成有薮项。 两个雾,四个坐,可构成 . 矿.期.妄翁饥饿、 . 出凼/ 出幽 ? .扪塞.为 『 ×韵.妄.黝 : 饥斑、 班、 一虿’硎、忑’别一嵫’一 最后一式不出现新项。 三个筹,两个塞,不能够组成新项。 四个凼,可得 堕.纠 . 出出/ ?个参,五个妄也不能构成新项。 一个雾。一个.孑,三个芸办不能构成有效项。 一/万,两个筹,一个盟,可以构成 . 万.鞘.塞.鞘 ? ×翁?象×荆?筹 . 法酬、.蒙.韵 阴两个.矛,两个塞,可以构成 ? 罢.鞘 . 『翁.剽 . 睁丛??为 。阴雨个矛,一个盟,不能构成有效项。一、.矛,四个妄,不能够构成新项。 一个.豕,?个筹,两个罢,可以构成 . 碧.盟.塞.翁 . 矛.韵丫塑.韵 。抛, ×翕?丛?×翁?矛 一个丛,两个象,不能构成有效项。 一 个 一个窘,.出,也不能构成有效项 可以构成 两个 以一‖趴一‖ . 娑.翔 , ~ 个 个。,可构成 以万 口 疵 疵疵、 . 孑‘飞石‘刊 一个 一个象,叶堕,不能构成有效项。 一 个 一个雾, 以一矿以驴/ 西蕊凼/西出/ 有边界项,因而,忽略掉。 一个盟,两个霉,不能够构成有效项。 。 一个矛和一个.矛,一个参和一个堕,以及单独一个坐,均 不能构成有效项。 . 能量表达式 将上面的所有有效项综合起来,并乘以弹性常数七“或七。以及任意的常数, 我 们得到了单位长度的高分子链的八阶能量表达式为 厂甲 芸?翕鸲?芸×弱如罢.翁?×弱 屿,芸×鞘?塞?为扣×鞘?窘以。妄?黝 吨罢.弱.塞.翁 ‰心×删 岷芸剥 ‰筹?剑鸲.心×劫矧 鸲:塞×荆?碧?鞘坞,筹×斟?塞?为 坞。塞×韵?塞?期鸲,×翔甜芸?翁 屿。塞×鞘.筹嗝×翔.西,屿矛×弱 鸭?芸×鞘岷芸习。塞.豹.芸.为‰心×新芸.翕陋×幽 地,筹.纠.篡.为地。丛.弱.三.出: 地,芸?鞘.堕韵吨三驯、屿,妄×荆 屿.。筹 ,/.芸.翕‰.第.剽.芸.期 叫箬?期?。‖?期叫?芸×幽。?.罢×纠 叫?辫,./憎×翻卜陋荆 “ . 根据坨公式 . 坐:柚.一:一一:一 五柚,一一 、 这旱的是法向量,是副法向量。 于是我们有 垫:茁。一以衲 . 矛一茁‘?肭 . 一‖一埘一弧亿 万 翁‰撕巩《地‖ . 盯,『、茁一.一茁 . 碧‰眠“缸. 圳一茁。一。?,。,, 舸。。一茁。料。一槲:,《。一。?。竹。 . 一一盯‘。盯产? .:。‰:一咖 筹 砜《?纸一砖一‖ 一?一十?, 。盯艄一,。, ?。?。。。。;一、。 一。;一。 。池一; 一、。 。狙 一茁茁。。一盯。。一。。瓦一: 一。。?。。一,‖一 . 盯 这里的茁。,茁。,等分别代表,/凼,叫西,/出,等 我们将以上分析出的有效项写成,表达式得 ?.鲴:: .隆幽《 ?.幽/ ×鞘扣产 心×劫罢?翕? 鞘?雾叫什眠,一眠甜‖, ?.疵 ?×翻卜 出 删‘“。 ’‘ 一一 ?.垡.霉.宰 /出幽/ 睁盟?卜”‰‖础 ::。 ?×劫熹争 ?×劫雾?鞘。啊以‖一 .窘×雾?塞?翕:‖弧州‖似, ?×劫塞?缒、,? 即加 『×幽?瓤塞?翁甜?『拙 睁幽?参珊饥‖矿。托一 ×荆.西,嘲鼎什。。出‰。吖“亿 ,拼, ‖。一茁:?: 一‖。‖。一盯 一盯一, .雾×翁珠凼卜‖如叫一敝帕一“” .。一..矿 。一 ;。一;。七一:一丁。芷茁 .篡×期。‰一‰枷%。 一茁《一盯,一茁,‘一,%?。 一一。;、。。。。。;一 ; 茁一十盯 班一出 : . 翻:, 矾~出 矾一西‖~出 / ‖喏 厂 ,,,????、、,,???? ?.鳓:: \西出/ 心×耕 象×丛卜一.《俄‖胁『 面.鞘.妄.黝一《“。‰川; 一 。一‰矿一。。。? ?万.窖.妥.塑:脒:?茁;,矾 万别‘磊‘刮/脒:‖《‖矾 “ ?一扣即 磊酬.陋纠 ?十茁,删?茁一. 磊凼,、/茁《‖‖?‖一‰十‖ 心×耕峨铅以诹弭 一 『 盯一 ‰ ” 筹 鞘 翁 。。::七:仉 筹.象.罢翁盯《一,一“。石‰州 ?茁‰盯‘一茁一盯 出。.为.象.鹳?‖《一。茁《茁眠 心×幽。/仆妄×幽:‖恤饥‖ ?一.一 心剁象×耕‰么。盹。丸 矛.剥毛诹以峨‰‖‖ 。。:《,。‘ 《?一: 肘《芷肘:芷茁三?,刖 【盯茁? 一茁。,,珥茁《 这样,.可写为 ::;缸《地一 厂;屯女/ 妻七,;翩一‰彭盯一十七茁七 二 十‰/:后“茁‘一茁舢七三十? ?‰?.茁露《。 /佗:‖矗一‖ 一盯茁十矿十‰/.;, 七一一?一,一血石,一: 一一。心四。。 一斟一刖茁%材拈,,? 一.。。 ?一掰。。一。, 一一盯,一茁彭?,一盯: ?;一一。。;。。《。;一;。;一。. 十。四一。一?.?。 十茁七黜?,? 一《一,一茁,。一。,一, 一《一胜%,?一一亿 ,茁《盘 一茁《 七《茁.一彤:一石。 一时二《。一。船:肼 :,《肘;一茁; ?茁,肘?,一.茁《 ?肘一,‰《时 盯 茁《茁? 一’盯《: 七茁。一一一’一矿 一茁,肘二 ??崖矗一联?一?‖ 肼。?一‘ 七茁?一茁一气 乞一椰,,?胛舸。一,?茁,: .:盯 :?肼一符。/ 十‰《茁。一十?。:?. 竹。 苒 矿于。 一彭%《《肌茁《 为了使上式表述更简单,我们对弹性常数进行重新定义如下,其中,左边的 代表原来的弹性常数,右边的为重新定义的弹性常数。