矩阵可对角化的充分必要条件论文

矩阵可对角化的充分必要条件论文 学号 20080501050116 密级 兰州城市学院本科毕业论文 矩阵可对角化的充分必要条件 学 院 名 称:数学学院 专 业 名 称:数学与应用数学 学 生 姓 名:练利锋 指 导 教 师:李旭东 二?一二年五月 BACHELOR'S DEGREE THESIS OF LANZHOU CITY UNIVERSITY Matrix diagonalization of the necessary and sufficient condition College : Mathematics Subject : Mathematics and Applied Mathematics Name : Lian Lifeng Directed by : Li Xudong May 2012 郑 重 说 明 本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的，所以数据、资料真实可靠。尽我所能，除文中已经注明应用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有的著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。本学位论文的知识产权归属于培养单位。 本人签名 : 日期 : 摘 要 矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。本文给出了矩阵可对角化的几个充分必要条件和相应的证明。 关键词:方阵;特征值;特征向量;对角化 ABSTRACT Matrix diagonalization is a very important nature of matrix(Understanding the necessary and sufficient conditions of similarity can be diagonalized , has been a difficult problem in linear algebra(In this paper, several necessary and sufficient conditions and the corresponding proofs of matrix diagonlization have been given( Key words:square;eigenvalue;eigenvector;diagonalization 目 录 第1章 绪论 ......................................................... 1 第2章 矩阵可对角化的概念 ........................................ 2 2.1 特征值、特征向量的概念 ........................ 错误～未定义书签。2 2.2 矩阵可对角化的概念............................................... 2 第3章 矩阵可对角化的充分必要条件 ............................... 4 3.1 矩阵可对角化的充分必要条件及其证明 .............................. 4 3.2 可对角化矩阵的相似对角阵的求法及步骤 ............................ 8 第4章 矩阵可对角化的应用 ........................................ 9 第5章 结论 ........................................................ 11 参考文献 ........................................................... 12 致 谢 ............................................................... 13 第1章 绪论 矩阵是高等代数中的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。而对角矩阵作为矩阵中比较特殊的一类，其形式简单，研究起来也非常方便。研究矩阵的对角化及其理论意义也很明显，矩阵相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式、特征根、行列式……如果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作是没有区别的，这时研究一个一般的可对角化矩阵，只要研究它的标准形式——一个对角形矩阵就可以了。