不定积分

不定积分 一、选择题： 1、设,，则 [ A ] [f(x)dx],sinxf(x),, （Ａ）cosxcosx （Ｂ）＋C (Ｃ) （Ｄ）＋C sinxsinx 22x2、若，则 [ D ] f(x)dx,xe，cf(x),, 2x2x22x2x（Ａ）2x(1，x)e （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 2xe2xexe x3、下列函数是函数2的原函数的为 [ A ] ecosx xxxx（Ａ）e(cosx，sinx)e(cosx,sinx) （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） esinx,esinx 24、设f(x),ktan2x的一个原函数为，则等于 [ C ] lncos2xk3 3324（A） （B） （C） （D） ,,3234 5、下列关系式正确的是 [ C ] （A）,d[f(x)dx],f(x) （B）f(x)dx,f(x) ,, d（C）,[f(x)dx],f(x)，Cf(x)dx,f(x) （D） ,,dx 二、填空提： ,x2x1e,exxx1、e(1,)dxdx,exC2 2、= exC,x,xe，1 2x，x，13、lnarctanxxCcscx(cotx,cscx)dx= 4、= cotcscxxCdx,2,x(x，1) 11x,x335、设f(x),f(x)dx,3e，C，则e , 三、解下列各题： xx2,3,5,211、dx 2、(1,)xxdx x,2,3,5x xx3235224解：原式=dxdx1xxdx 解：原式 3535 49 xx32 35255544=C xdxxdx3233lnln55 xx32 714255544=xxC4 C73ln3ln53ln2ln5 2cos2x1，x3、 4、 dxdx22,,4cosxsinx1,x 22cossinxx1解：原式dxdx 解：原式 222cossinxx1x 11 dxdxarcsinxC22sincosxx cottanxxC 225、若f(sinx),cos2x，cotx，求f(x)dx , 1t22222解：令sin,xt则cos1,cot,cos2cossin12.xtxxxxt t 112即fxx2,fxdxxdxxxC2ln.从而：- xx 24、一曲线通过点(e,3)且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线方程。 11解：设曲线方程为fx',fxdxxCln,则依题意有：故 yfx,xx 2又因为曲线经过点e,3. 因此，所求曲线方程为 fxxln1.C1. 50 23t(m/s)5、一物体由静止开始运动，经过秒后的速度是，问： t （1）在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ （2）物体走完需要多少时间？ 360m 2解：设路程与时间的函数关系为依题意有从而， sft,ftt'3,t 23 ftftdttdttC'3.又当时， sC0,0.t0 3即 ftt, 3 1:fm3227. 33360,245.tts 依题意有 2: 51 一、选择题： dx1、= [ B ] ,1,2x 1(A)1,2x，C,1,2x，C,21,2x，C （B） （C） （D） ,1,2x，C2 xdx2、设，则= [ B ] b,02,a，bx 1122（Ａ） （Ｂ） ln|a，bx|，Cln|a，bx|，C22b 1b22（Ｃ） （Ｄ） ln|a，bx|，Cln|a，bx|，Cb23、若f(x)dx,F(x)，C,则f(2x，1)dx, [ B ] ,, 11(A) 2F(2x，1)+C (B) (C) (D) 2F(x)+C F(2x，1)，CF(x)，C22 224、若f(x)dx,x，C，则xf(1,x)dx, [ D ] ,, 2222(1,x)，C(1,x)，C（Ａ） （Ｂ）－ 112222（Ｃ）(1,x)，C(1,x)，C （Ｄ）－ 22二、填空题： 111121、d(1,x)dx, d 2、 xdx,3222xx 1xdx4323、d(3x,2),xdx, 4、 d1,x212,1x 11dx15、dxln||23xCarcsin3xC= 6、 = ,,2332,3xx1,9 11122,bx23bx7、x1，3xdxaxeC()13xC(secax,e)dxtan()= 8、= ,,9ab 1x,x,x9、sin()eCcsc3xcot3xdxC= 10、ecosedx= ,,33sinx 52 111111、= 12、= cosCln|ln|xCsindxdx2,,xxxlnxx 三、计算下列各题： 23421、 2、 x(2x,3)dxtan(3x)dx,, 113432解：原式=()()2323xdx 解：原式=） tan()()33xdx63 213sin()x135 =dx()3 = ()23xC233cos()x30 11 =13dx() 233cos()x 1 = tan()3xxC3 333、sinxdx 4、tanxsecxdx ,, 