而对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。 线性代数中矩阵是否可以对角化,是矩阵的一条很重要的性质。矩阵对角化也是《高等代数》和《线性代数》中矩阵理论这一部分的主要内容。人们对此研 A究得出了很多有用的结论。诸如一些充要条件:阶方阵可以对角化的充要条n A件是它有个线性无关的特征向量;方阵可以对角化的充要条件是它的最小多n A项式没有重根;还有复方阵可以酉相似于对角形矩阵的充要条件是它为正规矩阵，此外,还有一些充分条件。然而,所有这些结论都相对比较抽象,特别是对于大学一年级的新生，抽象化的结论不便于学生的理解和记忆，因此,一些学生在学完《高等数学》和《线性代数》的相关知识后不久,便相继忘掉了一些重要的结论。但是,一个普遍的现象是这些学生对高中、初中的数学知识比较熟悉,且记忆深刻，因此,若能将一些大学数学知识和高中、初中的一些知识进行类比,则这些新的数学知识与理论便会易于理解和记忆。 在本课题中通过阅读参考文献、查阅相关资料，初步总结出了矩阵可对角化的若干充分必要条件，并给予了相应的证明过程。 1 第2章 矩阵可对角化的概念 2.1 特征值、特征向量的概念 APP定义1 设是数域上线性空间V的一个线性变换, 如果对于数域中的 A一个数存在一个非零向量使得A,,,,,那么称为的一个特征值，而 ,,,,000 A称为的属于特征值的一个特征向量。 ,0 A求方阵的特征值与特征向量的步骤: AA(1)由特征方程=0求得的个特征值，设,,,,？,,是的互异特征值,,E,An12t其重数分别为n,n,？,n则n，n，？，n,n。 12t12t ，，(2)求解齐次线性方程组,E,AX,0,其基础解系，，i,1,2,？,ti p,p,？,pA1,s,n，i,1,2,？,t,()就是所对应特征值的线性无关的特征iiiiii12s 向量。 2.2 矩阵可对角化的概念 AFF定义2 设是矩阵上一个阶方阵，如果存在数域上的一个可逆矩阵n ,1PA,使得为对角形矩阵，那么就说矩阵可以对角化。 PAP A,任意方阵的每一个特征值都有一个与之相对应的特征向量P满足ii AP,,P，，，则这个方程可以写成 i,1,2,？,niii ,,,1,,,,,2 ,,，，，，AP,P,？,P,P,P,？,P , (1) ？12n12n,, ？,, ,,,n,, AP,PB，，，，P,P,P,？,PB,diag,,,,？,,我们定义矩阵,则(1)式可写成,12n12n ,1P，，PAP,B,diag,,,,？,,若矩阵是可逆阵，则有 12n AB引理1 设、都是阶矩阵,则有秩，， ?秩，，+秩，， 。 ABAB,nn AA,,,,？,,引理2 设(s,n)为阶方阵的所有互异特征值，则矩阵的n12s ，，，，，，sn,rA,,I,rA,,I,？,rA,,I线性无关的特征向量的最大个数为。 12s A,,,,？,,s,n证明 设()为阶方阵的所有互异特征值，因为特征值n12s ,，，相应的线性无关的特征向量的最大个数即为线性方程组i,1,2,？,si 2 的基础解析所含向量的个数，所以特征值，， 相应的,,,,？,,s,n，，A,,IX,012si ，，线性无关的特征向量的最大个数分别为，，…，n,rA,,I，，n,rA,,Ii2 A，，n,rA,,I，而矩阵的不同特征值的线性无关的特征向量并在一起仍然线性s A无关，从而,矩阵线性无关的特征向的最大个数为，，，，，，sn,rA,,I,rA,,I,？,rA,,I。 12s A引理3 设为阶方阵,是任意两两互异的数,则,,,,？,,n12s ，，，，，，，，，，，，，，r[A,,IA,,IA,,I],rA,,I，rA,,I，？，rA,,I,s,1n。 12s12s 3 第3章 矩阵可对角化的充分必要条件 3.1 矩阵可对角化的充分必要条件及其证明 PAA定理1 数域上阶方阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关nn的特征向量。 A证明(1)充分性 假设P,P,？,P是矩阵的个线性无关的特征向量，即n12n ，，有AP,,P,令矩阵P,P,P,？,P由特征向量P,P,？,P组成，因，，i,1,2,？,niii12n12n ,1P为P,P,？,P是线性无关的，因此矩阵是非奇异矩阵，其逆矩阵记为，根P12n ,1,1,1,1，，PP,PP,？,PP据逆矩阵的定义有=，另一方面，由AP,,P易PPniii12 ,1，，知,，， =,P,,P,？,,P,给此式左乘矩阵，则有 AP,AP,AP,？,APP1122nn12n ,,,,,,11,,,,,,,,,,22,1,,,,PAP,I=， ？？n,,,, ？？,,,, ,,,,,,nn,,,,即充分性得证。 ADP (2)必要性 令矩阵和对角形矩阵相似，即存在可逆矩阵使得 T,1，，AP,PDPD,d,d,？,dP,P,？,P,则有,于是记=()，则PAP,D12n12n AP,PD，，dP,dP,？,dP可以写成AP,AP,？,AP=()即有1122nn12n PAPAP,dPP，，,这说明矩阵的列向量是矩阵的特征向量，而已知i,1,2,？,niiii PP,P,？,P是可逆阵，故的个列向量线性无关，必要性得证。 n12n n，nA定理2 设 ，则可以对角化的充分必要条件是: A,P AP(1)的特征根都在数域内, A(2)对的每个特征根,有， , k，，，其中是的重数。 n,秩,E,A,k, ，，条件(2) 也可改述为:特征根的重数等于齐次线性方程组,E,AX,0的, 基础解系所含向量的个数(简称为代数重数等于几何重数)。 4 r A条件(2)还可改述为:令有,,，即属于的不同特征根的 ，，n,秩,E-A,n,i,1i 线性无关的特征向量总数是。 n A条件(1)，(2)还可改述为:的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于。 n A,,？,,证明 设是的所有不同的特征根,是齐次线性方程,,,,？,,jjt12r1j ，，A,E,AX,0组的一个基础解系，则的特征向量，，j,1,2,？,rj ,,？,,,？,,,？,,,？,,一定线性无关。 111t1tr1rt1rr AA如果, 则有个线性无关的特征向量, 从而可以对角t，t，？，t,nn12r AA化。若可以对角化, 则属于的不同特征根的线性无关的特征向量总数一定是 A,,,,？,,。若不然, 则由定理1可设的个线性无关的特征向量为,设是,nn12nj属于特征根的特征向量，则可由线性表出，从而可由向量组,,,,？,,jjjj1tj ,,？,,,？,,,？,,,？,,线性表出，于是，111t1tr1rt1rr ,,,,？,,,,？,,,？,,？,,rank{ }rank{ }=,111rt1,tr12n1t t，t，？，t,n,,,,？,,与线性无关矛盾。 12n12r AAA定理3 设是阶复矩阵, 则与对角形矩阵相似的充分必要条件是的n 最小多项式无重根。 ，，m, A，，m,,d(,)d(,)d(,)证明 充分性 因无重根,由| 知,的每个不变因nii，1 ,,E,Ad(,)子都不能有重根，从而特征矩阵作为复数域上的矩阵,其初等因子i A全为一次式，故必与对角阵相似。 A,E,A必要性 因与对角阵相似,特征矩阵的初等因子必均为一次式,故 ，，d,最后一个不变因子也只能是不同的一次因式之积，这就证明了最小多项式n ，，m,,d(,)无重根。 n 此定理3所给出的判别矩阵与对角矩阵相似的条件,形式上还可削弱,我有: V定理4 设是维向量空间的一个线性变换，的矩阵可以对角化的充分,,n W,W,？,WV必要条件是可以分解为个在之下不变的一维子空间的直和。 ,n12n ,,,,？,,V证明 必要性 若可以对角化，则存在的一组基使得在这 ,,12n 5 ,,,1,,,,,2 ,,组基下的矩阵为， ？,, ？,, ,,,n,, 令,则 V,W,W,？,W，，，，，，，W,L,,W,L,,？,W,L,12n1122nn 事实上: (1)，则， ,,k,，k,，？，k,,,,V1122nn 又k,,W, ,,W，W，？，W， ，，i,1,2,？,niii12n 即V,W，W，？，W。 12n ，，,,,W:W，W，？，W，W，？，W(2),， ，，i,1,2,？,ni12i,1i，1n ,,W,,W，W，？，W，W，？，W且， i12i,1i，1n ,,,，,，？，,，,，？，,，，,,W,j,1,2,？,n且, ， ,,,12i,1i，1njji ,,W又，,,LW，, ，，，，j,1,2,？,nj,1,2,？,njjjjj ,,,L，,L，？，L,，L,，？，L,,L,,1122i,1i,1i，1i，1nnii 即又L,，L,，？，L,,L,，L,，？，L,,L,1122i,1i,1iii，1i，1nnii,,,,？,,L线性无关=0,, ，，j,1,2,？,nj12n 即=0。 , VW,W,？,W充分性 若可分解为个在之下不变的一维子空间的直和,n,12nV,W，W，？，WW,W,？,W,,,,？,,,,,,？,,即,设的基分别为则可构12n12n12n12nV成的一组基。 令，，，，，，， ,,,,,,,,,,,,？,,,,,,111222nnn ,,,1,,,,,2 ,,,,,,？