22解：原式=sincosxdxtansecxdx 解：原式= 22 =1coscosxdx(sec)secxdx1 = 33cosxsecx =cosxCsecxC = 33 1,x45、cosxdx 6、 dx,,24,9x 212cos()x1x解：原式=()dxdxdx 解：原式= 2224949xx 3dx()21149dx()114cos()x2 =122cos()xdx = 2231842349x1()x2 1313112 =arcsin()xxC49xxxCsin()sin()24 = 3298432 53 arctanxdx7、 8、 dx2,,x(1，2lnx)x(1，x) arctanxdxln解：原式=2dx 解：原式= 21x(ln)12x 121dx(ln) = =2arctanarctanxdx 2212(ln)x 12 =C(arctan)xC = 212(ln)x 54 一、选择题： ,(ln)fx,x1、设f(x),e，则= [ C ] dx,x 11(A) (B) (C) (D) ，C,，C,lnx，Clnx，Cxx 122、设,，则= [ B ] f(x)f(x),x 12(A)，C2x，C (B) (C) (D) x，C2x，Cx 23、经过变量代换1，xdx，则= [ B ] x,tant, sect33（A）sectdt （B）sectdt （C） （D）,sectdt dt2,,,,1，t dx4、= [ C ] ,29x，1 22（A） （B） ln|3x，9x，1|，Cln|3x,9x，1|，C1122（C） （D） ln|3x，9x，1|，Cln|3x,9x，1|，C33 5、设,fxx(ln)1,，fx(),，则 [ C ] 22xelnxxxx（A）eC，，(2ln)，，xC （B） （C）xeC，， （D） xC，，222 二、填空题： 32xdxx21、dx()xxC363x,ln1,e，C,= 2、 ,x,31,ex,3 222124xxa1dx3、= 4、= ln||CCdx2,,22222xaxx4,xxx，a 21x,1x1dx25、xC1arccosdxarcsin()C= 6、= ,,2||xx23，2x,x 55 dx,21ln()xC7、 ,x，x 2x，18、= dx,4x1，x 2x1 ,dx，dx,,44x，xx，x11 xx ,dx，dx,,424，xx，x11 111122 dx,，dx,,222421(x)，，2x1x11224 ln()ln()ln||xxxxC11122 三、计算题： dxdx1、 2、 ,,231，2x(x，1) 2t2解：令2xt,xdxtdt,.xtttan,(,).则 解：令则 dxtsec.222 2sect1于是，原式=dttdtcos1dt 于是，原式= 3sect1t =ttCln()1 = sintC x =212xxCln()sin(arctan)tC =（或） C21x 2xdx13、 4、 dx,,2221，1,xa,x 解：令xattsin,(,),xttsin,(,),dxtdtcos,则 解：令则 2222 从而， 从而， dxatdtcos. 56 22atatdtsincoscostdt1 原式= 原式= ()1dtatcos11coscostt 12cos()t1dtt2 = = adtttCtant2222cos2222aattsincos11x =tC = arcsinxC22xx2axx22 =arcsinaxC 22a dxdx5、 6、 ,,x221，exx,1 2x解：令xtln()1xttsec,(,).0则， 解：当x1,时，令则 1et,2 2t dxdt.从而， dxttdtsectan,从而， 2t1 211sectanttdt1原式=dtdttCCarccos 原式= 2ttt111sectanttx=ln()ln()ttC11x1, 当时，有令 ux,x1 xx=dudx, 那么，于是， ln()ln()1111eeC udu1 原式=arccosC 2uuu1 1 =arccosC，综上所述， x 57 dx1arccosC 2||xxx1 一、选择题： 1、 xlndx= [ C ] ,2 xx（A） （B） xln,2x，Cxln,4x，C22 xx（C）xln,x，C （D）xln，x，C 22 22、设f(x)xf(x)dx是的一个原函数，则＝ [ B ] cscx, 22（Ａ）xcscx,cotx，C （Ｂ）xcscx，cotx，C 22（Ｃ）－xcscx,cotx，C （Ｄ）－xcscx，cotx，C 3、设,f(lnx),1，xf(x),，则 [ C ] 211x2xx2x（A）x，，Clnx，(lnx)，Ce，e，C （B） （C）x，e，C （D） 222 58 ,xf(x)dx,4、设，则 [ A ] lnf(x),cosx,f(x) （A） （B） xcosx,sinx，Cxsinx，cosx，C（C） （D） xcosx，sinx，Cxsinx,cosx，C5、,,xf(x)dx= [ C ] , （A）,, （B） （C） （D） f(x)，Cxf(x)，Cxf(x),f(x)，Cf(x),xf(x)，C 