,,在基下的矩阵为 ， ,？12n,, ？,, ,,,n,,即可以对角化。 , AFAF定理5 设是数域上的一个阶矩阵，的特征根全在内，若n 6 AAr,r,？,r是的全部不同的特征根，其重数分别为，则可对角化的,,,,？,,12n12n 充要条件是秩。 ，，j,1,2,？,k，，,I,A,r,ij,ij 1,AT证明 设可对角化，则存在可逆矩阵,使,,TAT,diag,I,,I,？,,I1122nn 这里右边是分块对角矩阵，为阶单位阵，于是有 rIii ,,,,秩 ，，IA,,,i,,i,j,, ,,,,,1,,,,，，,=秩T,IAT ,i,,,,i,j,,,, ,,,1,,=秩 ,，，ITAT,i,,,i,j,, ,,,, =秩 ,,,IdiagI,,I,？,I,,,,ikk,1122,,i,j,, ,,,, =秩 ,,,,,，，，，，，diagI,I,？,I,,,,,,iikk,11122,,i,j,, ,,,,,,，，,diag0,0,？,,,I,0,？,0 =秩 ,,,ijj,,i,j,,,,r = j。 ,,,,r反之，若秩=， j,1,2,？,k，，IA,,j,i,,i,j,, 则反复用本文引理1可得: ，，，，r,秩,I,A,k,2n,ji,ij ，，，，,n,r,k,2n,ii,j =， n,r,r,ij,ij ，，于是有=。 n,r，，秩,I,,,i,i,ij ，，,I,AAn,r从而 =，，，这样可对角化。 i,1,2,？,kii AA 定理6 设为阶方阵,则可以对角化的充要条件为存在两两互异的n ，，，，，，A,,IA,,I？A,,I,0,,,,？,,使得。 12s12s AA,,,,？,,s,n证明 必要性 设阶方阵可以对角化,()为的所有互n12s A异特征值,由引理2及定理1，从而有个线性无关的特征向量,即n ，，，，，，sn,rA,,I,rA,,I,？,rA,,I,n故12s 7 ，，，，，，，，rA,,I，rA,,I，？，rA,,I,s,1n,0， 12s ，，，，，，r[A,,IA,,IA,,I],再由引理3得0， 12s ，，，，，，从而有A,,IA,,IA,,I,0。12s A充分性 设为阶方阵且存在两两互异的数,,,,？,,使得n12s ，，，，，，A,,IA,,IA,,I，，，，，，A,,IA,,IA,,I,0，记为=。 ，，fA12s12s ，，，，，，，，f,,,,,,,,？,,,A,设为的特征值，则必为的特征，，fA12s值，从而。 ，，fA,0 ，，，，，，，，f,,,,,,,,？,,,,0A所以,因此矩阵的特征值的取值范12s ,A围为,,,,？,,，显然当A,,I可逆时，不是的特征值;当可逆A,,Ii12sii ,A，，A,,IX,0时，是的特征值。因为线性方程组的基础解系所含向量的个ii ,，，n,rA,,IAA,,I数即为的特征值的重数 (当可逆时, 不，，i,1,2,？,s,iiii AA，，是的特征值,此时n,rA,,I,0)。从而矩阵线性无关的特征向量的最大个i 数为。 ，，，，，，sn,rA,,I,rA,,I,？,rA,,I12s 再由引理3，当时，，，，，，A,,IA,,IA,,I,012s ， ，，，，，，，，rA,,I，rA,,I，？，rA,,I,s,1n12s A所以 ，即阶方阵有个线nn，，，，，，sn,rA,,I,rA,,I,？,rA,,I,n12s A性无关的特征向量,从而可以对角化。 3.2 可对角化矩阵的相似对角阵的求法及步骤 ,1n，nn，n具体步骤 设，求可逆矩阵，使为对角矩阵的步XAXX,PA,P 骤是: A(1) 求矩阵的全部特征根; APA,(2) 如果的特征根都在数域内(否则不可对角化), 那么对每个特征根, 求出齐次线性方程组，，的一个基础解系; ,I,AX,0 ,,(3) 如果对每个特征根,，，的基础解系所含解向量个数等于的重,I,AX,0 AA数(否则不可对角化), 那么可对角化,以所有基础解系中的向量为列即得n ,1XA阶可逆阵, 且是对角阵, 而对角线上的元素是的全部特征根。 XAX 8 第4章 矩阵可对角化的应用 32,1,,,,A,,2,2,2例1 判断矩阵是否可以对角化。 ,, ,,36,1,, ,,3,21 ,A2，2,2解 的特征多项式= ,I,A ,3,6,，1 3 = x,12x，16 2，，，，x,2x,4 = A21,,,4解得的特征值是,,2(重)，(重)， 12 对于特征根-4，求出齐次线性方程组 x,7,210,,,,,,1,,,,,,12,,x的一个基础解系， 2,2,2,0,,,1,,,,,,,,233,,,,,,,,x,3,6,303,,,,,, ,1,21x0,,,,,,1,,,,,, 对于特征根2，求出齐次线性方程组的一个基础解 24,2x,0,,,,,,2 ,,,,,,,3,630x3,,,,,, ,,，，，，系 ,2,1,0,1,0,1， A由于基础解系所含解向量的个数等于对应的特征根的重数，所以可以对角化。 取 1,,,21,,3400,,,,,,,2,1,,T,,10,那么020 ,TAT,,,,3,,002,,101,,,,,, A例2 设是两个不同的数，又阶矩阵满足,,,n12 ,,,1,,？,, ,,,1,,A，，，，A,,IA,,I,0，证明相似于对角阵。1n2n,,,2,,？,,,,,2,, A,,I,0A,,IA,,IA,,I,0证明 若，或则或结论显然成立。 2n2n1n1n A,,I,A,,IA故可设，此时首先证明是的特证值。由于,,,1n2n12 9 A,,I，故有，使得，，,又,,A,,I,0,1n1n A，，，，，，，于是是的属于特征值的特征A,,I,,A,,IA,,I,,0,,0,,1n1n2n1 A向量，同理是的特征值。 ,2 A，，又设,,,,？,,是,,,IX,0的基础解，因而是的属于的线性无关的,12t1n1 ，，特征向量 ，设,,,,？,,是A,,IX,0的线性无关的特征向量，故可知12s2n ,,,,？,,,,,,,？,,线性无关，设是任一维向量，有，令 ,n，，,,,I12t12s1n 11,,,,,,,，,，，，，A,,I,A,,I,，，则有，121n2122n1,,,,,,1212 ts ,,k,，，，，A,,I,,0A,,I,,0,,k,,，，因此有，，故可,ii1,jj1n12n22i,1j,1被,,,,？,,,,,,,？,,线性表示，于是,,,,？,,,,,,,？,,为基，令12t12s12t12s ,,,1,,？,, ,,,1,1,,，，P,,,,,？,,,,,,,？,,则。 ,PAP12t12s,,,2,,？,,,,,,,2 10 第5章 结 论 随着现代科学技术的发展，特别是电子计算机技术的发展，为矩阵理论的研究进一步开辟了更加广阔的前景，因此学习和掌握矩阵论的基本理论与 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，对于工程技术人员、高等理工科院校研究生、本科生是必不可少的，并且有着重要 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要的意义和应用价值。 研究对象，而矩阵的对角化是矩阵论中的一个重点内容。本文论述了矩阵可对角化的基本理论，在此基础上探讨了矩阵可对角化的充分必要条件，使我们更轻松的理解并掌握矩阵的对角化问题。 11 参 考 文 献 [1] 张禾瑞,郝炳新.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2007. [2] [苏] 普罗斯库烈柯夫,周晓钟译.线性代数习题集[M].北京:人民教育出版社,1981. [3] 张枚.高等代数习题选编[M].浙江:浙江科学技术出版社,1981. [4] 秦松喜.高等代数新编[M].厦门:厦门大学出版社,2005. [5] 杨子胥.高等代数习题解[M].山东:山东科学技术出版社,2001. [6] 张贤达.矩阵分析与应用[M].北京:清华大学出版社，2004. [7] 张建航，李宗成.方阵的伴随矩阵性质探讨[J].高师理科学刊,2007，01:11-14. [8] 王志武.方阵可对角化的一个充要条件[J].山东农业大学学报,2008，04:3-5. 12 致 谢 本人的学位论文是在我的导师李老师的亲切关怀和悉心指导下完成的。他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。从课题的选择到论文的定稿，李老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持。在此谨向李老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。 在此，我还要感谢在一起愉快的度过大学生活的每个可爱的同学们和尊敬的老师们，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的完成。 在论文即将完成之际，我的心情无法平静，现在的自己已经不再是刚进大学时的那个小男生了，四年的磨砺让我的肩头多了一份责任和承担，即将踏入社会的我，面临的抉择和困难也非常之多，但是不论前途多么的未知和困难，我会毫不畏惧地前行，父母、老师、同学以及所有关心和支持我的人，谢谢你们一直以来给予我的理解、鼓励和支持，你们是我不断取得进步的永恒动力。 练利锋 2012年5月 13