二、填空题： 1、= xsinxdxsincosxxxC, 22、= arcsinxdxxxxCarcsin1, 223、xxxxCln()arctan122ln(1，x)dx= , x1,3x33xx4、= xedxeeC,39 33xx25、lnlnxxxxC(x，1)lnxdx= ,39 三、计算下列各题： ,3x21、edx(x,1)sin2xdx 2、 ,, 2tt22解：令3xtxdxdt,,.xxdxxdxsin()sin()22 解：原式= 99 2211tt2从而，原式=tedttdexdxxdxcos()sin()()222 = 9922 2221tttt2 =teedtteeC()xxxxdxcos()cos()222 = 9992 213x =exC()31cos()2x 92 23xx =()cos()sin()22xxC 422 59 223、ln(x，x，1)dx 4、 xarctanxdx,, 3x22解：原式=arctanxdxxxxdxxln()ln()11 解：原= 3 33xx1x2=arctanxdxxxxdxln()1 = 22331x1x322xx11111dx()22=arctan()xdx1 = xxxln()122361x21x3x11222=arctan()xdx11 = xxxxCln()112361x 32xx12=arctanln()xxC1 366 3lnx25、dxxtanxdx 6、 2,,x 2tt解：原式=txxedxedtln,,.xxdx(sec)1 解：令从而， 33tttt3=edttedttdexdxxdxtan 原式= 2te 132tt2=teetdt3xxxdxxtantan = 2 2sinxx32ttt=xxdxtantetetde36 cosx2 2x32tttt=xxxCtanln|cos|teteteedt366 = 2 32tttt =teteteeC366 60 132 = lnlnlnxxxC366x 一、选择题： 1、 dx= [ A ] 2,x,4 1x,21x，21x，21x,2（A）ln，Cln，Cln，Cln，C （B） （C） （D） 4x，24x,22x,22x，2 xdx2、= [ A ] 2,4，x 122(A) ln(4，x)，Cln(4，x），C (B) 2 xx1x(C) arctan，Carctan，C (D) 2222二、填空题： 11171、ln||ln||xxC4dx= 8,428x，4x 1112、dxln||ln||xxC21= ,(x，1)(x,2)33 61 33x3x2dxxxxC9273ln||3、= ,32x，3 三、计算题： 2x，3x1、 2、 dxdx2,100,x,5x，6(x,1) ()()xx111x356解：因为dx 解：原式= 1002()x1xxxx5623 xdx1dxdx故原式=dx56 = 99100()()xx11xx23 dxdxdx2 =5263ln||ln||xxC = 9899100()()()xxx111 979899()()()xxx1211 =C 979899 54x，x,383、dx 4、 dx3,3,x,xx，1 542312xxxxx882解：因为 解： xx13332xxxx111xxxxdxx28432故原式=dx =xx1 2xxx11xxx11 13x843222 =xxdx1 故原式= ln||xdx113xxx112()x24 1()xdx22xx2 =xxx841ln||ln|| = ln||x113322()x24 3dx2 31ln||xC 1322()()x22 62 12 = ln||ln()xxx112 231 3arctan[()]xC 32 dxdx5、 6、 ,,32，sinx1，x，1 x323解:令xtxtdxtdt113, 解：令 tan.t223111tdttt()()2则原式=3dt 则xtdxdt2arctan,.从而， 211tt1t 2 211t1 =313()tdtdt 原式= dtdt22tt1tt1221t 1dt()23t2=331ttCln|| = 21322()()t22 232313233=arctan[()]tC()xx131 = 3322 23231x3 311ln||xCarctan[(tan)]C = 3322 63 一、选择题 1、若,，且，则= [ D ] f(x),f(x)f(x),0f(x) x（A）x （B） （C）1 （D） elnx 2、函数的导数为 [ A ] F(x),f(2x，1)dx, （A）f(2x，1) （B）f(2x，1)，1 （C）f(x) （D）2f(2x，1) 233、若f(x)dx,F(x)，C,则当时，xf(ax，b)dx= [ C ] a,0,, 33（A）3aF(ax，b)，C3F(ax，b)，C （B） 1133（C） （D） F(ax，b)，CF(ax，b)，C33a ,3x4、设,是f(x)的一个原函数，则xf(x)dx= [ D ] e, ,3x,3x,3x,3x（A） （B） 3xe,e，C,3xe，e，C ,3x,3x,3x,3x（C） （D） 3xe，e，C,3xe,e，C 1ln(1，)x5、dx, [ A ] ,x(x，1) 11112（A）,ln(1，)，C （B）(1，)ln(1，)，C 2xxx 11（C）lnln(1，)，C （D）xln(1，)，C xx二、填空题 1123221、xsin2xdxcos2xCtanxdx,tanln|cos|xxC= 2、 ,,423、()arctanxxxC1arctanxdx= , 64 14、= (5sinx,cos3x)dx53cossinxxC,3 122x5、若,f(lnx),x(x,1)，则= eCf(x)2 6、若，则= f(x)cosxdx,ln(sinx)，Cf(x)dxln|csccot|xxC,, 三、计算题 dxxarctanx1、 2、 dx,2,2sinxcosx1，x 22sincosxx2解:原式=dxarctanxdx1 解：原式= 2sincosxx 12=1xxdxarctanseccsccotxdxxxdx = 21x 22=ln|sectan|cscxxxC = 11xxxxCarctanln() 22,ax2,3x3、dxxedx 4、 ,,x 123x解：令xattsin,(,).xde则 解：原式= 223 12233xxxexedx，从而， dxatdtcos33 atatdtcoscos12233xx原式=xexde = atsin39 21sint1222333xxx=adtattdtcscsinxexeedx = sint399 1222333xxx=xexeedxattatCln|csccot|cos()3 = 3927 65 22122()aax2333xxx22 = = xexeeCaaxCln||3927x 2x25、设f(x,1),ln，且，求 f(,(x)),lnx,(x)dx2,x,2 2xx1112解：因为fxfx()ln,()ln.1 2xx111 ()xx112又fxxx(())lnln,().1， ()xxx111 2从而， ()()ln||xdxxxC121x1 66 一、选择题： 1．若是函数的原函数，那么，的另一个原函数是 [ A ] ln|x|f(x)f(x) 112（A） （B） （C） （D） ln|ax|ln|x，a|ln|ax|(lnx)2a 22．= [ D ] sinxdx,3 22322232（A） （B） （C） （D） cosx，Ccosx，C,cosx，C,cosx，C33233323 1，x3．dx, [ B ] ,1,x 2（A） （B） x,cosx，Carcsinx,1,x，C 22（C） （D） arcsinx，1,x，Carccosx,1,x，C二、填空题： 312dx21．设()1xCxf(x)dx,arcsinx，C，则= ,,3f(x) 32()()2525xx2．Cx2,5xdx= ,7525 1433．tanxdxtantanxxxC= ,3 2xarctan()xx2334．= Cdxxx,lnln239,4 21xx35arctan()C= dx366,3aaa,x 211xx，16．arccosC= dx,22||xxxx,1 11dx107ln||ln||xxC2= 10,220x(2,x) 67 三、计算题： dxarctanx1、 2、 dx22,,sin2x，2sinxx(x，1) xx22sincos2()arctanxx1122解：原式=dxdx 解：原式= 22xx()121sin(cos)xx xx22sincosarctanarctanxx22= =dxdx dx22xxxxx128sincoscos222 xsin11112= =arctan()arctanarctanxdxdx dxdxxxxx883cossincos222 xdcos2111arctanarctanxdxx2= = dx2xxxx()1244sinx3cos2 222arctanarctanxxxx111x2=dxsecln|csccot|xxC = 2xxx21()824 2arctanarctanxxdxxdx = 2xxx21 2arctanarctanxx = x2 12 ln||ln||xxC1 2 23xdxxedx3、 4、 ,,x(4,x) 212x14xxxde解：原式= 解：原式= dx24xx()4 68 2214xx11x22xxdx= =(令) xeedxt44xx4x22 22118112xx=()ttdx = xeeC2241tt()22 1 = 22dttCarctan21t x =2arctanC 4xlnsinxdx5、 6、 dx2,,22sinx(2x，1)x，1 2解：原式=lnsin(cot)xdx 解：令xttdxtdttan,(,),sec, 22 2cosxsect=cotlnsincotxxxdx 故原式= dt2(tan)sec21ttsinx cossintdt2=cotlnsincotxxxdxdt = 2211sinsintt 2=cotlnsincscxxxdx1arctan(sin)tC = x= = cotlnsincotxxxxCarctanC21x 69